МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ ЗДАНИЙ С АВТОНОМНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА

Таким образом, описана система теплоснабжения вынесенным автономным источником, позволяющая анализировать изменение температуры в обогреваемом помещении с учетом процессов нагрева или охлаждения теплоносителя во всех элементах системы теплоснабжения, а также влияние управляемого параметра (объема подаваемого газа) на описываемые процессы. Предложенный подход позволит анализировать также и влияние замены оборудования в системе теплоснабжения, изменения технических характеристик и параметров системы, изменения конфигурации системы теплоснабжения с целью достижения глобального оптимума - минимальных затрат на производство и передачу тепловой энергии.

2.3. Математические модели систем теплоснабжения со встроенными автономными источниками

В отличие от описанной в параграфе 2.2 системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником на практике часто имеют место системы теплового снабжения с автономными источниками встроенного типа. Системы теплоснабжения данного типа подразделяются на два вида по месту расположения автономного источника:

• системы теплоснабжения с изолированным автономным источником;

• системы теплоснабжения с неизолированным автономным источником.

2.3.1. Математическая модель системы теплоснабжения с изолированным встроенным автономным источником

Принципиальное отличие данной схемы теплоснабжения от схемы с вынесенным автономным источником заключается в том, что в ней помещение для источника тепловой энергии непосредственно примыкает к обогреваемому объекту, длины теплотрасс прямой и обратной подачи равны нулю, а теплоноситель из источника подается непосредственно в радиатор (короткие соединительные трубы можно рассматривать как часть радиатора) обогреваемого помещения. Очевидно, что для моделирования работы данной системы теплоснабжения принципиально возможно использование модели (2.18). Однако, ввиду широкого распространения данной системы теплоснабжения и меньшего числа элементов в ней (всего три) методически представляется правильным дать ее описание отдельно.

Уравнения теплового баланса для источника и обогреваемого помещения по своим составляющим совпадают с аналогичными уравнениями для системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником. Отличие заключается в том, что в качестве входной величины для отопительного прибора (радиатора) выступает теплоноситель с температурой Т_к, а входной величиной для источника является теплоноситель с температурой Т_р.

{т)ат_к = а_гу_гм - ус₂ (т)р₂т_км+у,с₂{т)р₂т_ра(+с_г {т)т_ву_вм - с_г {т)т_Г2у_сгм -

(2 20)

' У_рр₂С₂АТ_Р=У₍р₂С₂{т)Т_кА1-У#₂С₂{т)Т_Р&-з₀а_оТ_РА₍ + ₅₀а₀ТА1

т у_пс_пат = 5₀а₀т_ра1 - 5₀а₀Ш - я_ск ^^к-та( + 8_ск ^г_са(

°ск   ^дск

В результате система линейных дифференциальных уравнений запишется в виде:

-а₅Т_к +а₅Т_р

+ Ь_Х +а₁У_г Т_к ~(а₈+а₉)Т_р + а₉Т

«ю ^Т_Р -(^ап + ^ап)^т +^4

с начальными условиями:

1=0, Т_к(0) = Тко, Т_р(0)=Тро, Т(0) = То, Т_ко >Т_Р0>Т_(].

Так как система (2.21) является частным случаем системы (2.18) и из уравнений тепловых балансов следует, что аналитические выражения а, не изменятся.

2.3.2. Математическая модель системы теплоснабжения с неизолированным встроенным автономным источником

Отличие данной схемы от схемы с изолированным автономным источником заключается в том, что источник расположен непосредственно в обогреваемом помещении. Изменение температуры воздуха в обогреваемом помещении, например при регулировании ее в разрезе суток, будет приводить к изменению параметра Т_ск, который в данном случае равен Т. Система тепловых балансов (2.20) изменится:

р₂Г₁с₂{т)ат_к = д_гу_гм - ?₍с₂{т)р₂т_км + у,с₂ {т)р₂т_рм -

-С_Г(Т)Т_Г2У_СГА₁-^Х^^Т^А₍

У_рр₂С₂АГ_Р = У₍р₂С₂ {т)т_кА! - У_ер₂С₂ (т)Г_РА( - ,цс_ЧТ_РА1 + з₀о.₀ТА[

тУ_ПС_ПАТ = з₀а₀Т^-$₀а₀ТА1-$₁

Тогда система дифференциальных уравнений (2.21) преобразуется к виду:

-а₅Т_к +а₅Т_р

+ а₂Т +Ь 1 +а₁У_г

^а%^тк -(«8 ^+Д<Л +^а9^Т

"Л ~{^а\о + <*иУ + ^Ь4

где Ь\ = -а₂Т_г - а₃Т_Г2 + а₄Т_в, с начальными условиями: Г=0, Т_к(0) = Т_ко> Т_р(0)=Тро, Т(0) = Т₍₎, Т_ко > Т_Р0 >Т₀.

Полученная система трех линейных дифференциальных уравнений позволяет анализировать теплоснабжение автономным неизолированным источником при изменениях температуры воздуха в обогреваемом помещении, которое в данном случае совмещено с местом установки источника тепловой энергии.

2.4. Математическая модель системы теплоснабжения помещением

Как отмечалось в п. 2.1, возможно и целесообразно с методической точки зрения отдельное рассмотрение теплоснабжения помещения. Эта система может быть использована для определения необходимой площади поверхности обогреваемого источника или теплоизоляции ограждающих конструкций. А также для моделирования процессов нагрева помещения альтернативными источниками (как пример - калориферами).

Для большинства административных зданий и ряда производственных помещений допускается понижения температуры ниже нормативной в течение части суток, в нерабочие дни с целью экономии энергозатрат на обогрев. Такая ситуация может возникнуть в связи с авариями в системе теплоснабжения. Такой режим отопления называется «прерывистое отопление» [30-31, 91-93].

Уточним уравнения тепловых балансов (2.14) рассматривая неоднородные ограждающие конструкции:

'V₀р₂С₂М_Р = У,р₂с₂ {Т)Т_ТМ - У₁р₁С₁ {т)т_рм - л₀«₀7), А/ + л'₀а₀ГД/

⁽ л > пГ л ) ¦ (²-²⁴)

V ⁵сю) 'Ч ⁸Ш)

Как частный случай, возможно, рассмотрение системы теплоснабжения помещения одним дифференциальным уравнением, описывающим изменение температуры в помещении. Такой подход оправдан с точки зрения анализа

процесса распределения тепловой энергии в переходных и стационарных режимах. На основе теплового баланса:

Дифференциальное уравнение примет вид:

ОТ

= а_ю(т_р-т)-ъа_хи{т-т_с), ;=1

Л

или при Т_р = сотI йТ

- -аТ + Ъ.

Л

где а = (а_ю +а_и), Ь=Ь₄ + а₁₀Т

2.5. Оптимальное управление системами теплоснабжения помещения

Вопрос об оптимальном управлении техническими системами, к которым относятся и системы теплоснабжения, сложен и многогранен. Различными аспектами оптимального управления занимались и занимаются много ученых и специалистов [1, 7, 10, 28, 67, 68, 72]. Очевидно, в данной проблеме имеет смысл выделить несколько уровней управления - программное управление, ситуационное управление, субоптимальное управление и т.д. В теплотехнических системах может быть использовано на различных этапах проектирования, строительства и эксплуатации систем теплового снабжения управление в различных точках системы: управление подачей первичного энергоносителя, изменение расхода теплоносителя, регулирование площади обогревателя и т.д.

В данной диссертационной работе рассматриваются аспекты оптимального управления, связанные с регулированием тепла в отдельном помещении, оптимальное управление источником тепловой энергии (с целью минимизации приведенных затрат на эксплуатацию системы теплоснабжения) при соблюдении требований СНиП 2.04.05-91* по температурному режиму в обогреваемом помещении.

