n
|
x
|
y=x-1
|
z=x+1
|
xn
|
yn
|
xn+ yn
|
zn
|
D%
|
2
|
4
|
3
|
5
|
16
|
9
|
25
|
25
|
-
|
3
|
6,055
|
5,055
|
7,055
|
221
|
129
|
350
|
350
|
-
|
4
|
8,125
|
7,125
|
9,125
|
4350
|
2540
|
6890
|
6890
|
-
|
5
|
10,200
|
9,200
|
11,200
|
107000
|
66000
|
173000
|
175000
|
На основании
изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:
1.
Согласование левых и
правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.
2.
Если уравнение yn + xn =zn с
учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на
ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все
стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .
Для выяснения этого вопроса представим ее после
сокращений в следующем виде
P(1,n)/хn-1=2cn3/
x2 + 2cn5 / x4 +2cn7
/ x6... ( 1 + 1 )/xn-1
В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk, распределение которых
симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.
Первый член разложения, из-за малости x2 имеет
наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после
запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет
наименьшую величину из-за большого знаменателя xn-1 (для
n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25–
2/5024 и т.п.)
Первая половина разложения по сумме
значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены
разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего
возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра.
В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со
значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что
свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.
3.
Известно, что уравнение
второй степени y2 + x2 =z2 решается
в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный
треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n
найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет
происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в
объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)3 +(x-a)3
+x3 =(x+ b)3
, существуют
целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43
+53 =63 .
Физически эти числа
выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где
сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант
теоремы Ферма.
4.
Искажения проекций
(треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у)
несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что
решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций,
а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных
треугольников.
Это подтверждается следующими
математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы
косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b
сosC= (a2+ b2 -c2)/2ab.
Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций
при а = b =1:
а → x; b →
y=x-1; c → z=x+1, где
x=2n+P(1,n)/xn-1
После выполнения операций преобразования получим:
cosCn= 0,5-1,5/ xn-1 (7)
По полученной формуле проведены расчеты
n
|
2
|
3
|
4
|
5
|
10
|
∞
|
x-1
|
3
|
5.054
|
7.125
|
9.200
|
19.0..
|
∞
|
cosC
|
0
|
0.202
|
0.289
|
0.337
|
0.421
|
0.5
|
Co
|
90
|
78
|
73
|
70
|
65
|
60
|
Из которых следует :
-
искажение треугольников
при n>2 обусловлено изменением угла С от 90о при
n=2 до 60о при n→∞ при этом треугольники превращаются из
прямоугольных в остроугольные и в пределе – в равносторонние.
-
В остроугольных
треугольниках нет целых решений уравнений Ферма т.к. их стороны сформированы
нецелыми числами.
-
Решение теоремы Ферма в
целых числах присуще только прямоугольным проекциям на плоскость (х,у) числовых
отрезков уравнений y2 + x2 =z2
5.
Второй сектор квадранта
является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>x со
всеми вытекающими из этого результатами.
6.
В процессе проведения
анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных
метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>2
число z является нецелым.
Первый метод доказательства следует из рассмотрения остроугольного
треугольника, для которого Z02=
x2 +y2 –2xycosc. Требуется доказать, что Z0 является
нецелым числом. В нем известны x и y – целые числа, а cosc определен с учетом ограничений a=b=1. Он
изменяется в пределах 0< cosc < 0,5 (см. ф-лу (7) и табл. на стр.3) и
является функцией нецелого, иррационального числа х. Значит и соsc
является также нецелым числом со множеством значащих цифр после запятой.
Благодаря этому нецелым становится выражение 2xycosc, что в свою очередь
делает нецелым Z02
и извлеченный из него квадратный корень Z0.
В основу второго метода также заложено рассмотрение остроугольного
треугольника. Его Z02=
x2 +y2 –2xycosc всегда
меньше соответствующего Zп2=
x2 +y2 прямоугольного
треугольника и числовой отрезок Z02
находится внутри числового отрезка Zп2=x2 +y2.
Учитывая, что при принятых ограничениях y=x-1,
т.е. отличается на единицу, то корень, извлеченный из Z02 будет иметь нецелое значение, т.к. между
числами x-1 и x нет других целых чисел.
Третий метод основан на другом принципе. Его сущность заключается
в следующем.
Для последовательности целых чисел 1,2,3,4 и т.д.
составляется ряд их квадратов:
1
4 9 16 25 36 49
64 81 100 121 144 169 196 и т.д.
2 4 6 8 10 12
14 16 18 20 22 24 26 и т.д.
Между числами первого ряда размещается нижний ряд,
представляющий собой количество целых чисел (порядковых номеров), размещенных
между двумя смежными квадратами чисел x и x+1. Эти целые (и нецелые) числа z1 не могут иметь при извлечении из них корней
целых значений, т.к. находятся между числами, отличающимися на единицу, а будут
иметь значения x+D, где D=z1/Dx2
Учитывая, что при n>2 для остроугольных треугольников z02 всегда меньше zп2
или соответствующего Dx2 в ряду квадратов, необходимо вставить
числовой отрезок z02
в числовой отрезок Dx2 и убедиться, что извлеченный корень из числа
z02 является нецелым
числом.
