Положительные и ограниченные полукольца
Выпускная
квалификационная работа
Положительные и ограниченные
полукольца
Содержание
Введение........................................................................................................... 3
Глава 1. Основные понятия теории
полуколец .............................................. 4
1.1. Определение
полукольца. Примеры..................................................... 4
1.2.
Дистрибутивные решетки..................................................................... 5
1.3. Идеалы
полуколец................................................................................. 6
Глава 2 Положительные и ограниченные
полукольца..................................... 7
2.1. Определение
и примеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные
свойства положительных и ограниченных полуколец....... 7
Библиографический список........................................................................... 16
Введение
Теория полуколец –
это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные
решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как
самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно
теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только
теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной
работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец,
рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых
доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из
2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается
эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения
и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны
некоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теории полуколец»
1.1.
Определение
полукольца. Примеры
Определение полукольца:
Непустое множество S с бинарными операциями
+ и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S,+) – коммутативная полугруппа с
нейтральным элементом 0;
·
Ассоциативность:
;
·
Коммутативность:
;
·
Существование
нейтрального элемента: .
2. (S,·) – полугруппа:
·
Ассоциативность:
;
3. Умножение дистрибутивно относительно
сложения:
·
левая
дистрибутивность: а(в+с)=ав+ас;
·
правая дистрибутивность:
(а+в)с=ас+вс.
4. Мультипликативное свойство
0:
·
.
Эта аксиоматика
появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S называется коммутативным, если операция
в нем
коммутативна: .
Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если
в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей
(1):
Примеры
полуколец:
1. <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых
чисел с обычными операциями + и ·;
2. <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
3. Двухэлементные
полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В
1+1=1);
4. Множество матриц с элементами из полукольца N и операциями + и ;
5. Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и
умножение, максимум и
минимум двух
чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией называется мультипликативно
(аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется
равенство , называется мультипликативно
(аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные решетки.
Пусть L – произвольное множество. Введем на
L отношение положив,
.
Отношением
порядка называется
рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным
множеством.
Отношение на множестве L является отношением порядка.
Пусть M – непустое подмножество частично
упорядоченного множества L . Нижней гранью
множества M называется такой
элемент , что для любого . Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если , где n – произвольная нижняя грань множества
M. Двойственным образом
определяется точная верхняя грань.
Частично
упорядоченное множество L
называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани; решетка называется дистрибутивной,
если в ней выполняются дистрибутивные законы:
Кроме этого
определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая
система L с двумя бинарными операциями сложения
+ и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными
коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
,;
Решетка
называется дистрибутивной, если для любых , ограниченной, если
она имеет 0 и 1.
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое
подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца
S, если для любых элементов a, bI, sS элементы a+b и sa (as) принадлежат I.
Непустое подмножество,
являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним
идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца
S называется собственным.
Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным
левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно.
Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .
Собственный идеал
M полукольца S называется максимальным (максимальным
правым) идеалом, если влечет M=A или A=S для каждого идеала A .
Примерами идеалов
могут служить следующие подмножества:
1. {0}
– нулевой идеал;
2. S – идеал, совпадающий со всем
полукольцом;
3. Идеал на полукольце
: ;
4. Главный
идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: .
Глава II «Положительные и ограниченные полукольца»
2.1. Определение, примеры и основные
свойства
Полукольцо S с 1 называется положительным,
если для любого элемента а S элемент а+1 обратим в S, т.е..
Примерами
положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1.
ограниченные
дистрибутивные решетки;
2.
полукольца
непрерывных R+ - значных функций;
3.
множество
всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если
для любого выполняется
.
Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
1.
ограниченные
дистрибутивные решетки;
2.
множество
всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные
свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для
полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого
максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S
(a+b M) (a M & b M).
Доказательство:
12. Пусть для произвольных и максимального правого
идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:
.
В левой части
последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
21. Пусть выполнено 2 и с
– произвольный элемент из S.
Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале
полукольца S (т.к. в противном
случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие),
значит, 1+с обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда
,т.к.. Получили y=1 и значит .
Таким образом мы
доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно
ограниченно,
Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще
и аддитивно идемпотентно.
Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1,
помножим обе части на x и получим необходимое
равенство.
III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда,
когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно,
следовательно, элемент -
обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.
В левой части обратимый элемент,
значит и в правой элемент тоже обратим.
и – обратимы, тогда их произведение также
обратимо ,
значит обратим.
IV . Для коммутативного
положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S – дистрибутивная решетка.
2.
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству 2 следует , тогда:
и .
Эти условия
наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами
определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1
– единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый
элемент u,
и
VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет
следующее утверждение:
1. a+1=1;
2.
3.
Доказательство.
. Докажем методом математической индукции по
числу n.
I.
База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
и a+1=1
Из I и II Следует .
. .
Можно выбрать из
всего количества N, некоторое число, для которого тоже
данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не
влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2
верно, но совсем неверно.
VII. Если S – полукольцо с мультипликативным
сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства
равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать .
Имеем . Добавим к правой и левой части выражения
равные элементы :
В силу аддитивной
идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона,
подберем коэффициенты и получим:
Используя
мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и
существует такое ,
что для всех . Тогда:
1. для всех ;
2. - коммутативное
ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияопределяется так:
.
Доказательство.
1. Возьмем
.
Тогда , т.к. .
Лемма: В ограниченном
полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в .
I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия II и ограниченности:
.
По ИП:
Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.
Рассмотрим :
Поскольку степень
равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму
слагаемых, либо
(1 группа), либо (2
группа), и только так.
Среди слагаемых 1
группы имеется член .
Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при
условии и лемме
1. из группы 1 останется только элемент
Аналогично с
элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем
2 .Прежде всего проверим замкнутость операций
и + на множестве
I.
(1) Поскольку в
качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца,
значит (I,+) – коммутативная
полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент
Элемент X состоит из таких слагаемых, которые
получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1,
или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом
слагаемом X, т.е.
С другой стороны
Таким образом, правые
части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:
с).
Коммутативность:
,
1.
2.
Из 1 и 2 следует , по причине равенств
правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа
с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
(4)
Все аксиомы
полукольца доказаны, а значит - коммутативное полукольцо и его элементы –
элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.
IX. Если в положительном
полукольце S выполняется равенство
,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
Рассмотрим t>1
Рассмотрим t=1,
…
т.к. полукольцо
положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и
получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В положительном
полукольце S справедливо следующее тождество:
Доказательство.
Домножим на
обратный к :
Получим:
Что и
требовалось доказать.
Библиографический список
1.
Чермных,
В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
2.
Вечтомов,
Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ,
2000. – ст.5 - 30.