,%5,9613,7532,0790,9110,2260,0030,2240,8731,9353,3985,248
Как видно из таблицы, на краях заданного диапазона точность линеаризации недостаточна. Найдем параметры диапазона, в котором ошибка не превышает заданных 5%. Из уравнения (13) получим:
Откуда ,
Решая это уравнение, получаем новые значения границ интервала. Они будут: и . Построим график .
Построим графики и , то есть линеаризованной и нелинеаризованной статических характеристик.
Таким образом, исходное уравнение (1) линеаризуется уравнением вида (10):
,
а требуемая точность достигается в интервале изменения входной переменной от 4,2 до 8,9.
. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели
В результате линеаризации нелинейной модели объекта управления получено некоторое линейное дифференциальное уравнение 2 порядка. Линеаризованное уравнение имеет вид:
(14)
Напомним, что и - производные по времени, а (14) это уравнение в отклонениях от номинального (знак D опущен для простоты записи). Для уравнения 2 порядка каноническая форма записи имеет вид:
(15)
где - постоянная времени объекта, с; - коэффициент усиления объекта по каналу - ; - так называемый коэффициент демпфирования, смысл которого будет рассмотрен позже.
Следует отметить важность приведения к канонической форме для получения правильных значений параметров объекта. Характерная черта канонической формы дифференциального уравнения объекта - это то, что при выходной переменной () коэффициент равен 1.
Сравнивая выражения (14) и (15), получим:
=0,304, =0,468, =3,54.
Применим к уравнению (14) преобразование Лапласа.
Напомним, что для некоторой функции f(t) преобразование Лапласа определяется, как:
,
где р - комплексная переменная.
Для величин, входящих в уравнение (14), преобразование Лапласа имеет вид:
;
;
С учетом этого, уравнение (16) имеет следующий вид:
, или
(16)
Уравнение (16) называется изображением по Лапласу для уравнения (15). Полином, стоящий в левой части уравнения (16), носит название характеристического полинома.
Уравнение =0 называется характеристическим уравнением.
Для анализа объекта управления обычно используют два вида типовых возмущений:
Х = 1[t] - единичный скачек
Х = d[t] - мгновенный импульс
Решение Y(t) при X = 1[t] называется переходной характеристикой объекта управления h(t). Решение Y(t) при X = d[t] называется импульсной характеристикой (функцией веса) объекта w(t).
Следует отметить, что весовая функция w(t) является производной от функции переходного процесса h(t).
Решение дифференциального уравнения ищется в виде суммы экспонент. Вид решения зависит от входного сигнала.
Для звена второго порядка эти решения имеют вид:
(17)
(18)
Здесь ; - корни характеристического уравнения, которые определяются, как ; , - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий. Следует обратить внимание на величину x. В случае, когда x>1, дискриминант положителен и корни р1; р2 получаются вещественными. Переходной процесс называется монотонным.
В случае, когда 0<x<1, дискриминант отрицательный и корни р1; р2 получаются комплексными, вида где . В этом случае, выражение (17) можно представить в виде:
(19),
а выражение (18) в виде:
(20).
Здесь a - степень затухания амплитуды (учитывает вещественную часть корней характеристического уравнения); w - круговая частота колебаний выходной переменной (учитывает мнимую часть корней характеристического уравнения); А - начальная амплитуда колебаний, f - фазовый сдвиг.
Переходной процесс, получающийся при решении такого вида, называется колебательным.
Значение постоянных можно найти по выражениям:
(21)
В данном случае =0,304, =0,468, =3,54 следовательно:
, , ,
Тогда по (19) и (20)
(22)
(23)
Для получения монотонного процесса прибавим к x единицу. Тогда при x>1 (x=1,468):
,
следовательно р1=-1,309, р2=-8,349, а по (17) и (18) получаем:
линейный регулирование математическая модель
Тогда
(24)
(25)
По приведенным выражениям строим графические характеристики:
Переходные характеристики объекта при x>1 и 0<x<1
Импульсные характеристики объекта при x>1 и 0<x<1
Уравнение (16) можем переписать следующим образом:
(26)
Выражение вида при нулевых начальных условиях, называют передаточной функцией объекта управления.
В случае, когда к дифференциальному уравнению объекта управления применяют преобразование Фурье:
(27)
Выражение (23) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) объекта управления, поскольку выражение, являющееся коэффициентом перед экспонентой, характеризует зависимость амплитуды колебаний, а показатель экспоненты - фазового сдвига от частоты.
