Псевдоевклидово пространство

В евклидовом пространстве в ортонормированном базисе скалярное произведение определяется по формуле , где , . Отсюда . Но уже из теории относительности в 4^х мерном пространстве времени следует , что длина отрезка вычисляется по формуле . Следовательно , встает задача обобщения скалярного произведения векторов и определения с его помощью «новых» геометрических пространств. Если же векторы заданы координатами в произвольном базисе, то их скалярное произведение определяется с помощью билинейной симметрической формы от наборов по n переменных. Но симметрические билинейные могут быть как различных рангов, так и различных положительных индексов инерции. Это дает возможность для обобщения скалярного произведения и определения обобщенных евклидовых пространств.

Существует и аксиоматический подход к определению евклидова векторного пространства. Обобщая его, можно дать аксиоматическое определение обобщенного скалярного произведения векторов. С помощью евклидова пространства определяется евклидово точечное пространство. По аналогии с этим можно дать определение обобщенных псевдоевклидовых и полуевклидовых точечных пространств. С его помощью определяются псевдоевклидовы и полуевклидовы векторные пространства. Для того, чтобы показать структуру новых пространств, более подробно рассматривается псевдоевклидова плоскость (плоскость Минковского)

Дипломная работа состоит из введения, четырех глав, списка использованной литературы и приложения.

В первой главе дается аналитическое определение обобщенного скалярного произведения векторов в данном n-мерном (векторном) пространстве.

Во второй главе обобщенное скалярное произведение и пространства и определяются с помощью системы аксиом. Показывается эквивалентность аналитического и аксиоматического определения скалярного произведения, а поэтому и всех рассматриваемых пространств.

В третьей главе описывается псевдоевклидово точечное пространство, виды его прямых, плоскостей и сфер. Даётся «наглядная» модель этого пространства.

В последней, четвертой, главе дается один из способов получения «новых» пространств с помощью сфер в псевдоевклидовом пространстве. Этот способ описан на примере сферы в пространстве . Таким образом получена гиперболическая плоскость (плоскость Лобачевского).

В приложение вынесена система аксиом плоскости Лобачевского.

ГЛАВА I.АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

I.1.ОБОБЩЕННОЕ СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ И ПОЛУЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА.

Пусть –n мерное векторное пространство. ={ }-базис, , .Зафиксируем билинейную форму . Преобразованием координат эту форму можно привести к нормальному виду, т.е. к виду , где r≤n.Будем считать что базис B выбран уже такой, что форма имеет нормальный вид.

Определение 1. Обобщенным скалярным произведением векторов называется билинейная форма от наборов координат этих векторов, которая имеет вид , где r≤n.

Свойства

1⁰.

Доказательство.

, =

2⁰ .

Доказательство. ,,,тогда

Определение 2. Обобщенной длиной вектора называется число (обозн.) .

По длине ненулевые векторы разбиваются на 3 типа:

-векторы 1-го рода их длина положительное действительное число.

-векторы 2-го рода их длина чисто мнимое число.

-изотропные векторы их длина равна 0, а сам вектор не нулевой.

3⁰Коллинеарные векторы- векторы одного и того же рода.

Доказательство.

Пусть вектор 1 рода , а вектор коллинеарен ему. Тогда по условию коллинеарности или . Длина вектора >0,т.к.-рода, длина =

= -вектор 1 рода. Аналогично доказывается для 2 и 3 рода.

Прямая называется прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.

Прямая называется прямой 2-го рода, если её направляющий вектор 2-го рода.

Прямая называется изотропной, если её направляющий вектор изотропный.

Определение 3. Векторное пространство называют псевдоевклидовым векторным пространством (полуевклидовым векторным пространством), если на нем определено обобщенное скалярное произведение и r=n (r<n).Число к называется положительным индексом инерции. Псевдоевклидово пространство индекса к обозначают .Если r ранг билинейной формы, а d=n-r её дефект, то полуевклидово векторное пространство индекса к и дефекта d обозначают.

Пусть -множество точек, () псевдоевклидово (полуевклидово) векторное пространство.

Определение 4. Множество точек называют псевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если определено отображение (или) (, принято обозначать ) и выполняются аксиомы

В1.

В2.-n мерное векторное псевдоевклидово(полуевклидово) пространство

индекса к (и дефекта d).

В3.- сюрьективное отображение.

В4.

В5. .

Псевдоевклидово точечное пространство обозначается ,полуевклидово

Так как () есть векторное пространство, тоиявляются аффинными пространствами, т.е. все аффинные свойства пространства сохраняются, в частности.