Одним из важных путей, минимизации затрат на теплоснабжение является использование режима прерывистого отопления для административных и производственных зданий [33, 80]. Суть его сводится к снижению затрат на первичные энергоносители за счет понижения температуры воздуха в производственных и административных зданиях в нерабочее время и выходные дни, переход от ночного режима отопления помещения с пониженной температурой к дневному с нормируемой температурой. Эта задача сводится к минимизации энергозатрат при переходи от одного температурного состояния (начального) к другому (нормативному).

2.5.1. Релейное управление переходным режимом теплоснабжения помещения

Это - задача нагрева помещения к заданному сроку с минимальными затратами тепла I. В качестве управления здесь выступает температура обогревателя Т_р, Задача оптимального управления имеет вид:

" с1Т

• Ж   ^И   1(и)—>тп1п.   (2.2/)

Т(0)=Т₀, т(ь) = т_г

Будет доказано, что минимум затрат на перевод системы отопления из ночного режима в дневной отвечает минимуму времени на «натоп» помещения, и согласно принципу максимума[6, 101, 108], при этом начальная температура обогревателя должна быть максимально возможной, то есть Т_р= Т_ртах.

Для лучшей обозримости задачи и уменьшения количества параметров перейдем к безразмерным переменным:

г = Т = (т^,₁-7'₀)у₁+г₀, Т_р=Т_рп+и{Г_ру-Т_рп), т>0,

/₂ - некоторый масштаб, выбираемый ЛПР, используемый для упрощения коэффициентов; г/=/у/2.

Задача минимизации расхода энергии, как задача оптимального управления расходом теплоты при котором функционал:

/ = yQ )= J udt —» min

примет наименьшее возможное значение (множители, зависящие от цены топлива, коэффициенты полезного действия источника тепла и т.д., - опущены).

Вводя, как обычно в оптимальном управлении, накапливаемый функционал, как дополнительное переменное уо(т), получаем задачу оптимального быстродействия вида:

^<1У1 -рЛг)-а_У1 + р₂ =/,(у₀,у_],т)

dx

г = ^и(^т) = МУо>У1> _ь ах

О <и(х) <1.

yi (0) =0, уо (0) = О,

У1 (xi) = 1, у о (х,) min,

^ ГТ1  ГГ1   ГТ1  ГТ1 \

_ ¹rn ~¹0 _ ¹0 ~^Lc "11 m гг ~^a\(S rp _т

Ч ~^L0 )

Tj-T₀

При сделанных предположениях (T_p-T₀ > О, Т, -То > 0) введенные константы положительны а, pi, р₂>0.

1

v

, тогда задача (2.28) примет вид:

«10 ^+oll

= P\u{z)~ У\ +Р2 =/\{уй,У\>т)

(2.29)

^ = и{х)= /ъ(уц,у_ьх)

dx

0 <и(т) <1.

yi (0) =0, уо (0) = 0,

yi (Vi) = 1,у₀(Tj) -> min,

Очевидно, что по оптимальным значениям безразмерных переменных легко найти соответствующие значения исходных величин.

Для применения принципа максимума нужно построить функцию Понтрягина-Беллмана [5]:

Н = щ/о + щ fj = и (у/₀ +pi щ) +щС₀ +W (р₂-у0=и (р+у/оСо + щ фз-yi) и выписать уравнения для сопряженных функций:

Поскольку ц/₀=С=сот1, ц/1=С/е^Т, то есть <р=(щ + Р/уО ~ монотонная функция, из принципа максимума следует, что управление описывается функцией Хевисайда [3, 25], имеет релейный характер (и=о или и=1) и должно быть не более одного момента переключения.

Го, Що+р\У\ < о

[1, щ+рхщ>0

В силу условия трансверсальности (поскольку конечная точка не определена, а имеется конечное множество у^ъ) =1) имеем (рис. 2.7):

Ч/^)**⁰^, =(1,0)

У1

Т

Уо

Рис. 2.7.

\|/₀(т₁) = о следовательно н=о и у/ ₁(г₁) = 1, С] =е ⁷¹, щ = <? ^ ^т\ При этом ср = р_хц/_х (г) > 0, следовательно на начальном участке, до возможного момента переключения и=1, у_х(г) = С₂е~^г +{р\+ Рг)-

В силу начального условия у₀(о) = 0, С₂ = ~{р\ + р₂), у_х(т) = (р_х + р₂){\-е~^т). Целевой функционал (энергозатраты) принимает вид: У₀{т) = (1 + С₀)г + С₃, С₃ = 0.

Поскольку после достижения нормативного значения (у ?(г0=1) дальнейшие энергозатраты — минимально возможны (поддержания

нормативного режима), - минимум энергозатрат отвечает минимуму времени «натопа», х, -> min и задача свелась к задачи оптимального быстродействия.

Если р_х + р₂ > 1, то переключение до достижения нормативного режима отсутствует (а при невыполнении этого условия нормативная температура не достижима) и время оптимального «натопа» Ti равно: 1

/ , Л

Р\ +Р2

>0.

Р\ +Р2 -1.

2.5.2. Релейное управление переходным режимом теплоснабжения помещения в системе «радиатор-помещение»

В рассматриваемом случае можно обойтись без масштабирования, хотя и здесь введение масштабов упрощает задачу, уменьшает число параметров.

Задача оптимального управления при этом (с тем же минимизируемым функционалом) имеет вид:

У1 = Тр, у₂ = Т,и = Т_то +и(Тто- Тт),

^ГЛу\

= u-a_ly_l +a₂y₂ =/i

= ?1^1 ~b₂y₂ +b₀ =f₂ , = «=/o

dl = U8 + ag , U2 - U9, bi = а 10 , b2 = uio + ац,

У1 (0) =y₂ (0) — yo (0) = 0,

yi (ti) = у 11, У 2 (ti) = у21, У о (Tj) min.

Для применения принципа максимума (то есть выделения управлений u(t), необходимых для достижения экстремума yo(ti)) нужно построить функцию Понтрягина-Беллмана

н= щ/о+ \i/ifi+y/2f2=u(щ + Vi) -yi(w у/1 - bi W2) +У2 (а₂ Wi - b₂ W2) + b₀ у/₂ и выписать уравнения для сопряженных функций:

Поскольку щ=сотг, а у/1 и у/₂ определяются системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами и не зависят от управления:

Л

?VI

= -а₂щ +Ь₂у/₂

I Ж

(а₁>а₂>0, Ь₂>Ъ1>0), характеристическое уравнение имеет вид Л² - (щ + а₂) 1 + (щ а₂-Ъ1 Ь₂) =0, его корни - вещественные и положительные.

Для сопряженных функций возникают однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, то есть решение имеет вид суммы экспонент. Опять из условия трансверсальности на нефиксированном правом конце вытекает у/₀ = 0. Управление имеет релейный вид (либо и = 0, либо и = /), и точка переключения г, должна удовлетворять уравнению щ = 0, то есть е(^л>=а, где а - постоянная величина, зависящая от коэффициентов уравнений и начальных условий. Это уравнение либо не имеет положительных решений, либо имеет одно решение, следовательно, и в этом случае возможно не более одного переключения.

Поэтому <р= у/₀ + у/1 не может менять знак более одного раза, то есть из принципа максимума следует, что управление имеет релейный характер и должно быть не более одного момента переключения.

Совершенно аналогично предыдущему случаю, минимизация энергозатрат отвечает минимизации времени первого этапа - времени нагрева до точки переключения, то есть сводится к задаче оптимального быстродействия. Следовательно, целевой функционал имеет вид:

1=0(1+00,

где А Во — постоянные величины, независящие от режима теплоснабжения. Тем самым задача свелась к минимизации и, к задаче оптимального быстродействия.

Полагая производные равными нулю, получаем три варианта стационарных решений: для и =1, для и =0 и для нормативной температуры в помещении - величину управления и* и значения остальных температур^[1]. В данном случае по у!__пог вычисляются и*иу₂__Пог.

