Эффективные характеристики случайно неоднородных сред.
Введение
Решающую роль в
восприятии окружающего мира играют характеристики, сохраняющиеся (в замкнутых
системах). Среди них имеются такие универсальные, как масса, количество
движения, момент количества движения, энергия и энтропия.
В учении о
теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких
и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма
многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса
разнородных явлений.
Перенос теплоты
может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением,
или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются
различными законами.
Процесс переноса
теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися
телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности
однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический
фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо
разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой,
согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.
При определении
переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные
трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти
трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной
среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме
того, трудности возникают с
увеличением сложности конфигурации системы.
Уравнение теплопроводности имеет вид:
(1)
выражает тот факт, что изменения
теплосодержания определенной массы вещества, заключенного в единице объема,
определяется различием между притоком и вытеканием энергии - дивергенцией
плотности теплового потока , при условии что внутренних источников
энергии нет. Тепловой поток пропорционален градиенту температуры и направлен в
сторону ее падения; -
коэффициент теплопроводности.
При разработке методов иследования композиционных
материалов весьма трудно и, по-видимому, не имеет смысла (в тех случаях, когда
это можно практически реализовать) полностью учитывать структуру копмозита. В
связи с этим возникла необходимость связать механику композитных материалов с
механизмами элементов конструкций, развивающимися обычно в рамках континуальных
процессах. Эта задача решается в процессе создания теории определения
приведенных свойств композитных материалов различных структур (слоистые,
волокнистые и др.), при описании их поведения в рамках континуальных
представлений. Таким образом совершается переход от кусочно-однородной среды к
однофазной.
Рассмотрим двухфазный композитный материал,
представляющий собой матрицу, в которой случайным образом распределены
включения второй фазы (армирующий элемент), имеющий приблизительно равноосную
форму. Количество включений достаточно велико на участке изменения температуры.
Пусть некая характеристика матрицы - , а включений - . Тогда можно представить композит, как новый
материал, с характеристиками промежуточными между характеристиками матрицы и
включений, зависящей от объемной доли этих фаз.
,
(2)
Где
Подстановка (2) в (1) дает:
(3)
Имеем операторы:
(4а)
(4б)
После преобразования
Фурье получаем
Уравнение для функции
Грина и
где (5)
- ур. Дайсона. (6)
Функция Грина описывает
однородный материал со средними характеристиками определяемые по правилу
смесей (2), а оператор можно
назвать оператором возмущения, поскольку он определяет форму и расположение
неоднородностей.
Решим уравнение
итерациями
Вычислим сначала
Здесь
(7)
Теперь определим
Теперь необходимо
вычислить
Таким образом
(8)
Подставляем в (6)
равенство (8)
, где и (9)
Подставляем (5) в (9)
где и
(10)
(11)
где , (12)
(13)
1. Ограничимся первым приближением
`
(14)
Рассмотрим:
(15)
2. Ограничимся вторым приближением
(16)
(17)
Из (12) найдем:
(18)
Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:
(19)
Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13), получим:
Коэффициентами при , из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (14)
подставляя (17), найдем
(20)
Подставляя (18) в (11) с учетом (16), получим:
(21)
Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13), получим:
Коэффициентами при , из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (15)
(22)
3. Ограничимся третьим приближением
(23)
Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:
(24)
Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13), получим
Коэффициентами при ,, из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (14), а с- из-за (18)
(25)
Подставляя (18) в (11) с учетом (23), получим:
(26)
Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13), получим:
Коэффициентами при ,, из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без обращаются в из-за (15), а с- из-за (22)
(27)
Анализ и показывает, что и дейсвительные коэффициенты, а - мнимые.
Список литературы:
1. Т. Д. Шермергор
“Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”, 1977.
2. Г.А. Шаталов
“Эффективные характеристики изотропных композитов как задача многих тел”
МКМ, №1, 1985.