Уравнение и функция Бесселя
Содержание
Задание на курсовую работу ......................................................................... 2
Замечания руководителя ............................................................................... 3
1. Бесселевы функции с любым индексом
................................................... 5
2. Формулы приведения для бесселевых
функций ....................................... 10
3. Бесселевы функции с полуцелым
индексом ............................................. 13
4. Интегральное представление
бесселевых функций с целым индексом ... 15
5. Ряды Фурье-Бесселя .................................................................................. 18
6. Асимптотическое представление
бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ....................................................................................... 23
Список литературы ....................................................................................... 30
1.
Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа
в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить
происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к
цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1)
примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу:
найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения
трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть
найти все решения вида:
,
где , , предполагаются
дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида.
Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после
деления на )
.
Записав это в
виде:
,
найдем, что левая
часть не зависит от , правая
не зависит от , ; следовательно, общая величина
этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве
левая часть не зависит от ,
правая не зависит от ;
следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны
удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
, ,
из которых второе
и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а
первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют
уравнениям (3), то есть
решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом,
общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех
функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , ,
– любые решения уравнений
(3) при любом выборе чисел ,
.
Первое из
уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя.
Полагая в этом случае ,
обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию – буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет
большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются
бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы
функции первого рода
Будем искать
решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно,
приходим к требованию
или к бесконечной
системе уравнений
,
которая
распадается на две системы:
Первая из них
удовлетворится, если взять …
Во второй системе можно
взять произвольно; тогда …
однозначно определяются (если не
является целым отрицательным числом). Взяв
,
найдем
последовательно:
,
,
,
и в качестве
решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд,
формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных
значений и, следовательно,
является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).
Функция
называется
бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя
(4). В случае целого неотрицательного индекса получим:
, (5`)
и, в частности,
. (5``)
Общее
решение уравнения Бесселя
В случае нецелого
индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения
линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции,
имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса
общее решение уравнения Бесселя есть:
. (6)
Если (целое отрицательное число), то
функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:
(5```)
или, после замены
индекса суммирования на ,
, (7)
откуда видно, что
удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в
случае целого уже не дает
общего решения уравнения (4).
Полагая
( – не целое) (8)
и дополняя это
определение для (целое
число) формулой:
, (8`)
получим функцию , удовлетворяющую уравнению
Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с
индексом . Общее решение
уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
. (9)
2.
Формулы приведения для бесселевых функций
Имеем:
; ;
, ;
.
Следовательно,
. (10)
Таким образом,
операция (состоящая в
дифференцировании с последующим умножением на ), примененная к , повышает в этом выражении индекс на единицу и меняет знак. Применяя эту
операцию раз, где – любое натуральное число,
получаем:
. (10`)
Имеем:
;
Следовательно,
. (11)
Таким образом,
операция , примененная к , понижает в этом выражении
индекс на единицу. Применяя
эту операцию раз, получаем:
. (11`)
Из выведенных
формул можно получить некоторые следствия. Используя (10), получим:
; ; .
Отсюда, в
частности, следует, что .
Используя (11), получим:
; ; .
Почленное
сложение и вычитание полученных равенств дает:
, (12)
. (13)
Формула (13)
позволяет выразить все бесселевы функции с целыми индексами через , . Действительно, из (13) находим (полагая ):
, (13`)
откуда
последовательно получаем:
,
, …………………
3.
Бесселевы функции с полуцелым индексом
Бесселевы
функции, вообще говоря, являются новыми трансцендентными функциями, не
выражающимися через элементарные функции. Исключение составляют бесселевы
функции с индексом , где – целое. Эти функции могут быть
выражены через элементарные функции.
Имеем:
,
,
следовательно,
.
Но , значит:
. (14)
Далее
,
,
следовательно,
.
Но , поэтому
. (15)
С помощью (10`)
находим:
,
а учитывая (14)
,
следовательно,
при целом положительном
. (14`)
,
но в силу (15)
,
и, следовательно,
при целом положительном
. (15`)
4.
Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом
Производящая
функция системы функций
Рассмотрим
систему функций (с любой общей областью
определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:
Составим ряд
,
где – комплексная переменная. Предположим,
что при каждом (принадлежащем
области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости,
содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой
полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.
Функция
(16)
(где x лежит в области определения функций
системы , – внутри кольца сходимости,
соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .
Обратно, пусть
задана функция , где пробегает некоторое множество, находится внутри некоторого
кольца, зависящего от , с
центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если при каждом аналитична относительно внутри соответствующего кольца, то есть производящая функция
некоторой системы функций.
В самом деле, разложив при каждом функцию в ряд Лорана по степеням :
,
найдем, что
система коэффициентов этого
ряда будет искомой системой .
Формулы для
коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции рассматриваемой системы через производящую функцию.
Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности
в простой интеграл,
получим:
. (17)
Производящая
функция системы бесселевых функций с целыми индексами
Покажем, что для
системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами (…) производящая функция есть:
.
Имеем:
, ,
откуда после
почленного перемножения этих равенств найдем:
(так как в
предпоследней внутренней сумме и были
связаны зависимостью , то мы
могли положить , получив суммирование
по одному индексу ). В
последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при это будет ; при это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма
есть в силу формул (5`) и
(5```). Итак,
, (18)
но это и
доказывает, что есть
производящая функция для системы .