При выполнении условий устойчивости, то есть отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения, решения в первых двух случаях при любых начальных условиях стремятся к этим стационарным значениям. Для обеспечения возможности достижения нормативного режима необходимо (при нагреве) выполнение условия:

У\_СТ ^>У\_пог ¦

Однако, в отличие от предыдущего, одномерного случая, при достижении нормативной температуры помещения нельзя переключиться на ее поддержание, так как при этом вторая переменная у₂ не достигает своего значения, отвечающего этому режиму, производные не равны нулю и изменение температур продолжается. Необходимо при том же максимальном значении управления двигаться до точки переключения, затем перейти к минимальному значению управления и попасть в точку, где и = и*, у_] = у_{} пог},

У г =У1_пог -

Возможно и использование приближенного решения: переход на управление и*, и коррекция возникающего отклонения увеличением или уменьшением управляющей температуры через малые промежутки времени (режим «шевеления») - рис 2.8 и 2.9. В случае большей размерности построение терминальных траекторий и определение нескольких моментов переключения представляет значительные трудности.

Из анализа двух рассмотренных простейших задач вытекает эвристический прием построения субоптимального решения: проведение начальной траектории для м = 7 и поиск одного момента переключения для попадания в окрестность требуемой нормативами конечной точки с той же коррекцией режимом «шевеления».

2.6. Выводы по главе

По проведенным во второй главе работы исследованиям можно сформулировать следующие выводы:

• на основе системного подхода сформулировано множество целей исследования и предложен способ разбиения исходной системы теплоснабжения на ряд подсистем, позволяющий проводить ее анализ по схеме «от простого к сложному»;

• на основе моделей отдельных элементов системы теплоснабжения разработана модель системы теплоснабжения с вынесенным автономным источником тепловой энергии;

• разработаны и предложены две модели системы теплоснабжения с встроенным автономным источником тепловой энергии, изолированного и совмещенного с обогреваемым помещением;

• рассмотрены методы оптимального управления разработанными моделями систем теплового снабжения помещения в режимах «натопа».

Глава 3. Асимптотическая устойчивость автономных систем первого - пятого порядков

3.1. Методика анализа устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений

Математические модели поведения динамических систем самого различного вида - от моделей движения механических объектов и процессов теплоснабжения до моделей развития экономики в целом и ее частей - сводятся к системе дифференциальных уравнений вида

— = Р(х,а,и,$ (3-1)

Ш

где х - вектор фазовых переменных, и - вектор управляющих воздействий, а

- набор параметров, определяющих структуру и внутренние характеристики рассматриваемой системы.

Для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме (случай систем уравнений в частных производных пока исключается из рассмотрения) могут ставиться и решаться различные задачи:

• исследование множества возможных решений (траекторий движения);

• оценка вторичных показателей - функционалов от этих решений и их оптимизация;

• влияния на эти показатели отдельных параметров;

• оптимального управления решениями, в первую очередь - оптимального быстродействия и т.д.,

но почти всегда требуется обеспечить устойчивость решений, то есть близость возмущенного решения к исходному при малых возмущениях условий (обычно

- начальных условий для системы уравнений или - параметров а системы).

ч

Основным подходом к решению задачи устойчивости является переход от системы уравнений (3.1) к линеаризованной системе

(3.2)

в каком-то смысле близкой к исходной, и исследование ее устойчивости, то есть обеспечения отрицательности вещественной части всех корней характеристического многочлена

А(Л) = \Л - 2)| = Л^п + с_хХ^п~^х + с₂Л"~² +... + с_п__хЛ +с_п = 0

При этом роль параметров системы играют элементы матрицы И, коэффициенты характеристического многочлена являются функциями от них (многочленами различной степени), а управление включено в параметры матрицы I) или вектора г (и в последнем случае на устойчивость не влияет).

Упомянутое преобразование сокращает число входных параметров и матрица 2) зависит от вектора й.

Правомочность перехода от системы (3.1) к системе (3.2) обосновывается известными теоремами Ляпунова [46], согласно которым асимптотическая устойчивость линеаризованной системы обеспечивает устойчивость системы исходной. Прямой метод Ляпунова, связанный с построением функции Ляпунова непосредственно для системы (3.1) является скорее искусством, чем методом, и реализовать его удается сравнительно редко.

Для обеспечения устойчивости многочлена (3.3) разработан ряд удобных методов (в первую очередь метод Рауса-Гурвица [16, 102]), позволяющих записать требуемые условия непосредственно через коэффициенты характеристического многочлена (без его решения), то есть выделить области устойчивости в пространстве параметров с, а следовательно, и в пространстве параметров й. Будем обозначать эти области ВЛ.

Эти методы очень удобны для проверки устойчивости исходной системы (или решения прямой задачи), сводятся к переходам от системы (3.1) к системе (3.2), затем к уравнению (3.3) и проверке условий Рауса - Гурвица (или
эквивалентным условиям Льенара - Шипара [74], амплитудно-фазовой диаграммы [41] и т.п.), то есть к цепочке

я d -> Z> -> c(d) -> RH(c). А для этой цели указанные методы мало пригодны - как из-за большой размерности пространства исходных параметров, так и из-за громоздкого и плохо обозримого вида условий устойчивости в пространстве параметров. Поэтому возникают следующие задачи:

1.   Ввести для системы (3.2) новые параметры (в виде комбинации старых), число которых было бы минимально, то есть осуществить переход a->d.

2. Аналогично ввести новые параметры h или их комбинации х, у... в условия устойчивости, то есть описать области RH(h) с максимальной наглядностью.

3. Описать область RH и указать методы выбора heRH.

4. Указать методы назначения (неоднозначного выбора) по значениям h параметров исходной задачи а, зачастую удовлетворяющих еще дополнительным условиям (на знаки и величину некоторых параметров). Задачи 1 и 4 не могут быть не только решены, но даже поставлены в

общем виде, они сугубо индивидуальны для каждой конкретной задачи, зависят от ее специфики. Но в конкретных случаях их удается решить, и это будет проиллюстрировано для моделей теплоснабжения.

Задача 4 является общей задачей наилучшего выбора и реализуется на основе общих принципов принятия решений и обеспечения «максимальной устойчивости». Аналогичная задача решалась B.C. Сидоренко [85] для позиционирующих систем (сводящихся к системам 4-го порядка).

Основной задачей является прямая задача 3. Фактически она решалась еще Вышнеградским [73] для п = 3, ниже будут приведены результаты для п=1...5 и некоторые общие рекомендации.

На практике, однако, наибольший интерес представляет обратная задача, выбор таких параметров ё, которые обеспечили бы устойчивость рассматриваемой системы.

Обратная задача естественно распадается на два уровня:

1.   Переход от к к коэффициентам с характеристического многочлена.

2. Переход от с к й (и матрице А).

Проблема существенно осложняется, если, из экономических и технологических соображений требуется монотонная устойчивость (как в случае систем теплоснабжения), то есть наличие у многочлена (3.3) всех вещественных отрицательных корней. Метод Штурма [42, 109] еще менее чем метод Рауса-Гурвица приспособлен для решения обратной задачи, соответствующие области в пространстве параметров

ЛНМ(с) с ЯН (с)

не описываются, а лишь указывается алгоритм проверки условий сеЛНМ.

Итак, основной целью является обеспечение асимптотической (монотонной) устойчивости решения, а для этого необходимо, чтобы многочлен (3.3) был многочленом Гурвица (Штурма).

Определение. Многочлен д(Л.) с любыми числовыми коэффициентами (в общем случае с комплексными) называется многочленом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части. [44]

Определение. Многочлен А(я) с любыми вещественными коэффициентами называется многочленом Штурма, если все его корни вещественны и отрицательны. [44]

Поскольку при устойчивости многочлен (3.3) имеет все положительные коэффициенты, так как должны выполняться условия Стодолы [114], возможно, превратить в единицу (за счет выбора масштаба) еще один из коэффициентов (старший коэффициент по построению Л(Х,) равен 1), можно сделать равным 1 либо второй, либо последний (именно второй вариант был использован еще Вышнеградским [73] для систем третьего порядка).

