Разработка математической модели гидроразрыва пласта

Разработка математической модели гидроразрыва пласта

Введение

В последние время просматривается тенденция бурного роста нефтегазовой промышленности. Для интенсификации добычи нефти и природного газа из продуктивных пластов используются различные устройства, основанные на виброволновом воздействии на призабойную зону пласта. Для обеспечения оптимальных параметров этих устройств необходимо совершенствование представлений о полях давления, возникающих при виброволновом воздействии на упругую флюидонасыщенную пористую среду. Для более глубокого понимания фильтрационно-волновых процессов, происходящих в продуктивных пластах, требуется создание упрощенных моделей таких процессов в неоднородных анизотропных средах, каковыми являются реальные коллекторы нефти и газа. Модели указанных процессов виде плоских волн были созданы для случаев малых и больших расстояний от источников возмущения. После проведения моделирования процессов происходящих в скважины возрастает информативность о возможности дальнейшего повышения дебета.

Целью данной дипломной работы является разработка математической модели гидроразрыва пласта.

Для реализации поставленной цели в квалификационной работе необходимо решить следующие задачи:

) выполнить анализ литературы по теме исследования;

) изучить теоретические основы ГРП.

1. Описание физических процессов при волновом воздействии и постановка задач

1.1 Обзор литературы

Среди отечественных ученных, положивших начало исследованиям процессов фильтрации жидкости в пористой среде одними из первых были Л.С. Лейбензон и И.А. Чарный.

Взаимосвязь между полями температур и давлений в нефтяном пласте весьма подробно была описана в работах Э.Б. Чекалюка, исследовалась взаимосвязь между изменениями пластовых температур и давлений во времени и пространстве при стационарном режиме работы скважины. В качестве основного метода для решения дифференциальных уравнений автор использовал операторный метод, основы которого были изложены в работе А.В. Лыкова.

Основы теории упругих волн, распространяющихся в горных породах, были заложены в трудах Дж. Рэлея и Г. Лэмба. Значительное развитие, теория волн в пористых средах получила в работе Я.И. Френкеля, в которой на основе анализа уравнения движения жидкой и твердой фаз, было найдено приближенное решение дисперсного уравнения распространения продольных волн в пористой среде.

Более общая теория волновых процессов в насыщенных пористых средах была предложена М.А. Био. В частности, М.А. Био вывел векторные уравнения распространения акустических волн в терминах среднего смещения скелета и флюида, через приравнивание сил, действующих на единичный элемент среды. При этом считается доказаным, что предложенная М.А. Био система уравнений отталкивается от тех же соотношений, что и в работе Я.И. Френкеля, но отличается большей общностью.

Исследованиям температурных полей в нефтяных пластах посвящена работа Л.И. Рубинштейна. В данной работе автором была разработана “точная схема”, в рамках которой были сделаны допущения о бесконечно большой теплопроводности пласта в вертикальном направлении и конечной, совпадающей с реальной, теплопроводностью пласта в направлении его простирания.

Теорию нестационарной фильтрации жидкости и газа в природных пластах исследовали в своих работах Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик.

В семидесятых годах прошлого столетия была разработана высокочувствительная термометрическая аппаратура для исследования скважин и пластов. Использование этой аппаратуры на практике стимулировало исследования в области термодинамики многофазных потоков. Задачи о температурном поле в пласте с помощью численных методов решали в своих работах М.А. Пудовкин, Г.Г. Куштанова. Однако сопоставление результатов теоретических расчетов с практическими данными, показало несовершенство имеющейся теории. Решение данной проблемы пришло с осознанием того, что температурный эффект, регистрируемый в пластах, отличается от эффекта Джоуля-Томсона. Таким образом, А.И. Филипповым был открыт новый термодинамический эффект, названный баротермическим. Основы теории баротермического эффекта были построены в работах А.И. Филиппова, А.Ш. Рамазанова и Р.Ф. Шарафутдинова.

На основе этих теоретических представлений, в работах Р.А. Валиуллина, В.Ф. Назарова, А.С. Буевича были успешно развиты методики термических исследований в нефтяных скважинах.

В то же время, свое дальнейшее развитие в работах Н.Д. Мусаева, Р.И. Нигматулина, А.А. Губайдуллина., получила линейная теория плоских одномерных волн в насыщеных пористых средах с учетом взаимодействия фаз. В работах В.Ш. Шагапова и его учеников решались задачи распространения акустических волн в проницаемых каналах, погруженных в насыщенную пористую среду.

В работах Е.П. Вольницкой исследование полей давления при импульсно-волновых воздействиях в системе скважина-пласт осуществлялось с применением вариационного метода для изотропного и анизотропного случаев но без учета влияния покрывающих и подстилающих пород. Кроме того, в данной работе не были исследованы температурные поля.

