Основы финансовой математики
1. Какая сумма была первоначально помещена в
банк, если при закрытии счета вкладчик получил 17 тыс. д. ед. Движение денежных
средств на счете было следующим:
.04 - сумма Х, ставка простых процентов 8%
.04 - внесено дополнительно 13 тыс. д. ед.
.08 - внесено дополнительно 2 тыс. д. ед.
.09 - снято 5 тыс. д. ед.
.10 - счет закрыт.
Расчет осуществляется английским способом.
Решение
Начисленные за весь срок проценты
Наращенная сумма
I - проценты за весь срок ссуды
P - первоначальная сумма долга
S - наращенная сумма, то есть сумма в конце срока
i - ставка наращения процентов
n - срок ссуды
t - число дней ссуды
K - временная база начисления процентов (time
basis)
K = 365
n (9.09 - 30.10) = 51/365 = 0.1397
P = 17 * (1 - 0.1397 * 0,08) = 16,81 тыс. д. ед.
n (8.08 - 9.09) = 31 / 365 = 0,0849
P = (16,81 + 5) * (1 - 0,0849 * 0,08) = 21,66 тыс.
д. ед.
n (25.04 - 8.08) = 105 / 365 = 0,2877
P = (21,66 - 2) * (1 - 0,2877 * 0,08) = 19,21 тыс.
д. ед.
n (01.04 - 25.04) = 24 / 365 = 0,0658
P = (19,21 - 13) * (1 - 0,0658 * 0,08) = 6,18 тыс.
д. ед.
Ответ: Первоначально в банк было помещено 6,18 тыс. д.
ед.
2. Пусть современная стоимость 1000 $, которые
мистер А должен получить по банковскому депозиту через два года при постоянной
силе роста δ, равна удвоенной
современной стоимости 600 $, которые мистер В получит по депозиту через 4 года
при той же δ. Найти δ
Решение:
SА(2) - сумма, которую получит
мистер А через 2 года
SВ(4) - сумма, которую получит
мистер В через 4 года
SА(0)=2 SВ(0)
δ - сила роста (интенсивность
наращения)
Через 2 года мистер А должен получить 1000 $ при
интенсивности роста δ:
SА(2)= SА(0)·е δ·2 (1)
Через 4 года мистер В должен получить 600 $ при интенсивности
роста δ:
SВ(4)= SВ(0)·е δ·4 (2)
При этом SА(0)=2 SВ(0). Подставим числовые
значения в (1) и (2) и выразим из них, например, SВ(0):
=2 SВ(0)·е δ·2
SВ(0)= 1000/(2·е δ·2) (3)
=SВ(0)·е δ·4
SВ(0)= 600/(е δ·4) (4)
Приравняем (3) и (4) и выразим из полученного равенства δ:
(1000/2)· е-δ·2=600· е-δ·4
е-δ·2· еδ·4=600/500
еδ·2=1,2
δ=0,5 ln 1,2=0,091=9,1%
Ответ: Сила роста 9,1%
3. Предприниматель взял в банке кредит на сумму
200 тыс. руб. на условиях начисления сложных процентов по процентной ставке 25%
годовых. Через 2 года он вернул банку 120 тыс. руб., но еще через год взял
кредит в сумме 60 тыс. руб. Через 3 года после этого предприниматель вернул
полностью полученные кредиты. Какую сумму при этом он выплатил банку?
Решение
S = P (1+r)n
P - первоначальная сумма долга
S - наращенная сумма, то есть сумма в конце срока
n - срок кредита
S1 = 200 * (1 + 0,25)2
= 312,5 тыс. руб.
S2 = (312,5 - 120) * 1,25 =
240,625 тыс. руб.
S3 = (240,625 + 60) * 1,253
= 587,16 тыс. руб.
S = 120 + 587,16 = 707,16 тыс. руб.
Ответ: Предприниматель выплатил банку 707,16 тыс. руб.
4. Банком выдан кредит на 3 месяца под 27%
годовых с ежемесячным начислением сложных процентов. Определить величину
простой учетной ставки, обеспечивающей такую же величину начисленных процентов
Решение:
I = (1+r/N)n
Iслож = (1 + 0,27/12)3
= 1,069
Iпрост =0,069/3 * 12 = 0,276 =
27,6%
Ответ: Такую же величину начисленных процентов за 3
месяца обеспечит простая ставка 27,6% годовых.
учетный ставка финансовый
актуарный
5. Ссуда в размере 3 000 000 руб. выдана банком
20 января на срок 1 год. На протяжении этого срока в счет погашения
задолженности производятся платежи в банк: 20 апреля в размере 500 000 руб., 20
июля - 200 000 руб., 20 октября - 800 000 руб. На ссуду банк предусматривает
начисление простых процентов по ставке 30% годовых. Рассчитать контур
финансовой операции для актуарного метода и правила торговца и определить величину
погасительного платежа в обоих случаях. Результаты сравнить
Решение:
Пусть ссуда выдана размером S0 = 3 000 000 руб.
