При преобразовании модели
ФНЧ-прототипа в модель ФВЧ осуществляется замена переменной p, входящей в выражения (2.1) и (2.2)
для передаточной функции ФНЧ-прототипа,
на p.
Выполняя это и последующие преобразования, получают передаточную функцию для нормированного ФВЧ соответственно вида
или
где ; ; ;
;
(в выражении (2.3));
(в выражении (2.4)).
Формулы (2.3), (2.4) получены
соответственно из формул (2.1), (2.2). Видно, что преобразование ФНЧ→ФВЧ
порядок фильтра не изменяет.
Для перехода к модели ПФ необходимо
в передаточной функции ФНЧ-прототипа
(2.1), (2.2) переменную p заменить на .
Осуществляя указанную замену и выполняя последующие преобразования, получают
модель нормированного ПФ соответственно вида
либо
или
где ;
при используется формула (2.5б),
, ;
при используется формула (2.5а),
, ;
(в
выражениях (2.5а) и (2.5б));
(в
выражении (2.6)).
Очевидно, преобразование ФНЧ→ПФ
приводит к увеличению порядка ПФ по сравнению с порядком ФНЧ-прототипа в два
раза.
После получения нормированной модели
разрабатываемого фильтра (, или ),
последнюю необходимо денормировать. Операция денормирования соответствует
замене в выражениях (2.1)−(2.4) переменной p на , где −
граничная частота полосы пропускания ФНЧ (ФВЧ), в выражениях (2.5а), (2.5б),
(2.6) на , где -
центральная частота полосы пропускания ПФ, полученная из условия геометрической
симметрии характеристик фильтра. Осуществляя необходимые преобразования,
получают денормированные модели фильтров вида
или
или
либо
или
где ,
,
;
,
,
,
.
Операция денормирования не добавляет
новых коэффициентов, а лишь изменяет значения существующих в соответствии с
денормирующей частотой, поэтому вид частотных и временных характеристик,
построенных по нормированным и денормированным моделям, одинаков, изменится
лишь масштаб по оси абсцисс. Именно денормированная передаточная функция
разрабатываемого фильтра применяется при расчете его принципиальной схемы,
представленной в виде последовательного соединения фильтровых звеньев невысоких
порядков (второго и первого). При разбиении денормированной передаточной
функции фильтра на сомножители первого и второго порядков масштабирующий
(нормирующий) множитель()
распределяется некоторым способом между этими сомножителями.
3. Виды аппроксимации
частотных характеристик. аппроксимация с помощью полиномов Баттерворта и
Бесселя
При моделировании реальных устройств
фильтрации с помощью комплексной передаточной функции необходимо располагать описанием их АЧХ и ФЧХ. Под электрическим
фильтром понимается устройство, пропускающее колебания одних частот и задерживающее
колебания других частот. Область частот, пропускаемых электрическим фильтром,
называется полосой пропускания. Область частот, задерживаемых (не пропускаемых)
фильтром, называется полосой задерживания. Между полосой пропускания и полосой
задерживания модуль комплексной
передаточной функции не должен выходить за пределы заданной неравномерности и гарантированного затухания соответственно. В переходной области модуль изменяется от значения, допустимого в полосе пропускания, до
значения, требуемого в полосе задерживания.
В общем случае требования к модулю либо к характеристике рабочего затухания (ХРЗ) на разных участках
полосы задерживания могут быть различными. Помимо требований к этим
характеристикам, в некоторых случаях дополнительно предъявляются требования к
аргументу комплексной передаточной функции, т.е. к фазочастотной
характеристике. Основными требованиями, определяющими непосредственное
назначение фильтра, являются требования к его избирательности. Исходя из этих
требований, решают первую часть общей задачи синтеза электрических фильтров -
аппроксимацию.
Задача аппроксимации состоит в том,
чтобы синтезировать некоторую функцию частоты, удовлетворяющую требованиям к
АЧХ или ХРЗ разрабатываемого фильтра. Наиболее удобно функцию частоты
представлять в виде ХРЗ
, (3.1)
где - коэффициент, характеризующий степень постоянства
(неравномерность) затухания (усиления) в полосе пропускания; - функция фильтрации, для которой желательны значения, близкие к
нулю в полосе пропускания и как можно большие в полосе задерживания. Функция
фильтрации в общем случае может быть дробной.