Анализ приведенных выше исследований, позволяет утверждать, что нелинейность уравнений, описывающих сложные взаимосвязанные процессы, происходящие в нефтяном пласте при фильтрации флюида, приводит к существенным затруднениям при попытке найти аналитические решения задач о полях давления и температуры в этой среде. Практически во всех рассмотренных выше исследованиях, для решений упомянутых задач либо были использованы сильно упрощенные модели, либо применялись численные приближенные методы. Очевидно, что для дальнейшего развития теории, требовались новые методы. Таким методом, придавшим новый импульс исследованиям рассматриваемых процессов стала, разработанная А. И. Филипповым модификация асимптотического метода, предназначенная для решения широкого круга задач теории скважинной термодинамики.

Данный метод был положен в основу целой серии теоретических исследований. Явления трансцилляторного переноса в многокомпонентных средах были предметом исследований М. Р. Минлибаева, Е.М. Девяткин в своей работе изучал температурные процессы при фильтрации газожидкостных смесей. Г.Я. Хусаиновой были решены задачи описания температурных полей аномальных жидкостей, А.И. Филиппов и С.А. Филиппов в монографии получили уточненное уравнение термодинамики фильтрующейся жидкости, насыщенной газом. Г.Ф. Ефимова в своей работе на основе решений задач моделирования температурных полей с учетом фазовых переходов, заложила теоретические основы нового способа термического воздействия на основе фильтрационно-волновых процессов. Аналогичная задача, но с учетом зависимости вязкости от температуры и с использованием функции, описывающей фазовое превращение парафинов, что позволило еще более приблизиться к экспериментальным данным, решена Р.Ф. Салиховым, П.Н. Михайлов построил теорию взаимосвязанных полей плотностей и температур в пористой среде и скважине. Обобщенные результаты исследований температурных полей газожидкостных потоков в стволе действующей скважины, полученные на основе асимптотических методов привели в своей работе.

Другие, близкие к теме данной диссертационной работы исследования по теории полей давления и температуры в пластах были выполнены А. А. Ишмухаметовой, А.С. Бочковым, С.В. Лукиным, А.В. Паршиным, А.А. Садретдиновым.

Таким образом, есть основания утверждать, что столь высокий интерес исследователей к задачам описания фильтрационных полей давления и температуры в пористых средах свидетельствует об актуальности диссертационной темы.

1.2 Основные уравнения, описывающие физические поля при пороховом воздействии

В данном параграфе кратко рассмотрены некоторые физические эффекты, наблюдающиеся в системе “скважина-пласт” при пороховом воздействии, так же приведены уравнения положенные в основу математической модели упомянутой системы.

Как известно, процесс горения порохов представляет собой экзотермическую реакцию, сопровождающуюся переходом твердой фазы вещества, составляющего порох, в газообразную. Инициированный пороховой заряд, предварительно помещенный в призабойную зону скважины, в определенном смысле, представляет собой источник тепла и газообразного вещества. Образовавшийся при горении заряда в жидкой среде газовый пузырь, обуславливает возникновение колебательных процессов, которые распространяются глубоко в пласт. Можно утверждать, что в данном случае имеет место процесс превращения внутренней энергии порохового заряда в механическую и тепловую энергии.

Очевидно, что в результате такого воздействия в скважине и пласте растет температура, и возникают затухающие пульсации давления.

Повышение эффективной теплопроводности за счет механизма трансцилляторного переноса.

Согласно модели конвективного теплообмена, вследствие низкой теплопроводности пород, составляющих реальные системы “скважина- пласт”, тепло, образовавшееся в результате горения заряда может проникать в весьма ограниченную область призабойной зоны. Однако в нашем случае за счет пульсаций, проявляется эффект трансцилляторного переноса, вследствие чего существенно возрастает эффективный коэффициент теплопроводности.

Если скелет пористой среды пласта представить в виде системы чередующихся соприкасающихся пластин: при этом одна из каждой пары соседних пластин считается неподвижной, а вторая может перемещаться по оси  , расположенной на границе раздела, согласно периодическому закону (рис. 1).