I.2.ПСЕВДОЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ (ПЛОСКОСТЬ МИНКОВСКОГО)

Рассмотрим частный случай псевдоевклидова точечного пространства при n=2 (т.е. плоскость). Возможны случаи:

1) (евклидов случай)

2)(псевдоевклидов случай)

3)( полуевклидов случай)

4) (изоморфно евклидову случаю)

5)(изоморфно полуевклидову случаю)

Если такие векторы откладывать от начала координат, то они отложатся внутри I и III углов, образованных “биссектрисами” координатных углов .

2).Такие векторы параллельны биссектрисам координатных углов.

3). Эти векторы откладываются от начала координат во II и IV углах.

Так как все коллинеарные векторы есть векторы одного и того же рода , то все прямые можно разбить тоже на три типа:

-Прямая называется прямой 1-го рода, если её направляющий вектор 1-го рода.

-Прямая называется прямой 2-го рода, если её направляющий вектор 2-го рода.

-Прямая называется прямой изотропной, если её направляющий вектор изотропный.

Определение 5. Расстоянием между точками A и B назовем обобщенную длину вектора :. Если A B то . Расстояние может быть действительным числом, нулем , и чисто мнимым числом.

Свойства расстояний:

1⁰ дляА,В.

2⁰ если расстояния одного и того же рода, то выполняется неравенство

Введем вспомогательную систему координат, повернув данную с.к. на 45⁰. Формулы преобразования координат будут:

Тогда

Определение 6. Окружностью называется множество точек плоскости Минковского, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние, на которое удалены все точки окружности от центра, называется радиусом окружности. Пусть С(Х₀,У₀)- центр, r радиус окружности, тогда точка М(Х,У), т.е. или - уравнение во вспомогательной с.к. (в основных координатах ).

Если r>0, то окружность называется окружностью 1 рода.

Если r чисто мнимое число, то окружность называется окружностью 2 рода.

Если r=0, то окружность называется изотропной.

Из уравнения окружности следует, что она изображается гиперболой с центром в С(х₀,у₀). Оси этой гиперболы параллельны осям О_х, О_у, а асимптоты параллельны биссектрисам координатных углов, т.е. параллельны осям О_Х, О_У.

I.3.Движение плоскости МИНКОВСКОГО.

Определение 7. Движением плоскости называют такое аффинное преобразование, которое сохраняет обобщенное расстояние между точками. Выведем формулы движения. Так как движение аффинное преобразование, то его формулы во вспомогательных координатах

(1) .Найдем коэффициенты m_i и n_i так, чтобы сохранялось расстояние между точками. Пусть Тогда

Так как , то

. В левой и правой части стоят многочлены от . Они равны при всех значениях переменных. Это верно тогда и только тогда, когда равны соответствующие коэффициенты:

Решим полученную систему. Возможны случаи:

1) m₁=0.Так как , то n₁ и m₂, следовательно, n₂=0, из 3^го уравнения n₁m₂=1. Если обозначить m₂=v, то n₁=1/v и v-любое, отличное от 0 действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим

(2).

2) n₁=0 так как ,то m₁ и m₂=0, следовательно n₂≠0, из 3^го уравнения n₂m₁=1.Если обозначить m₂=v, то n₁=1/v и v-любое, отличное от 0 действительное число. На a и b никаких ограничений нет. Подставим в (1), получим:

(3)

Итак, всякое движение псевдоевклидовой плоскости во вспомогательной с.к. можно задать формулами (2) или (3). Обратно, если преобразование задано формулами (2) или (3), то оно сохраняет обобщенное расстояние, т.е. является движением Минковского.

Движение, задаваемое формулами (3), называется движением 1-го рода.

Движение, задаваемое формулами (2), называется движением 2-го рода.

Свойства движения.

1⁰ Тождественное преобразование есть движение.

2⁰ Преобразование, обратное движению, есть движение.

3⁰ Произведение 2-х движений есть движение.

Следствие. Множество движений плоскости Минковского есть группа.

4⁰ Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.

Доказательство.

Движение сохраняет расстояние между точками оно сохраняет скалярный квадрат вектора. Пусть a и b –любые вектора.

Рассмотрим частные случаи движений 1-го и 2-го рода

Движения I рода (собственные).

1) v=1; a,b – любые действительные числа. Формулы (3) перепишутся.Они задают параллельный перенос.

2) a=b=0 любая точка М(Х,У) и её образ М’(Х’,У’) лежат на одной гиперболе ХУ=с, т.е. на одной окружности Минковского. По аналогии с евклидовой плоскостью это движение называют гиперболическим поворотом с центром в т. О и коэффициент v.

3)a,b- любые действительные числа, v отличное от 0. Преобразование, задаваемое формулами (3), можно представить как произведение двух преобразований. Пусть . Введем и . Согласно последнему гиперболический поворот, - параллельный перенос и .

Вывод. Всякое собственное движение плоскости Минковского есть либо параллельный перенос, либо гиперболический поворот с центром в начале координат, либо произведение гиперболического поворота и параллельного переноса.

