Цифровые системы синхронизации

Цифровые системы синхронизации

Магистерская диссертация

Цифровые системы синхронизации

Содержание

Введение……………………………………………………...…………….3

Глава 1. Нелинейная динамика синтезатора частот с петлёй ФАП………………………………………………………………………………..4

  1.1. Анализ бесфильтровой системы ИФАПЧ…………………………5

  1.2. Моделирование системы ИФАПЧ с ИЧФД и фильтром второго порядка в частотном режиме…………..…………………………………………9

  1.3. Устойчивость системы ИФАПЧ………………………………….13

  1.4. Синтез оптимальной по устойчивости и быстродействию структуры синтезатора…………………………………..………………………16

  1.5. Переходной процесс синтезатора частот с петлёй ФАП…….….20

Глава 2. Анализ бесфильтровой дискретной системы фазовой автоподстройки при наличии нормального белого шума…………...……23

  2.1. Математическая модель системы Импульсной Фазовой Автоподстройки (ИФАП)……………………………………………………….24

  2.2. Плотность распределения вероятности рассогласования………28

  2.3. Анализ срыва слежения……………………………………...……35

  2.3.1. Расчёт среднего времени до срыва слежения……………….36

  2.3.2. Расчёт вероятности срыва слежения……………………...…38

Глава 3. Сравнительный анализ цифровых систем синхронизации………………………………………………………………….41

  3.1. Структура математической модели ЦСС…………………...……42

  3.2. Схема Холмса……………………………………………….……..44

  3.3. Схема Осатаке-Огавы……………………………………………..47

  3.4. Схема Кессны - Леви…………………………………...………….55

  3.4.1.Фильтр случайных блужданий…………………..……………56

  3.4.2. N-перед-M фильтр…………………………………………….58

Глава 4. Цифровые системы синхронизации с перестраивающимися параметрами…………………………………………62

4.1. Структура модели ЦСС……………………………...……………63

4.2. Модель схемы Кессны - Леви…………………………………….64

  4.3. ЦСС с перестроением параметров………………………………..65

  4.3.1. Целевая функция………………………………...……………65

  4.3.2.  Принцип построения системы………………………………68

  4.3.3. Реализация системы……………………………..……………72

  4.4.  Полоса захвата системы с постоянными параметрами…...……76

  4.5. Применение ЦСС с перестроением параметров……………...…77

Глава 5. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй……..….79

5.1. Математическая модель устройства квантования…………….…80

  5.2. Статистические характеристики ошибки квантования……........85

  5.3. Модель  с одной петлёй. ………………………………...…88

5.4. Спектральные характеристики  при постоянном входном воздействии…………………………………………………………………..…..91

  5.5. Моделирование работы  при постоянном входном воздействии………………………………………………………………………94

Список использованных источников…………………………………98

Введение

Значение систем синхронизации в современной радиоаппаратуре трудно переоценить, потому что зачастую именно они определяют качество работы системы в целом. Наука никогда не стоит на месте, и в настоящее время существует множество публикаций, посвящённых системам синхронизации, поскольку задача синхронизации является, пожалуй, самой неоднозначной с точки зрения методологии и теории оптимальности.

Круг задач, решаемых системами синхронизации, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов.

В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точность характеристик. При этом статистические моменты (математическое ожидание и дисперсия) фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении цифровой системы синхронизации (ЦСС). Поскольку ЦСС – это нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния. Особенностью ЦСС по сравнению с рядом других является существование множества устойчивых состояний равновесия, что ещё более усложняет картину при действии шумов.

Глава 1

Нелинейная динамика синтезатора частот с петлёй ФАП.

Построена нелинейная имитационная модель системы импульсно-фазовой автоподстройки частоты (ИФАПЧ) с широтно-импульсным фазовым детектором и фильтром 2-го порядка. Определены границы устойчивости и длительность переходного процесса. Построены частотные характеристики разомкнутой и замкнутой петли ФАП. Найдены параметры системы с учётом запасов устойчивости по амплитуде и фазе. Даны рекомендации по проектированию синтезатора при оптимальном соотношении запасов устойчивости и быстродействия.

Вопросам теории нелинейных систем ИФАПЧ с ИЧФД и фильтром 2-го порядка проявляется по­вышенный интерес, так как такие системы в послед­нее время находят весьма широкое применение. Поэтому вопросу анализа спектральных и динамических характеристик данных систем посвящено достаточно много публикаций. Например, анализ динамических характеристик синтезаторов, построенных на основе систем ИФАПЧ с широтно-импульсным частотно-фазовым детектором (IIIИЧФД) и фильтром второго порядка, проводится в публикациях [1,2,5,6]. Однако динамика в данных работах либо описывается достаточно сложными математическими выражениями, что затрудняет их наглядность [1], либо проводится с некоторыми ограничениями для режимов больших и малых отклонений от положения равновесия. Такие ограничения могут несколько искажать картину процесса установления системы как при больших отклонений от положения равновесия, так и в режиме устойчивости в малом. Кроме того, в большинстве публикаций не рассматривается реальная динамика процесса установления с одного края диапазона на другой при переключении коэффициентов деления делителя с переменным коэффициентом деления (ДПКД) в цепи обратной связи. Такое рассмотрение процесса установления весьма важно, так как в этом случае наблюдается смещение рабочей точки по модуляционной характеристике управляемого генератора (УГ). При этом можно определить, выходит ли характеристика регулирования за пределы линейного участка дискриминационной характеристики ШИЧФД, так как выход рабочей точки за пределы участка напряжений  может привести к разрыву петли ИФАПЧ ( - напряжение питания выходных цепей ШИЧФД) и срыву синхронизации. В работе [2] представлен достаточно наглядный алгоритм динамики процесса установления системы с учетом влияния коэффициентов деления ДПКД, однако в ней не учитывалось влияние фильтра второго порядка. Поэтому построение модели, которая как можно ближе отображает динамику работы системы ИФАПЧ с фильтром второго порядка, является весьма актуальной задачей.

1.1. Анализ бесфильтровой системы ИФАПЧ.

Обобщенная структурная схема системы пред­ставлена на рис. 1.1, где ФНЧ - фильтр нижних частот; УГ - управляемый генератор; ДПКД - де­литель с переменным коэффициентом деления; ГТ - генератор тока; Кл – ключ; Т – триггер[1]. В качестве  ИЧФД был выбран диск­риминатор с тремя состояниями ИЧФД3. Работа такой системы описана в [2].

Передаточная функция ФНЧ равна

, (1.1)

где , а , - оператор преобразования Лапласа. Такой фильтр следует считать фильтром 2-го порядка. Как уже отмечалось, в [2] для анализа динамических характеристик синтезаторов частот с ИФАПЧ исследовались характеристики бесфильтровых линеаризованных систем, т.е. систем, в которых  и , тогда . Одним из способов визуализации переходного процесса установления колебаний является графо-аналитический метод, который позволяет рассмотреть динамику системы без фильтра[2]. Рассмотрим переключение кода в подобной системе.

Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема системы ИФАПЧ с фильтром второго порядка, на которой ФНЧ - фильтр нижних частот; УГ - управляемый генератор; ДПКД - де­литель с переменным коэффициентом деления; ГТ - генератор тока; Кл – ключ; Т – триггер.

Введём обозначения  - период повторения опорного сигнала,  - коэффициент передачи УГ,  - коэффициент деления ДПКД, - коэффициент передачи ИЧФД и ФНЧ. Пусть коэффициент передачи ДПКД изменяется с  на , тогда напряжение на фильтре станет

, (1.2)

где  - приращение УГ в момент переключения. В установившемся режиме справедливо равенство

,

поэтому

, (1.3)

В дальнейшем процесс будет повторяться и разностное уравнение с учётом (1.2) и (1.3) примет вид

,  (1.4)

где , а  - коэффициент усиления разомкнутой системы[1,2]. Таким образом, из (1.4) следует, что

, (1.5)

Динамические характеристики определяются устойчивостью ИФАПЧ, параметрами переходного процесса[3,4]. Определим границы устойчивости «в малом». Для того чтобы система была устойчива «в малом» т.е. была способна возвращаться в стационарный режим  при малых отклонениях, необходимо выполнение условия . Тогда из (1.5) получим, что система устойчива при . Коэффициент усиления

, (1.6)

где  - крутизна характеристики УГ [Гц/В]. Для анализа устойчивости «в малом» непрерывных систем развит ряд критериев: Рауса - Гурвица, Найквиста, Михайлова. Например, анализ устойчивости ИФАПЧ по критерию Рауса – Гурвица выполняется посредством решения системы уравнений типа «неравенство». Причём если ФНЧ имеет порядок 0 (ФНЧ отсутствует), то система содержит 2 неравенства, если же ФНЧ имеет порядок 2 (рис. 1.1), то их количество возрастает до 5, а при дальнейшем росте порядка сложность условий резко возрастает.

В режимах, когда включается СЧ или переключаются коэффициенты деления, возможны достаточно большие отклонения от положения равновесия. Как известно из [1,3], в таких режимах для выяснения условий устойчивости ИФАПЧ «в целом» линейные приближения не могут быть использованы и должна быть проанализирована система нелинейных разностных уравнений с учетом алгоритмов функционирования дискриминаторов. Поскольку решение этих уравнений в аналитической форме выражается сложными формулами, его исследуют с помощью ЭВМ, либо приближенными методами анализа. Результаты изучения ИФАПЧ с ИЧФД и различными ФНЧ позволяют утверждать, что введение импульсного ЧД приводит к устойчивости системы «в целом», если она обладает устойчивостью «в малом» [1,3].

Одной из основных характеристик СЧ является переходной процесс, возникающий при переключении коэффициента деления. Основным показателем переходного процесса является его длительность, которая часто измеряется в периодах опорного колебания , по истечении которых выполняется неравенство , где  характеризует точность установления [1]. Для оценки быстродействия с учётом (1.4) введём параметр , тогда в случае бесфильтровой линеаризованной системы получим

.

Как известно [1], анализ переходного процесса системы с фильтром в частотном режиме связан с разложением передаточной функции по отношению к ошибке на элементарные дроби, нахождением их оригиналов во временной области и последующим анализом. При этом система предполагается линейной и непрерывной. Такой метод является не только приближённым, но и неточным, т.к. происходит потеря данных при ограничении ряда. Следует отметить, что в фазовом режиме переходной процесс описывается более сложными аналитическими выражениями.

1.2. Моделирование системы ИФАПЧ с ИЧФД и фильтром второго порядка в частотном режиме.

Дискриминатор типа ИЧФДЗ на двух тригге­рах в частотном режиме работает практи­чески без пауз, а в фазовом - как обычный дискри­минатор с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). Применяемый ФНЧ являет­ся суммарным преобразователем «временной интер­вал-напряжение» за счет заряда от источников тока эквивалентной емкостной составляющей [5,6]. В общем случае такая система является нели­нейной, так как в ней имеется ШИМ.

Одним из возможных методов анализа работы ИФАПЧ является имитационное моделирование. Модель позволяет оценить такие важные характеристики нелинейной системы как переходный процесс и устойчивость, причём без каких-либо допущений. С её помощью можно проверить результаты расчётов, оценить точность приближений, а также вычислить параметры, анализ которых аналитическими методами затруднён.

В качестве примера зададим параметры =0.01мкф, =0.001мкф, =500 Ом, =4 мА, =2,   Гц/В,  Гц, тогда получим расчётное значение  по формуле (1.6) для линейного СЧ без фильтра (граница устойчивости). При моделировании можно убедится, что система неустойчива, т.к. модель нелинейная и фильтр вносит свои изменения. Методом последовательных приближений находим, что система устойчива при  . Оставим все параметры системы, кроме , без изменения. На рис. 1.2 показан процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из =6  в =12. Из эпюры напряжения видно, что при =6  система находится на границе устойчивости, хотя это граница представляет собой не конкретное значение , а некоторый диапазон (в данном случае при  на фильтре наблюдаются периодические колебания).

Рис. 1.2. Процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из =6  в =12.

На рис. 1.3 показан процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из значения =32 в =64 и обратно. Из эпюры напряжения видно, что переходные процессы установления напряжения отличаются по типу и имеют разную длительность.

Рис. 1.3. Процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из значения =32 в =64 и обратно.

В зарубежных и отечественных публикациях [1,3,8,9] появилось достаточно много публикаций по проектированию колец ИФАПЧ, где критерием выбо­ра параметров является полоса пропускания. В этих работах кольца ИФАПЧ рассматриваются как непрерывные, хотя, как прави­ло, имеют место компоненты дискретного харак­тера. Так, использование импульсного частотно-фазового детектора (ИЧФД), который рассматривается в них в качестве дискриминатора, допускает применение методов непрерывного анализа с некоторыми ограничениями.