Рис. 1. Представление пористой среды в виде трансциллятора

Теплообмен между пластинами происходит по закону Ньютона. Наличие градиента температуры в системе вдоль оси  колебания пластин обуславливает дополнительный к обычному молекулярному процесс теплопроводности. Для простоты ниже обычной теплопроводностью пренебрегаем. Если предположить, что изменение взаимного расположения пластин происходит скачкообразно, то механизм теплопереноса при колебательном движении жидкости можно представить следующим образом. На рис. 1 изображены четыре состояния колеблющейся среды (колеблется нижняя пластина). В начальный момент (состояние 1) нагревается часть неподвижной среды (заштриховано). Поток тепла, возникший вследствие разности температур обозначенный стрелкой приводит к нагреву соответствующей зоны подвижной среды. После смещения колеблющейся среды в положение 2, наблюдается поток тепла в холодную часть неподвижной пластины. Таким образом, фронт температурного возмущения, обозначенный пунктирной линией, сдвигается вправо. Дальнейший сдвиг фронта изображен в положениях 3 и 4. Если принять, что на рис. 1 изображена начальная стадия процесса, то экстраполировав его во времени можно утверждать, что при наличии колебаний температурный фронт продолжит свое движение. Молекулярной теплопроводностью вдоль пластин в приведенных рассуждениях мы пренебрегли с целью упрощения модели.

Величина коэффициента трансцилляторного переноса, возникающая вследствие колебания давления при пороховом воздействии, прямо пропорциональна квадрату амплитуды:

при этом существует граничная частота колебаний , зависящая от свойств пласта, при которой коэффициент трансцилляторного переноса составляет половину от максимального. Значение граничной частоты растет с увеличением коэффициента теплообмена между скелетом и флюидом , и уменьшением эффективной теплоемкости:

Выразив  через  и положив для песчанника, насыщенного водой  получим:

Рис. 2. Зависимость эффективного коэффициента теплопереноса от Ф-1: 1 - при скачкообразных колебаниях; 2 - при гармонических колебаниях; 3 - экспериментальные значения

Анализ приведенных в графическом представлении (рис. 2) зависимостей коэффициента трансцилляторной теплопроводности позволяет сделать вывод о том, что основные закономерности рассматриваемого процесса переноса сохраняются при различном характере колебаний.

Баротермический эффект в пласте при пороховом воздействии.

Колебательные движения флюида в пласте, вызванные пороховым воздействием приводят к проявлению баротермического эффекта. Отличие баротермического эффекта от эффекта Джоуля - Томпсона состоит в том, что величина последнего определяется только свойствами жидкости. Баротермический эффект кроме того зависит так же и от свойств скелета (проницаемость, пористость, теплоемкость пористой среды и т.д.).

В данном параграфе проанализированы основные уравнения фильтрации парафинистой нефти с учетом фазовых переходов.

Уравнение неразрывности для фильтрации парафинистой нефти.

Известно, что полная система уравнений, описывающих стационарную фильтрацию однородной несжимаемой жидкости в однородной изотропной пористой среде, состоит из:

уравнения неразрывности:

где в общем случае , т.е. являются функциями от пространственных координат и времени;

и уравнения баланса импульса, которое было получено А. Дарси экспериментальным путем для случая медленного стационарного движения несжимаемой жидкости в неподвижной изотропной пористой среде. В современных обозначениях данное уравнение именуется законом Дарси и для фильтрации в поле тяжести имеет вид:

Известно, что температурное поле в скважинах и пластах определяется конвективным теплопереносом, теплопроводностью и теплоотдачей, адиабатическим эффектом и эффектом Джоуля-Томпсона, фазовыми переходами при выделении газа и парафинов, а также, в нашем случае, искусственными источниками тепла.

Уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в заданной области пространства во времени для функции  в общем виде можно записать:

Представленная в данной работе математическая модель, описывающая процессы в пласте, исходит из предположений о том, что пористая среда представляет собой многокомпонентую систему, хаотически распределенных частиц, которые, малы по сравнению с физическими объемами, считаемыми элементарными, но имеют достаточно большие размеры для выполнения условий локального равновесия и всех законов сохранения. Предполагается, что средние по всякому элементу поверхности, содержащемуся в элементе объема, равняются средними по этому объему. Кроме того предполагается, что:

несущая фаза сжимаема;

твердая фаза парафина и скелет несжимаемы;

температура и параметры, связанные с ней (насыщенность подвижной/неподвижной фаз парафина и результирующая парафинонасыщенность являются адиабатическими параметрами, т.е. за период колебания не успевают заметно измениться.

Случай изотропной среды.

Как было показано выше, истинная скорость стационарной фильтрации в полях сил тяжести  и других массовых сил  подчиняется закону Дарси, который записывается в виде:

Нетрудно показать, что соотношение эквивалентно наличию объемных фиктивных сил трения:

,

В случае нестационарной фильтрации для описания процессов в пласте использовано уравнение движения, в котором учтено действие сил трения:

. (1)

Если выражение для силы трения представить в виде:

, (2)

то уравнение движения жидкой фазы:

, (3)

когда полное ускорение жидкой фазы равно нулю ,  сводится к закону Дарси для истинной скорости фильтрации :

Закон изменения (сохранения) массы фильтрующейся жидкости при отсутствии источников записывается в форме уравнения неразрывности, где в дивергентном слагаемом полагаем , :

. (5)

В уравнении движения (3) также полагаем  и , и пренебрегаем слагаемыми второго порядка по скорости. Затем подействуем оператором набла на полученное векторное уравнение, имеем:

. (6)

Далее подставим в (6) значение , найденное из (5):

.