До окончания ссудной операции было сделано три частичных
платежа:
A1 = 500 000 руб. через 3
месяца (t1 = ¼) после начала сделки;
A2 = 200 000 руб. через
полгода (t2 = ½)
после начала
сделки;
A3 = 800 000 рус. через 9
месяцев (t3 = ¾)
после начала
сделки.
Актуарный
метод
Найдём последний (погашающий) платёж A4, сделанный в момент
завершения операции (через год после начала сделки).
За время t1 = ¼
года на
сумму основного долга (которая равна размеру кредита) было начислено (30% · ¼ · 3 000 000)/100% = 225 000 руб. процентных денег. Первый
частичный платёж больше, чем эта сумма, поэтому он сначала идёт на погашение
процентов (225 000 руб.), а затем - на погашение основного долга (275 000
руб.). В результате после внесения первого частичного платежа размер
задолженности заёмщика составил S1 = 3 000 000 - 275 000 =
2 725 000. Начиная с момента времени t1 = ¼ начисление процентов осуществляется уже на эту сумму.
С момента времени t1 = ¼ по момент времени t2 = ½ на сумму долга S1 было начислено (30% · (½ - ¼) · 2 725 000)/100% = 204 375 процентных денег.
Второй частичный платёж (200 000) меньше, чем эта сумма, поэтому он полностью
присоединяется к третьему частичному платежу. Величина задолженности остаётся
той же: S2 = S1.
С момента времени t1= ¼ по момент времени t3 = ¾ на задолженность S1 было начислено (30% · (¾ - ¼) · 2 725 000)/100% = 408 750 руб. процентных
денег. Второй и третий частичный платёж в сумме (200 000 + 800 000 = 1 000 000
руб.) превосходят эту величину, поэтому они идут на погашение процентов (408
750 руб.) и на уменьшение основного долга (1 000 000 - 408 750 = 591 250 руб.).
Значит, после внесения этих платежей размер задолженности заёмщика составит S3 = 2 725 000 - 591 250 =
2 133 750 руб.)
Таким образом, за 3 месяца (¼
года) до
окончания срока ссуды заёмщик должен вернуть кредитору лишь 2 133 750 руб. За
оставшееся время на эту сумму будет начислено (30% · ¼ · 2 133 750)/100% = 160 031,25 процентных денег. Следовательно,
искомый заключительный платёж составляет A4 = 2 133 750 + 160 031,25
= 2 293 781,25 руб.
Всего заёмщиком было выплачено 500 000 + 200 000 + 800 000 +
2 293 781,25= 3 793 781,25 руб.
Принцип правила торговца, проценты начисляются:
На сумму основного долга S0 = 3 000 000 руб. в
течение всего срока ссуды (итоговая задолженность составляет 3 000 000 + (30% ·
1 · 3 000 000)/100%)=3 900 000.
На первый частичный платёж A1 = 500 000
руб., сделанный в момент времени t1 = ¼, в течение девяти месяцев (сумма платежа с начисленными
процентами составляет 500 000 + (30% · ¾
· 500 000)/100%
= 612 500 руб.
На второй частичный платёж A2 = 200 000,
сделанный в момент времени t2 =
½, в
течение полугода (сумма платежа с начисленными процентами составляет 200 000 +
(30% · ½ · 200 000)/100% = 230 000 руб.
На третий частичный платёж A3= 800 000
руб., сделанный в момент времени t3 = ¾, в течение трёх месяцев (сумма платежа с начисленными
процентами составляет 800 000 + (30% · ¼
· 800 000)/100%
= 860 000 руб.
Сумма всех частичных платежей с начисленными на них
процентами равна 612 500 + 230 000 + 860 000 = 1 702 500 руб. Последний
(погашающий) платёж A4 равен разности между величиной
итоговой задолженности (3 900 000 руб.) и этой суммой и составляет 3 900 000 -
1 702 500 = 2 197 500 руб.
Отметим, что всего за год заёмщик вернул кредитору 500 000 +
200 000 + 800 000 + 2 197 500 = 3 697 500, что на 202 500 руб. меньше, чем если
бы он возвращал долг одним платежом в конце года.
При рассмотрении двух методов, видно, что метод
правила торговца выгоднее, чем актуарный метод.
6. Принято решение о выкупе облигаций
государственного бессрочного займа, по которому на каждую облигацию
выплачивались доходы в размере 2 тыс. руб. дважды в год - в конце каждого
полугодия, а доходность облигации составляла 5% годовых. Определить сумму,
подлежащую выплате на каждую облигацию
Решение:
Sгод = 2/6 *1 2 = 4 тыс. руб.
