Основы теории надежности
Введение
Проблема надежности, возникшая много лет назад, заставляет и сегодня
говорить о ней инженеров и экономистов, как о проблеме номер один.
Для многих современных технических систем решение проблемы надежности, в
самом прямом смысле означает, быть или не быть данной системе. К ним можно
отнести различные системы информатики: региональные и отраслевые
автоматизированные системы управления, в состав которых входит большое число
ЭВМ, системы управления воздушным движением для гражданской авиации, сеть центров
управления и слежения за космическими объектами, сети и системы передачи
данных. Технические системы постоянно усложняются. Причем, усложнение систем
идет по двум направлениям. С одной стороны, в состав технических систем входит
все большее число комплектующих элементов. С другой стороны усложняется их
структура, определяющая соединение отдельных элементов и их взаимодействие в
процессе функционирования.
При прочих равных условиях, система, состоящая из большого числа
комплектующих элементов и имеющая более сложную структуру и сложный алгоритм
функционирования, является менее надежной по сравнению с более простой
системой. Это требует разработки специальных методов обеспечения, повышения и
поддержания надежности таких систем.
Инженеры, физики и математики приложили не мало совместных усилий для
разработки современной теории надежности. Были предприняты гигантские усилия
для создания более надежных компонентов, более простых и надежных схем и
конструкций, улучшения условий эксплуатации. Были разработаны соответствующие
методы, позволяющие осуществлять анализ и синтез разрабатываемых технических
средств на этапе проектирования, проводить обоснование оценки показателей
надежности этих средств во время испытаний и эксплуатации.
Однако проблема надежности продолжает оставаться одной из основных в
современной технике. Это объясняется тем, что постоянно усложняются решаемые
задачи и одновременно повышаются требования к надежности их выполнения.
1 Количественные показатели надежности невосстанавливаемых систем
На
испытание поставлено N0 = 100 однотипных изделий. За время t = 10000 часов
отказало n(t) = 25 изделий, а за последующие Δt = 1000 часов отказало n(Δt) = 5 изделий (см. рис. 1). Определить статистические
значения показателей надежности: , ; ; ; ; .
Рисунок 1.1
Решение
1.
Определим вероятности безотказной работы и отказа
за время испытаний час:
(1.1)
где
- число однотипных объектов, поставленных на
испытание;
- число
отказавших объектов за время испытаний (за
интервал времени (0, t));
- число
не отказавших объектов за время t, .
(1.2)
.
Определяем и за время
испытаний :
,
,
.
Определяем плотность вероятности отказов за время
час:
1/ч,
(1.3)
1/ч,
где
- число отказавших объектов на интервале времени : от t до .
.
Определяем интенсивность отказов за время по формуле:
1/ч.
Расчет надежности нерезервированных и резервированных невосстанавливаемых
систем
Структурная
схема надежности устройства приведена на рисунке 2.1. Интенсивности отказов
элементов имеют следующие значения: λ1=9∙10-4 1/час; λ2=7∙10-4
1/час; 1/час. Показатели надежности устройства распределены
по экспоненциальному закону распределения. Необходимо найти среднюю наработку
до отказа устройства и вероятность его безотказной работы в течение 100 часов.
Рисунок 2
Решение
. Готовой формулы для средней наработки до отказа Tc в рассматриваемом случае нет.
Поэтому необходимо воспользоваться соотношением:
. (2.1)
.
Найдем выражение для вероятности безотказной работы устройства. Очевидно, что:
(2.2)
, (2.3)
, (2.4)
. (2.5)
Тогда,
подставляя значения , и в выражение для ,
получим:
безотказный работа
надежность
.
, , , то
Вычислим
вероятность безотказной работы системы
за время t=100 часов:
.
Определяем среднюю наработку до отказа :
Подставляя
в выражение для значение интенсивности отказов из условия задачи,
получаем:
час.
Расчет
надежности невосстанавливаемых систем при проектировании
Необходимо выполнить ориентировочный расчет надежности системы, состоящей
из N элементов различного типа. Требуется
вычислить вероятность безотказной работы системы в течение времени t и среднюю наработку до отказа
системы Тср.