Для построения частотных характеристик воспользуемся ре­зультатами [7]. Для режима малых отклонений от положения равновесия, когда система считается линейной, приведено аналитическое выражение передаточной функции разомкнутой системы по фазе, непрерывная часть которой при условии (1.1) имеет вид:

, (1.7)

где  - коэффициент усиления разомкнутой системы.

Применим  - преобразование к формуле (1.7), согласно которому , получим

,

где , , а .

Применим  - преобразование к формуле (1.7), согласно которому , получим

, (1.8)

где , а .

Как известно, для замкнутых автоматических систем справедливо соотношение

,

где  - передаточная функция замкнутой системы, а  - передаточная функция разомкнутой системы. Таким образом, для анализа устойчивости можно рассматривать не замкнутую систему , а разомкнутую . Для этого разработаны стандартные критерии. Например, критерий Михайлова использует годограф передаточной функции разомкнутой системы, а критерий Гурвица основан на анализе характеристического полинома передаточной функции замкнутой системы.

Рис. 1.4. Зависимости , , а также , , т.е. ЧХ разомкнутой и замкнутой систем соответственно.

Оставим параметры синтезатора =0.01мкф, =0.001мкф, =500 Ом, =4 мА,   Гц/В,  Гц без изменений, но используем =16, получим значение =0.25. При этом  =5.5, =0.5, тогда . Рассчитаем  и  .

На рис. 4 представлены зависимости , , а также , , т.е. ЧХ разомкнутой и замкнутой систем соответственно.

1.3. Устойчивость системы ИФАПЧ.

Для исследования устойчивости ИФАПЧ с ФНЧ, который имеет порядок , можно использовать критерий, основанный на по­строении годографа функции, связанного с коэффициентами ха­рактеристического уравнения

следующим образом:

Это аналог критерия устойчивости Михайлова для систем непре­рывного регулирования. В данном случае , поэтому проще проверить систему на устойчивость с помощью алгебраических методов, а не геометрических.

Известно, что характеристическое уравнение для исследуемой системы имеет вид

, (1.9)

где  - собственное значение переходной матрицы, которая связывает вектор начальных состояний системы с вектором состояний в некоторый момент времени.

Проанализируем уравнение (1.9) с помощью алгебраического критерия Гурвица. Получаем систему неравенств

. (1.10)

Поскольку , то первое неравенство равносильно  , а последнее более строгое, чем второе. В итоге получаем упрощённую систему

,

которая свидетельствует о достаточной простоте анализа. Подставим в систему численные значения параметров исследуемого синтезатора, получим

 или .

Таким образом, все неравенства (1.10) верны, что говорит о том, что синтезатор может быть устойчивым при данных параметрах.

На рис. 1.5 представлена зависимость напряжения на выходе фильтра от времени.

Рис. 1.5. Процесс изменения напряжения на фильтре при переключении ДПКД из значения  =16  в =2, при котором происходит срыв синхронизации.

При этом в некоторый момент времени происходит переключение ДПКД с исходного значения  =16  в =2. После переключения получаем , система становится неустойчивой, что и проиллюстрировано на эпюре.

Рис. 1.6. График спектральной плотности мощности сигнала с выхода УГ при=16  и =6.

Ранее уже упоминалось, что граница устойчивости системы представляет собой диапазон значений . На рис. 1.2 до переключения система находилась на границе устойчивости, при этом на выходе ФНЧ происходит периодическое колебание напряжения. На рис. 1.6 представлен спектр генерируемого сигнала, т.е. спектральная плотность мощности сигнала с выхода УГ при =16  и =6.

Исходные данные были получены по дискретному ряду отсчётов, снятых с УГ. Временной ряд разбивался на реализации, и по ним строилась усреднённая периодограмма. Частота дискретизации  в эксперименте намного превышает частоту сигнала с выхода УГ. По горизонтальной оси частота изменяется от  до , т.е. от 0 до частоты Найквиста. Из графика видно, что в устойчивом режиме сигнал является квазигармоническим, а на границе устойчивости он переходит в широкополосный. Спектр широкополосного ЧМ - сигнала представляет собой набор гармоник, амплитуды которых определяются с помощью функций Бесселя и зависят от индекса модуляции (в случае синтезатора от  - коэффициента передачи УГ). Расстояние между гармониками определяется частотой изменения напряжения на ФНЧ и зависит от параметров системы.

1.4. Синтез оптимальной по устойчивости и быстродействию структуры синтезатора.

Эксплуатационные характеристики реальных устройств, как правило, требуют запасов устойчивости по заданным критериям. Основными показателями являются запасы по амплитуде и фазе. Необходимо определить, насколько далеко от границы устойчивости находится линеаризованная система автоподстройки.

Найдем функции, описывающие АЧХ и ФЧХ данной системы.

Сделаем замену , где  - псевдочастота, тогда из (1.8) получим АЧХ

и ФЧХ

.

Для того чтобы определить запас устойчивости по фазе, нужно сначала найти значение , для которого выполняется равенство

 или ,

а затем вычислить  в этой точке. На графике (рис. 1.4) стрелкой показана последовательность описанных действий. Находим , тогда  Гц. В данном случае получилась довольно типичная система, потому что частота среза  в 5 раз меньше частоты опорного генератора, которая совпадает с частотой сравнения. По теореме Котельникова необходимо выполнение неравенства , а в данном случае .

Запас устойчивости по фазе  может быть найден как , тогда получим .

Рекомендуемый запас по фазе должен быть не менее [1]. Однако, учитывая, что для подавления частоты сравнения могут быть использованы режекторные фильтры, которые внесут дополнительный сдвиг фазы порядка , необходимо обеспечить запас по фазе .

Для того чтобы определить возможные области изменения параметров системы, при которых обеспечивается требуемый запас по фазе, нужно решить систему

,

где  - требуемый запас. Геометрически решением системы является пространственная область, зависящая от параметров , и  [1].

Для того чтобы определить запас устойчивости по амплитуде , нужно сначала найти значение , для которого выполняется равенство

, или ,

а затем вычислить  в этой точке. На графике стрелкой показана последовательность описанных действий. Получаем дБ, где  Гц. Таким образом, запас устойчивости по амплитуде составляет 9 дБ, что говорит о том, что система достаточно надёжна, т.к. в работах [1,7] даны рекомендации по обеспечению запаса по амплитуде  порядка 10 дБ.

На практике для определения запасов устойчивости удобно использовать показатель колебательности , который характеризует неравномерность АЧХ  замкнутой системы. В случае астатической системы показатель  можно найти по формуле [1]

.

Из графика на рис. 1.4 находим, что . Согласно [1] рекомендуется выбирать , т.е. в данном случае получилось приемлемое значение.

Для непрерывной системы найдены выражения, позволяющие найти параметры синтезатора [1,7] при заданных значениях  и

; ; , (1.11)

где  - нормированная частота среза [7].

Известно, что для устойчивой системы автоматического регулирования асимптота частотной характеристики разомкнутой петли в точке пересечения с единичным усилением должна иметь наклон не более 20 дБ/дек. По теореме Котельникова частота дискретизации должна более чем в два раза превышать полосу пропускания системы. Если приравнять полосу пропускания частоте среза , то получится соотношение

,   (1.12)

в котором  - требуемый запас устойчивости по амплитуде в дБ. Запас по фазе можно найти из формулы

, (1.13)

В работах [1,7] найдены оптимальные значения параметров системы для режима фазовой автоподстройки. Согласно исследованиям, необходимо обеспечить

 дБ и , а   (1.14).

 Для расчёта используем граничное значение , потому что при малых значениях колебательный процесс становится апериодическим и быстродействие системы снижается.

По формуле (1.13) находим , тогда , что вполне удовлетворяет условию (1.14). Из формулы (1.12) получаем  (частота среза примерно в 6.3 раза меньше частоты дискретизации), тогда . Стоит отметить, что чем меньше значение , тем более обоснованным становится использование непрерывной структуры вместо дискретной, однако при этом система становится более инерционной, т.е. снижается быстродействие.

По формуле (1.11) можно рассчитать параметры синтезатора

; ; . (1.15)

Таким образом, получены оптимальные по устойчивости и быстродействию параметры системы.

На практике перед инженером стоит задача проектирования кольца ФАПЧ, обладающего оптимальными с точки зрения устойчивости и быстродействия параметрами. Обычно известны ток заряда (разряда) ШИЧФД =4 мА, крутизна УГ  Гц/В, частота сравнения  Гц и диапазон переключения коэффициента ДПКД , т.к. они определяются либо параметрами микросхемы, либо техническим заданием. Параметры , ,  выбирают из условия приемлемых частотных характеристик [1,7]. В примере воспользуемся результатом (1.15). Требуется определить параметры фильтра.

При решении поставленной задачи в качестве  будем использовать , т.е. нижнюю границу переключения, потому что при других   система будет находиться дальше от границы устойчивости. Находим

8 нф,

356 Ом,

1.66 нф.

Искомые параметры фильтра определены.

1.5. Переходной процесс синтезатора частот с петлёй ФАП.

Ранее уже упоминалось, что быстродействие системы является одним из важнейших показателей качества. Как известно, быстродействие системы определяется длительностью переходного процесса (ПП). Поэтому для иллюстрации полученных результатов, а также проверки, насколько аналитические выражения, полученные для линеаризованной системы, пригодны для нелинейной модели, построим ПП.

В работе [6] получено выражение для расчёта ПП линейной системы

. (16)

 с помощью которого можно найти отсчёты сигнала  на выходе ФНЧ, взятые с шагом  по времени, где  - корни полинома , который является характеристическим уравнением замкнутой системы, при этом

,

,

.

Произведём параллельно обработку результатов моделирование и расчёт по формуле (1.16) при параметрах синтезатора, которые удовлетворяют условиям (1.15). На рис. 1.7 сплошной линией показан ПП, полученный моделированием, а штриховой – рассчитанный по формуле (1.16).

Для простоты расчётов нормируем зависимости по амплитуде, чтобы  выполнялось условие , а для наглядности результатов к полученным данным применим сглаживающий сплайн.

Рис. 1.7. Переходной процесс системы, полученный моделированием (сплошная линия) и аналитическим расчётом (штриховая линия).

Как известно, длительность ПП - это время, по истечении которого отклонение  от установившегося значения  не превышает, т.е.

 при (1.17).

Обычно  измеряется в %. На рис. 1.7 серым цветом показаны границы %  и %, которые иллюстрируют условие (1.17). Например, при %  по графику находим для модели , а расчётное значение . Аналогично при %  по модели определяем , а расчётное значение составляет . Из эпюры на рис. 1.7 видно, что ПП, полученные различными способами отличаются по форме, однако длительность  примерно  совпадает, причём погрешность формулы (1.16) с точки зрения  определения  составляет не более 10% при %. 

Из полученных результатов можно сделать вывод, что моделирование позволяет избежать трудоёмких расчётов и является средством визуализации переходных процессов.  

Математическая модель схемы построена с помощью универсальной интегрированной СКМ MATLAB 7.0, а также системы визуального проектирования Simulink 6.0.

Глава 2.

Анализ бесфильтровой дискретной системы фазовой автоподстройки при наличии нормального белого шума.

В главе исследованы принципы функционирования системы фазовой автоподстройки при наличии помех. Приведены основные математические модели и аналитические зависимости, описывающие их поведение. Построена имитационная модель и разработаны программы, позволяющие снимать основные статистические характеристики. На основе сравнительного анализа результатов вычислений по формулам и результатов моделирования даны рекомендации по оценке точности расчётов.

Развитие современных систем и устройств радиотехники и связи, техники управления, радиолокации и навигации, радио и информационно–измерительных комплексов невозможно без широкого применения систем фазовой автоподстройки (ФАП). Круг задач, решаемых этими системами, весьма обширен: слежение за несущими и поднесущими частотами принимаемых сигналов, когерентная демодуляция аналоговых и цифровых сигналов с частотной и фазовой модуляцией, синхронизация и демодуляция двоичных символов цифровой информации, измерение частоты и фазы сигналов, тактовая синхронизация, синтез сложных радиотехнических сигналов, синтез сетки высокостабильных частот, стабилизация частот генераторов различных диапазонов[10,11].

В последние годы интенсивно проводятся исследования в области систем фазовой синхронизации с элементами дискретизации, что связано с совершенствованием элементной базы микроэлектроники и ростом рабочих частот. Переход на новые технологии существенно расширил возможности систем фазовой синхронизации и повысил эффективность устройств на их основе. Большой интерес последнее время вызывает поведение систем в условиях воздействия помех [12]. Анализ реакции на действие помех достаточно важен для практики. Во многом именно помеховая обстановка определяет точность характеристики системы. При этом статистические моменты (математическое ожидание и дисперсия) фазовой и частотной ошибок слежения не дают полной информации о поведении ФАП. Поскольку ФАП – это нелинейная система, то в ряде случаев необходимо знание плотностей распределения вероятностей (ПРВ) ее переменных состояния[13, 14]. Особенностью ФАП по сравнению с рядом других систем (не фазовых) является существование множества устойчивых состояний равновесия, что ещё более усложняет картину при действии шумов.