Р = 4/0,05 = 80 тыс. руб.
Ответ: По каждой облигации подлежит выплате сумма 80
тыс. руб.
7. Ссуда в размере 200 тыс. руб. выдана на 3
года под 11% годовых и должна быть погашена разовым платежом в конце третьего
года. Для погашения задолженности должник должен создать погасительный фонд,
размещая денежные средства в банке под 11.5% годовых. В течение первого года он
вносил в банк по 5 тыс. руб. в конце каждого месяца, на протяжении второго года
- по 15 тыс. руб. в конце каждого квартала. Какую сумму ему нужно внести в банк
через 2.5 года, чтобы суммы погасительного фонда было достаточно для погашения
долга. В расчетах используются сложные ставки процентов
Решение
Сумма, необходимая для погашения кредита:
S = 200 * (1 + 0,11)3 = 273,53 тыс.
руб.
Формирование погасительного фонда
Период
|
1 год
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
платежи
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
накопленные
средства
|
|
5,048
|
10,144
|
15,289
|
20,484
|
25,728
|
31,022
|
36,368
|
47,212
|
52,713
|
58,266
|
месячная
процентная ставка
|
0,00958
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
период
|
2 год
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
платежи
|
|
|
15
|
|
|
15
|
|
|
15
|
|
|
15
|
накопленные
средства
|
63,872
|
64,484
|
65,102
|
80,870
|
81,645
|
82,427
|
98,361
|
99,303
|
100,255
|
116,359
|
117,474
|
118,60
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
период
|
3 год
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
платежи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
накопленные
средства
|
134,880
|
136,173
|
137,478
|
138,795
|
140,125
|
141,468
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.53 / (1+0.0095)6 = 258.316 тыс. руб.
,315 - 141,468 = 116,847 тыс. руб.
Ответ: Для того, чтобы погасить кредит через 2,5 года
необходимо внести 116,847 тыс. руб.
8. На вклад в течение 15 месяцев начисляются
проценты: а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна
быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала,
если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?
Решение
а) (1+r)15 / (1 + 0,08)5 = 1
(1+r)15 = 1,469
r = 0.026
,026 * 12 = 0,312 = 31,2%
Ответ.
б) 1 + 1,4*r = 1,469
Ответ:
а) Процентная ставка должна быть более 31,2% годовых.
б) Процентная ставка должна быть более 33.5% годовых.
9. Найти годовую ренту-сумму (консолидированную)
сроком в 10 лет для двух годовых рент: одна - длительностью 5 лет с годовым
платежом 1000 тыс. руб., другая - 8 лет и 800 тыс. руб. Годовая ставка - 8%
Решение
PV=R*(1 - (1+r) - n)/r
PV1 = 1000 * (1 - (1 + 0,08)-5)
/ 0,08 = 3993 тыс. руб.
PV2 = 800 * (1 - (1 + 0,08)-8)
/ 0,08 = 4598 тыс. руб.
Современная сумма ренты = 3993 + 4598 = 8591 тыс. руб.
= R * (1 - (1 + 0,08)-5) / 0,08
R = 1280,328 тыс. руб.
Ответ: Годовой платеж консолидированной ренты равен
1280,328 тыс. руб.
Список использованных источников
учетный ставка финансовый
актуарный
1. Агапов
С.Е. Кудрявцев О.Е. Финансовая математика. Дискретные модели. - Ростов - на
Дону: Изд-во РГУ, 2004, - 43 с.
2. Башарин
Г.П. Начала финансовой математики. - М.: Инфра-М, 1997.
. Ващенко
Т.В. Математика финансового менеджмента. - М.: Перспектива, 1996.
. Кочович
Е. Финансовая математика. Теория и практика финансово-банковских расчетов. -
М.: Финансы и статистика, 1994.
. Медведев
Г.А. Начальный курс финансовой математики: Учеб. пособие для студ. вузов. - М.:
Остожье, 2000. - 268 с.
. Мелкумов
Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. - М.:
Инфра-М., 1996.
. Мелкумов
Я.С., Румянцев В.Н. Финансовые вычисления в коммерческих расчетах. Практическое
пособие для предпринимателей, работников банка и финансовых структур. - М.,
1994.
. Четыркин
Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: Дело, Бизнес, Речь, 1992.
. Четыркин
Е.М. Финансовая математика: Учебник. - 2-е издание, исправленное. - М.: Дело,
2004. - 400 с.
. Ширшов
У.В., Петрик Н.И., Тутыгин А.Г., Серова Г.В. Финансовая математика. - М.:
КиноРус, 2006. - 144 с.