Справочник по геометрии (7-9 класс)
Выполнил:
ученик 9А класса
средней школы № 135
Матвеев Евгений.
Руководитель проекта:
Очеретина Т.В.
Казань 2004 г.
7 класс.
Глава I.
Точки, прямые, отрезки.
Через любые две
точки Если две прямые имеют общую
можно провести
прямую, точку, то они пересекаются.
и притом только
одну.
Прямая а и точки А и В.
Прямая а и b пересекаются в точке О.
Две прямые либо имеют только одну общую точку,
либо не имеют общих точек.
Угол.
Угол – это
геометрическая фигура, Угол называется развёрнутым, которая
состоит из точки и двух лучей, если обе его стороны
исходящих из этой
точки. лежат на одной прямой.
Угол с вершиной О и сторонами h и k. Развёрнутый угол с вершиной С
и сторонами p и q.
Развёрнутый угол =
180º; Неразвёрнутый угол < 180º
.
Луч, исходящий из
вершины угла и Два угла, у которых одна общая
делящий его на два
равных угла, сторона общая, а две другие
называется
биссектриса угла. являются продолжениями
одна
другой, называются смежными.
Два угла,
называются вертикальными,
если стороны
одного угла являются Сумма смежных углов = 180º.
продолжениями
сторон другого.
Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы
равны. называются перпендикулярными,
если они образуют 4 прямых угла.
Глава I
I.
Треугольники.
Треугольник –
геометрическая фигура, РАВС =
АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из
3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой,
соединённых отрезками.
В
равных треугольниках против
Треугольник с
вершинами А, В, С и соответственно
равных сторон
Сторонами а, b, c. лежат равные углы, также против
соответственно равных равных
углов
лежат равные стороны.
Теорема: Если 2 стороны и угол Теорема: Из точки, не лежа-
между ними
1-го треугольника щей на прямой, можно провести
соответственно
равны 2 сторонам перпендикуляр к этой, и притом
и углу между
ними другого только один.
треугольника,
то треугольники равны.
Отрезок,
соединяющий вершину треуг- Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой
противоположной сто- соединяющий вершину треуг-ка
роны, называется медианой треуг-ка. с точкой
противоположной
сторо- ны,
называется бисс-сой треуг-ка.
Перпендикуляр,
проведённый из верши-
ны треуг-ка к
прямой, содержащей Треуг-к, у кот-го 2 стороны равны,
противоположную
сторону, называ- называется равнобедренным.
ется высотой
треуг-ка.
Теорема: В равнобедренном треуг-ке
ВН - высота треуг-ка
АВС. углы
при основании равны.
Теорема: В равнобедренном Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке
бисс-са, проведённая ведённая к основанию, является медианой
к основа-нию,
является и бисс-сой.
медианой и
высотой.
Медиана, проведённая к основанию, явля-
ется высотой и бисс-сой.
Теорема: Если сторона и 2 Теорема: Если три стороны 1го
прилежащих к
ней угла 1го треуг-ка соответственно равны 3ём
треуг-ка
соответственно рав- сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2
прилежащим к треуг-ки равны.
ней углам
другого треуг-ка, то
такие треуг-ки
равны.
Определение: Окружность называется геометр-ая фигура,
состоя-щая из всех точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.
Глава I I
I.
Параллельные прямые.
Определение: Две прямые Теорема: Если при пересечении 2 пря-
на плоскости
параллельны, мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не
пересекаются. ны, то прямые параллельны.
Теорема: Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и
5, 4 и 6. мых
секущей соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и
5, 3 и 6. ны, то прямые параллельны.
Соответственные – 1 и
5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.
Теорема: Если при пересече- Теорема: Если
две параллельные пря-
нии 2 прямых
секущей сумма мые пересечены секущей, то накрест
односторонних
углов равна лежащие углы равны.
180º, то
прямые параллельны.
Теорема: Если две прямые пересечены
Теорема: Если две парал- секущей, то сумма односторонних
углов
лельные прямые
пересечены равна 180º.
секущей, то
соответствен-
ные углы равны.
Глава IV.
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Теорема: Сумма углов Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-
треуг-ка =
180º. уг-ка, не смежных с ним.
В любом
треугольнике либо Теорема: В треуг-ке против большей сто-
все углы острые,
либо два роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а
третий угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.