Пусть Найдем двойные точки. Для этого и подставим в (3) и получим . Если v, т.е. f- не параллельный перенос, то из последней системы . Точка С(,)-двойная. Формулы (3) можно переписать

. Но тогда f есть произведение гиперболического поворота с центром в т. С и параллельного переноса на вектор .

Движение 2-го рода (несобственное).

(2).

1) v=1,a=b=0 получим . А это есть формулы осевой симметрии относительно биссектрисы 1-го координатного угла в системе ХОУ, т.е относительно оси О_У в основной системе координат.

2) При общих формулах (2) , где - собственное движение. Действительно, пусть . Тогда .

Вывод. Любое несобственное движение есть либо симметрия относительно основной оси Оу, либо может быть представлено в виде произведения этой симметрии и собственного движения.

I.4.Угол между векторами и прямыми.

Определение 8. Углом между неизотропными векторами и называется, такое число (действительное или комплексное), которое определяется формулой:

(4).

Определение 9.Углом между прямыми ( неизотропными) называется угол между их направляющими векторами.

Свойства углов.

1⁰Для , т.е. углы между сонаправленными векторами равны. Согласно этому , где и сонаправленны с и и имеют длину 1 или i.

2⁰ Если , то , т.е. .

3⁰ Так как все направляющие векторы прямых коллинеарны, то с помощью опр. 9 мы получаем два угла между прямыми.

Рассмотрим угол между векторами одного и того же рода. Пусть это будут векторы 1-го рода (для векторов 2-го рода аналогично). Отложим и от начала координат. Тогда их концы лежат на единичной окружности с центром в начале координат.

Совершим гиперболический поворот так, чтобы вектор повернулся в вектор . При этом повернется в Тогда . Так как вектор – первого рода, то ’ тоже первого рода и он будет откладываться в I и III углах, т.е.. Следовательно ( для векторов одного рода). Отсюда следует, что =- чисто мнимое число, т.е. =, . Число называют действительным углом между векторами одного рода.

Тогда для векторов одного рода. Если использовать график функции у=, то получим:

1) =

2) Если возрастает от 1 до , то возрастает от 0 до

Следовательно, между двумя векторами одного рода угол (с точностью до знака ) определяется однозначно (в отличие от евклидовой плоскости. Там углы это углы между одной и той же парой векторов).

Если вектора разных родов, то является смешенным комплексным числом вида .

Определение 10 Два ненулевых вектора и называются ортогональными, если =0.(или _┴)

Свойства.

1⁰ Изотропный вектор ортогонален сам себе.().

2⁰ Если _┴, то _┴ для

3⁰_┴, а это есть условие сопряженности направлений , относительно гиперболы .Следовательно, перпендикулярные направления плоскости Минковского на модели изображаются направлениями, сопряженными относительно гиперболы

Две прямые называться ортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямая изотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельным ему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярность совпадают.

Пример Дана прямая l и точка A. Построить прямую s_┴ l .

A) l неизотропная прямая;

Задача сводиться к нахождению направления, сопряженного l относительно некоторой окружности Минковского.

Построение

1)Строим окружность Минковского (лучше с центром в т.О)

2) Хорда BD║l

3)C- середина AB

4) ОС- прямая, сопряженная l

5) sA s ║ OC

Ответ: s-искомая прямая

B) Если l изотропная прямая;

Так как изотропная прямая перпендикулярна всем параллельным ей прямым, то sА,

s ║ l (в этом случае параллельность и перпендикулярность совпадает).

Из свойств сопряженности направлений вытекают еще три свойства перпендикулярности прямых.

4⁰ Перпендикуляры к одной прямой параллельны.

5⁰ Через любую точку проходит прямая, перпендикулярная данной, и только одна.

6⁰ Перпендикулярные неизотропные прямые есть прямые разных родов.

I.5.ТРЕУГОЛЬНИК В ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.

Определение 11. Треугольником называют совокупность трех неколлинеарных точек, не лежащих по две на одной изотропной прямой, и трех попарно их соединяющих отрезков.

∆ ABC не является треугольником в плоскости Минковского

∆ MNP является треугольником в плоскости Минковского

Данные точки называют вершинами треугольника, соединяющие их отрезки - сторонами, углы между прямыми, проходящими по сторонам, называют углами треугольника. Обозначение ,.

Углы при вершинах A,B,C обозначим .Рассмотрим треугольник со сторонами первого рода. Пусть ∆ABC – произвольный треугольник в плоскости Минковского и пусть - его наибольшая сторона. Совершим гиперболический поворот вокруг точки А так, чтобы [AB]║Oх . Если провести окружность Минковсого с центром в точке А и радиусом , то она пересечет [AB] в некоторой точке D.Так как C и D на одной окружности, то ., следовательно D- лежит между А и В.