Для этого введем масштаб Л, = М//, М = тогда характеристический многочлен (3.3) примет вид:

А Си) = ц^п + + ?₂//"-² + •• •++К=0,   (3.4)

, с, где А, = -т.

Это сокращает число параметров, упрощает исследование и позволяет представить результат в более наглядном виде (особенно при малых п).

3.2. Описание областей устойчивости в пространстве коэффициентов характеристического многочлена

Для полноты рассмотрим все возможные случаи описания систем теплоснабжения, то есть п=1,2,3,5, в том числе и тривиально очевидные. Случай п=1.

д(//)=// + 1 = 0 // = -1

Условия Рауса-Гурвица и Штурма выполняются, и область монотонной устойчивости совпадает с область асимптотической, т.е. Ш = КНМ.

Проведем обратное преобразование, т.е. найдем условие устойчивости для коэффициента с:

Д(А) = Я + с_} =0

корень, необходимо, чтобы выполнялось то же условие с, > 0, т.е. условие Рауса-Гурвица эквивалентно условию Штурма. В качестве допустимых значений для с_х получаем интервал (0, -юо).

ЯН = ЯНМ = {с_х\с_х > 0} (3.4)

Рис. 3.1. Область ЯНМ при п=1 Случай 11=2.

/и² + /и + к₂ =0

Построим определитель Гурвица

Найдем корни характеристического многочлена ц_Х2 =----- ----- -

Ке// = -^<0, т.е. решение находится в области асимптотической

устойчивости при всех Ъ₂ > 0, а для того, чтобы оно попадало в область монотонной устойчивости необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был

больше нуля, то есть к₂ < ^.

КНМ = |/*₂|0 < к₂ ДI с ЯН

______ ////////////Д ^

н ²-

Рис. 3.2. Область БШМ при п=2 КНМ (К)

Построим эту область в пространстве коэффициентов с, учитывая, что С2 ⁼ 5 ^ Л — С\/Л _к

А (Л)=Л² +с,1 + с₂ =0 Из условий Рауса-Гурвица получаем:

КН = {с_х,с_г\с_х >0,с₂ >0}, то есть ЯН- весь положительный ортант плоскости с/, с₂.

Для проверки полученного условия Штурма построим для данного многочлена систему многочленов Штурма:

/₀ = Л² + с_хЛ + с₂ =0; У1 =2А + с₁;

Г -¹ 2

/2 ~ ~^с\ ~^сг-

Чтобы характеристический многочлен на интервале (-да, 0) имел два

вещественных корня, по теореме Штурма необходимо, чтобы разность числа перемен знака N в этой последовательности на границах интервала равнялась 2. То есть Ы_х(-ао)=2, N2 (0) = 0, N=N1- Ы₂=2, или: 1 ^

-с/ -с₂ > 0, с] >0, с₂ >0.

Следует заметить, что в силу выполнения условий Рауса-Гурвица достаточно обеспечить N3 (+оо) =0, N = N1 - N3 =2, а дополнительные условия на число перемен знака при условии /? = 0 в данном случае выполняются автоматически.

ЛНМ = {с₁,с₂\с₁ >0,с₂ >0,с_г² >4с₂}с   (3.5)

Очевидно, что в этом случае вводить преобразование параметров не требуется, а искомая область изображена на рис. 3.3.

Условия Рауса-Гурвица принимают простейший вид к₂>к₃>0. Под ЯН в статье понимается область асимптотической устойчивости, под ШМ - область монотонной устойчивости. При этом ЯНМ <= ЯН.

ТгЯ = {/г₂,/г₃\к₂ >0,/?з >0,к₂ >к₃}

Для построения областей устойчивости введем функции Штурма: /₁(//) = 3//²+2// + /г₂,

/г Ы= \ ^к2 V + Гтг- Ь | = + А>>

чЗ у

'2-3^ а

^и\

V   1 /

Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (-оо, 0) имел

три вещественных корня, опять же по теореме Штурма необходимо трехкратное изменение знака этих многочленов на интервале (-оо, 0) или, при выполнении условий Рауса-Гурвица, на интервале (-оо, + оо) соблюдались условия (см. таблицу 1).

Таблица 3.1

Изменения знаков функций Штурма

Условия вещественности трех (отрицательных) корней характеристического уравнения дают: ?>, >0, Д> >0, /₃ >0.

В этом случае область устойчивости описывается неравенствами: ШМ={Ь_г,Н₃\Ь₂>0,к₃ > 0,3к₂ < 1,к₂ >9/г₃,/₃ >0} ^ ЯН.

Эти условия не зависят от иных параметров и сильнее условий ЯН.

Обозначим ^ _{= = т Тогда} /₃ >0 или 3?²+ к₂ <0.

Д 2 - 6/г₂

1±Л-Зк₂

Корни уравнения /₃=0, ?Г₁₎₂ =——^--------- , причем ?₁>?₂>0. Для того чтобы

было /₃ >0 необходимо выполнение условия <С<С\ - Иначе:

1 — д/1 — 3/г₂ ^ /г₂ -9/г₃ 1 + 71-36

3 2 - 6/г₂ 3

Данное неравенство можно умножить на 2 -6/г₂=Д Так как по условию Штурма Д > 0, имеем

(1-_Л/1-3/з₂)</г₂ -9йз <2

т.е. /₂(к₂)<Щ </₁(й₂), где

/1(Л₂) = Л₂-|(1-ЗА₂)(1-_>/1-ЗА2), /₂(А2)=Л2-|(1-ЗЛ2)(1 + >/1-ЗА2).

Положим х = 1-3/г₂ (0 < х < 1), а у = Щ (у > 0) и выделим область

монотонной устойчивости в пространстве х, .у.

/1М=| -* - М¹ ~ Л М=!I¹ - * - ^+>/*))•

Ш = {х,у\0 < X < 1,у > 0,/₂(х) < у < /! (х)} с Ш На рис. 3.4 показана фиксированная при данных преобразованиях область ЯНМ.

На рис. 3.5. представлена область RH в пространстве у, ограниченная неравенствами 3(l-jc)=>^,₁ >у и 0<х<1, у>0, то есть

RH = ^x,y\0<x<\,y>0, 3(l-x)> j/j.

Очевидна узость области RHM по сравнению с RH, что существенно затрудняет ее выделение «зондированием» сеткой точек (х, у) или случайным их набросом. Полученный результат может быть сформулирован в виде:

Теорема 3.1. Любая точка (х,^) области RH (или RHM) и только она дает однозначно коэффициенты, h₂, /г₃ при которых корни характеристического уравнения ?л_х, /и₂, ?и₃ имеют отрицательные вещественные части, (для множества RHM - все вещественны и отрицательны).

Эквивалентная формулировка:

Теорема 3.1.1. Для того чтобы характеристический многочлен третей степени был многочленом Гурвица (Штурма) необходимо и достаточно выполнение условий h₂>h₃>0, 3h₂<l, h₂>9h₃,f₃>0.

Таким образом, обратная задача (для коэффициентов характеристического многочлена) полностью решается выбором точки в области ЯН или ЯНМ. Выпишем обратные преобразования, учитывая что

к₂ = -(1-х), к_ъ = - у, с₂= Ь₂с\, с₃ = Ъ._ъс\ ,аЯ = с,//.В результате получим: 3 9

А(Л) -Я³ + с_хЛ² + с₂Л + с_ъ =0. В силу теоремы 3.1. достаточно, чтобы с_хс₂ -с₃> 0 .