Известные в инженерной практике
способы получения функции фильтрации и, следовательно, комплексной передаточной функции удобно классифицировать по критерию аппроксимации АЧХ:
равноволновое (равномерно
колебательное) приближение в полосе пропускания и в полосе задерживания;
равноволновое приближение в полосе
пропускания;
максимально плоское приближение в
полосе пропускания.
В последних двух случаях затухание в
полосе задерживания монотонно возрастает с удалением от граничной частоты. В
качестве функции фильтрации может использоваться достаточно большое число
разновидностей полиномов и дробей.
В теории фильтрации принято так
называемое нормирование по частоте, приводящее расчет фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ,
ЗФ), работающих на различных частотах, к расчету некоторого нормированного
фильтра с определенной частотой среза. В качестве такого нормированного
фильтра, называемого прототипом, принимается ФНЧ. При изображении характеристик
ФНЧ-прототипа по оси абцисс откладывается нормированная частота , поэтому граничной частоте его полосы пропускания соответствует
частота .
Аппроксимация с помощью
полиномов Баттерворта. Широко используемым
на практике способом аппроксимации идеализированной характеристики ФНЧ является
нахождение ХРЗ с максимально плоским приближением. Функция фильтрации в этом
случае представляется полиномами Баттерворта
. (3.2)
Учитывая последнее и выражение
(3.1), приходим к модели ХРЗ фильтров Баттерворта в виде
. (3.3)
Если и , то , что соответствует половине мощности. На рисунке 3.1 приведены
основные частотные и временные характеристики фильтров Баттерворта разных порядков
(ХРЗ, АЧХ, ФЧХ, ХГВЗ, ИХ, ПХ).
ХРЗ (АЧХ) имеют монотонно
нарастающий (спадающий) характер в полосе пропускания (вплоть до частоты среза ) и монотонный характер в переходной области и полосе
задерживания. Степень приближения характеристик к идеализированным (П -
образным) возрастает с увеличением порядка полинома Баттерворта (порядка
фильтра). Характеристики на частоте имеют одинаковое (нулевое) затухание для четного и нечетного
порядков (в отличие от фильтров Чебышева).ФЧХ с увеличением порядка фильтра все
более отличается от линейной, увеличивается ее наклон. ХГВЗ, в отличие от
фильтров Чебышева, монотонно возрастает с приближением у частоте среза (тем
больше, чем выше порядок фильтра), что обусловлено монотонным поведением ХРЗ
(АЧХ) в полосе пропускания.
Фильтры-прототипы Чебышева и
Баттерворта называют еще полиноминальными, поскольку их операторные
передаточные функции представляются в виде
, (3.4)
где полином числителя, равный
единице, не зависит от частоты.
Коэффициенты полинома знаменателя
однозначно связаны с функциями фильтрации при аппроксимации полиномами
Баттерворта и Чебышева. С целью упрощения реализации фильтров на практике
используют каскадное соединение отдельных звеньев второго и первого порядков. В
этом случае полином знаменателя
ХРЗ АЧХ
ФЧХ ХГВЗ
ПХ ИХ
Рисунок 3.1 - Частотные и временные
характеристики фильтров разных порядков с аппроксимацией по Баттерворту
раскладывают на множители и
группируют его корни таким образом, чтобы они были либо комплексно сопряженными
с отрицательной вещественной частью (для звеньев второго порядка), либо
вещественными отрицательными (для звеньев первого порядка). Тогда операторная
передаточная (3.4) фильтра-прототипа представится в виде (2.1) или (2.2), где
коэффициенты и однозначно связаны с коэффициентами знаменателя выражения функции
(3.4). Поскольку математические модели фильтров Баттерворта и Чебышева
отличаются только своими коэффициентами, то их реализация возможна с помощью
одних и тех же принципиальных схем, отличающихся только номиналами элементов.