Проведем окружность Минковского с центром в точке В и радиусом а. Она пересечет [AB] в точке К. Тогда .Так как , то К – внутри [AB]. Так как окружности Минковского – гиперболы с осью АВ, то одна из них вогнутостью обращена к А , а другая к В. Поэтому точки D и К распложаться как на чертеже. Следовательно :

, т.е. с>b+a (*).Итак, в треугольнике Минковского большая сторона больше суммы двух других сторон.

Следствия.

1) В плоскости Минковского нет равносторонних треугольников.

2) Если треугольник равнобедренный, то большая сторона является основанием и равна удвоенной боковой стороне.

Так как ,то или с²=a²+b²-2ab ch (1). Получим теорему косинусов для треугольников Минковского со сторонами первого рода.

Если стороны разнородные, то с²=a²+b²-2abcos, но уже будет комплексным числом.

Для треугольников со сторонами одного рода можно вывести «теорему синусов». Рассмотрим . По теореме косинусов ch=(b²+c²-a²)/2bc, ch=(a²+c²-b²)/2ac, ch=(a²+b²-c²)/2ab, воспользуемся формулой sh²a=ch²a-1. Получим

.Так как a>0,b>0,c>0, то получим .

Используя теоремы «косинусов» и «синусов», можно решать треугольники в плоскости Минковского.

I.6.ЧИСЛОВАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ МИНКОВСКОГО.

Наряду с комплексными числами математика знает еще 2 другие системы «чисел»- так называемые «двойные числа» и «дуальные числа».Рассмотрим «двойные числа»

Определение 12.Двойное число- выражение вида z=x+ey, где x,y- вещественные, а «двойная единица» е (это тоже есть «число особого вида», несравнимое с вещественными) удовлетворяет условию е²=+1.

Сложение и вычитание двойных чисел определяется аналогично сложению и вычитанию комплексных чисел:

(x+ey)(x₁+ey₁)=(xx₁)+e(yy₁) (1)

А умножение

(x+ey) (x₁+ey₁)=(xx₁+yy₁)+e(xy₁+yx₁) (2)

Очевидно, сложение двойных чисел определено и однозначно. Относительно этой операции множество двойных чисел является абелевой аддитивной группой. Умножение двойных чисел для любой их пары определенно и однозначно. Оно удовлетворяет коммутативному и ассоциативному законам. Имеет место закон дистрибутивности. Число 1+0е играет роль единицы при умножении. Следовательно, множество двойных чисел есть коммутативное кольцо с единицей. Обозначим его К.

Из формулы (2) следует что

(x+ey) (x₁+ey₁)=0(3).

Если х,у зафиксировать, то система (3) имеет не нулевые решения , т.е.

х²-у²=0, или . Отсюда следует, что числа ххе являются делителями нуля. Итак, К- коммутативное кольцо с единицей и делителями нуля. Так как в кольце с делителями нуля на делители нуля делить нельзя, то пусть z ххе тогда можно определить z₁/z

Как и в случае с комплексными числами условимся писать x=Rez, y=Imz и введем понятие модуля и аргумента

Для чисел, не являющими делителями нуля, можно ввести аргумент. Для этого надо рассмотреть 2 случая

А. модуль r числа z определяется по формуле r== (где знак числа r совпадает с х). Поэтому , следовательно, существует такое число( которое можно понимать как некоторый угол в плоскости Минковского), что

В. модуль r числа z определяется по формуле r ==(где знак числа r совпадает у). Поэтому , следовательно, существует такое число(которое можно понимать как некоторый угол в плоскости Минковского), что.

Таким образом, каждое двойное число z=x+ey ненулевого модуля можно записать в одной из форм z=r(ch+esh) или z=r(sh+ech). Числа x+ey, где будем называть двойными числами 1-го рода, а если то двойными числами 2-го рода. Произведение (частное)двух одноименных двойных чисел есть число 1-го вида, а произведение (частное) двух разнородных двойных чисел есть число 2-го рода.

После этого аналитического введения перейдем к геометрии.

Полярными координатами точки М плоскости Минковского будем называть ( понимаемое в смысле геометрии Минковского) расстояние ОМ=d_om=r и один из углов xOM=,OM= и yOM=, OM=, в зависимости от того, является ОМ прямой первого или второго рода. Построим числовую модель плоскости Минковского. Для этого каждой точке М(х,у) поставим в соответствие двойное число z=x+ey. Если l₁ и l₂- биссектрисы координатных углов, то для внутренних точек тех углов, внутри которых проходит Ох, . Для другой пары вертикальных углов. Если , т.е z- делитель нуля, то точка, соответствующая числу z лежит на l₁ или l₂, соответствующее двойное число z можно представить в виде z=r(ch+esh) или z=r(sh+ech) в зависимости от того, какое из равенств =xOM или =yOM имеет место.