2.1. Математическая модель системы Импульсной Фазовой Автоподстройки (ИФАП).

На рис. 2.1. представлена типовая функционально-структурная схема ИФАП. На схеме ЛТ – линейный тракт (полосовой фильтр), УФИ – устройство формирования импульсов, ИФД – импульсно – фазовый детектор, Ф – фильтр, УГ – управляемый генератор[10].

Рис. 2.1. Типовая функционально-структурная схема ИФАП.

В качестве воздействия на входе ИФАП рассматривается аддитивная смесь полезного сигнала, широкополосного гауссова шума, а также ряда гармонических составляющих, определяющих детерминированное паразитное колебание

где - закон фазовой модуляции входного сигнала,  - амплитуда полезного сигнала, а  - его частота. Т. к. шум проходит через входной фильтр вместе с сигналом, то его удобно записать в виде

,

где  и  - квадратурные составляющие шума [10].

Колебание на выходе УГ имеет вид 

где  и  - амплитуда колебаний и закон изменения фазы сигнала на выходе УГ соответственно. Сигнал на выходе ИФД представляет собой последовательность импульсов  длительностью  и периодом повторения , которые модулируется по амплитуде усреднённым за  и просуммированным за всё время работы произведением , т.е.

где  - время интегрирования. Практически ИФД представляет собой интегратор со сбросом и фиксирующим устройством. В формуле  означает целое количество импульсов к моменту времени . Модель УГ имеет вид

,

где  - сигнал на выходе ФНЧ, а  - крутизна характеристики УГ.

Рассмотрим подынтегральное выражение . В [10] доказано, что если , , , ,  - медленно меняющиеся функции по сравнению с колебанием  , а , то при отсутствии гармонических помех

. (2.1)

Если предположить систему бесфильтровой, т.е. , а длительность импульса  бесконечно малой, то , где  - функция Дирака. В формуле (2.1) исчезает оператор суммирования, т.к. в момент времени  другие сигналы, т.е.  при , не будут влиять на , потому что  равна нулю всюду, кроме.  Производную по фазе  представим в виде , обозначим  также  рассогласование . Получим выражение

Сделаем замену , получим

, где .

После упрощения получим

.

В полезном сигнале  - расстройка частоты, измеренная за время , тогда

.

Обозначим , тогда уравнение примет вид

.   (2.2)

Из формулы (2.2) видно, что изменение рассогласования по фазе  происходит вследствие частотной модуляции  сигнала  и слежения за рассогласованием , причём   выполняет роль коэффициента усиления, а шум  «мешает» слежению.

Таким образом, получена модель бесфильтровой ИФАП в виде разностного уравнения, которая при уменьшении  становится дискретной. В данном случае система будет обладать неудовлетворительными статистическими характеристиками, потому что у неё отсутствует устройство усреднения, т.е. фильтр. Однако при этом сильно упростилось разностное уравнение, которое может дать качественную оценку работы системы. При этом появляются предпосылки для исследования изначально дискретной ФАС, использующей цифровой фильтр, потому что анализ импульсной системы свёлся к анализу дискретной.

2.2. Плотность распределения вероятности рассогласования.

Одной из основных характеристик системы является плотность распределения вероятностей (ПРВ) рассогласования .

В аналитических расчётах используется метод, согласно которому искомое распределение является решением уравнения ФПК, которое в стационарном режиме имеет вид

,

где  - ОСШ, которое может быть рассчитано как , а  [11].

Несмотря на то, что уравнение и его решение получены для непрерывных систем, можно воспользоваться результатами, если принять шаг дискретизации по времени  достаточно малым. Такое допущение имеет право на существование, потому что в главе рассматривается бесфильтровая ФАС, в которой текущее состояние системы определяется только предыдущим состоянием и входным воздействием.

Решить аналитически уравнение ФПК достаточно трудно, поэтому  решение удобно представить в виде ряда Фурье

,   (3)

коэффициенты которого рассчитываются с помощью модифицированной функции Бесселя .

Для упрощения расчётов и проверки аналитических зависимостей приравняем в уравнении (2.2) параметры ,  и обозначим нормированную расстройку . Перепишем уравнение с учётом введённых обозначений

.   (2.4)

Таким образом, уравнение записано относительно безразмерных величин.

Тогда при  условии  получим

.

При малых значениях ОСШ и отсутствии частотной расстройки справедливо равенство

,

которое в пределе принимает форму[11], т.е.

.

Рис. 2.2. Зависимость , полученная

моделированием (линия с прямоугольником) и

расчётом (линия с окружностью).

Произведём параллельно моделирование и расчёт при заданных параметрах и  дБ.

На рис. 2.2. построены две ПРВ , полученные моделированием (линия с прямоугольником) и аналитическим расчётом (линия с окружностью).

Из графика видно, что в достаточно большой окрестности  кривые совпадают, т.е. формулы дают достоверный результат.

 При наличии частотной расстройки, т.е. при значениях  расчёты намного усложняются.

Принцип работы бесфильтровой системы в режиме частотной расстройки без шума заключается в следующем. Пусть в начальный момент времени начальные фазы полезного сигнала и УГ совпадают, тогда . Детектор измеряет разницу фаз опорного колебания и УГ и прибавляет её к фазе УГ. Разница , поэтому , и фаза УГ не изменяется, т.е. . Фаза полезного сигнала изменится на  и станет . В этом случае детектор определит разницу  и произойдёт коррекция фазы УГ, т.е. , однако , и разница на выходе детектора составит .

Тогда , а .

Таким образом, процесс будет повторяться с каждым тактом, и при  за счёт чередования «+» и «-» в формуле получим

.

Все дальнейшие рассуждения проведены относительно уравнения (2.4).

 ПРВ в переходном режиме рассчитывается по разностной схеме, согласно которой производные заменяются разностями, т.е.

,

,

где параметры   и  задают точность вычислений по времени и фазе соответственно [11]. Рассмотрим  в стационарном режиме, т.е. когда все переходные процессы закончились. Для этого не будем последовательно решать разностную задачу по отысканию , воспользуемся представленной ранее формулой разложения  в ряд (2.3). Вычисление коэффициентов напрямую представляет собой трудоёмкую задачу, однако для расчёта можно воспользоваться рекуррентными соотношениями, что заметно упрощает решение. Эти разностные уравнения имеют вид

и решаются при начальных условиях ,  [11]. Для решения системы необходимо знать  и , вычисление которых удобно производить по приближённым формулам. При малых значениях   коэффициенты могут быть найдены как

,

.

Построим ПРВ рассогласования при значении , исходя из приближённых формул, и сравним их с результатом моделирования.

Рис. 2.3. Зависимость  при , полученная

моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях

10 (штриховая линия),

20 (штрих - пунктирная линия линия),

30 (пунктирная линия).

На рис. 2.3 приведены искомые ПРВ, причём расчётные кривые получены по формуле (3) при количествах членов ряда 10 (штриховая линия), 20 (штрих - пунктирная линия линия) и 30 (пунктирная линия), а также моделированием (сплошная линия). Сравнение теории с моделированием показывает, что оценки расстройки по частоте  совпадают полностью, а оптимальным количеством членов ряда является , потому что при дальнейшем увеличении появляются ВЧ - составляющие, а при уменьшении его количества результат оказывается неточным.

Увеличим рассогласование по частоте до значения   и построим .

На рис. 2.4 построены ПРВ при заданных параметрах, полученные аналитически при  количествах членов ряда 10 (штрих - пунктирная линия), 20 (штриховая линия) и 30 (пунктирная линия), а также моделированием (сплошная линия).

Рис. 2.4. Зависимость  при , полученная

моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях

10 (штрих - пунктирная линия),

20 (штриховая линия),

30 (пунктирная линия).

Из графика видно, что приближённая формула даёт оценку рассогласования  по частоте , которая оказывается смещённой. Т.е. аналитический расчёт по ней справедлив только при . Такой вывод не противоречит теоретическим исследованиям, согласно которым формула применяется только в случае малых значениях . Несмотря на ограничения, накладываемые на зависимости, они достаточно важны, т.к. на практике часто применяются  такие системы, в которых необходимо равенство некоторых частот приёмника и передатчика. Например, в системе модулятор-демодулятор – это промежуточная частота [14, 15, 16]. Точное равенство частот невозможно вследствие погрешностей изготовления, а также принципа формирования стабильной частоты (система с обратной связью, которая также работает по принципу рассогласования). Таким образом, всегда присутствует большое или малое рассогласование по частоте.

Существует ещё одно приближение для расчёта  и , которое теоретически справедливо при малых значениях  [11]. При этом

, ,.

Построим ПРВ рассогласования при и  дБ, исходя из приближённых формул, и сравним их с результатом моделирования.

Рис. 2.5. Зависимость  при  и  дБ, полученная

моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях

3 (пунктирная линия),

4 (штрих - пунктирная линия),

5 (штриховая линия).

На рис. 2.5 построена ПРВ при заданных параметрах, полученная аналитически при  количествах членов ряда 3 (пунктирная линия), 4 (штрих - пунктирная линия) и 5 (штриховая линия), а также моделированием (сплошная линия).

 Из графика видно, что приближённая формула не даёт удовлетворительного результат. При этом наиболее точное приближение получается при  количествах членов ряда разложения . Небольшие значения  не представляют такого интереса, как высокие, поэтому не будем их рассматривать.

Построим ПРВ рассогласования при и  дБ.

Рис. 2.6. Зависимость  при  и  дБ, полученная

моделированием (сплошная линия) и расчётом при значениях

5 (пунктирная линия),

10 (штрих - пунктирная линия),

15 (штриховая линия).

На рис. 2.6 построены ПРВ при заданных параметрах, полученные аналитически при  количествах членов ряда 5 (пунктирная линия), 10 (штрих - пунктирная линия) и 15 (штриховая линия), а также моделированием (сплошная линия). В данном случае получается аналогичный результат, т.е. при оптимальном количестве членов ряда Фурье  расчётные значения заметно отличаются от значений, полученных с помощью модели, хотя оценки расстройки по частоте  близки.

2.3. Анализ срыва слежения.

Одной из важнейших характеристик системы является её устойчивость во времени, т.е. способность осуществлять слежение без срывов в течение заданного промежутка времени [14]. Под срывом будет понимать момент времени, когда рассогласование по фазе  достигает величины .

Рис. 2.7. Зависимость рассогласования  от времени при .

На рис. 2.7 представлена зависимость , которая иллюстрирует типовой процесс срывов слежения при значении. В момент срыва  изменяется на .

2.3.1. Расчёт среднего времени до срыва слежения.

В общем случае среднее время до срыва синхронизации находится из решения уравнения Понтрягина[10, 11]. Существует приближённая формула для расчёта времени до срыва, которая справедлива при малых  и больших значениях  и имеет вид

. (2.5)

Произведём моделирование срыва и сравним результаты. Для обработки результатов моделирования можно воспользоваться следующим методом. Модель необходимо перестроить так, чтобы при достижении границы  система автоматически сбрасывалась в  и продолжала работу из этого состояния, при этом данные  со счётчика реального времени поступают на хранение, затем счётчик сбрасывается и начинает считать дальше. Таким образом, по окончании моделирования в памяти будет набор случайных времён сброса , где , а  получается автоматически. Соответственно среднее время до срыва слежения равно

.

На рис. 2.8 представлена зависимость  среднего времени до срыва слежения  от ОСШ  при 0, 0.2 и 0.5, полученная расчётом (штриховая линия) и моделированием (сплошная линия).

Рис. 2.8. Зависимость   от  при 0, 0.2 и 0.5, полученная

расчётом (штриховая линия) и

моделированием (сплошная линия).

Из графика на рис. 2.8 можно сделать вывод, что аналитическое выражение (2.5) можно использовать при расчёте  , однако необходимо сделать поправку коэффициента  в экспоненте. Причём исходные зависимости дают точный результат при малых  и больших .

2.3.2. Расчёт вероятности срыва слежения.

Вероятность достижения границ интервала определяется как

,

где  - вероятность того, что границы не достигаются. Вероятность  удовлетворяет неравенству

,   (2.6)

при этом  является решением уравнения

,

а оператор , в котором  [11]. В итоге  получается система уравнений, которая решается численными методами. Существует приближённая формула для расчёта вероятности срыва

,

в которой  можно принять равной  [11].

Для нахождения  по результатам моделирования можно воспользоваться уже полученными ранее значениями . Для этого сначала найдём  при . Затем зафиксируем дискретный момент времени  и проанализируем все  при , чтобы найти количество элементов, для которых выполняется неравенство . Всего таких элементов будет , тогда вероятность срыва в момент  равна . Получена  -  вероятность срыва в один момент времени, всего таких времён будет , потому что при  срыв будет всегда, тогда

.