Характеристики рабочего затухания
фильтров Баттерворта и Чебышева в переходной области и полосе задерживания не
имеют никаких особенностей, за исключением того, что затухание резко
возрастает. Существуют аппроксимации идеальных характеристик ФНЧ, при которых
функция затухания в полосе пропускания ведет себя также, как и в случаях
аппроксимации полиномами Баттерворта (максимально плоская) и Чебышева
(равноволновая), однако в полосе задерживания является изоэкстремальной: имеет
полюсы ХРЗ (нули АЧХ). К таким фильтрам относят фильтры Золотарева-Крауэра и
обращенные (инверсные) фильтры Чебышева.
Аппроксимация с помощью
полиномов Бесселя. При этом виде
аппроксимации минимизируются временные задержки сигнала. Функция фильтрации
представляется полиномами Бесселя n-го порядка вида
, (3.5)
где - постоянная нормирования, , .
Последняя может быть представлена двумя формами записи
(3.6)
или
, (3.7)
где ; .
Асимптотическая частота среза может
быть определена на уровне Ѕ как . На
рисунке 3.2 приведены основные частотные и временные характеристики фильтров
Бесселя разных порядков (ХРЗ, АЧХ, ФЧХ, ХГВЗ, ИХ, ПХ)
Фильтр Бесселя характеризуется
максимально гладкой ХГВЗ, переходная характеристика имеет весьма малый выброс
(менее 1%), импульсная характеристика и АЧХ стремятся к гауссовой прямой при
увеличении порядка фильтра.
ХРЗ АЧХ
ФЧХ ХГВЗ
ПХ ИХ
Рисунок 3.2 - Частотные и временные
характеристики фильтров разных порядков с аппроксимацией по Бесселю
4. Вывод передаточных
функций фильтровых звеньев по структуре рауха
Самым распространенным методом
расчета активных фильтров по умеренным требованиям является каскадное
соединение фильтров второго порядка (в случае нечетного порядка фильтра к
каскадам второго порядка добавляется каскад первого порядка). Преимущество
каскадного проектирования состоит в простоте расчетов, подгонки элементов и
настройки фильтров, а также минимальной мощности, поскольку число операционных
усилителей на звене фильтра второго порядка может изменяться в соответствии с
заданными параметрами на фильтр. Так малоизбирательный фильтр (с низкой
добротностью полюсов) может строиться на одном операционном усилителе, а для
обеспечения стабильной работы звена с более высокой добротностью используется
звено на двух усилителях.
Среди структур фильтровых звеньев
второго порядка (на одном или нескольких усилителях) известны следующие:
Саллена-Ки, Рауха (с многопетлевой обратной связью), Тоу-Томаса, Флейшера-Тоу,
Кервина-Хьюлсмана-Ньюкомба, Аккерберга-Мосберга, звено с гиратором на
операционном усилителе и другие. Выбор конкретной структуры для проектирования
фильтра зависит от требований по минимальной мощности, простоте настройки,
методу изготовления, допускам на параметры и характеристики.
Большинство схем фильтров
принадлежит к семейству конечных линейных цепей с сосредоточенными параметрами,
для описания которых используется операторная передаточная функция
(4.1)
или операторная функция затухания
(4.2)
где и -
лапласовские изображения воздействия и реакции рассматриваемого
звена. Предполагается, что активный фильтр возбуждается от источника
напряжения, а выходной сигнал снимается с выходного контакта операционного
усилителя, при этом полное сопротивление источника сигнала равно нулю, а
сопротивление нагрузки бесконечно.
При разработке схемной реализации
фильтра используется полученная ранее денормированная операторная передаточная
функция разрабатываемого устройства фильтрации - , или , которая представляется в виде произведения операторных функций
второго и первого (при необходимости) порядков. Последние соответствуют
рассматриваемым фильтровым звеньям требуемого типа по структуре Рауха и
Салена-Кея для схем второго порядка и структуре инвертирующего и
неинвертирующего звена первого порядка. Причем, при разбиении денормированной
передаточной функции фильтра на сомножители первого и второго порядков
масштабирующий (нормирующий) множитель () распределяется некоторым способом между этими сомножителями.