В прямоугольном
треуг- ке гипотенуза Если два угла треуг-ка равны, то больше
катета. треуг-к – равнобедренный.
Теорема: Каждая сторона Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника
меньше суммы одной
прямой, справедливы неравенства:
2 других
сторон. АВ<AB+BC, ВС<ВА+АС, АС<АВ+ВС.
Сумма двух острых
углов пря- Катет прямоугольного треуг-ка, лежащий
моугольного
треуг-ка = 90º. против угла в 30º, равен
½ гипотенузы.
Если катет
прямоугольного треуг- Если катеты 1го прямоугольного треуг-
ка = ½
гипотенузы, то угол, лежа- ка соответственно = катетам другого
щий против этого
катета, = 30º. , то такие треуг-ки равны.
Если катет и
прилежащий к нему Теорема: Если гипотенуза и острый
острый угол 1го
прямоугольного угол 1го прямоугольного треуг-ка соот-
треуг-ка
соответственно равны ветственно равны гипотенузе и остро-
катету и
прилежащему к нему му углу другого, то такие треуг-ки равны. острому
углу другого, то такие
треугольники
равны. Теорема: Если гипотенуза и катет 1го
прямоугольного треуг-ка соответствен-
Теорема: Все точки каж- но равны гипотенузе и катету
другого,
дой из 2
параллельных прямых то такие треугольники равны.
равноудалены от
другой прямой.
Расстояние от произвольной точки 1ой из параллельных
прямых до
другой прямой называется прямой называется расстоянием
между
этими прямыми.
8 класс.
Глава V.
Многоугольники.
Сумма углов
выпуклого n-угольника В параллелограмме
противоположные
= (n-2)180º.
стороны равны и противоположные
углы равны.
Диагонали
параллелограмма точ-
кой пересечения
делятся пополам. Если в 4-угольнике 2 стороны равны и
параллельны, то этот 4-угольник – па-
раллелограм.
Если в 4-угольнике
противопо-
ложные стороны
попарно равны, Если в 4-угольнике диагональю пересе-
то этот 4-угольник
– параллело- каются и точкой пересечения делятся
грамм.
пополам, то этот 4-угольник – парал-
лелограмм.
Трапецией
называется 4-угольник,
у кот-го 2 стороны
параллельны, а Прямоугольником называется парал-
2 другие стороны
не параллельны. лелелограмм, у кот-го все углы прямые.
Диагонали
прямоугольника равны. Если в параллелограмме дигонали равны,
то этот параллелограмм – прямоуголь-
Ромбом называется
параллело- ник.
грамм, у кот-го
все стороны
равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны и делят его углы пополам.
Квадкатом
называется прямо-
угольник, у кот-го
все стороны Все углы квадрата равны.
равны.
Диагонали квадрата равны, взаимно
Фигура называется
симметричной перпендикулярны, точкой пересечения
относительно прямой
а, если для делятся пополам и делят углы
каждой точки
фигуры симметричная квадрата пополам.
ей точка
относительно прямой а
также принадлежит
этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии.
Фигура называется
симметричной Точка О называется центром симмет-
относительно точки
О, если для рии фигуры.
каждой точки
фигуры симметрич-
ная ей точка
относительно точки О
также принадлежит
этой фигуре.
ГлаваVI.
Площадь.
Равные
многоугольники имеют S квадрата равна квадрату его стороны.
Равные S.
Если многоугольник
составлен из Теорема: S
прямоугольника = про-
нескольких
многоугольников, то изведению его смежных сторон.
Его S
= сумме площадей этих
многоугольников.
Теорема: S
параллелограмма = про-
изведению его основания на высоту.
Теорема: S
треугольника =
= произведению
его основания S
прямоугольного треугольника = 1/2
на
высоту. произведения
его катетов.
Если высоты 2ух
3-угольников Теорема: Если угол 1го 3-угольника
равны, то их S
относятся равен углу другого 3-угольника, то S
как
основания. этих 3-угольников относятся
как про-
изведения сторон, заключающих равные
Теорема: S трапеции
= про- углы.
изведению
полусуммы её осно-
ваний на
высоту. Теорема: В прямоугольном 3-угольни-
ке квадрат гипотенузы = сумме квадра-
Теорема: Если квадрат 1ой тов катетов.