В трехмерном пространстве область ЯН ограничена гиперболическим параболоидом с/ с₂ - сэ = 0 и положительным ортантом. Многочлены Штурма имеют вид:

о 9

/о =Я + с_хЛ + с₂Л + с₃; /_х = ЗЛ²+2с₁Л + С₂ ; /₂=ДЯ + Г)₂;

2с,-3^

А

Для того, чтобы характеристический многочлен имел три вещественных корня нужно, чтобы выполнялись условия с\ > 3с₂, с_хс_г >9с₃, > 0 . Рассмотрим случай п = 4.

А(//)= ?Л^а +/л³ + к₂/и² + + /г₄ = 0 Матрица Гурвица в данном случае имеет вид:

1  Аз  0 0

\  к₂ к₄   0

0 1   к₃   0

0 1   к₂ /г₄ J

Соответственно условия Рауса-Гурвица записываются в виде: А₁(//) = 1>0,

^ДзЫ ^{= /г}з(^/г2-^/гз)-^/г4 >°> ^А4(^)=^Аз(А >°-

Область асимптотической устойчивости:

ЯН = {к₂,к₃,к₄ | /*_г > 0,/г₂ > /гз,/г₃(/г₂ -к₃)> к_А].

Положим /г₃=/г₂х, а   . Тогда условия Рауса-Гурвица будут: х<1,

х(1 -х)-у> 0. При этом

ЯН = \х,у\0<х <1, 0<.у <х(1-х)}.

Область ЯН показана на рис. 3.6, а полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы.

Теорема 3.2. Любая точка (х,_у) области ЯН дает неоднозначное (с

точностью до выбора ?г_г) значение коэффициентов /г₃, при которых корни характеристического уравнения 1л₂, ?л_ъ, //₄ имеют отрицательные

вещественные части.

Теорема 3.2.1. Для того чтобы характеристический многочлен четвертой степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий /г₂ > /г₃ > 0 и  0, /г₄ > 0.

о.з

0.25

X

Рис. 3.6. Область КН в пространстве х,у для многочлена четвертой степени

Таким образом, для системы четвертого порядка выделена область асимптотической устойчивости в пространстве безразмерных переменных х, у. Построим систему многочленов Штурма:

/₀ - /и⁴ +/и³ +к₂^² + +И₄; /_х = 4//³ -ь З//² +2/г₂// + /г₃;

/₃ =Е_х1и+Е₂;

где

Таблица 3.2

Изменения знаков функций Штурма

Для того чтобы характеристический многочлен на интервале (- оо, +оо) имел четыре вещественных корня, по теореме Штурма необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: Д > 0, е_х> 0, ^ > 0, и₂ > 0, е_г> 0.

Для этого случая также возможно наглядное описание сравнительно узкой области монотонной устойчивости ЯНМ путем преобразования параметров аналогичного предыдущему, но мы не приводим его здесь (как из- за громоздкости преобразований, так из-за того, что системы четвертого порядка не имеют прикладного значения в данном диссертационном исследовании).

Обратная задача устойчивости (1 этапа) полностью решается выбором точки в области ЯН или ЯНЫ. По выбранным х,у и произвольно назначенному положительному значению к₂ вычисляются к₃ = к₂х, к₄ = к₂у, с₂ = /г₂с,², с₃ ,= /г₃с,³, а Л = с^.В результате получим:

А (Л) = Л⁴ + с_хЛ³ +с₂Л² + с₃Л + с₄= 0. Условия Рауса-Гурвица в этом случае, кроме положительности всех коэффициентов, дают:

с₁с₂-с₃>0, с_ъ{с_хс₂-с₃)-с_х >0.   (3.9)

Проанализируем случай п=5.

А(//) = //⁵ +//⁴ +/г₂^³ + к₃р² + к₄/и+к₅ =0.

Условия монотонной устойчивости в этом случае слишком громоздки, и, как правило, невыполнимы, поэтому ограничимся описанием только условий Рауса-Гурвица устойчивости вообще (не обязательно - монотонной). Выпишем матрицу Гурвица:

Для того чтобы корни характеристического многочлена имели отрицательную вещественную часть необходимо, чтобы главные миноры матрицы Гурвица были положительны, то есть А₁(//)=1>0,

А₃ (//) = (/г₂/гз - )- (/г₃² - /г₅) > 0 , А₄(р)=(к₂ -к₃\к₃к_А -?₅)² >°>

Область асимптотической устойчивости в пространстве параметров И запишется в виде:

ЯН = {к₂,к₃,к₄,к₅ к; >0,к₂ >к₃,{к₂к₃-\г₄)-{к₃ -/г₅)>0,(/г₂ ~^₃ХН₃к₄-к₂к₅)-(к₄-Ь₅)² >0}.

Построим область устойчивости, ограниченную указанными неравенствами. Для этого положим:

2_Х = к₂ -/г₃, 2₂-к_г, 2₃-к₄-к₅, 2₄ = Н_ък_л -к₂к₅. Область ЯН будет ограничена неравенствами:

^ 0 у ^   _? ^ •

Отсюда следует, что 2₄ > 0.

2 2

Положим —= х и — = у, тогда 2₂>х, у > х. Следовательно 2_Ъ = х2_х,

2_Х 2_Ъ

2₄ = ху2у. Эта система неравенств позволяет построить область ш в пространстве параметров, показанную на рис. 3.7.

Полученный результат может быть сформулирован в виде теоремы. Теорема 3.3. Любая точка {х>у) области ЯН дает неоднозначное (с

точностью до выбора к₂) значение коэффициентов к₃, к₄, Н_ь при которых корни характеристического уравнения ц_х, ?л₂, ц₃, ц₄, ?л_ь имеют отрицательные вещественные части.

Теорема 3.3.1. Для того чтобы характеристический многочлен пятой степени был многочленом Гурвица необходимо и достаточно выполнение условий к_{>0, к₂>к₃, {к₂Ъ₃-к₄)-[к₃ -к₅)>0, (к₂-к₃\к₃к₄-к₂к₅)-(к₄-к₅)² > 0.

Решение обратной задачи сводится к выбору точки в области ЯН. Проделаем эти преобразования, учитывая что с₂ = Ь₂с\, с₃ = к_ъс\, а А = <;,//. Тогда

А(Я) = Л⁵ + с₁ Л⁴ + с₂Я³ + с₃Я² + с₄Л + с₅ = 0. Условия Рауса-Гурвица в пространстве коэффициентов с. А_х =с₁ >0,

^А2 =^с\^с2 ~^сЗ ^>0>

Аз =с₃Д₂-с₁(с₁с₄-с₅)>0, (ЗЛО)

А₄=с₄А₃-с₅(с₂А₂-с₁с₄-с₅)>0,

^А5 =^с5^А4 >0-

Некоторые пути решения обратной задачи второго уровня приведены в

[34].

Такое описание, требующее ряда преобразований, к более наглядному виду областей устойчивости необходимо (особенно для задачи монотонной устойчивости), так как прямой поиск (например, случайным генерированием точек) далеко не всегда приводит к успеху: искомые области являются «тонкими» (и тем тоньше, чем больше п) и попасть в них нелегко.

Обобщая полученные результаты для всех рассмотренных систем, приходим к теореме.

Теорема 3.4. Для всякой точки к е ЯН (ЯНМ) существует, в общем случае

неоднозначный (с точностью до произвольного выбора > 0), способ построения с₍ - коэффициентов многочлена Гурвица (3.3).

3.3. Формулировка общих теорем для анализа систем теплоснабжения

Полученные выше результаты позволяют оценить устойчивость систем линейных дифференциальных уравнений, описывающих реальные автономные системы теплоснабжения (асимптотическую или в ряде случаев даже монотонную) непосредственно по исходным параметрам или по их преобразованиям.

При решении обратной задачи (выбора параметров системы теплоснабжения) необходимо по точке из области устойчивости найти значения параметров исходной системы. Ранее отмечено, что переход к коэффициентам характеристического многочлена требует решения задачи второго уровня, которая сводится к решению уравнений (-1 )'5Дй?) = с_г. [59], где - сумма всех главных миноров I -го порядка матрицы В.