Структура фильтрового звена второго
порядка с многопетлевой обратной связью (Рауха) представлена на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1 - Структура Рауха для
фильтрового звена второго порядка
Считая, что операционный усилитель
идеален (т.е. ток не потребляет), потенциал узла О равен 0, а потенциал узла А
обозначим . По
первому закону Кирхгофа запишем
(4.3)
Выражая токи по закону Ома через
потенциалы и проводимости и учитывая второе уравнение из (4.3), получаем . Тогда первое уравнение из (4.3) преобразуется к виду
. (4.4)
Из выражения (4.4) рассчитывается
передаточная функция цепи
. (4.5)
Сравним (4.5) с операторной
передаточной функцией фильтрового звена верхних частот второго порядка с
аппроксимацией частотных характеристик Чебышева или Баттерворта
. (4.6)
Видно, что в числителе и знаменателе
(4.6) стоят полиномы второго порядка, поэтому (рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 - Фильтровое звено
верхних частот второго порядка по структуре Рауха с аппроксимацией Чебышева или
Баттерворта
Запишем (4.5) с учетом указанных
проводимостей (рисунок 4.3б)
(4.7)
которую преобразуем к виду (4.6)
(4.8)
Сравнивая (4.6) и (4.8), имеем
систему уравнений для расчета номиналов схемы
(4.9)
Полученная система трех уравнений
содержит пять неизвестных . Тогда
решение системы (4.9) представляется в виде
(4.10)
5. Моделирование фильтра
на функциональном уровне в системе mathcad в частотной и
временной областях (расчет АЧХ, ФЧХ, ХРЗ, ХГВЗ, ИХ, ПХ в нормированном и
денормированном видах)
Для моделирования на функциональном
уровне будем использовать MathCad.
Операторную передаточную функцию
можно записать в следующем виде:
(5.1)
где K(w) - амплитудно-частотная
характеристика;
?(w) - фазо-частотная
характеристика.
Амплитудно-частотная характеристика
определяется следующим образом:
(5.2)
Фазо-частотная характеристика
определяется следующим образом:
(5.3)
Построим АЧХ и ФЧХ в MathCad:
Построим АЧХ фильтра прототипа
нижних частот:
Рисунок 5.1 - АЧХ фильтра прототипа
нижних частот в нормированном виде
Для построения характеристик ФВЧ,
осуществим пересчет параметров по методике описанной во втором разделе.
где ; ;
Построим АЧХ ФВЧ.
Рисунок 5.2 - АЧХ ФВЧ в
нормированном виде
Построим ФЧХ ВФЧ
Рисунок 5.3 - ФЧХ ФВЧ в
нормированном виде
Построим характеристику рабочего
затухания.
Рисунок 5.4 - ХРЗ ФВЧ в
нормированном виде
Построим характеристику группового
времени запаздывания
Рисунок 5.5 - ХГВЗ ФВЧ в
нормированном виде
Построим импульсную и переходную
характеристики
Рисунок 5.6 - ИХ ФВЧ в нормированном
виде
Рисунок 5.7 - ПХ ФВЧ в нормированном
виде
Чтобы построить данные
характеристики фильтра в денормированном виде, необходимо получить параметры
ФВЧ в денормированном виде. Для этого воспользуемся следующими выражениями:
Построим АЧХ ФВЧ.
Рисунок 5.2 - АЧХ ФВЧ в
денормированном виде
Построим ФЧХ ВФЧ
Рисунок 5.3 - ФЧХ ФВЧ в
денормированном виде
Построим характеристику рабочего
затухания.
Рисунок 5.4 - ХРЗ ФВЧ в
денормированном виде
Построим характеристику группового
времени запаздывания
Рисунок 5.5 - ХГВЗ ФВЧ в
денормированном виде
Рисунок 5.6 - ИХ ФВЧ в
денормированном виде
Рисунок 5.7 - ПХ ФВЧ в
денормированном виде
Анализ результатов вычислений
показывает, что операция денормирования произведена верно, так как
характеристики фильтра в денормированном виде отличны от характеристик в нормированном
виде представляемой областью частот.
6. Разработка
принципиальной схемы фильтра и расчет элементов
По условию нам задан ФВЧ восьмого
порядка, принципиальная схема в данном случае состоит из последовательно
соединенных четырех структур Рауха второго порядка.
Следовательно, представим следующим образом:
(6.1)
где - коэффициент для структуры Рауха второго порядка.
Рассчитаем фильтровое звено второго
порядка.
