Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы»
Пример решения задачи по разделу
«Переходные процессы»
Задача.
Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи
действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон изменения во времени
токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачу
следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании
полученного аналитического выражения построить график изменения искомой
величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического
уравнения.
Параметры
цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Решение.
Классический метод.
Решение
задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = iпр(t) + iсв(t); u(t) = uпр(t)+ uсв(t),
(1)
где
, а .
1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для
момента времени t = (0–). Так как сопротивление
индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то
расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность
закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то
ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2(0–)
равен нулю, и в схеме всего один контур.
Составляем
уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
,
откуда
= 4 А.
Напряжение
на емкости равно нулю [uC(0–)
= 0].
2.
Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени
t = 0+. Расчетная схема приведена на рис.
3. По первому закону коммутации iL(0–)
= iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4
А. По второму закону коммутации uC(0–)
= uC(0+) = 0.
Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем:
или
;
i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.
Напряжение
на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+)
= 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.
3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений
для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается,
ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для
расчета параметров докоммутационого режима.
= 10 А;
= 100 В; ;
4.
Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+) = uпр(0+) + uсв(0+).
iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) =
10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) =
0; .
5.
Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно
после коммутации (t = 0+), для чего составим систему
уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив
Е = 0.
;
(2)
Производную
тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости
– из уравнения . Т.е.
и ,
откуда
; (3)
Подставляя
(3) в (2), после решения получаем:
; ; ;
Все
полученные результаты заносим в таблицу.
|
i1
|
i2
|
i3
|
uL
|
uC
|
uR2
|
t = 0+
|
14
|
10
|
4
|
0
|
0
|
100
|
|
10
|
0
|
10
|
0
|
0
|
100
|
|
4
|
10
|
–6
|
0
|
0
|
0
|
|
–105
|
–105
|
106
|
106
|
–106
|
6.
Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной
схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное
сопротивление для синусоидального тока .
Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:
.
Заменим
j на р и приравняем полученное уравнение
нулю. Получим:
или
R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Откуда
находим корни р1 и р2.
р1 = –1127,
р2 = –8873.
7.
Определим постоянные интегрирования А1 и А2.
Для чего составим систему уравнений:
;
или
;
Например,
определим постоянные интегрирования для тока i1 и
напряжения uL. Для тока i1
уравнения запишутся в следующем виде:
4
= А1i + А2i;
.
После
решения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А.
для
напряжения uL:
;
.
После
решения: =
129,1 В, = –129,1
В.
8.
Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по
закону:
i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,
а
напряжение uL:
uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.