Анализ конкретных примеров позволяет сформулировать утверждение:

Утверждение 3.1. Эффективное решение уравнений (-1)' (?/) = с, для рассматриваемого класса динамических систем с дополнительными условиями существует и, в общем, виде не единственно.

В стандартном варианте решение системы линейных дифференциальных уравнений возможно с использованием численных методов [11, 22] (например, Рунге-Кутта). Существуют варианты реализации данного метода, однако практика их эксплуатации позволила сформулировать ряд присущих им общих недостатков:

• существенны затраты машинного времени на проведение расчета каждого из рассматриваемых режимов системы (3.1);

• не всегда ясно будет ли получено стационарное решение системы, потому что неизвестны значения корней характеристического многочлена;

• нельзя оценить заранее возможность достижения нормативного решения системы.

Наличие указанных недостатков численных методов (хотя последние обладают и целым рядом достоинств) направило диссертационное исследование в русло получения аналитических решений систем линейных дифференциальных уравнений. То еесть нахождения решения в виде

Х_]{т) = Х^_Г+1д_лС₁е^Я'^Т , / = 1...5

/=1

где АГ_уСТ - стационарное решение у-го уравнения, - собственные векторы, С,- -

произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям системы.

Рассмотрим условия существования предельного стационарного решения для системы линеаризованных дифференциальных уравнений ВХ_СТ +г(и)=0. Для этого сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 3.2. Для всякого набора коэффициентов многочлена Гурвица любое решение нелинейных уравнений

обеспечивает устойчивость (монотонную) линеаризованной системы

— = ВХ + г(и)

йх

и существование предельного стационарного решения ОХ_СТ +г(и)=0, т.е. Х{т)^Х_ст.

г-»00

Наличие предельного стационарного решения само по себе не дает ответа на возможность достижения при заданных условиях решения, удовлетворяющего требованиям СНиП 2.04.05-91* по температурному режиму в обогреваемом помещении. Для ответа на этот вопрос необходимо сформулировать определение так называемого нормативного решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений.

Определение. Нормативным решением линеаризованной системы

с!Х

— = ИХ + г{и) называется решение, при котором в помещении

поддерживается требуемая (нормируемая по СНиП) температура.

Существование стационарного и нормативного решений позволяет

йХ

сформулировать условие управляемости системы — = БХ+г{и) в виде

йт

следующей теоремы.

Теорема 3.5. Необходимое и достаточное условие управляемости

системы ^ = DX + г(и) и достижимости нормативного решения Х_пог является dt

условие Х_СТ > Х_пог.

Сформулированные в рамках данного параграфа утверждения определение и теорема позволяют достаточно просто и эффективно анализировать возможность существования стационарных режимов рассматриваемых систем, удовлетворяющих требованиям СНиП 2.04.05-91*, а также находить указанные стационарные режимы. Наряду с этим, для анализируемого класса систем, описывающих теплоснабжение систем с автономными источниками, важное значение имеют вопросы оценки их устойчивости.

Для рассматриваемого класса систем, описывающих теплоснабжение обратная задача второго уровня (по выбору произвольной точки из области устойчивости найти параметры d) зачастую практически нереализуема, ибо возможна ситуация когда полученные параметры рассматриваемой системы будут нереалистичными, недостижимыми для реальных систем.

Простейшая процедура решении прямой задачи - генерирование параметров исходной системы (детерминированном, «сеточном» или рандомизированном, случайным набросом), вычисление для них коэффициентов характеристического уравнения, проверка условий устойчивости. Для фактического построения решения при этом вычисляются корни характеристического уравнения, что легко реализуется программно с помощью Maple. По виду решения и обобщенным показателям производится диалоговый отбор наилучшего варианта.

Для решения обратной задачи необходимо описать процедуры выбора точки из области устойчивости (отбор наилучшего варианта можно осуществлять, например, по критерию Цыпкина-Бромберга [55]: наибольшей скорости или наименьшего времени перехода системы в стационарное состояние: minlA, (с) -» max ).

i с

3.4. Выводы по главе

Полученные в третьей главе диссертационного исследования результаты позволяют сформулировать следующие выводы:

• для удобства анализа и упрощения выкладок в развитие метода Вышнеградского (масштабирование в единицу свободного члена характеристического уравнения третьего порядка) предложено масштабировать в единицу коэффициент при п-1 степени характеристического многочлена;

• в предложенном масштабе выделены области устойчивости характеристического полинома, описывающего линеаризованную систему дифференциальных уравнений первого-пятого порядка;

• выделены фиксированные области устойчивости решения линеаризованной системы дифференциальных уравнений в пространстве

Г,

• сформулированы ряд общих теорем для систем теплоснабжения с автономным источником тепла, закладывающих фундамент для поиска аналитических решений указанных систем;

• показаны пути решения обратной задачи - отыскания параметров исходной системы (с дополнительными условиями, специфическими для нее) по коэффициентам характеристического многочлена, выбранным по условиям устойчивости.

Глава 4. Анализ моделей систем теплоснабжения с автономным источником тепла

4.1. Анализ устойчивости линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение отдельного помещения

Так как а > О, то решение устойчиво и при / оо температура в

Ь

помещении стремится к стационарным значениям Т_СТ = —

а

Общее решение уравнения (2.26) запишется в виде:

T = - + Ce~^at,   (4.1)

а

где С=Т₀- -.

а

Из теоремы 3.5 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 4.1. Необходимым и достаточным условием поддержания нормативной температуры в помещении является неравенство

~>Т .

nor

а

Ясно, что при наличии потенциальной возможности системы теплоснабжения достигнуть значение Т_пог в дальнейшем сохраняется

dT

возможность ее поддержания. Положив в уравнении (2.26) — = 0 и Т=Т_п0Г

dt

Tnor(^a10+^all)-<*llTc

получим необходимую температуру обогревателя Т_{р пог} -

а _]0

обеспечивающую стационарный режим обогрева помещения на уровне нормативной температуры.

Время переходного процесса, в течение которого температура в помещении изменится от значения Т₀ до значения Т_пог при заданной начальной температуре обогревателя Т_р, которая должна быть больше Т_{р пог} в режиме нагрева, либо меньше Т_{р пог}, определяется уравнением (4.1):

1 ( аТ₀-Ъ

\^аТпог ~^ъ,

4.1.1. Управление теплоснабжением помещения с учетом тепловой инерции

Поскольку при переводе системы отопления из одного стационарного режима отопления в другой, с более высокой температурой в помещении, невозможно мгновенно установить температуру радиатора Т_р на максимально допустимый уровень, процесс его нагрева заменяется непрерывной аппроксимацией функции единичного скачка от температуры начального стационарного режима до максимально допустимой. Представим уравнение (2.26) в виде:

~ = ₈и-аТ + м>, (4.3)

Ш

где Т_р=Т_рп+и(Т_ру-Т_рп), 0 <и<1,

= а_пТ_с + а₁₀Т_рп, ? = а₁₀(Т_ру -Т_рп).

Оптимальное решение (если и - функция Хевисайда):

а а

Заменим управление, описываемое функцией единичного скачка,

 „- Л? ц,

аппроксимирующей функцией Хаттингтона и=е =и [9] (см. рис. 4.1), где X - параметр, определяющий точность аппроксимации в смысле достижения управлением единичного значения:

с1Т

Положив gu + w = f{t), приходим к уравнению — = -аТ+?(г), решение

Л

которого можно записать в интегральном виде [37]:

^ =} аЖ = Ш,

или

Т = е~^а' {Т₀ +\е^ах{_ёи + м^г) = е

Разложим и(г) в ряд по степени е ^м. В результате получим /л«

Этот ряд интегрируем на любом конечном интервале. Тогда:

и=о л!

