Кольца и полукольца частных
Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами
частных
Библиографический список
В настоящее время
теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории
автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе
построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их
связь.
Прежде чем начать
рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных
следующим образом.
Непустое
множество с
определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным
полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:
A1. - коммутативная полугруппа с
нейтральным элементом , т.е.
1) ;
2)
3)
А2. - коммутативная
полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.
1) ;
2)
3)
А3. умножение
дистрибутивно относительно сложения:
, .
А4. .
Таким образом,
можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция
в нём необратима.
Для построения
классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары
неотрицательных целых чисел .
Будем считать
пары и эквивалентными,
если ,
получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.
Затем введём
операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в
полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение1. Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если
для из
равенства следует,
что .
Обозначим через множество всех
мультипликативно сокращаемых элементов.
Утверждение1.Мультипликативно сокращаемый элемент является
неделителем нуля.
Пусть - делитель нуля,
т.е. для
некоторого .
Тогда ,
но не
является мультипликативно сокращаемым. ▲
Пусть - коммутативное
полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество
упорядоченных пар . Введём отношение ~ на : для всех и .
Предложение1. Отношение ~ является отношением
эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением
рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность:
в силу коммутативности полукольца ;
2.
Симметричность: ;
3.Транзитивность:
Таким
образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Полукольцо разбивается на
классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые
находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции
на множестве всех
классов эквивалентности:
т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .
Покажем
корректность введённых операций:
Пусть , , тогда
▲
Теорема1. - коммутативное полукольцо с 1. .
Доказательство.
Чтобы доказать,
что множество всех
классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать
замкнутость на нём операций:
сложение: для и
1.
2.
Так как правые
части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что
для .
Так как
Класс является
нейтральным по +:
Из равенства тогда .
Для составляет
отдельный класс, играющий в роль нуля.
умножение: для и
1.
2.
Из равенства
правых частей следует, что
3. покажем, что
для .
Пусть
Класс является
нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .
4. умножение
дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно,
правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично
доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом,
доказано, что является
коммутативным полукольцом с 1.
Полукольцо называется
классическим полукольцом частных полукольца .▲
Для построения
полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим
дробь как
частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его
область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на
идеале и
переводит в
. Эти
две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей
определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения
определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно
выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь.
Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .
Данный метод
можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения
«полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются
лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение2. Идеал коммутативного полукольца называется
плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда,
когда .
Свойства плотных
идеалов полукольца :
10 - плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для выполнено . Положим , тогда . Таким образом - плотный идеал
по определению. ▲
20
Если -
плотный идеал и ,
то идеал плотный.
Доказательство:
Если - плотный идеал,
то для из
равенства следует
. Пусть
для выполнено
. Так
как по условию возьмём
. Тогда
т.к. -
плотный идеал получаем отсюда . Таким образом - плотный идеал по определению. ▲
30
Если и - плотные идеалы,
то и - так же плотные
идеалы.
Доказательство:
Положим для выполняется . Пусть , где , . Элемент т.к. , тогда верно
равенство отсюда
, т.к. - плотный идеал
имеем , , и - плотный, . Таким образом - плотный идеал.
Пусть , тогда по
определению идеала: . С другой стороны значит . Тогда по 20 - плотный идеал. ▲
40
Если ,
то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть . Для и выполнено отсюда 0 не
является плотным идеалом. ▲
Определение3. Дробью назовём элемент , где - некоторый
плотный идеал. (
- сокращение от - гомоморфизм, в
данном случае: -
гомоморфизм )
Таким образом, - гомоморфизм
аддитивных полугрупп, для которого для и .
Введём так же
дроби ,
положив и
для .
Сложение и
умножение дробей определяются следующим образом:
пусть и тогда
,
, .
Покажем, что является идеалом,
где т.е.
сохраняются операции:
1. Если , то .
Пусть , , тогда .
2. Если и , то . По условию .
Так как - коммутативное
полукольцо, то .
. Таким образом, - идеал.
Покажем, что
идеал является
плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .
По определению
сложения и умножения , т.е. содержит плотный идеал значит, по свойству 20
идеал является
плотным.
Дроби образуют
аддитивную коммутативную полугруппу с нулём и полугруппу с единицей. То есть
образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и
умножения:
, .
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4. Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность
аналогично.
Таким образом, дроби образуют
полукольцо.
Определение4. Будем писать если и согласованы на
пересечении своих областей определений, т.е. для .