На рис. 9 представлена зависимость , полученная аналитически (штриховая линия) и моделированием (сплошная линия) при  и значениях ОСШ 0.25, 0.5, 1, 2, 4.

Рис. 2.9. Зависимость  при  и 0.25, 0.5, 1, 2, 4, полученная

аналитически (штриховая линия) и

моделированием (сплошная линия).

Из графика на рис. 2.9 видно, что семейство кривых достаточно точно может быть описано зависимостью , однако  требует коррекции, потому что при  кривые при  повторяют друг друга, но при других ,особенно больших, они сильно расходятся.

Проведём аналогичные рассуждения для случая, когда .

Аналитический расчёт вероятности срыва при  представляет собой трудоёмкую задачу, поэтому на рис. 10 представлена зависимость , полученная моделированием при  и значениях ОСШ 2 (сплошная линия), 4 (штриховая линия) и 8 (штрих - пунктирная линия).

Рис. 2.10. Зависимость  при  и значениях

2 (сплошная линия),

4 (штриховая линия) и

8 (штрих - пунктирная линия).

При этом срыв слежения более вероятен, чем при , потому что ПРВ рассогласования стала ближе к границе срыва , что согласуется с выражением (2.6). Рассуждения проиллюстрированы на рис. 2.11. На графике изображена зависимость  , полученная моделированием при  (сплошная линия) и  (штриховая линия). Стрелкой показано расстояние до границы срыва.

Рис. 2.11. Зависимость   при

 (сплошная линия) и

 (штриховая линия)

Из графика на рис. 2.11 видно, что смещённая по частоте ПРВ находится ближе к границе, поэтому срыв слежения в ней более вероятен. Об этом также свидетельствует максимум кривой, т.е. у смещённой по частоте  максимум немного ниже, чем у несмещённой. Это происходит из-за более частых срывов, которые увеличивают дисперсию и, соответственно, уменьшают высоту пика.

Из сравнительного анализа статистических характеристик, полученных аналитическим расчётом и моделированием, можно сделать вывод, что качественно результаты совпадают, однако некоторые формулы имеют жёсткие рамки по применению и дают лишь приближённый результат. Таким образом, в целом модель подтверждает состоятельность математического аппарата и позволяет внести в него коррекции для повышения точности, тем самым делая его более гибким для инженерных расчётов.

Математическая модель схемы и расчёт характеристик произведён с помощью универсальной интегрированной СКМ MATLAB 7.0, в частности системой визуального проектирования Simulink 6.0.

Глава 3.

Сравнительный анализ цифровых систем синхронизации.

Наилучшую помехоустойчивость при передаче информации обес­печивает когерентный прием радиосигналов на фоне помех. Поэто­му обязательным элементом квазикогерентных приемных устройств является система фазовой автоподстройки (ФАП) и её цифровой аналог – цифровая система синхронизации (ЦСС). Область применения ЦСС охватыва­ет синтез частот и разнообразные системы автоматического упра­вления[10, 11].

Функционирование ЦСС сводит­ся к следующему[3,4]:

1) дискретизации входного сигнала синхронно с моментами формирования импульсов опорного сигнала;

2) накопле­нию и усреднению некоторого (возможно, случайного) числа выбо­рок;

3) анализу знака усредненной выборки;

4) коррекции фазы опорного сигнала на плюс-минус один дискрет на каждом периоде в зависимости от знака усредненной выборки.

ЦСС используют пошаго­вую коррекцию фазы опорного сигнала [11]. В данной главе рассматриваются полностью цифровые системы,  которые осуществляют обработку на частоте приходящего колебания [14].

Целью главы является определение схемы, обладающей наибольшей точностью слежения. На основе сравнительного анализа статистических характеристик различных математических моделей ЦСС сделано заключение, в котором изложены основные достоинства и недостатки каждой из схем. Предложена схема, которая обеспечивает наиболее качественный приём.

3.1. Структура математической модели ЦСС.

ЦСС  отличаются друг от друга главным образом филь­тром (устройством усреднения, УУ). В дальнейшем рассматриваются ЦСС, при работе которых будет важен только знак фазовой ошибки, в этом случае характеристика фазового детектора является прямоугольной.

Рис. 3.1. Общая структурная схема.

Рассмотрим общую структурную схему (рис. 3.1), в которой ВФ – входной фильтр, ЦФД - цифровой фазовый детектор, УУ+УП – устройства усреднения и преобразования, УЭ+СД – управляемый элемент со счётчиком-делителем, ГС – генератор синхросигнала. Функционирование ЦСС осуще­ствляется следующим образом [11]. На вход системы поступает аддитив­ная смесь , где  - сигнал, - шум. Эта смесь проходит предварительную фильтрацию в ВФ. На вход ЦФД поступают три сигнала: входной сигнал , опор­ный сигнал , формируемый блоком УЭ+СД, и синхросигнал с блока ГС. Предназначение блока - сформировать на выходе цифро­вые коды, несущие информацию о текущем фазовом рассогласовании в системе. Далее коды поступают на УУ+УП, которое определённым образом накапливает их, оценивает результат и затем вырабатывает положительный или отрицательный импульс. Этот импульс является управляющим для УЭ+СД, т.е. он корректирует фазу опорного сигнала на один дискрет в зависимости от полярности импульса. 

Рис.3.2. Входной сигнал и возможные состояния опорного сигнала.

На рис. 3.2 внизу изображён входной сигнал, а вверху возможные состояния  фазы опорного сигнала. Всего таких состояний может быть . При увеличении рассогласования система из состояния «N» переходит в состояние «–N» и, наоборот,  из «N»  в «–N». Таким образом, ЦСС представляет собой замкнутую систему, следящую за фазой входного сигнала [15, 17].

3.2. Схема Холмса.

Рассмотрим систему [16], показанную на рис.3.3.

Рис. 3.3. Схема Холмса.

Один раз за время, равное периоду опорного сигнала, перемножи­тель (или фазовый детектор)осуществляет выборку входного сигнала . На­копитель отсчетов периодиче­ски суммирует выборок, выдает сигнал, пропорциональный сум­ме, на ограничитель и сбрасывается в нуль. После суммирования по периодам входного сигна­ла полезная составляющая всех выборок (мате­матическое ожидание усредненной выборки) возрастет в  раз. В тоже время все отсчеты шумовой составляющей будут некор­релированными, т.к. суммируются дисперсии отсчётов БШ (т.е. среднеквадратическое отклонение усредненной выборки будет в раз больше, чем среднеквадратическое отклонение отдельного отсче­та) [12]. Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе сумматора будет в раз больше, чем на выходе фазового детек­тора. Если сумма накопленных отсчётов положительна, то вырабатывается сигнал «+1» - усредненная выборка положительна, фазовое рассогласование по­ложительно и фаза опорного сигнала уменьшается на один дискрет; если отрицательна, то «-1» - фаза опорного сигнала увеличивается на один дискрет. Опорный сигнал представляет собой прямоугольное симметричное колебание с периодом , где - период колебания генератора синхро­сигнала, - разрядность. счетчика. Пусть на вход схемы приходит прямоугольный периодический сигнал на фоне белого шума (БШ) с нормальным распределением и нулевым математическим ожиданием. Введём обозначения: – количество накапливаемых выборок,  – количество различных состояний ошибки, . Здесь и далее:  – вероятности перехода системы в состояние с меньшей ошибкой,  –  среднеквадратическое значение ошибки (СКО) ошибки,  - среднее времени до срыва слежения, ОСШ – отношение сигнал/шум на выходе УУ, .

Рассмотрим зависимость СКО ошибки на выходе схемы от ОСШ.  При ОСШ, т.е. когда помехи практически не влияют на сигнал, СКО=, т.е. сигнал колеблется между 2 значениями ошибки: и  . При уменьшении ОСШ, т.е. увеличении влияния помехи, происходит увеличение СКО, т.к. увеличивается вероятность рассогласования. Большее количество возможных состояний ошибки соответствует меньшему СКО, т.к. ~.

Аналитическое выражение согласно [12] имеет вид

.

Рассмотрим зависимость среднего времени до срыва слежения () от ОСШ на входе системы. При ОСШ значение  велико, т.е. когда помехи практически не влияют на сигнал, время до срыва слежения , срыв маловероятен. В пределе, когда ОСШ, , поэтому слежение отсутствует. Большее количество возможных состояний ошибки соответствует большему , т.к. ~ . Аналитическое выражение по [11] имеет вид

,

где  - среднее время до первого регулирования.

Для получения оценки спектральной плотности мощности ошибки слежения (энергетического спектра) построим коррелограмму. Для построения ЭС будем использовать окно Барлетта (периодограмма равна квадрату модуля ДПФ последовательности ошибки слежения, деленному на длину реализации). Необходимо произвести усреднение периодограммы по количеству реализаций для повышения точности оценки [13].

Рис. 3.4. Зависимость ЭС  от нормированной частоты.

График (рис. 3.4) выражает зависимость ЭС (в ДБ) от , где  - частота, нормированная по отношению к частоте входного сигнала. Из графика видно, ошибка меняется периодически.

Схема Холмса является самой простой моделью для понимания принципов действия ЦСС, но по сравнению с любой другой схемой, которые будут рассматриваться дальше, она имеет плохие показатели. Во-первых, регулирование фазы происходит строго периодически, поэтому схема работает неточно (получается большое СКО ошибки на выходе). Во-вторых, в схеме есть накопитель отсчетов входного сигнала, поэтому при реализации на компонентах  необходимо применение АЦП и сумматоров, что ведёт к ограничению быстродействия, появлению ошибки вследствие конечного числа разрядов накопителя, а также увеличению аппаратных затрат. В-третьих, схема Холмса не обладает достаточными возможностями для точной настройки, т.е. при изменении её параметров статистические характеристики меняются скачком. Все эти факторы ограничивают применение схемы.

3.3.Схема Осатаке-Огавы.

Рассмотрим ЦСС [15], структурная схема кото­рой представлена на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Схема Осатаке-Огавы.

Ее главные отличия заключаются, с одной стороны, в трехуровневом, а не в бинарном квантовании сигнала, несущего информацию о текущем фазовом рассогласовании, а с другой стороны, в параллельном, а непоследовательном, принципе формирования опорного сигнала.

Система состоит из нескольких блоков, реализующих отдельные операции:  перемножителя, осуществляющего дискретизацию входно­го сигнала, ограничителя и устройства усреднения, которые со­вместно извлекают и обрабатывают информацию о текущем фазовом рассогласовании, селектора сдвига (С), генератора синхросигнала и линии задержки (с шагом, равным периоду синхросигнала).

Опорный сигнал ЦСС формируется путем деления частоты гене­ратора синхросигнала в раз, период опорного сигнала , где  является одновременно периодом синхросигнала и шагом ли­нии задержки. Счетчик - дешифратор, формирует сдвинутых друг относительно дру­га по фазе импульсных последовательностей. Одна из них постоянно выбирается селектором сдвига, управляемым от УУ, и проходит на выход ЦСС в качестве опорного сигнала. Если возникает необходи­мость уменьшить фазу опорного сигнала, селектор сдвига смещается по линии задержки на один шаг влево. Если возникает необходимость увеличить фазу опорного сигнала, происходит смещение на один шаг вправо.

Описание УУ: на вход ограничителя УУ поступает последовательность отсчётов, дополненная БШ. Счётчик суммирует сигналы с выхода ограничителя УУ. Если поступает подряд  положительных импульсов, то происходило положительное регулирование, если же поступает подряд  отрицательных импульсов, то происходило отрицательное регулирование. Если до регулирования на вход поступает импульс противоположной полярности по отношению к уже накопленным, то счётчик сбрасывается в 0. Нулевые сигналы как на входе УУ, так и на его выходе не меняют состояния системы. Сброс рассматривается как начальная точка следующего этапа накопления, вне зависимости от того, в результате чего он произошёл: регулирования или изменения знака отсчёта. Этап накопления заканчивается следующим сбросом.

Пусть вероятность правильного отсчёта , вероятность простоя без изменений , и вероятность ошибки .

Рис. 3.6. ПРВ сигнала на входе ограничителя УУ.

На рисунке 3.6 изображена ПРВ сигнала на входе ограничителя УУ.

Вероятность правильного отсчёта определяется как  .

Вероятность простоя .

Вероятность ошибки.

Вероятность того, что произойдёт правильное регулирование на  - ом шаге

,

где есть вероятность накопления  правильных отсчётов на -ом шаге накопления, причём (–размер накапливающего счётчика). Вероятностьопределяется по формуле вероятности для биномиального распределения с некоторой добавкой, а именно

,

где  и ,  тогда , причём - вероятность продолжения правильного слежения.

Тогда 

,

.

Вероятность того, что следующий сброс произойдёт в результате правильного регулирования равна

.