1-е ^м +—------------- + •

3/

Асимптотическое разложение в ряд этой функции позволяет рассчитывать решение с заданной точностью, не прибегая к численным квадратурам:

„-ЗЛ/

I 1 Xt — 2Xt F_ne~^at=\^[2]-^e— ₊ -^e

а а-Х (а-21)2! (a-3X)3!

1

[а а-Х (а- 2Х)2! (a- 3X)3! _} Обозначим первый ряд через и_п, а второй соответственно - v_n :

и₀ =

-At

v, =

¹ {а-Х)

".-ИГ:

"-^Г—,Y7   ' (a-nX)nl

[а - пХ )п!

Суммы рассмотренных рядов имеют вид S(u)=S_n+R_n+J и s(v) = S_n + R_n+,. Для получения требуемой точности s, в силу знакопеременности рядов, расчет конечных сумм ведется до тех пор, пока не выполнятся условия |R_n+11 < |u_n+11 < е и

R_n+1|<|v_n+1|<?. Сформулированные выше положения позволяют считать

V.

доказанной следующую теорему:

Теорема 4.1. Аппроксимация функции единичного скачка функцией Хаттингтона ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть при

j_M(o)-M*(i| <s, (Л >Л);

to-r*^ <S,\fe, S(s).

Параметр А- аппроксимирующей функции находится эмпирически по результатам эксперимента (описание эксперимента приведено в главе 5 и [58]). Если известен набор точек   отвечающий реальному изменению

температуры радиатора на известном временном интервале (/_1;/₂), то можно

найти минимальное Т_рп и максимальное Т_ру значения температур радиатора и по

методу наименьших квадратов найти значение параметра X, дающее наилучшее приближение эмпирических данных функцией:

У = т_рп+(т_р*-т_рпу^е~^л' ¦   (4.7)

- У-Т_рп

Поскольку е

Т -Т

ру рп

или

Найдем значение к, минимизируя сумму квадратов отклонений: s = l:(x_i+xt?f -»пил,

О 2Е(Х, + Х() У'(₁ = 0,

?=1

Ъх^

Х = ---------

л ,

те

Так как функция управления интегрировалась в интервале от 0 до X, а в действительности она имеет отличные от нуля значения и в отрицательной полуплоскости, то к полученному в таблице значений функции (4.5) времени, при котором она достигает нормативного значения, следует добавить время запаздывания, которое находится по формуле:

(4.10)

и

4.1.2. Квазирелейное управление теплоснабжения помещения Аппроксимация функции единичного скачка функцией Хаттингтона в достаточной мере сложна и не всегда оправдана, так как время запаздывания имеет смысл учитывать при существенных длинах теплотрасс. Поэтому, в тех случаях, когда длина теплотрассы незначительна, аппроксимацию управления

функцией Хаттингтона предлагается заменить управлением функцией обратной экспоненты и -и*. Тогда

lim u{t)-\, t>О

<->+00

|w(f) = 0, i = 0

Преобразуем уравнение (2.26) с учетом аппроксимации управления обратной экспонентой. В результате получим йТ

= -aT + g_rg₂e~^Mt,

dt

где g_x = а_пТ_с +a_l0T_pv, g₂ = a_w(T_pv -Т_рп).

Решение однородного уравнения имеет вид Т_с

однород

Рассмотрим частные решения уравнения (4.11), отвечающие слагаемым

-0

81. §2*

Постоянной gl отвечает частное решение -aT+g_l = О, откуда Т¹ст =

Экспоненте g₂eотвечает решение вида г =

Подставив его в уравнение (4.11), получим:

?₂

¦ juwe = -awe ^? -g₂e ^?, w =

/и-а

Общее решение уравнения (4.11) запишется в виде: а /л-а

Значение произвольной постоянной С найдем из начальных условий

г₀(о)=с+—

а /л-а

откуда

Si Si

а /л-а

/ \

T = e~^at   —+ н———е^_,и'

а /л-а) а /л-а

Полученный результат может быть сформулирован в виде следующей теоремы:

Теорема 4.2. Аппроксимация функции единичного скачка функцией обратной экспоненты ведет к аппроксимации оптимального решения, то есть при

|и(о)-и*(*)| <s, (Л>Л);

T(t)-T*(tj^ <S,\/s, 8(e).

и\

Найдем значение параметра ц, по эмпирическим данным методом наименьших квадратов [20, 111]. Вследствие того, что в качестве аппроксимирующей функции использована функция обратной экспоненты, метод нахождения аппроксимирующего параметра ц, не изменится по отношению к рассмотренному выше. Имея значение температуры обогревателя у для различных значений времени tj, преобразуем их в значения параметра г.

полученного выражения выразим аппроксимирующий параметр

(4.15)

Найдем ц,, минимизируя сумму квадратов отклонений:

/7С

S = z(r, + ut.Y -» min, — = 0 -> 2i(r, +jut_t)*t_t = 0,

и

ад

5''

Полученное значение параметра ц позволяет моделировать аппроксимирующую функцию управления с требуемой точностью.

4.1.3. Релейное управление системой теплоснабжения Рассмотрим линеаризованную систему дифференциальных уравнений (2.16), описывающую изменения осредненных температур рассматриваемой подсистемы. Для удобства преобразований введем обозначения:

а1]=а8+с19>с12>0, й2=ад>0, с1з=аю>0, й4=аю+ац> йз > 0, г_х -а_&Т_г, г_г =Ь₄,

Найдем корни характеристического многочлена системы (4.17). -(1+) й₂

— (Л + с!]) (Я + й4) - й₂ с!з=0,

й_ъ — (я + )

Л² + (^ + (1₄)Л + -с1₂й^)~Л² + с_хХ + с₂ = О,

Я₁₂ =   + ?4 ± -й?₄)² +4Й?2^3 ^ ^е ^ •

Л²   с₀ = 1,

Л¹ с_х = й_х + с1₄ > О, Л° с₂ = — й₂й₃.

Условия Рауса-Гурвица в данном случае совпадают с условиями Стодолы. Условия Стодолы (положительность коэффициентов) легко проверяются:

1) с_х - й_х + ё_А > 0 выполняется всегда при \/(1_х,с1₂ >0;

2)   с₂ = с1_хс1_А > 0,

(с1₂ + а₈+а_и)>с1₂с1₃, выполняется всегда при Ус/,, а,> 0 .

Для того чтобы решение системы (4.17) было монотонно устойчиво нужно, чтобы выполнялись условия Штурма (3.5): с\ >4с₂ или (с!_[ +й?₄)² >4(с1\(1₄ -с1₂с1,),

с1_х + 2^4 + й\ - 4й_х<Л₄ + 4с/₂й?₃ > О, (с!_х -с1₄)² + \й₂й_г >0.

Эти условия также выполняются всегда при Ус/, > 0, т.е. решение системы (4.17) монотонно устойчиво, характеристический многочлен является многочленом Гурвица. В силу утверждения 3.2 значения температур Т_р и Т стремятся к своим предельным значениям Т_рСт и Т_Ст, которые соответственно равны:

^ _ <Л_Аг_х + й₂г₂ ^ _ й_ъг_х + <Л_хг₂   ^ ^

^рСТ с1_хй_А - с1₂с1_ъ ^ст с1_{с1_А —

Найдем собственные векторы системы (4.17) из уравнений:

+   +d₂q_2i =0

1 ?зЯи -(^ + ^4)92« = °"

Положим д_и= 1, тогда д₂₁ = ⁺ ^

й₂

Общее решение системы (4.17):

Т_р=Т_рСГ+С_хе* +С₂е^х*

Значения произвольных постоянных находятся из начальных условий Т_Р(о) = Т_РО, Г(о) = Г₀.