Рисунок 6.1 - Структура фильтрового
звена второго порядка
Перепишем выражение (4.5) с
конкретными выражениями проводимостей, имеем:
(6.2)
Получим систему:
(6.3)
Система (6.3) для одного каскада
представляет собой три уравнения с пятью неизвестными, то есть с двумя
степенями свободы. Для ее решения зададим два номинала Значения коэффициентов , были высчитаны ранее. Подставим номиналы в систему уравнений и
рассчитаем значение .
Аналогично рассчитаем номиналы
элементов второго, третьего и четвертого каскадов.
Занесем результат в таблицу.
Таблица 6.1 - Номиналы элементов в
схеме фильтра
№ звена
|
I
|
II
|
III
|
IV
|
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
0.01 мкф
|
|
925.5 Ом
|
2.6356 кОм
|
3.9445 кОм
|
4.6528 кОм
|
|
54.7 кОм
|
19.2 кОм
|
12.8 кОм
|
10.9 кОм
|
7. Моделирование фильтра
на схемотехническом уровне в системе electronic workbench в частотной и временной
областях (измерение АЧХ, ФЧХ, ЧРЗ, ИХ, ПХ)
Программа «Electronic Workbench» предназначена для
синтеза и анализа дискретных и аналоговых схем на основе стандартных
компонентов, входящих в базовый набор программы, используются также при
применении созданных пользователем блоков.
Соберем в «Electronic Workbench» принципиальную схему,
определенную приложением А. Зададим в схеме рассчитанные в разделе 6 номиналы
элементов.
К схеме подключим функциональный
генератор, осциллограф и измеритель частотных характеристик. Принципиальная
схема, позволяющая осуществить измерение частотных характеристик, изображена на
рисунке 7.1. В функциональном генераторе зададим периодическую
последовательность видеоимпульсов частотой следования 125 Гц и амплитудой 100
мВ.
Рисунок 7.1 - Схема электрическая
принципиальная ФВЧ
С помощью измерителя частотных
характеристик измерим АЧХ и ФЧХ.
Рисунок 7.2 - АЧХ ФВЧ
Для измерения импульсной
характеристики ввиду невозможности физического моделирования идеального
импульсного воздействия зададим скважность входной последовательности
видеоимпульсов, равную 1%.
Измеренные характеристики схожи с
характеристиками, построенными в разделе 5. Следовательно, можно сделать вывод
о корректном проектировании устройства фильтрации на функциональном и
схемотехническом уровнях.
Заключение
В данной курсовой работе
спроектирован высокочастотный фильтр восьмого порядка с аппроксимацией
Баттерворта. В качестве схемной реализации использованы четыре звенья структуры
Рауха. Данный фильтр обладает хорошей стабильностью характеристик и низким
выходным полным сопротивлением, однако невозможно достичь высокого значения
добротности Q без значительного разброса значений элементов и высокой
чувствительности к их изменению. Таким образом, его можно сразу соединять
каскадно с другими звеньями для реализации фильтра более высокого порядка.
В данной курсовой работе было
рассмотрено моделирование фильтра на функциональном уровне и были определены
его характеристики во временной и частотной областях, которые соответствуют
теоретическим сведеньям о фильтрах. В результате моделирования на
схемотехническом уровне были сняты рассчитанные характеристики с помощью
измерительных приборов и отмечено их соответствие техническим требования. Кроме
того была возможность убедится в правильности вывода операторной функции и
расчете электрических элементов.
Список литературы
1. 1. Зааль Р. «Справочник по расчёту фильтров». Перевод
с немецкого Ю.В. Камкина под редакцией Н.Н. Слепова. Москва «Радио и связь»
1983 г. - 752 с.
. Г. Мошиц, П. Хорн. «Проектирование активных фильтров».
Перевод с английского М.Н. Микшиса и И.Н. Теплюкова. Москва «Мир» 1984 г.
. Д. Джонсон, Дж. Джонсон, Г. Мур. «Справочник по активным
фильтрам». Перевод с английского М.Н. Миншисо. Под редакцией И.П. Теплюкова.
Москва Энергоатомиздат 1983 г.
. Г. Ханзел. «Справочник по расчёту фильтров». Перевод с
английского В.А. Старостина. Под редакцией А.Е. Знаменского. Москва «Советское
радио» 1974 г.
. Интернет ресурсы.