Аппроксимация функций
Аппроксимация функций.
Из
курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный
способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток
табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных
которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся
к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены
аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в
том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно
рассмотреть другую функцию φ(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить
оценку погрешность такой замены.
φ(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции y=f(x), имеющей
значение x0 f(x0) требуется
построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с xi
c заданной, то такой способ называется интерполяцией
При интерполяции, заданная функция f(x) очень
часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид
j(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1,
…a0 , так как задачей является интерполирование, то
определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi
i=0,1,…n
Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены
специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).
i¹j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае
не совпадает с заданной функцией .
Задание
С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение
функции y в точке xc, узлы интерполяции
расположены равномерно с шагом Dх=4,1 начиная с точки х0=1,3 даны значения функции y={-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.
ГСА для данного метода
CLS
DIM
Y(9)
DATA
-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC =
10
FOR I = 0 TO N -
1
1 X(I) = X0 + H *
I
READ Y(I)
PRINT Y(I);
X(I)
NEXT
I
S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
FOR I = 0 TO N -
1
2 S1 = S1 + X(I) ^
2
S2 = S2 +
X(I)
S3 = S3 + X(I) *
Y(I)
NEXT
I
D = S1 * N - S2 ^
2
D1 = S3 * N - S4 *
S2
D0 = S1 * S4 - S3 *
S2
A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
YC = A1 * XC +
A0
PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC=";
YC
FOR X = 0 TO 50 STEP
10
Y = A1 * X +
A0
PRINT X,
Y
NEXT X
END
XC= 10
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
S=-1.594203
АППРОКСИМАЦИЯ
ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в
виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или
в виде набора точек с координатами
(xi,yi), i=0,1,2,...n,
где
n
- общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены
экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить
относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая
позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить
промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся
в исходной табличной информации.
Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость
должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости.
Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут
служить несколько условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать
как
S = (fi-yi) ® min ,
т.е. сумма отклонений табличных и
функциональных значений для одинаковых x=xi должна быть
минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому
достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия S = |fi-yi| ® min , также не
приемлемо, т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий
наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную
зависимость, при которой
S = (fi-yi)2 ,
(1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости
рассмотрим многочлен
f(x)=C0 +
C1X + C2X2+...+CMXM.
(2)
Формула (1) примет вид S = ( C0 + C1Xi
+ C2Xi2+...+CMXiM
- Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая
нулю частные производные S по независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0 = 2
( C0 + C1Xi +
C2Xi2+...+CMXiM -
Yi ) = 0 ,
SC1 = 2
( C0 + C1Xi +
C2Xi2+...+CMXiM -
yi ) Xi = 0 ,
.................................................................................................
(3)
SCM = 2
( C0 + C1Xi +
C2Xi2+...+CMXiM -
Yi ) XiM = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему
нормальных уравнений
C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +...+ CM XiM = Yi ,
C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +...+ CMXiM+1 = Yi Xi ,
.......................................................................................................
(4)
C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +...+ CMXi2M = Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и,
следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить
систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является
симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются
при ее решении.
|
|
(N+1)
|
Xi
|
Xi2
|
...
|
XiM
|
Yi
|
|
|
Xi
|
Xi2
|
Xi3
|
...
|
XiM+1
|
Yi
Xi
|
|
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
...
|
|
|
XiM
|
XiM+2
|
...
|
Xi2M
|
Yi XiM
|
|
Нетрудно видеть, что для формирования
расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и
двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными"
и заполняются с помощью циклического присвоения.
Задание
Найти коэффициенты прямой и определить значение
функции y{-6.56,-3.77, -1.84,0.1,2.29,4.31,5.56,8.82,11.33,11.27},
x0=1.3 h=4.1, и определить интеграл заданной функции.
Программа
¦CLS
¦XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N =
10
¦DIM Y(9): DIM
X(9)
¦DATA
-6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27
¦FOR I = 0 TO N -
1
¦X = X0 + H * I:
¦X(I) =
X
¦READ
Y(I)
¦PRINT X(I), Y(I)
¦NEXT
I
¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 =
0
¦I = 0
¦10 S1 = S1 + X(I) ^
2:
¦S2 = S2 +
X(I):
¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
¦S4 = S4 +
Y(I)
¦I = I +
1
¦IF I <= N - 1 THEN
10
¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
¦D1 = S3 * N - S2 *
S4:
¦D0 = S1 * S4 - S2 *
S3
¦A1 = D1 /
D:
¦A0 = D0 /
D
¦Y = A1 * XC +
A0
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=";
A0,
¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1=";
A1,
¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=";
Y
¦FOR X = 10 TO 50 STEP
10
¦Y = A1 * X +
AO
¦PRINT X,
Y
¦NEXT
X
¦FOR I = 1 TO N -
1
¦S = S + Y(I): NEXT
I
¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 *
S)
¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ
ТРАПЕЦИИ D="; D
Ответы
Х Y
1.3 -6.56
5.4 -3.77
9.5 -1.84
13.6 .1
17.7 2.29
21.8 4.31
25.9 5.86
30 8.82
34.1 11.33
38.2 11.27
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6.709182
КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= .5007687
ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1.701495
10 5.007687
20 10.01537
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D=
166.9725