Волновое уравнение не имеет единственного решения
Волновое уравнение не имеет единственного
решения
Виктор
Кулигин, Галина Кулигина, Мария Корнева, Исследовательская группа «Анализ»
Теорема о нарушении единственности решения
Теорему
о существовании и единственности решения задачи Коши можно найти в [1]
(стр.44...46). Логика доказательства приводит к однородному волновому уравнению
(77) (см. стр.45 в [1]), решение которого должно удовлетворять нулевым
начальным и граничным условиям (стр.45 в [1]). Далее идет доказательство, что
решение этого уравнения тривиальное и на основании этого делается заключение о
единственности решения задачи Коши для волнового уравнения.
Оказывается,
существует множество решений задачи Коши для волнового уравнения. Мы приведем
доказательство для свободного пространства (одномерный случай). Это
продиктовано следующими соображениями. Во-первых, доказательство не будет
перегружено дополнительными деталями. Во вторых, доказательство этого случая не
нарушает общности рассуждений и его нетрудно обобщить на случай наличия
граничных условий. В третьих, нас интересуют процессы в свободном пространстве
(излучение и распространение волн в электродинамике), к которым это
доказательство имеет прямое отношение.
Доказательство
Рассмотрим
однородное волновое уравнение в безграничном одномерном пространстве с нулевыми
начальными условиями.
|
(1)
|
Начальные
условия: v = 0 и ∂v/∂t = 0 при t = 0.
Представим
теперь функцию v как сумму некоторых двух функций:
Подставим
это выражение в (1) и перенесем члены, зависящие от f в правую часть уравнения
(1).
|
(3)
|
Мы
можем выбрать и присвоить функции f определенное выражение. Пусть, например,
f
= (cosπx·sinat)4, когда –1 < x < 1 и 0 < t <
π/a;
f
= 0 если x < –1 или x > 1 и t > π/a или t < 0.
Функция
ограничена f в пространстве и во времени. В этом случае уравнение (3)
превращается в неоднородное волновое уравнение, правая часть которого нам
известна. Теперь мы можем сформулировать начальные условия для функции u.
u
= – f(x;0) и ∂u/∂t = – ∂f / ∂t при t = 0
|
(4)
|
Решение
уравнения (3) с начальными условиями (4) существует (см., например, [1],
стр.75, выражение (24)). Следовательно, мы имеем окончательный результат –
новое, нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми
начальными условиями. Запишем общее ненулевое решение однородного волнового
уравнения, удовлетворяющего задаче Коши с нулевыми начальными условиями:
,
|
(5)
|
где.
Функция
f не должна быть решением волнового уравнения.
Мы
видим, что второе решение существует и отлично от нуля при t>0. Таким
образом, теорема о нарушении единственности решения задачи Коши для волнового
уравнения доказана.
Применение результатов
Полученное
доказательство служит обоснованию метода получения новых решений, описанного в
[2], [3] и др. статьях авторов. Оно имеет прямую связь с калибровкой решений в
электродинамике [2], [3].
Пусть
мы имеем неоднородное волновое уравнение
с
соответствующими начальными условиями: v=φ(x) и ∂v/∂t=ψ(x)
при t=0.
Представим
решение этого уравнения в форме (2): v=u+f.
Оставим
в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от u. Как и в
предыдущем случае мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: «взяв ее
с потолка») и получить решение неоднородного уравнения. Но можно поступить
иначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можем
потребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона:
∂2f
/ ∂x2=F(x;t).
Если
решение этого уравнения существует (функция F(x:t) интегрируема), то уравнение
для функции u определено и определены начальные условия задачи Коши:
u=φ(x) –f(x;0) и ∂u/∂t=ψ(x)–∂f/∂t при t=0.
Такой
метод построения второго решения по существу является калибровкой решения.
Иными словами, мы ищем решение как сумму выражений, имеющих различную
функциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы,
мгновеннодействующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению
теплопроводности и т.д.) Этот метод описан и используется в работах [2], [3].
Следствия,
вытекающие из отсутствия единственности решения для электродинамики весьма
существенны. Калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. В общем
случае калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от
решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный
случай, когда эти калибровки эквивалентны. Он рассмотрен в [4].
Остается
добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности,
уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Более того,
возможно, что нарушение единственности решения имеет место также для уравнений
эллиптического типа (например, для задач Дирихле, Неймана и др.).
Тихонов
А.А. и Самарский Н.Н. Уравнения математической физики. – М.: ГИФМЛ, 1954.
Кулигин
В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Калибровки и поля в электродинамике. /
Воронеж. Ун-т. – Воронеж, 1998. Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, № 467 – В98.
Kuligin V.A., Kuligina G.A., Korneva M.V. Analysis of the
Lorentz's gauge. Canada, Montreal, 2000. – Apeiron, vol. 7, no 1...2.
Кулигин
В.А., Кулигина Г.А. Корнева М.В. Однопроводные линии. / Воронеж. Ун-т. –
Воронеж, 2002. Деп. в ВИНИТИ 10.06.2002, №1062 – В2002.