стороны
3-угольника = сумме
квадратов 2
других сторон, то
3-угольник
прямоугольный.
Глава
VII.
Подобные треугольники.
Определение: 2 3-угольника Теорема: Отношение S 2ух подоб-
называются
подобными, если их ных 3-угольников = квадрату коэф-
углы
соответственно равны и фициента подобия.
стороны 1го
3-угольника про-
порционально сходственны
Теорема: Если 2 угла 1го 3-уголь-
сторонам
другого. ника соответственно = 2ум углам
другого, то такие 3-угольники по-
Теорема: Если 2 стороны 1го добны.
3-угольника
пропорциональны 2ум
сторонам
другого 3-угольника и углы, заключённые между этими сторо-
нами, равны, то
такие 3-угольники подобны.
Теорема: Если 3 стороны 1го Теорема: Средняя линия параллель-
3-угольника
пропорциональны на 1ой из его сторон и равна ½ этой
3ём сторонам
другого, то такие стороны.
3-угольники
подобны.
sin острого угла прямоугольного cos
острого угла прямоугольного 3-уголь-
3-угольника –
отношение ника – отношение прилежащего катета
противолежащего
катета к к гипотенузе.
гипотенузе.
tg угла = отношению sin
к cos
tg острого угла прямоугольного этого
угла: tg = sin/ cos.
3-угольника –
отношение противо-
лежащего катета к
прилежащему. Основное тригонометрическое
тождество:
Если острый угол
1го прямоугольного sin2α+ cos2α=1.
3-угольника =
острому углу другого прямо-
угольного
3-угольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
x
|
0°
|
30°
|
45°
|
60°
|
90°
|
180°
|
270°
|
360°
|
sinx
|
0
|
1/2
|
2/2
|
3/2
|
1
|
0
|
-1
|
0
|
cosx
|
1
|
3/2
|
2/2
|
1/2
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
tgx
|
0
|
1/ 3
|
1
|
3
|
—
|
0
|
—
|
0
|
ctgx
|
—
|
3
|
1
|
1/ 3
|
0
|
—
|
0
|
—
|
|
0
|
П/6
|
П/4
|
П/3
|
П/2
|
П
|
3П/2
|
2П
|
Окружность.
Если расстояние от
центра окруж- Если расстояние от центра окруж-
ности до прямой
< радиуса, то пря- ности до прямой = радиуса, то пря-
мая и окружность
имеют 2 общие мая и окружность имеют 2 общие
точки. Прямая
является секущей. точки. Прямая является касательной.
Если расстояние от
центра окруж- Теорема: Касательная к окруж-
ности до прямой
> радиуса, то пря- ности перпендикулярна к r, прове-
мая и окружность
не имеют общих дённому в точку касания.
точек.
Теорема: Если прямая проходит
Отрезки
касательных к окружнос- через конец r, лежащий на окруж-
ти, проведённые из
1ой точки, рав- ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют
равные углы с r, то она является касательной.
прямой, проходящей
через эту точ-
ку и центр
окружности. Дуга является полуокружностью.
Угол с вершиной в
центре окруж- Если дуга АВ окружности с центром
ности — её
центральный угол. О < полуокружности или является
полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных
мер 2ух дуг ок- мера считается равной градусной
ружности с общими
концами = мере центрального угла АОВ. Если же
=
360°. дуга АВ >
полуокружности, то её
градусная мера считается =
Угол, вершина
кот-го лежит на = 360°–<АОВ.
окружности, а
стороны пересе-
кают окружность,
называется Теорема: Вписанный угол измеряя-
вписанным
углом. ется ½ дуги, на кот-ую он
опирается.
Луч ВО совпадает с
1ой из сто- Луч ВО делит угол АВС на 2 угла, если
рон угла АВС. луч
ВО пересекает дугу АС.
Луч ВО не делит
угол АВС на 2 Вписанные углы, опирающиеся на 1 и ту
угла и не
совпадает со сторона- же дугу, равны.
ми этого угла,
если луч ВО не
пересекает дугу
АС. Вписанный угол, опирающийся на полу-
окружность, -- прямой.