АФЧХ можно разбить на две составляющие:
) Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) - А(w)
) Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) - j(w)
) АФЧХ объекта второго порядка имеет вид: , поэтому:
АЧХ: (28)
А) при 0<x<1:
Б) при x>1:
) ФЧХ объекта второго порядка имеет вид:
ФЧХ: (29)
А) при 0<x<1:
Б) при x>1:
Следует отметить, что АФЧХ является комплексным числом, поэтому может быть представлена в виде:
Здесь Р(w) называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ), а Q(w) - мнимой частотной характеристикой (МЧХ), при этом:
;
Для рассматриваемого объекта АФЧХ имеет вид:
то есть:
; (30)
А) при 0<x<1: ;
Б) при x>1: ;
АФЧХ объекта строится в виде годографа на комплексной плоскости, при этом по оси абсцисс откладывают ВЧХ, а по оси ординат - МЧХ. Один для апериодического звена (x=1,468>1), а другой для колебательного звена (0< x=0,468 <1).
. Исследование устойчивости замкнутой системы управления
Под устойчивостью АСУ понимают способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. В любой АСР, в результате возмущающих сил с одной стороны и восстанавливающего действия регулятора с другой, возникает переходной процесс.
Схема системы регулирования по отклонению
Переходной процесс в системе может быть 3 видов:
) Система не может восстановить состояние равновесия и значение Y все больше отклоняется от заданного. Такой процесс называется расходящимся, а система - неустойчивой.
) Система возвращается к равновесному состоянию и значение управляемой координаты Y после окончания переходного процесса отличается от заданного лишь на некоторую статическую ошибку. Такой процесс называется сходящимся, а система - устойчивой.
) В системе устанавливаются периодическое движение. Такой процесс называется незатухающим колебательным, а система находится на границе устойчивости. Любое воздействие на такую систему может привести ее как к сходящемуся, так и к расходящемуся переходному процессу.
Основными законами автоматического регулирования являются:
) Пропорциональный (П - закон). При таком законе управления управляющий сигнал m прямо пропорционален сигналу рассогласования межну выходной координатой и ее заданным значение., то есть:
) Пропорционально-интегральный (ПИ - закон). Управляющий сигнал складывается из пропорциональной части и интеграла ошибки за некоторый период Т:
) Пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД - закон). К ПИ - закону добавляется производная от ошибки (скорость ее изменения).
Выбирая Кр; Ти; Тд, можно усиливать или ослаблять соответствующие части регулятора, добиваясь наилучшего качества регулирования. Оценка устойчивости системы производится при помощи критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных.
Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения. Рассмотрим один из наиболее часто встречающихся алгебраических критериев - критерий Гурвица.
Напомним, что рассматриваемый объект управления представляет собой колебательное звено 2 порядка, передаточная функция которого имеет вид:
(31)
Выберем в качестве закона регулирования ПИ - закон, то есть передаточная функция регулятора будет иметь вид:
(32)
Передаточная функция замкнутой системы управления определяется по выражению:
(33)
Подставляя значения Wo(p), Wp(p) и производя необходимые упрощения, получим:
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
(35)
Обозначим:
; ; ;
Критерий устойчивости Гурвица заключается в вычислении определителей так называемой матрицы Гурвица. Система управления считается устойчивой, если все определители матрицы Гурвица больше нуля. Для системы 3 порядка необходимо вычислить следующие определители:
; ; (36)
Вычисление определителей матрицы Гурвица можно производить и вручную, но наиболее удобно сделать это с использованием математических пакетов типа MathCad и др.
Так как,
; ,
где D - допустимая статическая ошибка регулирования, которую примем равной 5 %. то
,
Подставим найденные значения в характеристическое уравнение
и найдем:
А) при 0<x<1:
,, ,
;
;
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива
Б) при x>1:
,,,
;
;
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива
Среди частотных критериев устойчивости наиболее распространенным является критерий Найквиста. Этот критерий заключается в построении годографа разомкнутой системы и определении положения годографа относительно точки (-1; j0). Если годограф пересекает ось абсцисс левее этой точки, то система считается неустойчивой, если правее - система устойчива. Если же годограф проходит через эту точку, называемую точкой Найквиста - система находится на границе устойчивости.
Можем записать: , или:
(37)
Передаточную функцию разомкнутой системы преобразуют в амплитудно-фазовую частотную характеристику, строят годограф, и по нему оценивают устойчивость системы.
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение - единичный скачек. Определим корни характеристического уравнения замкнутой системы управления (6) и представим решение дифференциального уравнения замкнутой системы в виде:
(38)
где: (39)
Подставляя корни характеристического уравнения (31) в выражение (35), определяем константы интегрирования и строим по выражению (34) переходной процесс.
Построим графики переходного процесса и годографа Найквиста с помощью программного математического пакета Matlab 2009b.