Аналогично рассчитывается вероятность неправильного регулирования .В рассматриваемой схеме время регулирования непостоянно (полумарковская цепь) и присутствует зона нечувствительности, что делает аналитические расчёты трудоёмкими. 

 Рассмотрим зависимость времени до первого регулирования от ОСШ. При ОСШ, т.е. когда помехи практически не влияют на сигнал, это время становится постоянным и равным размерности счётчика , накапливающего входные отсчёты. При уменьшении ОСШ, т.е. увеличении влияния помехи, происходит значительное увеличение времени до первого регулирования . Причём для больших  время до первого регулирования растёт намного быстрее, чем для малых. Таким образом, если для увеличения  ОСШ на выходе УУ необходимо увеличить разрядность, то это может привести к недопустимо большому времени  , когда как ошибка уменьшится незначительно.

СКО меняется незначительно по сравнению с изменением . То есть, необходим компромисс между качеством  и  скоростью регулирования. При такой особенности конструкции УУ применение схемы Осатаке-Огавы достаточно специфично.

Рассмотрим зависимость среднего времени до срыва слежения от ОСШ. В схеме Осатаке-Огавы есть одна особенность. В пределе, когда ОСШ, , поэтому слежение отсутствует. Однако, несмотря на отсутствие слежения при  ОСШ, время до срыва остаётся большим, т.к. время до первого регулирования растёт очень быстро, и   определяется не качеством слежения, а  (особенность УУ  схемы Осатаке-Огавы).

Рис. 3.7. Зависимость ЭС от нормированной частоты.

Зависимость ЭС (в дБ) от  при малом ОСШ на входе изображена на рис. 3.7. Из графика видно,  что СПМ не имеет пиков по частоте, кроме 0, значит, ошибка меняется непериодически. Реализации представляют собой  низкочастотные сигналы, а время до первого регулирования велико.

На рис. 3.8 изображена гистограмма состояния ошибки , где  – номер фазового рассогласования. Она напоминает нормальный закон распределения.Если вычислить СКО и математическое ожидание по гистограмме, а потом использовать найденные параметры для построения нормального закона распределения, то получится аппроксимация данной гистограммы.

Если применить к гистограмме встроенную функцию Matlabztestc полученными  СКО и математическим ожиданием, то она даёт результат: «данное распределение с данным СКО может быть нормальным с данным математическим ожиданием». Причём правдоподобность этого утверждения составляет 70.83 %.

Рис. 3.8. Гистограмма состояния ошибки E(i).

Особый интерес данного распределения в том, что при расчётах предполагалось  воздействие нормально распределённого БШ на входе по амплитуде, а в итоге получилось нормальное распределение шума на выходе по фазе. Таким образом, при анализе схемы на её вход можно подавать как амплитудный, так и фазовый БШ.

В отличие от схемы Холмса, вероятность  правильного взятия отсчёта рассчитывается не только исходя из ОСШ на входе, но и с учётом участка нечувствительности ограничителя УУ  .

,

,

,

,

где .На этом этапе видно основное отличие схемы Осатаке-Огавы от схемы Холмса. Во-первых, время до первого регулирования изменяется в широких пределах, что позволяет избежать лишних шагов регулирования, а в  схеме Холмса регулирование происходит периодически, что приводит к неправильной или бесполезной регулировке.

Нелинейный элемент на входе УУ, содержащий зону нечувствительности, действует как фильтр. Он игнорирует слабые сигналы, которые не несут информации о состоянии сигнала на входе, тем самым подавляя эффект «дрожания фазы», защищает фильтр от сброса, однако главное его достоинство заключается в увеличении ОСШ на входе УУ. Схема  Осатаке-Огавы обладает хорошей помехозащищённостью, позволяющей при качественном приёме (высоком ОСШ) работать по схеме Холмса, а при низком ОСШ (слабом сигнале, или его отсутствии) переключаться в ждущий режим.

Однако есть и недостатки. При относительно больших значениях  система становится очень чувствительной и даже слабая помеха способна сделать время до первого регулирования недопустимо большим. Поэтому очень важны такие параметры, как  и .

Что касается конструкции, то данная схема имеет относительно простое УУ, но достаточно сложные в исполнении УГИ и нелинейный элемент, что в целом приемлемо. Благодаря нелинейному элементу  схема обладает широкими возможностями настройки параметров.

Область нечувствительности действует как формирующий фильтр. Она  заставляет схему осуществлять регулирование с некоторой частотой  (по ней можно вычислить время до первого регулирования ), значение которой зависит от . При этом быстрые регулирования подавляются, однако схема продолжает качественное слежение.

Рис. 3.9. Зависимость   от dA при A=2, A=5, A=10.

На рис. 3.9 построена зависимость   от  при различных значениях ,  где  - вероятность взятия правильного отсчёта,   - вероятность взятия неправильного отсчёта,  – ширина зоны нечувствительности, -  амплитуда входного сигнала.

Из графика видно, что с расширением зоны нечувствительности растёт ОСШ на входе УУ, т.к. растёт вероятность правильного отсчёта по отношению к ошибочному. Однако, при увеличении  растёт врёмя регулирования, что снижает быстродействие системы.

Схема Осатаке-Огавы может использоваться для точного измерения параметров входного сигнала, например, для демодуляции. Если на вход подавать несущую,  модулированную бинарным сигналом (ФМ или ЧМ), то на выходе схемы или на выходе УУ, в зависимости от типа модуляции, будет сам бинарный сигнал, причём, достоверность решения будет велика, т.к. ошибочные сигналы (при малом ОСШ на входе) заменяются отсутствием сигнала на выходе (сброс УУ без регулирования). Такое применение схемы обеспечивает достаточную точность при малых затратах (малый размер счётчика ).

3.4.Схема Кессны - Леви.

Рассмотрим ЦСС, структурная схема [15, 17] которой представлена на рис. 3.10 слева [11]. Система состоит из шести блоков: пер­вый из них - перемножитель. Далее по поряд­ку обработки следует комбинация из двух блоков: ограничителя и устройства усреднения. Цифровая форма входных и выходных сигналов позволяет реализовать УУ на элементах малой и средней степени интеграции.

Отметим, что смысл применения УУ здесь тот же самый, что и накопителя в других системах.

Рис. 3.10. Схема Кессны - Леви.

Функцию коррекции фазы опорного сигнала вы­полняет четвертый по порядку обработки блок системы – устройство добавления-исключения импульсов (УДИ). Фазу импульсной последовательности на выходе делителя частоты можно изменять за счет добавления или исключения синхроимпульса из очередного пе­риода опорного сигнала.

3.4.1.Фильтр случайных блужданий.

Построение УУ (на рис. 3.10 справа внизу) пре­­дусматривает использование для усреднения выборок обычного реверсивного счетчика. Про­цесс функционирования счетчика подобен случайному блужданию частицы между двумя поглощающими экранами (отсюда и другое название счетчика на отсчетов без сброса - счетчик случайных блужданий).

Описание УУ: на вход ограничителя УУ поступает последовательность отсчётов, дополненная БШ. Счётчик суммирует сигналы с выхода ограничителя УУ. Изначально сумма равна 0. При поступлении положительного импульса сумма увеличивается на 1, при поступлении отрицательного – уменьшается на 1. Если сумма импульсов достигает размерности , то происходит положительное регулирование, если же сумма импульсов достигает  , то происходит отрицательное регулирование. После регулирования счётчик сбрасывается в 0. После сброса начинается новый цикл регулирования.

Пусть вероятность правильного отсчёта  и вероятность ошибки .

Обозначим  - вероятность того, что  шагов будет достигнуто состояние  при условии, что в начальный момент времени система находилась в состоянии . Тогда 

,

где  с граничными условиями

; ;  при .

Решая уравнение, по [11]находим вероятность

,

где , .

Рассматривая зависимость времени до первого регулирования от ОСШ, можно сделать вывод, что для больших  оно растёт быстрее, чем для малых т.к. для регулирования необходима большая разность сумм положительных и отрицательных отсчётов.

Рис. 3.11. Зависимость ЭС от нормированной частоты.

В некоторых случаях целесообразно увеличивать размерность накопителя, так как проигрыш в быстродействии компенсируется увеличением точности.

Зависимость ЭС (в дБ) от  при малом ОСШ на входе изображена на рис. 3.11. Из рисунка видно, что на частоте Найквиста, потому что размерность накопителя была выбрана чётной.

По сравнению со схемой Холмса, фильтр случайных блужданий в схеме Кессны-Леви несколько подавляет регулирование при отсутствии сигнала, что говорит о её помехозащищённости. Однако, по сравнению со схемой Осатаке-Огавы,схема Кессны-Леви с фильтром случайных блужданий не имеет сброса, поэтому некоторый выигрыш в быстродействии компенсируется накоплением ошибочных отсчётов, что ведёт к увеличению дисперсии ошибки на выходе схемы. Данная схема проста в конструктивном исполнении, однако не обладает столь гибкими возможностями настройки, как  схема Осатаке-Огавы, к тому же, практически все статистические характеристики схемы имеют большой разброс параметров. Такая особенность схемы не позволяет с достаточной точностью определить её качество. Схема может применяться в качестве восстановителя синхросигнала, потому что её УУ при малом ОСШ на входе схемы может работать длительное время без сброса, накапливая информацию о рассогласовании, при этом явно видна аналогия между УУ цифровой системы синхронизации и ФНЧ непрерывной ФАПЧ.

3.4.2. N-перед-M фильтр.

N-перед-M фильтр является другой разновидностью УУ в схеме Кессны - Леви. Его конструкция приведена на рис. 3.10. справа вверху.

 Описание УУ:  Устройство усреднения построено на основе трех регистров: двух регистров длины и одного длины  (<<). На вход ограничителя УУ поступает последовательность отсчётов, дополненная БШ. Первый счётчик размерностью  суммирует положительные сигналы с выхода ограничителя УУ. Второй счётчик размерностью  суммирует отрицательные сигналы с выхода ограничителя УУ. Третий счётчик размерностью  суммирует как положительные, так и отрицательные сигналы с выхода ограничителя УУ. Изначально сумма равна 0. Если переполняется первый счётчик, то происходит положительное регулирование и общий сброс счётчиков. Если переполняется второй счётчик, то происходит отрицательное регулирование и общий сброс счётчиков. Если переполняется третий счётчик, то происходит общий сброс счётчиков без регулирования.

Пусть

- вероятность того, что в выборке из n отсчётов на выходе релейного элемента появилось k «+1», где  есть биномиальный коэффициент. Вероятность того, что на шаге  () произойдёт положительное регулирование

при .

Вероятность того, что на шаге n (n<M) произойдёт положительное регулирование

при .

Далее будем рассматривать промежуток времени между двумя сбросами.Вероятность того, что сброс произойдёт в результате правильного регулирования равна

.

Вероятность того, что сброс произойдёт в результате неправильного регулирования

.

При некотором соотношении  и  целесообразно увеличивать размерность накопителя, так как проигрыш в быстродействии несколько компенсируется увеличением точности. Причём, очевидно, что не стоит строить схему, в которой , т.к. в этом случае схема Кессны – Леви работает по схеме Осатаке-Огавы с ухудшением времени до первого регулирования. При правильном выборе  и  система будет иметь оптимальные характеристики, т.е. будет компромисс между точностью и быстродействием.

Существует некоторое оптимальное соотношение между  и , причём изменение ведёт к большему разбросу параметров, нежели , поэтому при проектировании следует сначала выбрать  (предполагая оптимальное соотношение между  и ), а затем, меняя , добиться необходимых показателей.

Рис. 3.12. Зависимость ЭС от нормированной частоты.

Зависимость ЭС (в дБ) от  при малом ОСШ на входе изображена на рис. 3.12. Из рисунка видно, спектр гладкий и сосредоточен в области НЧ. Это происходит потому, что регулирование происходит редко и носит случайный характер.

По сравнению со схемой Холмса, N-перед-M фильтр в схеме Кессны-Леви имеет сброс, что говорит о его помехозащищённости. По сравнению с фильтром случайных блужданий N-перед-M фильтр обладает более гибкими возможностями настройки параметров, однако это же является его минусом, т.к. ещё при моделировании пришлось составлять громоздкую схему УУ, т.е. его реализация требует больше ресурсов. Более того, из графиков видно, что N-перед-M фильтр уступает как фильтру случайных блужданий, так и фильтру в схеме Осатаке-Огавы по статистическим характеристикам, т.е. соотношению точности и быстродействия. Однако, конструкция УУ N-перед-M фильтра такова, что при соответствующем выборе параметра  схема может применяться и как восстановитель синхросигнала, и как демодулятор.

Из сравнительного анализа статистических характеристик различных математических моделей можно сделать вывод, что схема Осатаке-Огавы показывает наилучшую точность слежения, а схема Холмса – наихудшую. Схемы Кессны – Леви показывают промежуточный результат по точности, но достаточно универсальны в применении и относительно легко реализуются.

