Справочник по геометрии (7-9 класс)

  • Вид работы:
    Учебное пособие
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    24,33 kb
  • Опубликовано:
    2008-12-09
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Справочник по геометрии (7-9 класс)















Выполнил:

ученик класса

средней школы 135

Матвеев Евгений.

Руководитель проекта:

Очеретина Т.В.

                                                                                                               

 

 

 

 

 

Казань 2004 г.

7 класс.

Глава I.

Точки, прямые, отрезки.

 

Через любые две точки                                       Если две прямые имеют общую

можно провести прямую,                                  точку, то они пересекаются.

и притом только одну.                                                           

                                                        

Прямая а и точки А и В.

                                                                                           Прямая а и b пересекаются в точке О.

 

Две прямые либо имеют только одну общую точку,

либо не имеют общих точек.

 

 

Угол.

 

Угол – это геометрическая фигура,                 Угол называется развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей,          если обе его стороны

 исходящих из этой точки.                              лежат на одной прямой.

                                                

 Угол с вершиной О и сторонами h и k.                       Развёрнутый угол с вершиной С

                                                                                                        и сторонами p и q.

                                                                                                      

Развёрнутый угол = 180º;                                 Неразвёрнутый угол < 180º .      

 

Луч, исходящий из вершины угла и                  Два угла, у которых одна общая

делящий его на два равных угла,                     сторона общая, а две другие

называется биссектриса угла.                       являются продолжениями одна                                                                                                                                                                                                 

                                                                           другой, называются смежными.

Два угла,  называются вертикальными,    

если стороны одного угла являются              Сумма смежных углов = 180º.

продолжениями сторон другого.                         

                                                                           Две пересекающиеся прямые

Вертикальные углы равны.                            называются перпендикулярными,                                              

                                                                          если они образуют 4 прямых угла.

                                                                                      

 

Глава I I.

Треугольники.

 

Треугольник – геометрическая фигура,                   РАВС = АВ+ВС+СА.

кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-

щих на 1 прямой, соединённых отрезками.    

                                         В равных треугольниках против

Треугольник  с вершинами А, В, С и            соответственно равных сторон

Сторонами а, b, c.                                         лежат равные углы, также против

                                                                соответственно равных равных

                                                                           углов лежат равные стороны.

Теорема: Если 2 стороны и угол            Теорема: Из точки, не лежа-

 между ними 1-го треугольника                 щей на прямой, можно провести

 соответственно равны 2 сторонам         перпендикуляр к этой, и притом

и углу между ними другого                          только один.

 треугольника, то треугольники равны.

 

Отрезок, соединяющий вершину треуг-       Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,

ка с серединой противоположной сто-        соединяющий вершину треуг-ка

роны, называется медианой треуг-ка.     с точкой противоположной сторо-                                                             ны, называется бисс-сой треуг-ка.

Перпендикуляр, проведённый из верши-

ны треуг-ка к прямой, содержащей          Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,

противоположную сторону, называ-       называется равнобедренным.

ется высотой треуг-ка.

                                        Теорема: В равнобедренном треуг-ке      

       ВН - высота треуг-ка АВС.                    углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном       Высота равнобедренного треуг-ка, про-

треуг-ке бисс-са, проведённая        ведённая к основанию, является медианой

к основа-нию, является                   и бисс-сой.

медианой и высотой.

                                                            Медиана, проведённая к основанию, явля-

                                                           ется высотой и бисс-сой.

 

 

 

 

Теорема: Если сторона и 2              Теорема: Если три стороны 1го

прилежащих к ней угла 1го                  треуг-ка соответственно равны 3ём

треуг-ка соответственно рав-           сторонам другого треуг-ка, то такие

ны стороне и 2 прилежащим к         треуг-ки равны.

ней углам другого треуг-ка, то

такие треуг-ки равны.   

Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.

 

 

 

                                                                                                                                                                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава I I I.

Параллельные прямые.

 

Определение: Две прямые    Теорема: Если при пересечении 2 пря-

на плоскости параллельны,        мых секущей накрест лежащие углы рав-

если они не пересекаются.         ны, то прямые параллельны.

                   Теорема: Если при пересечении 2 пря-            

Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.                    мых секущей соответственные углы рав-

Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.                       ны, то прямые параллельны.

Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересече-   Теорема: Если две параллельные пря-         

нии 2 прямых секущей сумма      мые пересечены секущей, то накрест

 односторонних углов равна        лежащие углы равны.

180º, то прямые параллельны.

                                                           Теорема: Если две прямые пересечены

Теорема: Если две парал-        секущей, то сумма односторонних углов

лельные прямые пересечены        равна 180º.

секущей, то соответствен-

ные углы равны.



                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава IV.

Соотношения между сторонами

и углами треугольника.

                                           

Теорема: Сумма углов       Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-    

 треуг-ка = 180º.                      уг-ка, не смежных с ним.

В любом треугольнике либо   Теорема: В треуг-ке против большей сто-

все углы острые, либо два      роны лежит больший угол, против большего

два угла острые, а третий    угла лежит большая сторона.

тупой или прямой.

В прямоугольном треуг- ке гипотенуза    Если два угла треуг-ка равны, то больше катета.                                           треуг-к – равнобедренный.

 

Теорема: Каждая сторона      Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на

треугольника меньше суммы      одной прямой, справедливы неравенства:

2 других сторон.                             АВ<AB+BC, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.

Сумма двух острых углов пря-     Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий

моугольного треуг-ка = 90º.         против угла в 30º, равен ½ гипотенузы. 

Если катет прямоугольного треуг-   Если катеты 1го прямоугольного треуг-

ка = ½ гипотенузы, то угол, лежа-   ка соответственно = катетам другого

щий против этого катета, = 30º.     , то такие треуг-ки равны.

Если катет и прилежащий к нему    Теорема: Если гипотенуза и острый

острый угол 1го прямоугольного      угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-   

треуг-ка соответственно равны    ветственно равны гипотенузе и остро-

катету и прилежащему к нему     му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому углу другого, то такие

треугольники равны.                      Теорема: Если гипотенуза и катет 1го

                                                          прямоугольного треуг-ка соответствен-                   

Теорема: Все точки каж-          но равны гипотенузе и катету другого,

дой из 2 параллельных прямых             то такие треугольники равны.

равноудалены от другой прямой.

                                                               

Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных прямых до

другой прямой называется прямой называется расстоянием между

этими прямыми.

                                                     8 класс.

 

Глава V.

Многоугольники.

 

Сумма углов выпуклого n-угольника    В параллелограмме противоположные  

= (n-2)180º.                                            стороны равны и противоположные

                                                                углы равны.

Диагонали параллелограмма точ-

кой пересечения делятся пополам.    Если в 4-угольнике 2 стороны равны и

                                                               параллельны, то этот 4-угольник – па-

                                                              раллелограм.

Если в 4-угольнике противопо-

ложные стороны попарно равны,     Если в 4-угольнике диагональю пересе-

то этот 4-угольник – параллело-      каются и точкой пересечения делятся

грамм.                                                   пополам, то этот 4-угольник – парал-

                                                              лелограмм.

Трапецией называется 4-угольник,  

у кот-го 2 стороны параллельны, а   Прямоугольником называется парал-

2 другие стороны не параллельны.    лелелограмм, у кот-го все углы прямые.

                                                                

Диагонали прямоугольника равны.    Если в параллелограмме дигонали равны,

                                                              то этот параллелограмм – прямоуголь-

Ромбом называется параллело-        ник.

грамм, у кот-го все стороны

равны.                                                  Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-

                                                             ны  и делят его углы пополам.

Квадкатом называется прямо-

угольник, у кот-го все стороны       Все углы квадрата равны.

равны.

                                                                   Диагонали квадрата равны, взаимно

Фигура называется симметричной     перпендикулярны, точкой пересечения

относительно прямой а, если для             делятся пополам и делят углы

каждой точки фигуры симметричная               квадрата пополам.

ей точка относительно прямой а

также принадлежит этой фигуре.    Прямая а называется осью симметрии.

Фигура называется симметричной    Точка О называется центром симмет-

относительно точки О, если для        рии фигуры.

каждой точки фигуры симметрич-

ная ей точка относительно точки О         

также принадлежит этой фигуре.         

ГлаваVI.

Площадь.

 

Равные многоугольники имеют       S квадрата равна квадрату его стороны.

Равные S.

 

Если многоугольник составлен из     Теорема: S прямоугольника = про-

нескольких многоугольников, то       изведению его смежных сторон.