Лемма 1. тогда
и только тогда, когда и согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если то и согласованы на . По свойству 30
идеал является
плотным. Следовательно, и согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть и согласованы на
плотном идеале .
Тогда если и
, то отсюда в силу
плотности идеала , для , но это равенство выполняется тогда, когда
пересечением областей определений и является отсюда следует, что .▲
Лемма 2. Отношение является конгруэнцией на системе .
Доказательство.
Для того чтобы
доказать, что -
конгруэнция, нужно показать:
1. отношение - рефлексивно,
симметрично, транзитивно.
Рефлективность: и согласованы на
плотном идеале .
Симметричность: пусть
, т.е. и согласованы на .
Транзитивность:
пусть и
, т.е. и согласованы на
плотном идеале
и согласованы на
плотном идеале .
Значит и
согласованы
на идеале ,
являющемся плотным , и согласована с на , тогда согласована с на плотном идеале
по Лемме
1
Таким образом, - отношение
эквивалентности.
2. отношение сохраняет
полукольцевые операции.
Ø
Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и
согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .
Ø
Пусть и , т.е. для и для .
Тогда и определены и
согласованы на плотном идеале отсюда по Лемме 1 .▲
Теорема2.Если - коммутативное полукольцо
то система так
же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть полным полукольцом частных
полукольца )
- разбивает множество дробей на непересекающихся
классов эквивалентности.
По Лемме 2 все
тождества выполняющиеся в справедливы и в .
Чтобы убедится, что коммутативное
полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и
коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения: и согласованы на идеале покажем, что
образы отображений и совпадают на этом идеале:
пусть , где .
Тогда .
Областью определения является . По определению
идеала: то
для , а идеал (свойство 30)
то: .
Тогда по определению сложения отсюда следует . Покажем . По определению
Аналогично .
Тогда:
Таким образом, где . По свойству 30
-
плотный идеал значит и согласованы на плотном идеале .
2. Коммутативность.
Отображения и согласованы на плотном
идеале докажем
что их образы совпадают на этом идеале: .
Доказано ранее, что пусть элементы тогда
Отсюда следует, что и согласованы на
плотном идеале .
Таким образом, по Лемме 1.
Наконец сопоставим дробь: с областью
определения при
которой переходит
в .
Предложение2. Отображение является гомоморфизмом
т.е. сохраняет операции:
Доказательство:
1. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем
равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (1)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (2)
Из (1) и (2) следует, что .
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть , и где и .
Нужно показать, что . Покажем
равенство образов и .
Рассмотрим дробь , такую что
для . (3)
С другой стороны рассмотрим дроби и , такие что для . (4)
Из (3) и (4) следует, что .
По свойству умножения смежных
классов:
для .
Таким образом гомоморфизм.
Пусть , тогда
т.е. и согласованы на некотором плотном
идеале значит
для , так как - плотный идеал,
то отсюда
-
инъективно.
Поэтому, гомоморфизм является
мономорфизмом и вкладывается
в полное полукольцо частных.
Гомоморфизм будем называть
каноническим мономорфизмом в .▲
Определение5.Любому мультипликативно
сокращаемому элементу сопоставим плотный идеал . Если , то элемент назовём
классической дробью, полагая для .
Теорема3.
Множество
дробей образует
подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу
частных полукольца
.
Доказательство:
Рассмотрим отображение , т.е. .
1. Докажем, что - отображение: если и , , где , , то .
Имеем
Возьмём элемент из пересечения плотных
идеалов ,
т.е. и
Тогда , домножим на получим . Так как и на выполняется
коммутативность по умножению, то , отсюда для .
2. Докажем, что является полукольцевым
гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
. Покажем, что дробь согласована с на плотном идеале
.
Пусть , .
для .
Следовательно .
2.2
.
Идеал содержит , покажем, что и согласованы на
плотном идеале .
Пусть , . Тогда
для .
Значит .
Таким образом - полукольцевой
гомоморфизм классического полукольца частных в полное полукольцо частных .
3. Докажем, что - инъективный гомоморфизм.
Пусть для . Предположим, что дроби и согласованы на
некотором плотном идеале , т.е. для выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части
равенства на получим:
т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.
Значит, является инъективным гомоморфизмом
или мономорфизмом в .
Мономорфизм называется вложением
классического полукольца частных в полное полукольцо частных полукольца .▲
1.
Вечтомов,
Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
2.
Ламбек,
И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
3.
Чермных,
В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.