Расстояние d_z_,_z1 между двумя точками плоскости Минковского будет задаваться формулой d_z_,_z1=

Угол между прямыми (z₀,z₁),(z₀,z₂), соединяющими точи z₁ и z₂ с одной и той же точкой z₀, выражается формулой,где величину называют простым отношением трёх точек z₂,z₁,z₀ плоскости Минковского. Используя формулу Arg(z/z₁)=Argz-Argz₁, получим =, где

Поскольку прямая (z₁,z₂), очевидно, представляет собой множество таких точек z , что

ImV(z,z₁;z₂)=0, где - простое отношение трех точек плоскости Минковсого, то уравнение прямой плоскости Минковского имеет вид или , где В и С двойные числа. Данное уравнение задаёт некоторую прямую линию плоскости Минковского, а именно прямую, соединяющую такие точки z₁и z₂, что Окружность с центром z₀ и квадратом радиуса , причем r>0, представляет собой множество таких точек z, что

или , при этом необходимо потребовать что бы все разности были числами одного вида. Таким образом, уравнение окружности имеет вид

или . Обратное, каждое уравнение вида определяет окружность плоскости Минковского, центр z₀ и квадрат радиуса p которой определяется из соотношений

Окружность плоскости Минковского, проходящая через точки z₁,z₂ и z₃ это множество таких точек z, что , т.е. что ImW(z₁,z₂;z₃,z)= Im=

=,где W(z₁,z₂;z₃,z)= -( сложное или двойное ) отношение четырех точек z₁,z_2,z₃,z плоскости Минковского. Таким образом, уравнение рассматриваемой окружности имеет вид = или вид

, где коэффициенты А,В и С определяются по формулам

Данное уравнение и уравнение равносильны (для того что бы обратить данное уравнение в достаточно умножить данное на е).

Соотношении ImW(z₁,z₂;z₃,z)= представляет собой (необходимое и достаточное ) условие принадлежности четырех точек z₁,z_2,z₃,z плоскости Минковского одной окружности .

Движения плоскости Минковского можно описать как преобразования, переводящие точку z в z’, где z’=pz+q.

Глава II.АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛУЕВКЛИДОВЫХ И ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

II.1Аксиоматическое определение псевдоевклидовых и полуевклидовых векторных пространств.

Пусть L_n – n –мерное линейное пространство и пусть на L_nопределенна бинарная операция (L_nx L_n) R, при которой каждой упорядоченной паре векторов ставиться в соответствие некоторое число. Результат этой операции, для упорядоченной пары a, b, будем обозначать (a,b) (или ).

Определение 13. Бинарная операция называется обобщенным скалярным произведением, если выполняются следующие аксиомы

А₁ Для любой упорядоченной пары векторов из L_nпроизведение определенно и однозначно.

А₂ = для

А₃ для и

А₄ для

А₅ n линейно независимых векторов и такие l и k где ,

>0 для ,

<0 для l<j

=0 для k<p;

для s,q

Определение 14. Линейное пространство L_n, на которомопределенно обобщенное скалярное произведение векторов, называют псевдоевклидовым (полуевклидовым) линейным пространством, если k=n (k<n).

Число l называют индексом псевдоевклидова (полуевклидова) пространства, в случае полуевклидова пространства число d=n-k называют его дефектом, обозначения - псевдоевклидово пространство индекса l, полуевклидово пространство индекса l и дефекта d.

Определение 15. Обобщенной длиной вектора называется число (обозн.)

По длине ненулевые векторы разбиваются на 3 типа:

-векторы 1-го рода их длина положительное действительное число.

-векторы 2-го рода их длина чисто мнимое число.

-изотропные векторы их длина равна 0, а сам вектор не нулевой.

Коллинеарные не нулевые векторы- векторы одного и того же рода.

Доказательство.

если >0, то и >0;

если число чисто мнимое то и , тоже число чисто мнимое (т.к.);

если=0, то =0

Определение 16. Вектор длины 1 или i называется нормированным.

Свойство Всякий неизотропный вектор можно нормировать.

Доказательство. Пусть а-неизотропный вектор, тогда , и длина вектора

Определение 17. Углом между неизотропными векторами и называется, такое число (действительное или комплексное), которое определяется формулой.

Свойство. Если а и b неизотропные вектора и , то

Доказательство

Определение 18. Два ненулевых вектора и называются ортогональными, если =0 (или _┴).

Свойства.

1⁰ Изотропный вектор ортогонален сам себе (.

2⁰ Если _┴, то ()_┴ для

Определение 19. Если - псевдоевклидово пространство, то базис, векторы которого нормированы и попарно ортогональны, называют ортонормированным

Базис, о котором идет речь в аксиоме А₅, является ортогональным. Разделим каждый из его неизотропных векторов на его длину, получим ортонормированный базис. Следовательно, хотя бы один ортонормированный базис существует.