Его S = сумме площадей этих

многоугольников.                                Теорема: S параллелограмма = про-

                                                              изведению его основания на высоту.

Теорема: S треугольника =

= произведению его основания       S прямоугольного треугольника = 1/2 

на высоту.                                         произведения его катетов.

Если высоты 2ух 3-угольников         Теорема: Если угол 1го 3-угольника

равны, то их S относятся                равен углу другого 3-угольника, то S

как основания.                                    этих 3-угольников относятся как про-

                                                            изведения сторон, заключающих равные

Теорема: S трапеции = про-      углы.

изведению полусуммы её осно-

ваний на высоту.                          Теорема: В прямоугольном 3-угольни-

                                                            ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-

Теорема:  Если квадрат 1ой     тов катетов.

стороны 3-угольника = сумме

квадратов 2 других сторон, то

3-угольник прямоугольный.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава VII.

Подобные треугольники.

 

Определение: 2 3-угольника        Теорема: Отношение S 2ух подоб-

называются подобными, если их       ных 3-угольников = квадрату коэф-

углы соответственно равны и           фициента подобия.

стороны 1го 3-угольника про-

порционально сходственны                Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь-

сторонам другого.                                 ника соответственно = 2ум углам

                                                                 другого, то такие 3-угольники по-

Теорема: Если 2 стороны 1го       добны.

3-угольника пропорциональны 2ум

сторонам другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-

нами, равны, то такие 3-угольники подобны.

 

Теорема: Если 3 стороны 1го      Теорема: Средняя линия параллель-

3-угольника пропорциональны          на 1ой из его сторон и равна ½ этой

3ём сторонам другого, то такие     стороны.

3-угольники подобны.

                                                        

sin острого угла прямоугольного      cos острого угла прямоугольного 3-уголь-

3-угольника – отношение                  ника – отношение прилежащего катета 

противолежащего катета к            к гипотенузе.

гипотенузе. 

                                                                   tg угла = отношению sin к cos 

tg острого угла прямоугольного            этого угла: tg = sin/ cos.

3-угольника – отношение противо-

лежащего катета к прилежащему.          Основное тригонометрическое

                                                                                       тождество:

Если острый угол 1го прямоугольного                    sin2α+ cos2α=1. 

3-угольника = острому углу другого прямо-

угольного 3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.

 

 

x

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sinx

0

1/2

2/2

3/2

1

0

-1

0

cosx

1

3/2

2/2

1/2

0

-1

0

1

tgx

0

1/ 3

1

3

0

0

ctgx

3

1

1/ 3

0

0

 

0

П/6

П/4

П/3

П/2

П

3П/2

 

 

 

Окружность.

 

Если расстояние от центра окруж-     Если расстояние от центра окруж-

ности до прямой <  радиуса, то пря-    ности до прямой = радиуса, то пря-

мая и окружность имеют 2 общие       мая и окружность имеют 2 общие

точки. Прямая является секущей.         точки. Прямая является касательной.

 

Если расстояние от центра окруж-      Теорема: Касательная к окруж-

ности до прямой > радиуса, то пря-      ности перпендикулярна к r, прове-

мая и окружность не имеют общих      дённому в точку касания.

точек.

                                                                     Теорема: Если прямая проходит

Отрезки касательных к окружнос-        через конец r, лежащий на окруж-

ти, проведённые из 1ой точки, рав-        ности, и перпендикулярна к этому

ны и составляют равные углы с              r, то она является касательной.

прямой, проходящей через эту точ-

ку и центр окружности.                          Дуга является полуокружностью.

Угол с вершиной в центре окруж-         Если дуга АВ окружности с центром

ности — её центральный угол.              О < полуокружности или является

                                                                   полуокружностью, то её градусная

Сумма градусных мер 2ух дуг ок-          мера считается равной градусной

ружности с общими концами =            мере центрального угла АОВ. Если же

= 360°.                                                      дуга АВ > полуокружности, то её

                                                                  градусная мера считается =

Угол, вершина кот-го лежит на          = 360°–<АОВ.

окружности, а стороны пересе-

кают окружность, называется           Теорема: Вписанный угол измеряя-

вписанным углом.                                   ется ½ дуги, на кот-ую он опирается.

 

Луч ВО совпадает с 1ой из сто-          Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если

рон угла АВС.                                         луч ВО пересекает дугу АС.