Переходный процесс при 0<x<1
>> p=[0.056 0.173 12.184 18.97]=
.0560 0.1730 12.1840 18.9700
>> roots(p)=
.7575 +14.6497i
.7575 -14.6497i
.5742
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 12.184 18.97])function:
.159 s
--------------------------------------
.056 s^3 + 0.173 s^2 + 12.18 s + 18.97
>> step(w)
Годограф Найквиста при 0<x<1
>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])function:
.57 s + 18.97
-----------------------------
.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Система находится на границе устойчивости.
Переходный процесс при x>1
>> p=[0.056 0.544 12.184 18.97]=
.0560 0.5440 12.1840 18.9700
>> roots(p)=
.0277 +13.7108i
.0277 -13.7108i
.6588
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.544 12.184 18.97])function:
.159 s
--------------------------------------
.056 s^3 + 0.544 s^2 + 12.18 s + 18.97
>> step(w)
Годограф Найквиста при x>1
>> wr=tf([5.36*3.54*0.61 5.36*3.54],[0.056 0.544 0.61 0])function:
.57 s + 18.97
.056 s^3 + 0.544 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Система находится на границе устойчивости
. Синтез линейных систем регулирования
Рассмотрим методику расчета параметров регулятора для получения наилучшего качества переходного процесса в системе по минимуму средней квадратической интегральной оценки.
Смысл синтеза АСР по минимуму средней квадратической интегральной оценки заключается в подборе настроек регулятора, минимизирующих интеграл
(36)
где t0 - момент времени включения регулятора, ε(t) - суммарная ошибка регулирования входной величины, включающая в себя ошибки, связанные с изменением заданной величины и колебаниями возмущения.
Рис. 12. Схема системы регулирования
Для ошибки регулирования можем записать выражение:
(37)
Поскольку на входе системы имеем единичный скачек, Х(р)=1/р. Передаточная функция разомкнутой системы:
(38)
Тогда равенство (37) примет вид:
где , , , , , ,
Тогда
А) при 0<x<1:
, , , , , ,
Б) при x>1:
, , , , ,,
Последнее выражение получено в области Лапласовых изображений и переход к оригиналу следует произвести через замену р на jw, при этом интеграл (36) примет вид:
(39)
Подобные интегралы табулированы и решение для полинома 3 степени в знаменателе имеет вид:
(40)
Подставив в (40) числовые значения получим
А) при 0<x<1:
Взяв производную по , приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.
Получатся 2 корня:
,
Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .
Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
Обозначим:
; ; ;
Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:
;
;
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение - единичный скачек.
Переходный процесс при 0<x<1
>> p=[0.056 0.173 0.891 0.46]=
.0560 0.1730 0.8910 0.4600
>> roots(p)=
.2610 + 3.5903i
.2610 - 3.5903i
.5673
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.173 0.891 0.46])function:
.159 s
-------------------------------------
.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.891 s + 0.46
>> step(w)
Годограф Найквиста при 0<x<1
>> wr=tf([0.13*3.54*0.61 0.13*3.54],[0.056 0.173 0.61 0])function:
.2807 s + 0.4602
-----------------------------
.056 s^3 + 0.173 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Б) при x>1:
Взяв производную по , приравняем ее к нулю и решим получившееся уравнение.
,
Критерий не может быть отрицательным, поэтому выбираем .
Следовательно, , - эти настройки и принимаются в качестве оптимальных.
Характеристическое уравнение такой системы будет иметь вид:
Обозначим:
; ; ;
Вычислим определители критерия устойчивости Гурвица:
;
;
Определители матрицы Гурвица и все коэффициенты больше 0, из чего можно заключить, что система устойчива.
В заключение построим переходной процесс в системе, как реакцию на типовое возмущение - единичный скачек.
Переходный процесс при x>1
>> p=[0.056 0.552 1.638 1.685]=
.0560 0.5520 1.6380 1.6850
>> roots(p)=
.5839
.1366 + 0.9074i
.1366 - 0.9074i
>> w=tf([0.61*3.54 0],[0.056 0.552 1.638 1.685])function:
.159 s
--------------------------------------
.056 s^3 + 0.552 s^2 + 1.638 s + 1.685
>> step(w)
Годограф Найквиста при x>1
>> wr=tf([0.476*3.54*0.61 0.476*3.54],[0.056 0.552 0.61 0])function:
.028 s + 1.685
-----------------------------
.056 s^3 + 0.552 s^2 + 0.61 s
>> nyquist(wr)
Заключение
В результате работы был произведен параметрический синтез ПИ-регулятора на основе линеаризованного уравнения объекта управления, а также был построен переходной процесс при полученных оптимальных настройках.
В результате оценки устойчивости системы были произведены расчеты критериев устойчивости 2 видов: алгебраических и частотных, которые подтвердили устойчивость системы.