Теорема 1. В любом базисе обобщенно скалярное произведение векторов задается билинейной симметрической формой от набора координат этих векторов.

Пусть базис, ,

(А₃ , А₄)=

Так как , то получили билинейную форму от двух наборов переменных.

Так как ( аксиома А₂), то форма симметричная.

Определение 20. Если полуевклидово пространство, то базис (d=n-k) называется ортонормированным, если ортонормированна система , а - линейно независимая система попарно ортогональных изотропных векторов.

Теорема 2. В ортонормированном базисе , в котором

, ;

Скалярное произведение векторов , имеет вид

Если любой базис в(), то по теореме 1 скалярное произведение в этом базисе задается симметрической билинейной формой. По свойствам симметрической билинейной формы всякую такую форму можно привести по формулам преобразования координат к нормальному виду

Пусть новый базис, тогда , следовательно ортонормированный базис.

Итак доказана теорема. От любого базиса в () можно преобразованием координат перейти к ортонормированному базису.

Теорема 3. Для любого ортонормированного базиса числа l и k постоянны.

Это следует из закона инерции билинейной симметрической формы.

Вывод 1 . В пространстве () всегда можно выбрать базис так , что бы скалярное произведение векторов задавалось формулой

Вывод 2. Определение обобщенного скалярного произведения и пространств (), данные в главах I и II, эквивалентны.

II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы точечные пространства ().

Пусть () - множество точек, () псевдоевклидово (полуевклидово) векторное пространство.

Определение 21. Множество точек () называют псевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если определено отображение (или ) и выполняются аксиомы

В1.0.

В2. () -n мерное векторное псевдоевклидово(полуевклидово) пространство

индекса l (и дефекта d).

В3.- сюрьективное отображение.

В4.

В5. .

Замечание. Если, то принято вектор а обозначать .

Псевдоевклидово точечное пространство обозначается ,полуевклидово

Так как () являются векторными пространствами, то () являются аффинными пространствами, т.е. все аффинные свойства пространств () сохраняются. Пространство и определяется на одном и том же векторном пространстве L_n , поэтому их аффинные свойства одни и те же. Например, прямой, определяемой точкой А и вектором ,. Так как все вектора ,, образуют одномерное векторное подпространство в L_n,то прямую можно определить так , где L₁- одномерное подпространство в L_n. Аналогично можно определить s-плоскости. Плоскостью П_А,_Ls, определяемой точкой А и s-мерным векторным подпространством , называют П_А,_Ls=.

Так как все вектора () одного рода, то все направляющие вектора прямой одного рода, поэтому прямые тоже можно классифицировать.

Прямая называется прямой 1-го рода , если все её направляющие вектора 1-го рода.

Прямая называется прямой 2-го рода , если все её направляющие вектора 2-го рода.

Прямая называется изотропной, если все её направляющие вектора изотропные.

Из аффинных свойств пространства следует, что :

1⁰Две различные прямые имеют не более одной общей точки;

2⁰Через две различные прямые проходит прямая и только одна;

3⁰Две пересекающиеся прямые лежат в одной и только одной 2-плоскости и т.д.

Определение 22. Две прямые называться ортогональными, если ортогональны их направляющие векторы. Если прямая изотропна, то любой её направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельным ему векторам. Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярность совпадают.

Аффинным репером называется совокупность точки и базиса, ортонормированным репером называется совокупность точки(начала координат) и ортонормированного базиса. Координатами вектора , с координатами точек A B, являются

=()

Определение. 23. Расстоянием между точками A и B назовем обобщенную длину вектора . Если A B то . Расстояние может быть действительным числом, нулем , и чисто мнимым числом.

Определение 24. Движением пространства () называют такое аффинное преобразование, которое сохраняет обобщенное расстояние между точкам

Свойства движения.

1⁰ Тождественное преобразование есть движение.

2⁰ Преобразование, обратное движению, есть движение.

3⁰ Произведение 2-х движений есть движение.

Следствие. Множество движений пространства () есть группа.

4⁰ Движение сохраняет обобщенное скалярное произведение.

Определение 25. Сферой в пространстве () называют множество, точек, равноудаленных от данной точки. Данная точка называется центром сферы. Расстояние, на которое все точки удаленны от ее центра, называют радиусом.

Если r>0, то сфера называется сферой 1 рода.

Если r чисто мнимое число, то сфера называется сферой 2 рода.

Если r=0, то сфера называется изотропной

Обозначим S(С,r) сферу радиуса r и с центром в точке с. Пусть R= ортонормированный репер, С -центр сферы и r (, или где , или r=0) –радиус сферы. Если М, то М S(С,r)(по определению).Это уравнение равносильно, перепишем его в координатном виде - получили уравнение сферы. Для сферы первого рода r²>0, для сферы второго рода r²<0, для изотропной сферы r²=0.

Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО .

III.1.Псевдоевклидово пространство
(пространство Минковского)

Пусть скалярное произведение в базисе задано формулой , где , , тогда в репере R= расстояние между точками будет , где и . Прямые в могут быть, очевидно, всех трех видов.

Любая плоскость П, задается точкой М₀ и подпространством L₂=<a,b> и может быть либо евклидовой, либо псевдоевклидовой, либо полуевклидовой. Убедимся в этом.

1) Рассмотрим L₂=<e₁,e₂>. Если m и n и m=x₁e₁+y₁e₂, n=x₂e₁+y₂e₂ , то , т.е. L₂-евклидово пространство и плоскость П-евклидова.

2) Пусть L₂=<e₁,e₃>. Если m и n и m=x₁e₁+z₁e₃, n=x₂e₁+z₂e₃ , то , т.е. L₂-псевдоевклидово пространство и плоскость П-псевдоевклидова.

3) L₂=<e₁,e₂+e₃>. т.е. , это значит что, в пространстве L₃. Если и ,, то . Отсюда следует что, плоскость П есть полуевклидова.

Свойства плоскостей в

1)Любая плоскость, параллельная евклидовой, полуевклидовой или псевдоевклидовой, является евклидовой полуевклидовой или псевдоевклидовой соответственно. Это утверждение следует из того, что параллельные плоскости имеют одно и тоже направляющее векторное подпространство.

2)Пересечение двух евклидовых плоскостей или евклидовой и псевдоевклидовой, или евклидовой и полуевклидовой плоскостей может быть либо пустое множество, либо евклидова прямая. Это следует из того, что =, но в L₂ все вектора 1го рода, поэтому L₁ состоит только из векторов 1го рода, следует что L₁ определяет прямые 1го рода, т.е. евклидовы прямые.

3)Пересечение псевдоевклидовой плоскости с псевдоевклидовой плоскостью или с полуевклидовой плоскостью может быть либо пустое, либо прямая первого рода, либо изотропная прямая.

4)Пересечение двух полуевклидовых плоскостей либо пустое, либо прямая 1го рода.

Сфера S(С,r) радиуса r и с центром в точке С в пространстве имеет в выбранном нами базисе уравнение . Для сферы первого рода r²>0, для сферы второго рода r²<0, для изотропной сферы r²=0.

III.2.Наглядная модель пространства

1)Вектор изотропный . Концы таких векторов – это точки конуса с вершиной в начале координат. Изотропные вектора будут откладываться на поверхности этого конуса (вектора а₁,а₂,а₃ изотропные).

2) Вектор вектор первого рода . Такие векторы, отложенные от начала координат, распложаться вне конуса (вектора b₁,b₂,b₃ – вектора первого рода).

3) Вектор вектор второго рода . Такие векторы, отложенные от начала координат, распложаться внутри конуса (вектора c₁,c₂, – вектора второго рода).

Все евклидовы плоскости будут параллельны тем проходящим через т.О плоскостям, которые имеют с конусом одну общую точку О. Все псевдоевклидовы плоскости параллельны тем плоскостям, которые проходят через т.О и пересекают конус по двум образующим. Все полуевклидовы плоскости параллельны тем проходящим через О плоскостям, которые касаются конуса.

На этой модели сфера будет изображаться

- при r²>0 однополостным гиперболоидом с центром и асимптотическим конусом С,

- при r²<0 двуполостным гиперболоидом с тем же центром и тем же асимптотическим конусом,

- при r²=0 асимптотическим конусом.

На чертеже изображены сферы с центром в начале координат.

Угол между неизотропными ненулевыми векторами определим, как и на плоскости , формулой .

Два ненулевых вектора назовем ортогональными. Если ,, то _┴ и . А это есть условие сопряженности относительно конуса . Так как относительно этого конуса каждый ненулевой вектор имеет сопряженные векторы и все сопряженные ему векторы образуют двумерное векторное пространство, то

1⁰Через любую точку проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и только одна;

2⁰Из любой точки на плоскость можно опустить перпендикуляр и только один;

3⁰Все плоскости, перпендикулярные данной прямой, параллельны.

Глава IV Гиперболическая плоскость Г₂.

IV.1.Гиперболическая плоскость Г₂.

Зафиксируем в сферу S действительного радиуса (r²>0). Можно считать, что центр сферы совпадает с началом координат. Построим гиперболическую плоскость следующим образом: «точкой» этой плоскости будем считать A=(A₁,A₂) пару диаметрально противоположных точек сферы S.

«Прямой» гиперболической плоскости будем называть множество «точек», лежащих в пересечении сферы S с любой плоскостью, проходящей через точку О.