 

Луч ВО не делит угол АВС на 2          Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту

угла и не совпадает со сторона-        же дугу, равны.

ми этого угла, если луч ВО не

пересекает дугу АС.                             Вписанный угол, опирающийся на полу-

                                                                окружность, -- прямой.

 

 

 

 

 

Теорема: Если 2 хорды ок-            Теорема: Каждая точка бисс-сы

ружности пересекаются, то            неразвёрнутого угла равноудалена

произведение отрезков 1ой                от его сторон. Каждая точка, ле-

хорды = произведению отрез-           жащая внутри угла и равноудалённая

ков другой хорды.                                 от сторон угла, лежит на его бисс-се.

 

Бисс-сы 3-угольника пересека-           Серединным перпендикуляром к отрезку

ются в 1ой точке.                                называется прямая, проходящая через

                                                               середину отрезка и перпендикулярная

Теорема: Каждая точка се-        к нему.

рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов     Серединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка,        нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез-    точке.

ка, лежит на серединном перпен-

дикуляре.                                               Теорема: в любой 3-угольник мож-

                                                                но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3-угольника

(или их продолжения) пересека-      В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке.                               окружность.

 

 

Теорема: Около любого треу-      В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж-    противоположных углов = 180°.

ность.

 

Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава IX.

Векторы.

 

Физические величины, характери-      Определение: Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост-         го указано, какой из его концов счи-

ранстве – векторные.                           тается началом, а какой – концом,

                                                                 называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

                                                                 Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

 коллинеарными, если они лежат        Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на             то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар-             Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору.                           ложно, то они противоположно напра-

                                                                влены.

Определение: Векторы,

называются равными, если               От любой точки М можно отложить 

они сонаправлены и их дли-              вектор, равный данному вектору ã, и 

ны равны.                                             притом только один.

 

Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

1. ă + č = č + ă (переместительный закон);

2. ( ă + č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).

 

Теорема: Для любых векто-          Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство:       0 есть нулевой вектор.

ă – č = ă + ( - č ).  

 

Для любого числа k и любого векто-    ( kl )ă=k( lă ) (сочетательный закон);

ра ă векторы ă и kă коллинеарны.       ( k+ l )ă=kă+lă(1ый рспред-ный закон);

                                                                k(ă+č )=kă+kč.

 

Теорема: Средняя линия тра-

пеции параллельна основаниям

и = их полусумме.

 

 

 

 

9 класс.

 

Глава X.

Метод координат.

 

Лемма: Если векторы ă и č           Теорема: Любой вектор можно раз-

коллинеарны и ă=0, то сущес-          ложить по 2ум данным неколлинеар-

твует такое число k, что č=kă.       ным векторам, причём коэффициен-

                                                                ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух         ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов.       Каждая координата произведения век-

                                                                тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности           ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот-          на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число.                               Координаты точки М = соответству-

                                                                ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко-       Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала.              равна полусумме соответствующих ко-

                                                              ординат его концов.

                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава XI.

Соотношения между сторонами

и углами 3-угольника.

Скалярное произведение

векторов.

 

Для любого угла α из промежут-        tg угла α(α=90°) называется отношение

ка 0° <α<180° sin угла α называ-        sinα/cosα.

ется ордината у точки М, а cos

угла α – абсцисса х угла α.                   sin(90°-- α)= cos α

 

Теорема: S 3-угольника = ½         Теорема: Стороны 3-угольника про-

произведения 2ух его сторон на       порциональны sin противолежащих

sin угла между ними.                         углов.

 

Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а2=b22-2bс cos α.

Скалярным произведением 2ух           Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов называется произве-           ту его длины.

дение их длин на cos угла между

ними.            

 

Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1; у1) и b( х2; у2 ) выражается формулой:

ab1 х2 1 у2.

 

Нулевые векторы а( х1; у1) и         cos угла а между нулевыми векторами

 b( х2; у2 )перпендикулярны           а( х1; у1) и b( х1; у1) выражается формулой:    

тогда и только тогда, ког-         cos α= х1 х2 1 у2 / х11  х2 + у2.

да х1 х2 + у1 у2 = 0.

 

Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:

а2>0, причём а2>0 при а=0.

аb=bа (переместительный закон).

( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон).

( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).


Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!