Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний
Московский государственный
университет путей сообщения РФ (МИИТ)
Кафедра «Физика-2»
ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ МЕТОДОМ
КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
1. Цель работы
Определение моментов инерции
тел правильной геометрической формы
2. Принципиальная
схема установки
рис 1 - Устройство прибора для
измерения крутильных колебаний
Для измерения момента инерции в
данной лабораторной работе используются крутильные колебания изображенного на
рисунке устройства, состоящего из диска 1 и лежащих на нем одного или
нескольких тел 2. В работе используется эталонное тело (ЭТ) с известным
моментом инерции. Диск расположен на станине 3, имеющей винты 4
для корректировки горизонтального положения плоскости диска. Пружина 5
служит для возвращения диска в положение равновесия и создания колебательного
движения относительно вертикальной оси (рис.1).
. Основные
теоретические положения к данной работе
Инертные свойства тела при
вращении определяются не только массой тела, но и расположением отдельных
частей тела по отношению к оси вращения. Для характеристики этих свойств
вводится понятие момента инерции.
Абсолютно твердое тело можно
рассматривать как систему из материальных точек с неизменными расстояниями
между ними.
Момент инерции Ii
материальной точки относительно некоторой оси вращения определяется как
произведение ее массы mi; на квадрат расстояния ri, до
оси вращения
Момент инерции
твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частей - материальных
точек
.
Если абсолютно твердое тело
имеет форму тела вращения относительно оси, проходящей через его центр инерции,
то выражение для момента инерции принимает более простой вид:
I =
kmR2, (1)
где m и R - масса
и радиус тела соответственно;
k
- коэффициент, зависящий от формы тела.
Для обруча и тонкостенного
цилиндра k = 1, для сплошного цилиндра и
диска k =1/2, для шара k = 2/5.
Если ось вращения не проходит
через центр инерции тела, то для вычисления его момента инерции пользуются
теоремой Штейнера:
Момент инерции I относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции Iо относительно оси,
проходящей через центр масс тела параллельно данной, и произведения массы тела
на квадрат расстояния а между осями
(2)
Момент инерции системы тел
относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции относительно этой оси
всех тел, входящих в систему:
I =
I1 + I2 +
I3 +... +
IN. (3)
Момент инерции тела как
характеристика его инертных свойств входит в уравнения динамики вращательного
движения. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси основное
уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде:
M =Ie,
(4)
где М - проекция
результирующего момента всех внешних сил на ось вращения; e
- угловое ускорение.
Так как угловое ускорение может
быть записано как вторая производная по времени от угла поворота:
то уравнение (4) можно
представить в виде
.
При отклонении диска на
некоторый угол j (в пределах упругой деформации
пружины) со стороны пружины на диск действует возвращающая сила, проекция
момента которой пропорциональна углу отклонения:
М =
-
bj,
(6)
где b - упругая
постоянная пружины.
Если пренебречь влиянием силы
трения, то уравнение движения диска на основании формул (5) и (6) примет вид
,
где I - момент инерции
диска с лежащими на нем грузами.
Решение этого уравнения имеет
вид
то есть угол отклонения диска
от положения равновесия изменяется по гармоническому закону и вся система
совершает гармонические колебания с амплитудой j0
и круговой частотой w. Величину (wt
+
a)
называют фазой колебания, a - начальной фазой,
определяющей угол отклонения j при t =
0.
Найдя первую и вторую
производные угла j по времени t и подставив их
в уравнение (7), получим
-I
w2
j0
cos (wt +
a)
= -
b j0
cos (wt +a),
откуда найдем
,
а затем формулу для периода
колебаний T:
Если колеблется только диск, то
его период колебаний
, (8)
где Iд -
момент инерции диска без грузов.
Если на диске лежит эталонное
тело, то период колебаний системы TЭТ, в этом случае можно
записать аналогично:
. (9)
Используя выражения (8) и (9),
получим:
.
Если диск колеблется вместе с
телом, момент инерции которого Ix требуется определить, то
период его колебаний
,
откуда
Ix =
.
Используя полученные выражения
для b и Iд, получим окончательную формулу для
определения момента инерции исследуемого тела:
4. Таблицы и
графики.
Таблица 1 - измерения полных
колебаний с эталонным телом
|
№
опыта
|
Число
колебаний,
n
|
Колебания
диска без грузов
|
Колебания
диска с эталонным телом
|
|
|
t, c
|
T0, c
|
t, c
|
TЭТ, c
|
|
1 2 3
|
4
5 6
|
1,1
0,96 0,96
|
5,3
5,8 7,7
|
1,32
1,16 1,28
|
|
Средняя
величина
|
__________
|
________
|
1,01
|
_______
|
1,25
|
Таблица 2 - измерения полных
колебаний с исследуемым телом
|
Номер
тела
|
Число
колебаний n
|
t, c
|
Tх, c
|
Ix, кг×м2
|
|
1
|
4
|
5,7
|
1,42
|
2,28 
|
|
5
|
6,8
|
1,36
|
2,06
|
|
6
|
8
|
1,33
|
1,86
|
|
2
|
4
|
4,2
|
1,05
|
0,21
|
|
5
|
5,3
|
1,06
|
0,25
|
|
6
|
6,5
|
1,16
|
0,81
|
Таблица 3 - измерения полных
колебаний с эталонным и с исследуемым телом с учетом форм тел
|
Номер
тела
|
Форма
тела
|
Масса
тела m, кг
|
Радиус
тела R, м
|
Ix, кг×м2
по формуле (1)
|
Ix ср, кг×м2
из табл.2
|
1
2 Цилиндр
Цилиндр 1,258 0,5 4,0=
4,00,028
,452,05
|
0,42
|
|
|
Таблица 4 - измерения полных
колебаний с эталонным и с исследуемым телом
|
№
опыта
|
n
|
t, c
|
T, c
|
Момент
инерции двух тел по формуле (10) Ix кг×м2
|
|
1 2 3
|
4
5 6
|
5,5
6,5 8,2
|
1,38
1,3 1,36
|
2,20
1,68 2,07
|
|
Среднее
значение
|
_____
|
________
|
1,35
|
0,002
|
|
Момент
инерции двух тел: Ix = Ix1 ср + Ix2
ср
|
2,48
|
№
опыта
|
n
|
t, c
|
T, c
|
Момент
инерции по формуле (10), Ix кг×м2
|
|
1 2 3
|
4
5 6
|
5,4
6,8 8,3
|
1,35
1,36 1,38
|
0,0213
0,002 0,0024
|
|
Среднее
значение
|
____
|
___
|
1,36
|
0,002
|
|
Момент
инерции по формуле (2): I = …..
|
5,625
|
. Расчёт
погрешностей измерений
DT = a .
DT = a.
DTх1 = a.
DTх2 = a.
. Окончательные результаты:
инерция тело ось колебание
2,06 10  0,05
,42100,07
Похожие работы на - Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний
|