Доказательство теоремы Ферма для n=4
Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово
уравнение:
Аn+ Вn = Сn
(1)
где n - целое положительное число,
большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем
следующим образом:
Аn =
Сn - Вn (2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда
уравнение (2) запишется следующим образом:
А4 = С4 -В4 (3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А4 = (С2) 2 - (В2)
2 = (С2 -В2) ∙ (С2 +В2)
(4)
Пусть: (С2 -В2) = N4
(5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4
- ой степени с параметром N и
переменными B и С. Преобразуем
уравнение (5):
N4 = (С -В) · (С +В) (6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C-B=M (7)
Из уравнения (7) имеем:
C=B+M (8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
N4=M∙
(B+M+B)
=M∙ (2B+M)
= 2B∙M+M2
(9)
Из уравнения (9) имеем:
N4 - M2=
2B∙M (10)
B = (11)
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C= (12)
Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для
того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4
на число M, т.е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей
числа N4.
Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым
условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая
четность чисел N и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11) и (12) также следует:
С2 +В2= (13)
Обозначим:
С2 +В2 = K (14)
Пусть:
N=P∙S; M=S2
Тогда:
K = С2
+В2 = (15)
Из уравнений (4), (5) и (15) следует:
A4 = N4∙
K=N4· S4∙ (16)
Отсюда следует:
A = N· S∙ (17)
Очевидно, что:
- дробное число.
То есть:
Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А -
дробное число.
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения
чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не
удовлетворяют предполагаемому равенству:
С2 + В2 = R4
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в
целых положительных числах для показателя степени n=4.