Однополостный гиперболоид
Министерство высшего образования Российской Федерации
Московский государственный
строительный университет
РЕФЕРАТ
На тему:
“Однополостный
гиперболоид”
Факультет: ПГС
Группа: №15
Студент: Муравицкий А.С.
Преподаватель:
Ситникова Е.Г.
Москва
2003
Поверхности второго
порядка – это поверхности,
которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими
уравнениями второй степени. К ним относится однополосный гиперболоид.
Однополосный гиперболоид.
(1)
Из уравнения (1) вытекает, что координатные
плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром
симметрии однополостного гиперболоида.
Уравнение (1) называется каноническим
уравнением однополосного гиперболоида.
Если
однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (1) то оси Ох,
Оу и Oz называются его главными осями.
Установим вид поверхности (1). Для этого
рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0).
Получаем соответственно уравнения
и
из которых следует, что в сечениях получаются
гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
или
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями и ,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a
и b*=b. При бесконечном
возрастании величины
a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют
изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно
расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
Величины a, b, c называются полуосями однополосного
гиперболоида.
Исследование поверхности методом параллельных сечений.
Суть метода
заключается в выяснении формы линий пересечения поверхности с плоскостями,
параллельными координатным плоскостям.
Рассмотрим линии пересечения с плоскостями,
параллельными плоскости OXY. Все уравнения линий пересечений будут
получаться из уравнения плоскости, в котором z будет заменена на
некоторое число, равное расстоянию от пересекающей плоскости до плоскости OXY.
Для более наглядного
представления, я изобразил все полученные кривые в виде проекций на плоскость OXY.
Изображения кривых
представлены выше.
Одним из примеров
такой поверхности является конструкция радиобашни построенной по принципу
сетчатых конструкций на Шаболовке (г.
Москва), Владимиром Григорьевичем Шуховым в 1919 - 1922 гг. В прошедшем году исполнилось 80 лет Шаболовской радиобашне —
символу советского телевидения 40-60-х годов.
Список использованной
литературы:
1.Шипачёв
В.С.: «Высшая математика»
2.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк: «Аналитическая геометрия»
3.И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике для инженеров и
учащихся ВТУЗОВ»