Теорема: Если 2 хорды ок- Теорема: Каждая точка бисс-сы
ружности
пересекаются, то неразвёрнутого угла равноудалена
произведение
отрезков 1ой от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды =
произведению отрез- жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой
хорды. от сторон угла, лежит на его бисс-се.
Бисс-сы
3-угольника пересека- Серединным перпендикуляром к отрезку
ются в 1ой
точке. называется прямая, проходящая через
середину отрезка и перпендикулярная
Теорема: Каждая точка се- к нему.
рединного
перпендикуляра к
отрезку
равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка.
Каждая точка, нам
3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая
отконцов отрез- точке.
ка, лежит на
серединном перпен-
дикуляре. Теорема: в любой 3-угольник мож-
но вписать окружность.
Теорема: Высоты 3-угольника
(или их
продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой
точке. окружность.
Теорема: Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно
онисать окруж- противоположных
углов = 180°.
ность.
Если сумма
противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать
окружность.
Глава IX.
Векторы.
Физические
величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-
зуещиеся
направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-
ранстве –
векторные. тается началом, а какой – концом,
называется вектором.
Длина (модуль) –
длина АВ.
Длина нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы
называются
коллинеарными,
если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной
прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.
параллельных
прямых; нулевой
вектор считается
коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-
ным любому
вектору. ложно, то они противоположно напра-
влены.
Определение: Векторы,
называются
равными, если От любой точки М можно отложить
они
сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и
ны
равны. притом только один.
Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ
справедливы равенства:
1.
ă +
č = č + ă (переместительный закон);
2.
( ă +
č )+ ĕ = ă +( č + ĕ ).
Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число
ров ă и
č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.
ă – č
= ă + ( - č ).
Для любого числа k
и любого векто- ( kl )ă=k( lă
) (сочетательный закон);
ра ă векторы
ă и kă коллинеарны. ( k+
l )ă=kă+lă(1ый
рспред-ный закон);
k(ă+č )=kă+kč.
Теорема: Средняя линия тра-
пеции
параллельна основаниям
и = их полусумме.
9 класс.
Глава X.
Метод координат.
Лемма: Если векторы ă и č Теорема: Любой вектор можно раз-
коллинеарны и
ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое
число k, что č=kă. ным векторам, причём коэффициен-
ты разложения определяются един-
Каждая координата
суммы 2ух ственным образом.
векторов = сумме
соответству-
ющих координат
этих векторов. Каждая координата произведения век-
тора
на число = произведению соот-
Каждая координата
разности ветствующей координаты вектора
2ух векторов =
разности соот- на это число.
ветствующих
координат век-
тора на это
число. Координаты точки М = соответству-
ющим координатам её радиус-вектора.
Каждая координата
вектора =
разности
соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка
ординат его конца
и начала. равна полусумме соответствующих ко-
ординат его концов.
Глава XI.
Соотношения между сторонами
и углами 3-угольника.
Скалярное произведение
векторов.
Для любого угла
α из промежут- tg угла α(α=90°) называется отношение
ка 0°
<α<180° sin угла α называ- sinα/cosα.
ется ордината у
точки М, а cos
угла α –
абсцисса х угла α. sin(90°-- α)=
cos α
Теорема: S
3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника про-
произведения
2ух его сторон на порциональны sin противолежащих
sin угла между ними.
углов.
Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов
2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.
а2=b2+с2-2bс cos α.
Скалярным
произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-
векторов
называется произве- ту его длины.
дение их длин на cos
угла между
ними.
Теорема: Скалярное произведение векторов а( х1;
у1) и b( х2; у2 ) выражается
формулой:
ab=х1 х2 +у1 у2.
Нулевые векторы а(
х1; у1) и cos угла а между
нулевыми векторами
b(
х2; у2 )перпендикулярны а( х1; у1)
и b( х1; у1) выражается формулой:
тогда и только
тогда, ког- cos α= х1 х2 +у1
у2 / х1+у1 х2 + у2.
да х1 х2
+ у1 у2 = 0.
Для любых векторов
а, b, с и любого числа k
справедливы соотношения:
а2>0, причём а2>0 при а=0.
аb=bа (переместительный закон).
( а+ b )с=ас+ bс
(распределительный закон).
( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).