С _ (^ТРСТ - ТроХ<1₁ +Х₂) + с1₂(т₀ - Т_ст) _ (т>_сг +ц)+^₂(т₀-т_ст) ^

Х_х-Х₂ Х_х-Х₂

Значение температуры радиатора для поддержания стационарной температуры в помещении найдем из второго уравнения системы (4.17) при условии (Т = X), с1₂Т_рпог-й_АТ_пог + г₂= 0, откуда

Т_р__пог = ^~^Г2 ¦   , (4.21)

Конкретизация теоремы 3.5 для рассматриваемого случая имеет вид:

Теорема 4.3. Необходимым и достаточным условием возможности поддержания нормативной температуры в помещении является неравенство

?А^Г\ +^2 _> ^й\^Тпог ~Г₂ _

с1₁с1₄ -с1₂с1₃

Описанная выше система позволяет корректно моделировать теплоснабжение отдельного помещения при постоянной температуре теплоносителя Т_Т либо при релейном управлении им. Если температура теплоносителя постоянна, то в качестве управляющего параметра выступает расход теплоносителя V,.

4.1.4. Квазирелейное управление теплоснабжением помещения (двумерный случай)

Рассмотрим случай изменения температуры в помещении при повышении температуры теплоносителя. Поскольку из-за тепловой инерции невозможно мгновенно установить температуру теплоносителя ТУ на максимально допустимом уровне, ее изменение аппроксимируется функцией обратной экспоненты:

У(0 ⁼ + (Т_т — Т_т0 ,

⁽*^Т"- = -й₁т_р+<1₂т+г(!)

(4.22)

= е1₃Т_р-(1₄Т + г₂

Введем масштабы Х₁=М_]Т_Р, Х₂=М₂Т, позволяющие преобразовать

систему (4.22) к виду:

'(IX,

ск (IX,

= (1₃-^!-КХ₁-ё₄КХ₂+г. М-,

Положим diR=l R = _d^_R=] = , ^ = 1.

d, ² M, d, M₂ M ₂

Тогда преобразованные коэффициенты системы будут равны:

_1г _ ^аъ^м 1 Р_ ^d3^d2 _t _d₄ ^ _а₈(Т_г-Т_то) к,----------------- к₂-—, w_l-—-R, w₂- —   л, ?лК-р.

М₂ d(   dj Му М_}

Расчет аппроксимирующего параметра ?л осуществляется по схеме, приведенной в пункте 4.1.2.

Система (4.22) примет вид, содержащий только два коэффициента при неизвестных:

jjf, = -X, + X₂ + w_x- w₂e-»^T   _{(4 23)}

[ Х₂=к₁Х₁-к₂Х₂ +1 '

Х,(0)=Х₁₀, Х₂(0)=Х₂₀, О <и<1 т_х —> min.

Найдем корни характеристического многочлена для системы уравнений (4.23).

-(Л + 7) 1

4i)=

к, -\А + к₂\

Я₁₂=-^1 + к₂±_л1(1-к₂)²+4к_/)еК.

Область устойчивости решения системы (4.23) не изменится по

сравнению с системой уравнений (4.17), но уменьшение числа параметров

облегчает расчеты.

Собственные векторы системы (4.23) найдем из уравнений:

Г-(Д + 1)?_1г- + q_2i =0 1 к\Чи -(Л + к₂}121 = в'

Положим 1, тогда q_2? = 1 + Л₁...

Решение однородной системы (4.23) запишется в виде:

' Х°_х^дн =С_хе^ХхТ +С₂е^Х1Т

Х°₂^дн = С, (1 + Л )е^л'^т + С₂ (Г+ Л₂ У^2Т'

Линейной комбинацией частных решений системы (4.23) являются:

1)  Частные решения системы с постоянной правой частью:

(~Х_х +Х₂ = 0 1^-^2+1 = 0'

Отсюда стационарные решения системы:

+ _ 1 + к_хм>_х

^л 1СТ ~ Т 7~ ' ^л 2 СТ ~ Т Г~ • К2 -   л₂ — К 1

2) Частное решение системы с переменной правой частью \х₂=В₂е-"^т '

Подставим полученные выражения для Х,и Х₂в систему (4.23). В

результате получим:

цВ_хе~^ = -В_хе~^ +В₂е-»^Т цВ^^ = к_хВ_хе~»^х-к₂В₂е^^г

{{_И-\)В_х+В₂-м>₂ =0 [А:^! + {р-к₂)В₂ = 0 '

_в (м~к₂)м_{2 в =} \у₂(ц-к₂%л-\)+м>²) ^

¹   ' ² С" — Ху" —!)—

Общее решение системы (4.23):

X, = С_хе* + + ₊ в_е-мг

к -к

^{2 1} ₁ .   ,   ¦ (4.24)

Х₂ = (1 + Я, )С,е+ (1 + Д₂ )с₂е+ + В₂е^^г

к ₂ -к_х

где С/, С₂ - произвольные постоянные, равные:

^ _ (^10 •⁺^1С7^,Х^{1 +} ^2)~(^20 ^+Х2Ст) ^ _ (^20 + ^2Ст)~(^Ч0 ⁺ X¹ + ) —   , и₂ —----------------------------------------- ,

/1₂ ~~   Х₂ — Л_х

а Х_хо, Х₂₀ - начальные условия.

Приведенные детализированные формулы для стационарных и нормативных решений позволяют достаточно просто оценить принципиальную возможность получения нормативных решений анализируемой системы. Полученные аналитические выражения решений систем позволяют реализовать расчеты переходных режимов, определять время «натопа» помещения.

4.2. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение со встроенным автономным источником тепла

4.2.1. Анализ устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений, моделирующих теплоснабжение с изолированным встроенным автономным источником тепла

Линеаризованная система дифференциальных уравнений, описывающая изменение осредненных температур (2.21) после введения масштабов для температур и времени Т_к=М_}Хи Т_Р=М₂Х₂, Т=МзХз, 1=Яг запишется в виде:

-а₅М_хХ_х +а₅М₂Х₂   4Ъ_х + а_хУ_г

а₈М_хХ_х - (а₈ + а₉ )М₂Х₂ +а₉М₃Х₃   . (4.25)

а_пМ₂Х₂ ~(а_хо+а_и)М₃Х₃ +Ь₄

Система (4.25) промасштабирована при начальных условиях Х₁(о) = Л^г₁₀, Х₂(о)=Х₂₀, Х₃(о)=Х₃₀. В новых переменных указанная система запишется в виде:

Х_х = -а₅ЯХ_х +а<

м.

ЯХ_х -(а,+а₉)ЯХ₂ + а₉^-ЯХ₃

ЯХ₂ -{а_хо+а_хх)ЯХ₃ +

Положим:

М-, М-, 1

а₅Я=1; М₂=М1;   = \ => ^ =

во   , , гг

^ = ; М_х = Т_ко . М₂ М₂ а₉Я М₃ а₅

Тогда новыми коэффициентами системы (4.26) будут:

а₅   а₅ М_ъ а₅ а₅   а₅

а,Я Ь\Я ЬаЯ -г,

г_х=г_хх+и,тде и =. -¹- у_г, ^, = -¹—, г₂ =--. В результате получим:

м_х м_х м_з

¦Х_х + Х₂

Х₂ = -й₂Х₂ +Х₃ .   (4.27)

-з⁼ д-_ъХ₂ -й₄Х_ъ +г₂

В системе (4.27) вектор г содержит управление (в первой координате), а матрица 2) - трехдиагональная и зависит от четырех неотрицательных параметров ?/_г, которые связаны неравенствами:

й?₂ > ???1, ^>с^З ^и < 1 » с1/>0.

/=1

Найдем характеристический полином системы (4.27).

(1 + А) 1 О

- (?/₂ + -А) 1 О й?₃ -(й?₄ + Я

(1+я)(л²+(а₂+а₄)л +с1₂ с1₄-с1з)-?1₁(4₄+Л)=О,

А³ + с_хЛ² + с₂Л + с₃ = 0.

Коэффициенты характеристического многочлена:

С_х = 1 + й₂ + й?₄ ,