Выполнил:
ст.гр. РТз – 98 – 1
Чернов В.В.
Шифр 8209127
|
Проверил:
Карташов В. И.
____________________
|
Харьков 2003
Задание 1. Выполнить
моделирование на ЭВМ базовой случайной величины (БСВ) Х. Получить выборки
реализаций БСВ объемом n = 170, 1700. Для каждого случая
найти минимальное и максимальное значения, оценить математическое ожидание и
дисперсию. Сравнить полученные числовые характеристики с теоретическими
значениями.
Решение
Базовой
называют случайную величину, равномерно распределенную на интервале (0,1). Моделирование производится при помощи
функции rnd(m) пакета MathCad 2000,
возвращающей значение случайной величины, равномерно распределенной в интервале
0xm.
а) для
выборки объемом 170 (рис. 1.1): Xmin = 0.0078, Xmax
= 0.996.
Первый начальный
момент (математическое ожидание) равен среднему арифметическому значений выборки:
МХ = 0.502
, (1.1)
второй центральный
момент (дисперсия):
D =
0.086
, (1.2)
среднеквадратичное отклонение:
s = 0.293 .
(1.3)
Рисунок 1.1 Выборка объемом 170.
Для
выборки объемом 1700 (рис. 1.2): Xmin = 0.0037, Xmax
= 0.998,
МХ = 0.505
, (1.4)
D
= 0.085
, (1.5)
s
= 0.292 . (1.6)
Рисунок 1.2 Выборка объемом 1700.
Теоретически
значения математического ожидания и дисперсии БСВ рассчиты-ваются из
определения плотности распределения вероятности:
pравн(x) = ,
(1.7)
математическое
ожидание:
Mx = 0.5
, (1.8)
дисперсия:
Dx
=
=0.083 , (1.9)
что хорошо
совпадает с результатами моделирования (1.1) – (1.5).
Задание 2. Получить
выборку реализаций БСВ объемом n = 1700. Построить гистограмму
распределений и сравнить ее с плотностью распределения равномерно распределенной
случайной величины.
Решение
а) выборка
получается аналогично Заданию 1(рис. 2.1):
Рисунок 2.1 Выборка объемом 1700
Приняв Xmin
= 0, Xmax = 1, разбиваем интервал на q = 10 равных промежутков, каждый из которых равен:
DX = .
(2.1)
Количества выборок,
попадающих в каждый из интервалов, частоты попадания, оценки плотности сведены
в табл. 2.1. Гистограмма распределений представлена на рис. 2.2.
Как видно, она достаточно хорошо совпадает с равномерным законом распределения
(1.7).
Таблица 2.1 Результаты оценки плотности распределения
Номеринтер-вала
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
10
|
Диапа-зон значе-ний
|
0-0.1
|
0.1-0.2
|
0.2-0.3
|
0.3-0.4
|
0.4-0.5
|
0.5-0.6
|
0.6-0.7
|
0.7-0.8
|
0.8-0.9
|
0.9-1
|
Коли-чество
попа-даний
|
151
|
174
|
149
|
189
|
190
|
161
|
166
|
182
|
177
|
161
|
Часто-та
по-пада-ния Pi
|
0.089
|
0.102
|
0.088
|
0.111
|
0.112
|
0.095
|
0.098
|
0.107
|
0.104
|
0.095
|
Оцен-ка
плот-ности
pi
|
0.888
|
1.024
|
0.876
|
1.112
|
1.118
|
0.947
|
0.976
|
1.071
|
1.041
|
0.947
|
Рисунок 2.2 Гистограмма распределений
Задание 3. Получить выборку БСВ объемом n =
1700, По этой выборке проверить свойства независимости полученной
случайной последовательности (вычислить 10 значений коэффициента корреляции).
Решение
а) снова получим
выборку значений БСВ объемом n = 1700 (рис. 3.1):
Рисунок 3.1 Выборка объемом 1700
б) значения
математического ожидания и дисперсии:
M = 0.512
, (3.1)
D = 0.088
. (3.2)
в) функция корреляции:
R(j) = , (3.3)
значения R(j)
для j = 1…10 приведены в табл. 3.1 ,
значение R(0) = 0.088 совпадает с дисперсией.
Таблица
3.1 Значения функции корреляции:
j
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
R(j)
|
-9.6·10-4
|
3.53·10-3
|
2.7·10-4
|
4.24·10-3
|
-1.73·10-3
|
6.61·10-4
|
4.11·10-4
|
6.74·10-5
|
3.95·10-4
|
1.12·10-3
|
Задание 4. Выполнить
моделирование случайной величины, распределенной по закону Релея. Объем выборки
n = 17, s2 = 27.
Решение
Ддя
получения случайной величины с заданным законом распределения из БСВ применим
метод обратной функции:
а) для
распределения Релея
p(x) = (4.1)
случайная величина
x = F(x) = (4.2)
равномерно
распределена в интервале 0…1, и может быть задана с помощью БСВ. Решив
уравнение (4.2) относительно x, получаем случайную
величину, распределенную по закону (4.1):
xi = ,
xi = ,
(4.3)
где xi – значения выборки БСВ
Результат
моделирования случайной величины xi представлен на рис. 4.1:
Рисунок 4.1 Выборка случайной величины, распределенной
по закону Релея
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Вентцель Е. С. Теория
вероятностей. М. Физматгиз, 1962. – 246 с.
2.
Тихонов В. И. и др.
Примеры и задачи по статистической радиотехнике. М. – Сов. радио, 1970. – 600
стр.
3.
Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Радиотехнические расчеты на ПК: Справочник. М. – Радио и связь, 1988.
– 304 с.