Рассмотрим доказательство на примере для n=5.
Примем: x=2n=10; y=2n-1=9;cos C=0,337 (см. Формулы 6 и 7).
z02 =102 +92-2*10*9*0,337=120,34.
В ряду квадратов это число находится между числами 100
и 121, являющимися квадратами целых чисел 10 и 11.
Кв. корень из числа 120,34 равен 10.97 – нецелое
число.
Проверка: 105 +95 =159049.
Корень пятой степени из числа 159049 равен 10,97. В случае необходимости z02 может быть уточнено путем повторного (многократного) определения cos C по
трем известным сторонам треугольника.
Примечание. Числа ряда квадратов относятся к остроугольным
треугольникам различных степеней n . Числа второго ряда, отмеченные жирным
шрифтом и поделенные на 4, указывают на степень n, к которой относится
пара чисел, выбранная из условия ограничения a=b=1, в
соответсвии с формулой (6).
Четвертый метод основан на том, что аналогичные степенные ряды могут
быть построены для любых n . Тогда для произвольно выбранной степени n=k
представляется возможным непосредственно убедиться в том , что извлеченный
корень степени k из числа zk =xk+yk
является нецелым числом.
P.S.
Встает вопрос: при каких условиях нецелое число 10,97... , возведенное в
степень n=5 , превратится в целое число 159049 ? Напрашивается
ответ: число 10.97... должно быть иррациональным т.е иметь после запятой
неограниченное количество значащих цифр.
Остановимся на обосновании принятых в статье
допущений (ограничений).
Принятие a=1 обусловлено
получением максимальных , (*) при
которых для всех a <1 нет
решений уравнений Ферма в целых числах, а zn наиболее близок к 2xn.
Принятие b=1 обусловлено тем, что
1 является единственным для всех n целым числом. Это подтверждается следующими
соображениями. Из уравнения (*) имеем: , откуда b£x(nÖ2-1). Подставляя
вместо х его близкое целое значение 2n, получим
формулу b£ 2n(nÖ2-1) для
практических расчетов, которые свидетельствуют о том, что вблизи начала
координат ( на удалении х для каждой степени n) b изменяется
от 1,65 при n=2 до 0 при
возрастании n до ¥. Отсюда вывод: в
растворе 450 сектора всюду b является нецелым числом, исключающим
получение целых x,y,z при решении
уравнений (1) и (2), за исключением одной точки, где b =1, которую
следует проверять на наличие решения в целых числах x,y,z, что и было
проделано выше с отрицательным результатом.
Результаты расчетов при этом аналогичны выполненным
при а=b=1, за исключением случаев, когда х определяется целым
числом с конечным числом значащих цифр после запятой. Тогда можно подобрать
такой коэффициент пропорциональности а умножение на который нецелых
чисел х,у,z сделает их целыми числами, для которых будет
справедливо (x*a)n +(y*a)n =(z*a)n.
В этом случае
теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>2. В
принципе теорема Ферма может считаться достоверной, если добавка P(a,n)/xn-1 является
иррациональным числом. Тогда невозможно использовать коэффициент
пропорциональности a.
В иррациональности
добавки P(1,n)/xn-1 можно убедиться,
если проводить многократное уточнение величины х методом
последовательных приближений, ибо при делении целых числителей в добавке на
нецелые, многократно уточняемые знаменатели, в составе добавки найдется хотябы
один иррациональный результат деления, который превратит всю добавку в иррациональное
число.
Наконец, анализируя
расположение секторов на плоскости (x,y) и , учитывая, что нечетные функции xn и yn могут
принимать положительные и отрицательные значения, можно составить следующую
схему расположения этих функций на плоскости (x,y), т.е. в
области распостранения условий теоремы Ферма:
-
вся
плоскость (x,y) - для
четных показателей степени n
-
квадрант
I - для
положительных x и y
-
квадрант
III- для
отрицательных x и y
-
в
квадрантах II и IV для
нечетных n будут иметь
место разности типа xn - yn или yn - xn, рассмотрение
которых теоремой Ферма не предусмотрено.
ВЫВОДЫ
1.
Разработан метод доказательства теоремы Ферма в
общем виде. Определены основное уравнение (3) и рабочие формулы (2), (5), (6),
(7) для проведения анализа и расчетов.
2. Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>2
обусловлено образованием на плоскости (x,y) искаженных (остроугольных) проекций функции yn + xn =zn .
При проекциях в виде прямоугольных треугольников решения получаются в целых
числах.
3. Теорема Ферма распространяется на всю
плоскость (x,y), кроме II и IV квадрантов при
нечетных n.
Николай
Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС,
Москва 2001 –
2004 год
Т. 396 –90-24
e
–meil:hrendy@rumbler.ru