Выведем некоторые
следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:
,
откуда после
разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )
(18`)
(18``)
Заменяя в (18`) и
(18``) на , найдем:
, (18```)
. (18````)
Интегральное
представление Jn(x)
Так как, по
доказанному, при имеем , то по формуле (17) получаем (используя
в преобразованиях формулы Эйлера):
где принято во
внимание, что есть четная
функция от есть нечетная
функция от . Итак, доказано,
что для любого целого числа
. (19)
Формула (19) дает
представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного
интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением
Бесселя для , правая часть
формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при найдем:
. (19`)
5.
Ряды Фурье-Бесселя
Рассмотрим на
каком-либо интервале (конечном
или бесконечном) два дифференциальных уравнения
, , (20)
где и – непрерывные функции на . Пусть и –
ненулевые решения этих уравнений. Умножение на и на и последующее вычитание дают
.
Пусть и принадлежат и , тогда после интегрирования в пределах от до получим
. (21)
Если и – соседние нули решения , то между и сохраняет постоянный знак,
пусть, например, на (, ) (в противном случае следует заменить на ), тогда , (равенство
нулю исключено, так как –
ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль
между и , так как иначе сохранит постоянный знак на (,). Пусть, например, на (,)
(в противном случае заменяем на
), и тогда из (21) получим
противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана
теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом
интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя
соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль
z(x).
Из теоремы
сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на , то каждое ненулевое решение уравнения может иметь на не более одного нуля (это легко видеть,
если положить и взять ). Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей и ()
каждого ненулевого решения уравнения имеем (это легко видеть, если положить , взять и заметить, что нулями будут только числа вида , целое).
Если на (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого
ненулевого решения уравнения имеем
(это легко видеть, если
положить и взять ). Из сказанного следует, что
если на , то для всяких двух соседних нулей и ()
каждого ненулевого решения уравнения имеем .
Изложенное
показывает, что если непрерывна
на и превышает некоторое
положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение уравнения имеет на бесконечно много нулей. Если еще вблизи не обращается в нуль, то эти нули образуют
бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .
Рассмотрим
уравнение Бесселя
на интервале . Подстановка приводит к уравнению
.
Очевидно, и имеют одни и те же нули. Так как , где – целая функция, то не имеет нулей на при достаточно малом , и так как при , то при каждом нули на образуют бесконечную возрастающую
последовательность
причем .
Если , то удовлетворит уравнению
на интервале (0,
+∞). Подстановка приводит
к уравнению
и, следовательно,
удовлетворяет этому
уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем
, где ,
, где ,
откуда
следовательно,
, где . (22)
Пусть теперь . Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из
формулы (5). Следовательно, из (22) при получим
,
то есть
, (23)
откуда видно, что
если и являются разными нулями функции , то
. (23`)
Этим доказано, что
при система функций
на интервале является ортогональной относительно
веса .
Переходя к
пределу при в соотношении
и используя
правило Лопиталя, получим при всяком
, (24)
следовательно,
если является нулем функции
, то
. (24`)
Таким образом,
при каждом всякой непрерывной
функции на , удовлетворяющей требованию
,
поставлен в
соответствие ряд Фурье-Бесселя
, (25)
коэффициенты
которого определяются формулами
. (25`)
Можно доказать,
что система функций на , ортогональная относительно веса
, замкнутая. В частности,
если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной
функции .
Можно показать,
что если и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится
к ней при .
6.
Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших
значений аргумента
Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще
комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись
при
означает, что
найдутся такие числа и M, что при имеем .
Подобная запись
употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для
достаточно малых положительных значений , то запись
при
означает, что
найдутся такие числа и , что на .
Вспомогательная
лемма
Если дважды непрерывно
дифференцируема на , то для
функции
имеет место
асимптотическое представление
при .
Докажем эту
лемму. Заменяя на , получим:
. (26)
Рассмотрим
интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем:
,
но, заменив на , получим:
.
Если положительна, убывает и
стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому
при ,
откуда
при .
Итак, получаем
асимптотическое представление:
при . (27)
Рассмотрим теперь
интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
,
.
Очевидно, дважды непрерывно
дифференцируема на , но
существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает:
,
где первое
слагаемое правой части есть
при , а интеграл во втором слагаемом
несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом
,
который сходится,
так как
при ;
следовательно,
второе слагаемое есть тоже при
.
Итак, имеем:
при . (28)
Из (26), (27),
(28) получаем искомое асимптотическое представление:
при . (29)
Из этой формулы,
переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
при . (29`)
Формулы (29) и
(29`) верны и для комплекснозначных функций .
Вывод
асимптотической формулы для Jn(x)
Заменяя на , получим:
(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает:
где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так
как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно .
Но
и, заменяя в
первом из этих интегралов на
, получим:
Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум
последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем:
;
но ; , следовательно,
.
Итак, имеем
искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым
индексом для больших значений аргумента:
при . (30)
Эта формула
показывает, что с точностью
до слагаемого порядка является
затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно
пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
при ; (30`)
при . (30``)
Графики этих
функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим
несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение
уравнения Бесселя при
,
удовлетворяющее
начальным условиям при , и .
Решение.
На основании
формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из
решений уравнения:
, .
Решение.
Сделаем замену
.
При получим:
.
При будем искать решение в виде
обобщенного степенного ряда:
.
Уравнение на имеет вид ;
, , ,
, поэтому
,
, .
Рисунок 1 –
График функции y=J0(x)
Рисунок 2 –
График функции y=J1(x)
Список
литературы
1. Пискунов Н. С.
«Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М:
Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П.
И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции.
Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.