Расчёт характеристик произведён с помощью универсальной интегрированной СКМ MATLAB 6.5, в частности системой визуального проектирования Simulink 5.0.

Глава 4.

Цифровые системы синхронизации с перестраивающимися параметрами.

В главе получена схема адаптивной ЦСС, которая перестраивает свои конструктивные параметры в зависимости от условий приёма, т.е. при различных ОСШ на входе, и тем самым обеспечивает наиболее качественный приём. Критерием качества служит целевая функция, минимум которой свидетельствует об оптимальности выбранной конструкции.

Темпы развития телекоммуникаций в последние годы столь велики, что их «описательная» сторона отстаёт, если не считать рекламных изданий. Одними из первых появились непрерывные системы синхронизации (СС), на смену им пришли цифровые СС (ЦСС) с аналоговым фильтром, а в настоящее время уже широко применяются полностью цифровые СС, которые дают широкие возможности для исследования новых алгоритмов. Не секрет, что обработку сигналов проще и надёжнее осуществлять в цифровом виде, нежели чем в аналоговом, особенно на высоком современном уровне интеграции изделий электронной техники.  

Наилучшую помехоустойчивость при передаче информации обес­печивает когерентный прием радиосигналов на фоне помех, поэто­му обязательным элементом квазикогерентных приемных устройств является система фазовой автоподстройки (ФАП) и её цифровой аналог – ЦСС, область применения которых охватыва­ет синтез частот и разнообразные системы автоматического управления [10 ,11].

Одним из перспективных направлений в исследовании  ФАП является имитационное моделирование, которое позволяет не только избежать трудоёмких  аналитические расчётов, но также выполнить параметрическую оптимизацию структуры. Для построения системы необходимо разработать алгоритм моделирования и выделить основные структурные блоки.

ЦСС используют пошаго­вую коррекцию фазы опорного сигнала. Общая структурная схема приведена на рис. 4.1 [11].

Рис. 4.1. Общая структурная схема.

4.1. Структура модели ЦСС.

Рассмотрим общую структурную схему (рис. 4.1). Функционирование ЦСС осуще­ствляется следующим образом [11]. На вход системы поступает аддитив­ная смесь , где  - сигнал, - шум. Эта смесь проходит предварительную фильтрацию во входном фильтре (ВФ). На вход ЦДФ поступают три сигнала: входной сигнал , опор­ный сигнал , формируемый блоком УЭ+СД, и синхросигнал с блока ГС. Предназначение блока - сформировать на выходе цифро­вые коды, несущие информацию о текущем фазовом рассогласовании в системе. Далее коды поступают на УУ+УП, которое определённым образом накапливает их, оценивает результат и затем вырабатывает положительный или отрицательный импульс. Этот импульс является управляющим для УЭ+СД, т.е. он корректирует фазу опорного сигнала на один дискрет в зависимости от полярности импульса. 

Рис. 4.2. Входной и опорный сигналы.

На рис. 4.2 внизу изображён входной сигнал, а вверху возможные состояния  фазы опорного сигнала. Всего таких состояний может быть . При увеличении рассогласования система из состояния «N» переходит в состояние «–N» и, наоборот,  из «N»  в «–N». Таким образом, ЦСС представляет собой замкнутую систему, следящую за фазой входного сигнала.

  4.2. Модель схемы Кессны - Леви.

Рассмотрим ЦСС, структурная схема которой представлена на рис. 4.3 слева[11]. Система состоит из шести блоков: пер­вый из них - перемножитель. Далее по поряд­ку обработки следует комбинация из двух блоков: ограничителя и устройства усреднения.

Рис. 4.3. Схема Кессны - Леви.

 Функцию коррекции фазы опорного сигнала вы­полняет четвертый по порядку обработки блок системы – устройство добавления-исключения импульсов (УДИ). Фазу импульсной последовательности на выходе делителя частоты можно изменять за счет добавления или же исключения синхроимпульса из очередного периода опорного сигнала.

4.3. ЦСС с перестроением параметров.

4.3.1. Целевая функция.

Для того чтобы знать, какие значения должны принимать параметры УУ, необходимо составить функцию, которая зависит от этих параметров и значение которой характеризует оптимальность их выбора.

Целевая функция должна содержать в себе все показатели, которые характеризуют качество системы. В данном случае такими показателями являются дисперсия ошибки слежения  и среднее время до первого регулирования .

Все дальнейшие расчёты производятся при =4. Хотя увеличение  и ведёт к уменьшению дисперсии ошибки слежения, что следует из формулы

,

где , но для реализации таких систем требуется большая частота генератора синхроимпульсов и, более того уменьшается полоса захвата ЦСС[4.3]. В главе рассматривается принципиальный метод построения системы с изменением  вне зависимости от . Если же система такова, что  имеет иное значение, то необходимо просто заново настроить систему (см. далее).

Пусть на вход схемы приходит прямоугольный периодический сигнал на фоне БШ с нормальным распределением и нулевым математическим ожиданием.

На рис. 4.4 построена зависимость среднего времени до первого регулирования  от ОСШ на входе при =4, 8 и 16.

Примечание: здесь и в дальнейшем на графиках приняты следующие обозначения : 1  -  ,  2 -   и  3 - .

Рис. 4.4. Зависимость  от   при =4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3).

Рис. 4.5. Зависимость  от   при =4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3).

На рис. 4.5 построена зависимость дисперсии ошибки слежения   от ОСШ  на входе при =4, 8 и 16[4].

Для того чтобы составить целевую функцию, следует сначала нормировать параметры, так как они имеют разные диапазоны измерения. В итоге  и  лежат в диапазоне . Далее выберем весовые коэффициенты. Например, примем   в 4 раза более значимым, чем . Тогда целевая функция примет вид  .

Рис. 4.6. Зависимость  от   при =4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3).

Рис. 4.7. Зависимость  от   при =4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3) в логарифмическом масштабе по оси ординат.

На графиках рис. 4.6, 4.7 изображена зависимость целевой функции  в зависимости от ОСШ  на входе системы при различных значениях размерности накопителя . Графики пересекаются между собой, что говорит о том, что при разных значениях ОСШ для обеспечения оптимального приёма (  ) необходимо использовать разные значения . Так, при , при , а при . Здесь рассматривается диапазон значений , хотя  может изменяться в пределах , тогда появятся новые области оптимальности.

4.3.2.  Принцип построения системы.

Для того чтобы перестроить систему в соответствии с целевой функцией, необходимо использовать статистические характеристики какого-нибудь параметра системы с постоянным , которые бы давали информацию о текущем ОСШ на входе. Когда ОСШ известно, при данном  и  можно сделать вывод, как следует вести себя системе: уменьшать или увеличивать .

Рассмотрим поведение УУ схемы.

При большом ОСШ на входе помехи практически не влияют на входной сигнал и накопитель будет принимать отсчёты одного знака, соответствующие  текущему фазовому рассогласованию, поэтому сумма накопленных отсчётов не меняет своего знака.

Если же на сигнал воздействует шум, то возможно взятие неправильного отсчёта, т.е. противоположного по знаку тому, который соответствует  текущему фазовому рассогласованию. Тогда сумма накопленных отсчётов уже не будет монотонно стремится к пределу  или , а будут возникать флуктуации в обратном направлении, вызванные шумом, которые при малом  даже могут с достаточно большой вероятностью привести к неправильному регулированию.

Рис. 4.8. Зависимость  за время  от  при 4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3).

В пределе, когда ОСШ, вероятности взятия как положительного, так и отрицательного отсчётов равновероятны, и до регулирования полярность взятых отсчётов много раз меняется.

В итоге получается, что количество перемен полярности во взятых отсчётов зависит от и .

Рис. 4.9. Зависимость от  при 4 (цифра 1), 8 (цифра 2) и 16 (цифра 3).

На графике рис. 4.8 показана зависимость среднего количества перемен полярности во взятых отсчётах  за время , т.е. пока не произойдёт регулирование, от ОСШ при 4, 8 и 16.

На графике рис. 4.9 показана зависимость средней дисперсии количества перемен полярности от ОСШ при 4, 8 и 16.

Из графиков видно, что характеристики совпадают при больших значениях ОСШ и расходятся при малых, причём каждая кривая имеет достаточно длинный линейный участок.

Далее рассмотрим принцип изменения .

В системе есть 2 конкурирующих параметра. Один из них уменьшает размерность накопителя , другой – увеличивает.

Первым параметром является регулирование. Если регулирование происходит относительно часто, т.е.  относительно мало, значит можно уменьшить , т.к. ОСШ на входе велико. 

Вторым параметром является  - среднее количество перемен полярности во взятых отсчётах за время , т.е. до момента регулирования. Его можно сравнивать с .

Рис. 4.10.  ПРВ  при разных значениях .

Например, рассмотрим участок  на графиках, на нём разным значениям  соответствуют одинаковые  и . ПРВ  для  4, 8 и 16 условно изображены на рис. 4.10 (кривая а). Если  часто пересекает порог , то следует увеличить , т.к. ОСШ на входе мало. Тогда, если обратиться к графику, видно, что   не изменилось, а порог увеличился, тогда вероятность его превышения падает, и скорость роста  уменьшается.

Минусом является тот  факт, что при малых ОСШ растёт не только  , но и , причём появляется зона насыщения, поэтому линейный участок  сокращается и точная настройка  затруднена. На рис. 4.10 (кривые б для8 и в для 16) условно показаны  при малом ОСШ на входе.

4.3.3. Реализация системы.

Система по сравнению с первоначальным вариантом Кессны-Леви претерпела изменения, однако принцип её действия не изменился, и работа происходит на частоте опорного сигнала без каких-либо дополнительных задержек рис. 4.11.

Схема работает следующим образом. Как и раньше, счётчик CT1 суммирует положительные и отрицательные импульсы, поступающие с детектора, однако если раньше он регулировал и сбрасывался после определённого достаточного числа накопленных импульсов, то теперь это число зависит от конструкции накопителя и ОСШ на входе. Текущее значение размера накопителя снимается с выхода CT4. Если CT1 накопил число импульсов одной полярности большее, чем текущая размерность УУ (CT4), то происходит регулирование, соответствующее знаку суммы накопленных отсчётов (выход компаратора CMP1) и последующий сброс (Reset).

Сигнал OUT соответствует выходу счётчика исходной схемы. Счётчик CT2  суммирует регулирования и при переполнении выдаёт короткий положительный импульс на вход CT4, который уменьшает его содержание на 1. Компаратор CMP 2 на выходе CT4 не позволяет сделать размерность УУ меньше 4 посредством блокирования через логический элемент.

Рис. 4.11. Схема с перестраивающимися параметрами.

Далее рассмотрим часть схемы, выполняющей обратные функции. Детектор на схеме – это устройство, которое отслеживает изменение полярности входных импульсов, т.е. если сначала поступающие импульсы были одной полярности, а затем на вход пришёл импульс противоположной полярности, то Детектор выдаёт на выход управляющий импульс, сбрасывается и начинает работать снова. Стоит отметить, что Детектор может быть реализован с помощью триггеров с поглощающим состоянием и логических элементов. Счётчик CT3 накапливает управляющие импульсы. Если содержимое CT3 достигло числа, которое с точностью до постоянного множителя (см. делитель) совпадает с содержимым CT4, то на выходе компаратора CMP3 формируется короткий положительный импульс на вход CT4, который увеличивает его содержание на 1. CT3 при этом также сбрасывается. Компаратор CMP 4 на выходеCT4 не позволяет сделать размерность УУ больше 16 посредством блокирования через логический элемент. В схеме введено ещё одно ограничение: если  CT3 не успеет накопить достаточное для регулирования CT4 количество импульсов до формирования сигнала на выходе OUT, то он сбросится и начнёт считать заново.

В заключение необходимо добавить, что именно накопитель CT2, делитель и обратные связи (Reset на CT3) обеспечивают точную настройку и, соответственно, формируют заданную целевую функцию. 

На рис. 4.12 показана модифицированная схема Кессны – Леви. По сравнению с первоначальным вариантом (рис. 4.3) появился новый блок – устройство перестроения параметров (УПП), который и осуществляет перестроение УУ в соответствии с целевой функцией.

Рис. 4.12. Схема с перестраивающимися параметрами.

Математическая модель схемы и расчёт характеристик произведён с помощью универсальной интегрированной СКМ MATLAB 6.5, в частности системой визуального проектирования Simulink 5.0.

На рис. 4.13 изображена зависимость среднего значения  от ОСШ на входе системы. При этом размерность счётчика CT2 равна 2 (считает до 4), а  (см. делитель, что соответствует сдвигу на 1 разряд вправо).

Рис. 4.13. Зависимость  от  на входе системы.

