Математические уравнения и функции

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    168,18 kb
  • Опубликовано:
    2010-02-01
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Математические уравнения и функции

Варивант №2

Задание 1

Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:

1.   Длину стороны АВ;

2.   Внутренний угол А с точностью до градуса;

3.   Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

4.   Точку пересечения высот;

5.   Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

6.   Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

7.   Сделать чертеж;

Решение:

1.   Найдем координаты вектора АВ:


Длина стороны АВ равна:


2.   Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)


Тогда

3.   Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:


Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

4.   Координаты основания медианы будут:

;

Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М


Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

5.   Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору


Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23

6.   Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .


Теперь воспользовавшись формулой


Подставляя в нее координаты точки С(0,3)

Задание 2

Даны векторы Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.


Решение:

1.   Докажем, что подсистема линейно независима:


Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно,


Найдем представление  через .


Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три


Получили , что данная система векторов не может называться базисом!

Задание 3

Найти производные функций:


Задание 4.

Исследовать функцию и построить ее график


1.   Область определения:

, то есть

2. Кривая  имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как


Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

4.   Функция периодичностью не обладает

5.   Находим производную функции


Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.

Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы

х

1

5

y’

-

-

0

+

0

-

y

убывает

убывыает

0

min

возрастает

0,074

убывает


6.   Находим вторую производную функции


Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11

Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.

х

0.22

6.11

y”

-

+

0

+

0

-

y

выпукла

вогнута

0,335

перегиб

вогнута

0,072

выпукла


7.   Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

 получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)

8.   При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166

9.   Строим график в соответствии с результатами исследований:


Задание 5

Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.

а) ; б) ; в) ; г)

Решение:

а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:


Проверка:


б) сделаем подстановку


Проверка:



Проверка:


г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей




Проверка:


Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:


Решение:

находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение

корни этого квадратного уравнения

следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:

т.к получаем:


Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!