Решение
. Для выполнения ориентировочного расчета надежности составим и заполним
таблицу. 3.1, вычислив величину интенсивности отказов изделия. Значения
интенсивностей отказов λi элементов.
Система состоит из 69 маломощных низкочастотных транзисторов, 57
плоскостных кремниевых выпрямителей, 53 слюдяных и 13 танталовых конденсаторов,
240 резисторов типа МЛТ мощностью 0,5 Вт и 86 резисторов типа МЛТ мощностью 1
Вт, 9 силовых трансформатора, 47 катушек индуктивности. Необходимо найти
вероятность безотказной работы системы в течение t=26 час и среднюю наработку до отказа системы Тс.
Таблица 3.1
Наименование и тип элемента
|
Обозначение на схеме
|
Количество элементов Ni
|
Интенсивность отказов λс, 10-6 1/час
|
Ni ∙
λi × 10-6, 1/час
|
1.Транзистор мощные
низкочастотные
|
VT1 - VT69
|
4,6
|
289,8
|
2.Диод выпрямительный
плоскостной
|
VD1 -VD57
|
57
|
5
|
285
|
3.Конденсатор слюдяные
|
C1 - C53
|
53
|
1,2
|
63,6
|
4. Конденсатор танталовые
|
С54 - С67
|
13
|
2,2
|
28,6
|
5. Резистор МЛТ, 0,5 Вт
|
R1-R240
|
240
|
0,5
|
120
|
6. Резистор МЛТ, 1 Вт
|
R241-R327
|
86
|
1
|
86
|
7.Трансформатор силовой
|
T1-T9
|
9
|
3
|
27
|
8.Катушка индуктивности
|
L1 - L47
|
47
|
0,5
|
23,5
|
. Вычисляем суммарную интенсивность отказов λс системы:
, (3.1)
где К - число типов элементов;
- число
элементов i - го типа;
-
среднее значение интенсивности отказов элементов i - го типа в
номинальном режиме работы и нормальных условиях эксплуатации.
.
Вычисляем вероятности безотказной работы системы Pc за время t=26
часов:
, (3.2)
,
.
Вычисляем среднюю наработку до отказа системы Tc:
час,
(3.3)
час.
Расчет
надежности восстанавливаемых систем
Для
графа состояний восстанавливаемой резервированной системы, изображенного на
рис. 3.1 необходимо: определить способ структурного резервирования, кратность
резервирования, начертить ССН системы, вычислить коэффициент готовности системы
КГ, сделать вывод о необходимости увеличения кратности резервирования системы.
Исходные данные для расчета: КГзад=0,999; λ=9∙10-4 1/ч; μ=7∙10-4 1/ч.
Решение
.
Чертим структурную схему надежности восстанавливаемой резервированной системы
(рисунок. 4.1)
Рисунок 4.1
. Чертим граф состояний системы (рисунок. 4.2)
Рисунок 4.2
3. С использованием полученного графа состояний системы записываем
систему линейных алгебраических уравнений по указанным в разделе 1 правилам
(правилам составления дифференциальных уравнений Колмогорова А.Н.):
(4.1)
Полученная
система уравнений является линейно зависимой.
.
Приводим данную систему уравнений к системе линейно независимых уравнений путем
исключения второго уравнения и добавления нормировочного уравнения:
(4.2)
.
Используя полученную систему уравнений, составляем и вычисляем определители D и Di (i=0,
1, 2):
P0 P1 P2
,
(4.3)
,
(4.4)
,
(4.5)
, (4.6)
,
.
Вычисляем вероятности нахождения восстанавливаемой резервированной системы в
соответствующих состояниях G0, G1, G2:
; (4.7)
где
i = 0, 1, 2;
D -
определитель, составленный из коэффициентов системы уравнений (3.35) при
переменных Pi(t);
Di -
определитель, в котором i-й столбец в определителе D заменяется
столбцом свободных членов
7.
Вычисляем коэффициент готовности KГ:
КГ=P0(t)+P1(t),
(4.7)
КГ
=0,32+0,41=0,73.
