Геометричні фігури на площині та їх площі
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
ЛУБЕНСЬКА ЗАГАЛЬНООСВІТНЯ ШКОЛА № 3
І-ІІІ СТУПЕНІВ
РЕФЕРАТ
НА ТЕМУ:
ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ НА ПЛОЩИНІ ТА ЇХ
ПЛОЩІ
Виконала: учениця 5-Б класу
Німець Євгенія
Лубни 2007
Вступ
Даний реферат охоплює геометричні фігури, що розглядаються в планіметрії
- розділі геометрії, в якому вивчають фігури на площині, тобто, так би
мовити, у двовимірному світі.
Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма.
Я дам їх визначення, як також визначення кута, трикутника, квадрата,
чотирикутника, ромба, паралелограма, трапеції, многокутника.
Пригадаю, як визначали площі згаданих фігур у часи античності та сучасні методи
обчислення площ.
Точка і пряма
Як вже було зазначено, точка і пряма
є основними геометричними фігурами на площині. Математично, точкою
на площині є об’єкт, два плоскі виміри якого (x і y) прямують до
нуля. Тобто, це об’єкт, що має плоскі координати x і y, але не
має розмірів, тобто довжини і ширини, тобто це „існуюче ніщо”. Як би я не
загострювала кінчик олівця, в надії нанести на площину математичну точку - в
мене нічого не вийде. Реально нарисована точка матиме цілком реальні (хай
навіть менше 0,1 мм!) розміри по x та по y. Таке визначення точки
у математиці було зроблено для спрощення розрахунків.
Як правило, всяку геометричну фігуру прийнято вважати
складеною з точок. Тому прямою на площині (рис.1) є геометричне
місце точок, один з вимірів якого (скажімо довжина) рівний нескінченності, а
інший - ширина, прямує до нуля. Для порівняння, відрізок (рис 2),
як частина прямої, яка складена з усіх точок прямої, що лежать між двома
її точками, має нульову ширину при цілком певній довжині, скажімо
15 см чи 5 м. Півпрямою, або променем (рис.3)
називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать
по один бік від даної на ній точки. Промінь також вважають проведеним у
нескінченність в один бік.
Аналогічно попередньому, яким тонким не був би кінчик мого
олівця, я не зможу накреслити математичну пряму, відрізок чи промінь - вони
матимуть цілком певну ширину.
а
А В
Рис. 2.
Рис.3
Кут
Кутом (рис.4) називається фігура, що складається з двох
різних півпрямих із спільною початковою точкою, яка називається вершиною
кута, а півпрямі - сторонами кута.
Рис.4
Очевидно, що до фігур, зазначених вище, поняття площі незастосовне.
Плоскі геометричні фігури
Чотирикутником взагалі є фігура, складена з чотирьох точок і чотирьох
відрізків, які послідовно їх сполучають. Чотирикутник називають опуклим,
якщо він розміщений в одній півплощині відносно прямої, яка містить будь-яку
його сторону. На рисунках 5 і 6 показано опуклий та неопуклий чотирикутники.
Рис.5 Рис.6
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини,
називають сусідніми сторонами, а сторони, які не мають спільного кінця -
протилежними сторонами.
Прямокутник (рис.7) - це чотирикутник, у якого
всі кути прямі.
b
а
Рис. 7.
Як бачимо з рис.7, геометри античності спочатку розбивали
прямокутник на квадратики, які були одиницями площі (поняття метр і метр
квадратний з’явилось пізніше) і підраховували їх кількість. Тепер
використовується формула Sпрям. = аb.
Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони
рівні (рис.8).
а
Рис.8
Можна також розбити квадрат на n одиниць площі і
знайти їх суму, проте ми користуємося формулою Sквад. = а2.
h
а
Рис.9
Площа паралелограма визначається як добуток його сторони на
висоту, проведену до цієї сторони: Sпарал. = аh.
Ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні
(рис.10).
h
а
Рис.10
Площа ромба визначається так само як і площа паралелограма.
Трапецією називається чотирикутник, у якого
тільки дві протилежні сторони паралельні (рис.11).
b
h
а
Рис.11
Площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ на висоту:
Кругом називається геометричне місце точок площини,
що лежать від даної точки на відстані, не більшій за дане число R, яке
називається радіусом круга (рис.12).
R
Рис.12
Площа круга
визначається рівністю: , де π - число Архімеда, яке рівне відношенню довжини кола до
його діаметра, причому вказане відношення є однаковим для будь-якого
кола. Не буду зупинятися на виникненні числа π, оскільки багато чого, пов’язаного з його
походженням не ясно і дотепер. Доведено ірраціональність числа π. За допомогою комп’ютерів отримані мільйони
десяткових знаків цього числа. Перші знаки його такі: π = 3,14159265358…
Трикутником є фігура, що складається з трьох точок і трьох
прямих, що їх з’єднують. Розрізняють прямокутні та косокутні трикутники
(рис.13, 14)
с
b с b
h
γ
а
а
Рис.13 Рис.14
Оскільки прямокутний
трикутник можна розглядати як половину прямокутника, то площа прямокутного
трикутника рівна .
Взагалі, площа
будь-якого трикутника може бути визначена як половина добутку його сторони на
висоту, проведену до цієї сторони. За рис.14 запишемо: . Існують інші формули для визначення площі
трикутника, наприклад (див. рис.14). Можна також довести формулу Герона для
площі трикутника:
де р -
півпериметр трикутника, а саме .
Якщо плоска фігура
зображена в системі координат (x, y), то площа будь-якої з них
може бути представлена у вигляді визначеного інтеграла. Дана тема вивчається в
11-му класі середньої школи, тому поки що я не буду її торкатися. За допомогою
визначеного інтеграла знаходять площі опуклих і не опуклих криволінійних плоских
фігур.
Для площ n-кутників багатьма великими цього світу
виведені спеціальні формули, запам’ятати які не завжди легко. Тому я зазвичай,
застосовую інший метод обчислення площ багатокутників: всякий n-кутник
може бути розбитий на певну кількість простіших фігур, формули площ яких я
пам’ятаю.