Параметры выбраны исходя из заданной целевой функции, т.е. при таких значениях параметров настройки размерность накопителя   изменяется оптимальным образом или наиболее близко к оптимальному. В данном случае можно применить разные методы для отыскания кривой, которая наиболее «похожа» на оптимальную.

Например, можно выбрать на оси  несколько точек , определить требуемые значения  (рис. 4.7), затем в  по тем , которые получились в схеме (рис. 4.13), найти соответствующие  (рис. 4.7) , определить отличие для каждой точки , составить общее отличие (неоптимальность) в виде среднеквадратического отклонения  .  Затем найти для всех возможных значений размерностей счётчика CT2 и  делителя. Наименьшее значение  соответствует оптимальной настройке.

  В данном случае можно обойтись визуальным наблюдением.

Рис. 4.14. Зависимость  от   при .

Для наглядности на рис. 4.14 показана зависимость  от  времени , исчисляемом в периодах опорного сигнала, когда система находится в установившемся режиме. При этом ОСШ на входе .

4.4.  Полоса захвата системы с постоянными параметрами.

Пусть ЦСС делает подряд  шагов регулирования. Каждый шаг соответствует изменению фазы на . Предположим, опорный сигнал отстаёт по фазе от входного сигнала, тогда за  шагов система произведёт  шагов вправо и  шагов влево, где - вероятность правильного регулирования,- вероятность неправильного регулирования. Таким образом,

- среднее значение коррекции фазы опорного сигнала за  шагов. Тогда за 1 шаг фаза в среднем изменится на , причём это изменение произойдёт за время  - среднее время до первого регулирования. Поэтому 

- половина полосы захвата, т.е. если  , где , тогда захвата частоты (слежения за частотой) не будет.  зависит от ОСШ на входе и конструктивных параметров УУ. Стоит отметить, что при ОСШ  получается , , а  и полоса захвата максимальна . Действительно, чем меньше помех, тем лучше слежение и тем, соответственно, больше возможное изменение частоты входного сигнала, которое ещё будет отслеживать ЦСС. Если же ОСШ , то  (отсчёты БШ на входе), , а  . Чем мощнее помеха, тем уже полоса захвата, и тем, соответственно, меньше возможное изменение частоты входного сигнала, которое ещё будет отслеживать ЦСС.

4.5. Применение ЦСС с перестроением параметров.

Как уже отмечалось ранее, в системе с перестроением, в отличие от системы с постоянными параметрами, изменяется размерность накопителя . Рассмотрим различные ситуации применения ЦСС.

Если ОСШ на входе заранее известно и не будет изменяться, то системы поведут  себя одинаково и, исходя только из конструктивных соображений, выгоднее применять систему с постоянным .

 Если ОСШ на входе заранее неизвестно или может изменяться с течением, то возможны следующие нежелательные состояния в системе с постоянным .

Во-первых, если на входе ОСШ, а  велико, то полоса захвата будет сильно занижена , хотя даже если вообще исключить УУ из схемы,  то  не изменится, а полоса заметно расширится. В системе с переменным  такого не происходит, т.к. при ОСШ уменьшается до разрешимой величины.

Во-вторых, если на входе ОСШ, а  мало, то полоса пропускания  будет сильно завышена  [15], где ,  - частота несущей,  - коэффициент аппроксимации,  - конструктивный коэффициент. Как известно, для оценки  можно применить  [16]. Получается, что при большом  значении  система с постоянным  недостаточно фильтрует шум при большом значении . В системе с переменным  подобного не происходит, потому что  увеличивается до разрешимой величины при увеличении .

Из анализа статистических характеристик математической модели схемы Кессны – Леви с перестраивающимися параметрами можно сделать вывод, что в условиях неопределённости ОСШ на входе она имеет преимущество по сравнению с системой с постоянными параметрами. Оно заключается не только в формальном соответствии минимуму целевой функции, но и качественном изменении условий приёма (полосы захвата и пропускания), обеспечивая его оптимальность.

Глава 5.

Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй.

Методами математического моделирования исследован принцип работы сигма-дельта модулятора с одной петлёй. Найдены статистические характеристики ошибки квантования при постоянном входном воздействии. С помощью имитационной модели произведена проверка полученных результатов.

В настоящее время во многих областях техники [19,20] широкое распространение получила архитектура сигма-дельта модулятора (), основным достоинством которой является простая реализация. Подавляющее большинство  являются цифровыми устройствами в связи с особенностью их применения [21]. Например, подобные устройства используются в аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователях (АЦП и ЦАП)  для увеличения разрешающей способности путём передискретизации входного сигнала, в дробных синтезаторах частот для избавления от побочных гармоник путём рандомизации моментов переключения коэффициента деления, для точного и линейного преобразования ёмкости в код, а также для решения задач фильтрации, децимации и многих других. Однако, несмотря на многочисленные публикации по этой теме и широкое внедрение, исследованы лишь общие описательные принципы их работы [21], а доказательная сторона остаётся открытой. 

В данной главе исследовано функционирование  применительно к задаче увеличения разрешающей способности, условием которой является превышение частоты дискретизации  над верхней частотой спектра входного сигнала  во много раз, т.е. . Смысл такого условия состоит в том, что при измерении одного и того же значения сигнала несколько раз среднее из измерений будет точнее каждого отдельного, если шум квантования является некоррелированным.

5.1. Математическая модель устройства квантования.

В современной литературе существует несколько различных математических моделей устройства квантования [22]. Основная проблема в их использовании состоит прежде всего в том, что они нелинейные и описываются сложными аналитическими выражениями. А если в исследуемом устройстве есть обратные связи, то сложность резко возрастает. Например, в некоторых исследованиях устройство квантования заменяется идеальным реле [19-21]. Очевидно, что такое приближение является очень грубым и даёт достоверный результат только в ограниченном применении (при бинарном квантовании). Линеаризация также не является решением проблемы, потому что в реальном устройстве невозможно обеспечить бесконечно большое число уровней квантования. Однако выходом из положения может быть её применение при условии воздействий аддитивного равномерно распределённого белого шума [19 ,20]. Такое представление позволяет исследовать технические системы, содержащие устройство квантования, с помощью широко развитой линейной теории автоматического управления.

При этом необходимо выполнение следующих условий [22]:

1) Устройство квантования не переполняется, т.е. динамический диапазон входного сигнала не выходит за границы измерения, нет насыщения.

2) Устройство квантования содержит большое число уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования мало.

4) Совместная ПРВпары любых двух отсчётов на входе устройства квантования есть гладкая функция.

При выполнении этих условий шум квантования является белым, однако в реальных АЦП, особенно использующих передискретизацию, эти условия не выполняются, т.к.

1) Заранее неизвестен динамический диапазон входного сигнала.

2) Устройство квантования обычно содержит лишь несколько уровней.

3) Расстояние между уровнями квантования велико.

4) Вследствие влияния обратных связей совместная ПРВ отсчётов на входе устройства квантования не является гладкой функцией.

Одним из возможных методов анализа является разложение нелинейных элементов в ряд Фурье, т.е. гармонический анализ. При этом в случае периодической нелинейной зависимости можно получить довольно простые для анализа выражения, которые позволяют находить статистические моменты различных порядков исследуемой характеристики.

Поскольку распределение сигнала на входе устройства квантования заранее не известно, то будем использовать равномерное распределение  уровней. Например, на рис. 5.1 изображена характеристика устройства квантования с равномерным распределением  уровней и расстоянием между уровнями , где  - вход, а  - выход.

Рис. 5.1. Характеристика устройства квантования.

Стоит отметить, что на его выходе всегда появляется значение уровня, наиболее близко расположенного к входному сигналу, т.е. происходит округление до ближайшего уровня. Таким образом, устройство квантования описывается в виде [22]

, (5.1)

причём ошибка квантования равна

. (5.2)

Ошибка квантования представляет наибольший интерес для анализа. С учётом (5.2) нормированная ошибка имеет вид

, 

тогда из (5.1), (5.2) получим

, (5.3)

Если динамический диапазон сигнала  находится внутри области квантования, т.е. если нет переполнения, то из (5.3) получим

 при , . (5.4)

Введём обозначение дёйствительного числа , где  - целая часть числа , а  - мнимая, причём , а .

Тогда из (5.4) получим

. (5.5)

При условии , которое следует из выражения , формула (5.5) преобразуется к виду

. (5.6)

Очевидно, что в формуле (5.6) ошибка  является периодической функцией с периодом , если не учитывать края диапазона, в которых  и . На рис. 5.2 представлена зависимость .

Рис. 5.2. Зависимость .

Стоит отметить, что поскольку переполнения не происходит, то можно вместо участков насыщения по краям на рис. 5.2, сделать периодическое продолжение. Т.к. входной сигнал  не достигает этих границ, то, соответственно, такое представление не внесёт изменений, однако заметно упростит аналитическое выражение  в форме ряда.

Согласно [23] комплексный ряд Фурье для периодической функции  с периодом  записывается в виде

, где . (5.7)

Поскольку на промежутке  функция принимает вид , тогда по (5.7) получим  при , в чём нетрудно убедиться, причём  .

Тогда из (5.7) получим

. (5.8)

5.2. Статистические характеристики ошибки квантования.

Для анализа мощности ошибки обычно используется квадрат ошибки [19-22], поэтому далее разложим на промежутке  в ряд функцию , тогда по (5.7) получим  при , в чём нетрудно убедиться, причём  .

Тогда из (7) получим

. (5.9)

С помощью зависимостей (5.8), (5.9) можно получить статистические характеристики ошибки.

Поскольку устройство квантования является дискретным, то в выражениях (5.8), (5.9) необходимо перейти от непрерывного времени к дискретному, т.е.  произвести замены вида , , тогда

. (5.10)

. (5.11)

 Однако стоит отметить, что полученные ряды справедливы лишь для определённых классов входных воздействий , а в некоторых особых случаях возможно их расхождение [22].

Введём оператор , который означает среднее значение величины . Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса по [22] соответственно имеют вид

, . (5.12)

Автокорреляционная функция (АКФ) случайного процесса по [22] записывается в виде

, (5.13)

при этом усреднение предполагается по множеству реализаций ошибки. Поскольку в рассматриваемой главе наиболее интересен случай передискретизации, то при достаточно больших значениях ОСШ можно предположить условие квазистационарности входного воздействия. Предположим, что входное воздействие также обладает свойством эргодичности. Тогда из (5.10) можно сделать вывод, что процесс  также является квазистационарным и эргодическим, поэтому оператор усреднения можно заменить усреднением по одному ряду, т.е. , тогда по (5.12) получим

, , (5.14)

а из (5.13) следует

, (5.15)

Из (5.10), (5.14) получим

,

.  (5.16)

Из (5.10), (5.15) определим АКФ стационарного процесса

. (5.17)

Из [22] определим характеристическую функцию СП  в виде

, (5.18)

где усреднение  осуществляется по переменной , тогда двумерная характеристическая функция определяется как

, (5.19)

Из (5.16), (5.18) получим

, . (5.20)

Из (5.17), (5.19) получим

.   (5.21)

В качестве примера рассмотрим воздействие на устройство квантования константы . Очевидно, что при отсутствии шума на выходе также будет постоянная величина согласно (5.1).

При этом выполняется условие , причём , а .

Из примера видно, что при воздействии на устройство квантования медленно изменяющейся функции, что справедливо при передискретизации, ошибка также изменяется медленно. Таким образом, сигнал и шум квантования с большой вероятностью лежат в одной полосе частотной области, и их нельзя разделить методами фильтрации [24-26].

В работе [27] предложен метод, согласно которому перед квантованием к полезному сигналу  добавляется белый шум , т.е. на входе смесь вида

. (5.22)

В [28] доказано, что если характеристическая функция процесса  равна нулю, то при отсутствии переполнения ошибка квантования  не зависит от полезного сигнала , т.е. является БШ. Такой метод воздействия на ошибку называется размыванием. Если ошибка является БШ, то её мощность одинаково распределена по всёй частотной области от 0 до , а в случае передискретизации, т.е. при условии , мощность сигнала сосредоточена в области низких частот. Таким образом, с помощью фильтра низких частот (ФНЧ) можно заметно подавить шум дискретизации [24]. При этом  необходимо правильно выбрать . Очевидно, что если мощность шума  мала, то его мгновенные значения будут локализованы в пределах одного уровня квантования и ошибка будет коррелированна с . Таким образом, мощность  должна быть сравнима с мощностью .

5.3. Модель  с одной петлёй.

В предыдущем разделе была изложена идея добавления к входному сигналу белого шума, тем самым размывая спектр ошибки квантования по всему диапазону частот. В основе конструкции  лежит метод, согласно которому ошибку квантования, которая по предположению является БШ, добавляют к входному сигналу аналогично (5.22), тем самым обеспечивая её же размывание по частоте. Структурная схема подобной модели изображена на рис. 5.3. Элемент задержки введён в схему для того, чтобы она соответствовала работе реального АЦП, потому что это устройство является тактируемым. Изменение полярности ошибки применяется для удобства.