5 Расчет надежности дискретных систем с восстанавливающими органами
Для
восстанавливающего органа (ВО) типа запишите
логическую функцию (функцию алгебры логики) и постройте структурную схему на
основе логических элементов «И», «ИЛИ». Определите количество отказов по «0» и
«1», которое может корректировать восстанавливающий орган данного типа.
Исходные данные: и .
Решение
.
В соответствии с условием: и (так как знак мажоритирования в общем виде
записывается как: ).
(5.1)
где
- знак мажоритирования (голосования) из по ;
- порог
голосования, т.е. минимальное число единиц на входах ВО, при котором сигнал на
выходе y = 1.
- общее
число однотипных ДУ (основных и резервных).
.
Определяем число корректируемых отказов по «1» ВО типа :
n1 = ρ - 1, (5.2)
- 1 = 6.
3.
Определяем число корректируемых отказов по «0» ВО типа:
nо = r - ρ,
- 7 = 2. (5.3)
4. В соответствии с выражением:
(5.4)
запишем
логическую функцию (функцию алгебры логики) ВО в
дизъюнктивной нормальной форме:
Количество
логических слагаемых в данной функции определяется числом сочетаний (в данном случае: ), а
количество логических сомножителей в каждом слагаемом определяется значением (в данном случае: ).
.
В соответствии с правилами синтеза комбинационных схем на булевом базисе
(логические элементы «И», «ИЛИ», «НЕ») структурная схема ВО типа для полученной логической функции будет иметь вид
(рисунок 5):
Рисунок
5
Заключение
Вывод
по задаче 1
С
увеличением времени (в данном примере от 10000 ч. до 11000 ч.) вероятность
безотказной работы уменьшается (с 0,75 до 0,7) и следовательно
увеличивается вероятность отказа (с 0,25
до 0,3).
Вывод
по задаче 2
Полученная
вероятность безотказной работы системы
за время t=100 часов (0,989) и средняя наработка до отказа (1236 ч.) являются оптимальными величинами для работы
данной (смешанной) структурной схемы надежности устройства, следовательно пока
нет никакой необходимости разрабатывать меры повышения надежности.
Вывод
по задаче 3
Проведя ориентировочный расчет данной системы можно сказать, что
полученные значения при времени t=26
ч. удовлетворяют стабильной работе (т.е. без частых отказов), поэтому данную
систему можно отправить на дальнейшее производство.
Вывод по задаче 4
Вычисленное
значение коэффициента готовности меньше заданного значения (). Следовательно, кратность резервирования m = 1
увеличиваем на единицу и повторяем вычисление коэффициента КГ. Также
разрабатываются меры повышения надежности:
·
резервирование;
·
возможные меры по
уменьшению вредных воздействий;
·
выбор новых
элементов с малыми значениями интенсивностей отказов и др.
Вывод по задаче 5
Восстанавливающий орган данного типа может корректировать следующее
количество отказов: по «0» - 2, а по «1» - 6.
Список использованных источников
1. Сапожников,
В.В. Теоретические основы железнодорожной автоматики, телемеханики и связи /
В,В, Сапожников, Ю.А. Кравцов, Вл. В. Сапожников. - М.: Транспорт, 1995. - 320
с.
2. Половко,
А.М. Основы теории надежности. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 704 с.
. Половко,
А.М. Основы теории надежности. Практикум. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 560 с.
. Гнеденко,
Б.В. Математические методы в теории надежности / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев,
А.Д. Соловьев. - М.: Наука, 1965. - 524 с.
. Козлов,
Б.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики.
- М.: Советское радио, 1975. - 472 с.
. Дружинин,
Г.В. Теория надежности радиоэлектронных систем в примерах и задачах / Г.В.
Дружинин, С.В. Степанов, В.Л. Шахматова, Г.А. Ярыгин. - М.: Энергия, 1976. -
448 с.
. Половко,
А.М. Сборник задач по теории надежности / А.М. Половко, И.М. Маликов, А.Н.
Жигарев, В.И. Зарудный; Под ред. А.М. Половко и И.М. Маликова. - М.: Советское
радио, 1972. - 408 с.