Свойства гиперболической плоскости.

1⁰Через любые две «точки» проходит «прямая» и только одна.

Доказательство.

Даны две «точки», т.е. различные пары A(A₁,A₂) и В=(В₁,В₂) однополосного гиперболоида. Эти пары точек лежат в одной и только одной евклидовой плоскости П, причем П.Такая плоскость пересекает сферу S . По определению, линия пересечения является «прямой». На наглядной модели такая прямая изобразиться либо эллипсом (прямая АВ), либо гиперболой (прямая АС).

2⁰Через любую «точку» проходит бесконечно много «прямых», не пересекающих дан ную прямую.

Доказательство.

Пусть дана «прямая» а и пусть - евклидова плоскость в которой она лежит. Проведем евклидову прямую t║(Ох) и возьмем точки В₁ и С₁ на t вне сферы (т.е. вне гиперболоида). Пусть D=(D₁,D₂) – данная точка «точка» и т.. Проведем евклидовую прямую l, пересекающую (Oz) и параллельную (Ox). Она пересечет асимптотический конус в точках K и P. Возьмем B₁ между точками K и O₁, B₂ – диаметрально противоположная ей точка. Через точки (В₁,В₂) и (D₁,D₂) пройдет плоскость П, П.Кроме того (евклидова прямая), t=(B₁,B₂). Так как (B₁,B₂) проходит внутри асимптотического конуса, то она с этим конусом, а поэтому и с однополостным гиперболоидом (т.е. сферой) не пересекается. Если , то и . Так как точек B , лежащих между K и O₁ ,бесконечно много, то

прямых вида b тоже бесконечно много.

Уже по этим свойствам гиперболическая плоскость похожа на плоскость Лобачевского. Можно показать, что она является моделью этой плоскости. Если зафиксировать гиперболическую плоскость и назвать каждую ее «точку» точкой Лобачевского, каждую прямую- «прямой» Лобачевского и каждое движение псевдоевклидова пространства, сохраняющее фиксированную сферу, движением Лобачевского, то все аксиомы планиметрии Лобачевского выполняются.

Мы только что проверили аксиому I₁. Аксиомы I₂, I₃выполняются очевидно. Доказательство свойства 2⁰ есть проверка аксиомы IV*. Аксиомы II иY групп выполняются очевидно, так как термин «лежать между» здесь будет таким же как и в евклидовом пространстве, и все сечения однополостного гиперболоида есть непрерывные линии. Верность аксиом III группы будет вытекать из свойств движения псевдоевклидова пространства.

Заключение.

Материалы дипломной работы могут быть использованы для проведения спец. курса «Многообразия геометрий». Они иллюстрируют межпредметные связи между линейной алгеброй, билинейными формами и неевклидовыми геометриями.

Приложения.

Система аксиом Лобачевского

I. Аксиомы принадлежности

I₁. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, проходящая через эти точки, и притом только одна.

I₂. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

I₃.Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

II. Аксиомы порядка

Эти точки связаны с отношением «лежать между». Если точка B лежит между A и C, то обозначение B│AC.

II₁. Если A│ВС, то А│СВ.

II₂. Для любых двух различных точек А и В существуют такие точки C и D, что С│АВ и А│BD.

II₃. Из трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

На основе этой аксиомы вводится понятие отрезка. Отрезком AB называется множество, состоящее из точек A и B и всех точек, лежащих между ними.

II₄.(аксиома Паша). Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, если прямая не проходит ни через одну из данных точек и пересекает один из определяемых ими отрезков, то она пересекает один и только один из двух оставшихся.

III. Аксиомы движения.

III₁. Движение есть однозначное отображение, при котором точки отображаются на точки, прямые на прямые.

III₂. Движение сохраняет отношение «лежать на».

III₃. Движение сохраняет отношение «лежать между».

III₄.Отображение, обратное движению, есть движение.

III₅. Произведение двух движений есть движение.

Репером называют совокупность фиксированной точки О, луча с началом в этой точке и полуплоскости, граница которой сдержит данный луч.

III₆. Для любой упорядоченной пары реперов существует и только одно движение, переводящее первый репер во второй.

IV*.

Для любой данной прямой через любую точку, не лежащую на ней точку, проходят по крайней мере две различные прямые, не пересекающие данную прямую.

V. Аксиома Дедекинда.

V. Любое дедекиндово сечение на множестве точек ориентированной прямой имеет хотя бы одну граничную точку.

Список литературы.

Андреева З.И, Шеремет Г.Г. Псевдоевклидова плоскость (плоскость Минковского) //в сб. Актуальные проблемы обучения математике т.3: Материалы Всероссийской научно-практической конференции.- Орел: Изд. ОГУ,2002.

Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства.-М.:Наука,1978.

Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.-М.:, Наука, 1972.

Псевдоевклидово пространство