Рис. 5.3. Основа конструкции .

Из рис. 5.3 можно получить разностное уравнение

. (5.23)

На рис. 5.4 приведена наиболее распространённая структурная схема  с одним кольцом, которая легко получается из схемы на рис. 5.3 с помощью преобразований сумматоров [22]. На входе схемы расположен вычитатель квантованного сигнала  из входного . После вычитателя расположен цифровой интегратор, выделенный штриховой линией. После интегратора сигнал подвергается квантованию и затем через кольцо обратной связи поступает на вычитатель.

Рис. 5.4. Структурная схема .

Из (5.2) получим выражения

, . (5.24)

Тогда с помощью (5.23), (5.24) получим

. (5.25)

Таким образом, на выходе  сигнал представляет собой смесь задержанного входного сигнала и разности ошибок квантования за текущий такт и предыдущий. Основная задача анализа уравнения (5.25) состоит в исследовании спектра ошибки, т.к. для её устранения необходима фильтрация.

При условии (5.6) с учётом (5.23) ошибка преобразуется к виду

. (5.26)

Формула (5.26) представляет собой рекурсивное уравнение ошибки.

Обозначим начальные условия  и сделаем замену

. (5.27)

Поскольку в определении  участвует лишь дробная часть, т.е. , то в скобках можно прибавить 1. Тогда из (5.27) получим

. (5.28)

При этом .

Из (5.28) находим

. (5.29)

Ошибка квантования по (5.27), (5.29) имеет вид

. (5.30)

Стоит отметить, что выражение (5.30) по своей структуре аналогично (5.6), поэтому, произведя замену

, (5.31)

получим аналог (5.6), т.е.

. (5.32)

При этом  в  является аналогом  в АЦП, т.е.  является интегратором суммы входного сигнала и константы .

5.4. Спектральные характеристики  при постоянном входном воздействии.

Рассчитаем статистические характеристики сигнала ошибки  при  для , причём  не вызывает переполнения и в общем случае  является иррациональным числом [24-26]. Стоит отметить, что в случае рационального , например , ошибка является периодической функцией с заранее известным периодом. Поскольку сигнал является медленно изменяющейся функцией, то условие передискретизации выполняется.

Из (5.31), (5.32) следует, что с каждым тактом дискретизации  возрастает на величину , т.е. имеет место линейная зависимость

, (5.33)

где .Тогда из (5.18) с учётом (5.33) получим характеристическую функцию сигнала  в виде

.  (5.34)

Поскольку для экспоненты справедливо равенство

,

которое означает, что аргумент, кратный , не влияет на результат вычисления, то из (5.34) получим

.  (5.35)

В работе [29] показано, что для интегрируемой функции  справедливо равенство

при условии, что  является иррациональным числом, а  - действительным. Такое равенство вполне понятно интуитивно, т.к.  - генератор равномерно распределённой случайной величины (СВ) на интервале , а  - математическое ожидание  на заданном интервале.

Поэтому из (5.35) получим

.  (5.36)

Причём  можно найти из выражения (5.35).

Тогда из (5.20) для  получим

, . (5.37)

Из (5.37) следует, что среднее значение и мощность ошибки  такие же, как у равномерно распределённой СВ, т.е. соответствуют характеристикам шума квантования в обычном устройстве квантования. Остаётся лишь найти её спектральные характеристики.

Из (5.19) находим

,   (5.38)

Тогда  из (5.33) получим

. (5.39)

Таким образом, выражение (5.39) преобразуется к виду

. (5.40)

С помощью (5.21) находим корреляционную функцию (КФ) ошибки  в виде

.   (5.41)

.   (5.42)

Как известно, по теореме Винера-Хинчина корреляционная функция и спектральная плотность мощности (СПМ) связаны парой преобразований Фурье, поэтому выражение (5.42) представляет собой синтез КФ по гармоникам с частотами  и мощностями согласно (5.7).

. (5.43)

Из (5.42) следует, что спектр ошибки является дискретным и периодическим.

Поскольку условие т. Котельникова не выполняется для спектра ошибки, т.е. имеет место перекрытие, то при рассмотрении области частот  следует учитывать влияние копий спектра. Поэтому в заданном диапазоне гармоники находятся на частотах

 при . (5.44)

Таким образом, положение гармоник в спектре ошибки зависит только от амплитуды входного сигнала.

5.5. Моделирование работы  при постоянном входном воздействии.

Для проверки состоятельности полученных результатов в системе Simulink 6.0 построена имитационная модель , которая представлена на рис. 5.5. В качестве входного воздействия используется иррациональное число , а расстояние между уровнями .

На рис. 5.5 устройство квантования состоит из нескольких блоков, т.к. в стандартной библиотеке элементов нет нелинейных элементов с характеристикой, показанной на рис. 5.1. Устройства индикации представляют собой осциллограф и анализатор спектра.

Рис. 5.5. Имитационная модель  в системе Simulink 6.0.

Рис. 5.6. Временная диаграмма ошибки квантования.

На рис. 5.6. показана временная диаграмма ошибки квантования  в данных условиях.

Данные расчёта мощностей и частот по формулам (5.43), (5.44) представлены в таблице. На рис. 5.7 показана усреднённая периодограммная оценка спектра сигнала ошибки с использованием 4096-точечного преобразования Фурье на интервале частот . При этом ось частот показана в линейном масштабе, а ось амплитуд - в линейном и логарифмическом. Сравнение результатов моделирования и табличных расчётов подтверждает состоятельность применения математического аппарата для анализа спектральных характеристик.

Таблица расчёта амплитуд и частот.

Стоит отметить, что на рис. 5.7 помимо рассчитанных по таблице частот есть также зеркальные относительно частоты Найквиста составляющие, которые вызваны уже упомянутым ранее эффектом перекрытия копий спектра.

Из формул (5.43), (5.44), а также рис. 5.7 следует, что при постоянном входном воздействии ошибка квантования в  не является БШ, как предполагалось ранее, а представляет собой набор гармонических составляющих, положение которых определяется амплитудой входного сигнала.

Причём по (5.44) частота гармонической составляющей ошибки  есть равномерно распределённая СВ при  во всём диапазоне частот , однако по (5.43) мощность сигнала ошибки уменьшается обратно пропорционально квадрату её индексу . При этом разность уровней первой и десятой гармоник составляет 20 дБ.

Рис. 5.7. Усреднённая периодограммная оценка спектра сигнала ошибки.

Поскольку априорно  и, соответственно,  неизвестны, то методами фильтрации трудно избавиться от ошибки .

В связи с этим одной из перспективных задач является локализации гармоник с малыми индексами в области, расположенной вблизи частоты Найквиста, т.е. . Для  с одной петлёй решение этой проблемы возможно при реализации одного из следующих методов: смещение входного сигнала на постоянную величину, использование адаптивной сетки квантования, применении цифровых фильтров более высоких порядков, чем интегратор, и др.

Список использованных источников

1.   Левин В.А., Малиновский В.Н., Романов С.К. Синтезаторы частот с системой импульсно-фазовой автоподстройки.- М.: Радио и связь, 1989.

2.   Синхронизация в системе цифрового телевидения / А.А. Иванов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. – 103, [1] с.: ил.

3.   А.А. Иванов, А.Б. Левин. Сигналы с ортогональным частотным уплотнением в системах радиолокации // Успехи современной радиотехники.- 2014.- №8.- С. 58-66.

4.   Иванов А.А. // Измеритель диаграммы направленности антенны//Современная электроника. - 2012. № 5. -C. 54-56.

5.   Иванов А.А. Применение сигналов с ортогональным частотным мультиплексированием в системах ближней локации // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. – 2010. - №78. – С. 88-102.

6.   Иванов А.А. Алгоритм синхронизации во временной области приёмопередающих устройств системы с ортогональным частотным уплотнением // Электромагнитные волны и электронные системы.- 2008.- Т. 13, N 7.– С. 33-42.

7.   Иванов А.А. Схема синхронизации во временной области приемопередающих устройств системы с ортогональным частотным уплотнением // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2008. - Т. 13, N 10. - С. 11-20

8.   Б.И. Шахтарин, А.А. Иванов, М.А. Рязанова. Частотная и фазовая синхронизация с коррекцией импульсной характеристики канала передачи в OFDM – системе // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. Радиофизика и радиотехника. – 2008. - №126. – С.107-117.

9.   А.А. Иванов, А.А. Быков, М.А. Рязанова. Статистический анализ цифровых систем синхронизации // Успехи современной радиотехники.- 2008.- №2.- С. 68-76.

10. А.А. Иванов, М.А. Рязанова, И.И. Кровяков. Анализ бесфильтровой дискретной системы фазовой автоподстройки при наличии нормального белого шума // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. Радиофизика и радиотехника. – 2007. - №117. – С. 137-148.

11. Иванов А.А. Спектральные характеристики синтезатора частот с применением сигма-дельта модулятора // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. – 2009. - №77. – С. 54-67.

12. Б.И. Шахтарин, А.А. Иванов. Анализ сигма-дельта модулятора с одной петлёй // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. Радиофизика и радиотехника.– 2008.–  №126.– С.74-86.

13. М.А. Рязанова, А.А. Иванов, А.А. Быков. Статистический анализдискретной системы синхронизации 2-го порядка в условиях комбинированных воздействий // Научный вестник МГТУ ГА. Сер. Радиофизика и радиотехника. – 2007. - №117. – С. 160-168.

14. Б.И. Шахтарин, А.А Иванов. Цифровые системы синхронизации с  перестраиваемыми параметрами // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. – 2008. - №70. – С. 48-57.

15. Б.И. Шахтарин, Г.Н. Прохладин, А.А. Иванов. Нелинейная динамика синтезатора частот с петлёй ФАП // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2007. - №9. Т.12 – С. 39-47.

16. Б.И. Шахтарин, А.А. Иванов. Сравнительный анализ цифровых систем синхронизации // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. – 2007. - №66. – С. 24-38.

17. А.А. Иванов, В.Г. Шушков. Статистическая динамика цепи каскадно синхронизируемых генераторов // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. Приборостроение. – 2008. - №70. – С. 19-30.

18. Иванов А.А. Алгоритм синхронизации в частотной области приемопередающих устройств системы с ортогональным частотным уплотнением // Радиотехника и электроника. 2008. Т. 53. № 4. С. 447–458.

19. Ivanov A. An algorithm for frequency-domain synchronization of the transmit-receive devices of a system with orthogonal frequency division multiplexing // Springer Link - Journal of Communications Technology and ElectronicsApril 2008, Volume 53, Issue 4, pp. 421-433.

20. A. Ivanov, A. Savinov, D. Yarotsky, Iterative Nonlinear Detection and Decoding in Multi-User Massive MIMO // The International Wireless Communications & Mobile Computing Conference (IWCMC 2019)

21. A. Ivanov, M. Stoliarenko, S. Kruglik, S. Novichkov, A. Savinov, Dynamic Resource Allocation in LEO Satellite // The International Wireless Communications & Mobile Computing Conference (IWCMC 2019)

22. A. Ivanov, M. Stoliarenko, A. Savinov, S. Novichkov, Physical Layer Representation in LEO Satellite with a Hybrid Multi-Beamforming // The International Wireless Communications & Mobile Computing Conference (IWCMC 2019)

23. A. Ivanov, D. Yarotsky, M. Stoliarenko, A. Frolov, Smart Sorting in Massive MIMO Detection // The 14th International Conference on Wireless and Mobile Computing, Networking and Communications (WiMob), 2018

24. A. Ivanov, A. Volokhatyi, D. Lakontsev, D. Yarotsky, Unused beam reservation for PAPR reduction in Massive MIMO system // The 87th IEEE Vehicular Technology Conference (VTC-Spring), Porto, 2018

25. Ivanov A., Lakontsev D.: "Selective tone reservation for PAPR reduction in wireless communication systems", Proc. International Workshop on Signal Processing Systems (SiPS), 2017.

26. Ivanov A., Lakontsev D.: "Adaptable look-up tables for linearizing high power amplifiers", Proc. International Conference on Frontiers of Signal Processing (ICFSP), 2017.

27.  A. Ivanov, S. Kruglik, D. Lakontsev, Cloud MIMO for Smart Parking System // The 87th IEEE Vehicular Technology Conference, Porto, 2018

28. Ivanov A., Teplyakov V., Kalinin V.: "Mobile Communication System with a Hybrid Phased Array Antenna System", Proc. IEEE EAST-WEST DESIGN & TEST SYMPOSIUM (EWDTS), 2015.

29. Schuchman L.//Dither signals and their effects on quantization noise//IEEE Trans. Commun. Technol., vol. COM-12, Dec. 1964.

30. Petersen K. Ergodic Theory. Cambridge: CambridgeUniv. Press, 1983.