Дальнейшие преобразования первого слагаемого осуществим в предположении, что компоненты тензора проницаемости не зависят от пространственных координат и времени:

. (7)

Для слабо анизотропной среды, когда разница между компонентами тензора проницаемости много меньше их полных значений, двумя последними слагаемыми в (7) можно пренебречь. Исключив дивергенцию вектора скорости с помощью линеаризованного уравнения неразрывности, получим:

=. (8)

Для линеаризованных уравнений состояния для жидкой фазы ρ = ρ(P,T) = = и скелета ρs = ρs(P,T) =  баротропное приближение для произведения плотности жидкости на пористость может быть представлено в линеаризованной по давлению форме:

, .

С учетом этого уравнение для поля давления в анизоторопной однородной среде представляется в виде:

. (9)

Найденное уравнение позволяет определить две скорости распространения фильтрационной волны, относящиеся к соответствующим координатам и соответствующие коэффициенты пъезопроводности:

, ,, .

Сжимаемость пористой среды β выражается через сжимаемости жидкости и скелета:

.

Итак, фильтрационно-волновое поле давления в пористой среде в указанных выше приближениях описывается уравнением:

. (10)

Путем сопоставления полученного уравнения с классическим уравнением колебаний определена величина коэффициента затухания, а также выражение для времени релаксации:

,

Для типичных параметров реально встречающихся пластов k ~ 10-12 м2, r0 ~ 103 кг/м3, m~ 10-3 кг /(м×с), m0 ~ 10-1 значение времени релаксации составляет  ~ 10-5 с, что соответствует частоте порядка 105 Гц, которая может быть использована для оценки верхней границы.

Далее иллюстрируется построение физико-математической модели установившегося двумерного фильтрационно-волнового поля при заданных гармонических возмущениях давления на границе на основе полученного уравнения (10).

2. Постановка задачи о волновом поле

Рис. 3 иллюстрирует геометрию течения в прямоугольной системе координат, ось zd которой совпадает с осью скважины. Здесь неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела zd = ±h, перпендикулярными вертикальной оси. Покрывающий и подстилающий пласты считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении, средняя область толщины 2h (-h < zd < h) является хорошо проницаемой и в горизонтальном и в вертикальном направлениях. Для простоты течение в центральном пласте полагается плоским (в осях zd, xd), а в окружающей среде - одномерным (по оси zd,). В предположении, что свойства подстилающих и покрывающих пластов идентичны, постановка задачи упрощена с использованием условия симметрии .

Рис. 3. Геометрия задачи: 1 - подстилающая и покрывающая среда

Математическая постановка задачи для комплексного возмущенного поля давления в таких предположениях включает волновое уравнение, учитывающее преобладание вертикального движения, в верхнем пласте:\

, , , (11)

волновое уравнение в центральном пласте:

, , , , (12)

условие симметрии в центре пласта:

 (13)

В начальный момент времени возмущения давления отсутствуют:

, , , . (14)

На границе раздела сред заданы равенства давлений и потоков:

 . (15)

Давление на левой границе изменяется согласно зависимости:

. (16)

С использованием соотношений:

, , , , , ,

, , ,

где P10 - максимальный перепад давления, а j - номер области, запишем задачу в безразмерном виде:

, , , (17)

, , ,, (18)

 (19)

   (20)

 , (21)

. (22)

Установившееся решение задачи будем отыскивать в виде:

, . (23)

Для амплитуд давления задача запишется следующим образом:

, , (24)

, , , (25)

 (26)

, , (27)

. (28)

Предполагается, что решение является регулярным на бесконечности, т.е. при устремлении пространственных координат в бесконечность искомое решение, а при необходимости и его производная, ограничены либо обращаются в нуль.

. Разложение по асимптотическому параметру. Введем произвольный асимптотический параметр e перед первой и второй производными от функции возмущения давления в центральном пласте по z, как в уравнениях, так и в граничных условиях задачи. Физический смысл параметра e, заключается в том, что устремление указанного параметра e к нулю соответствует возрастанию до бесконечности вертикальной компоненты скорости фильтрационной волны cz, что является причиной выравнивания волнового фронта по толщине пласта.

Постановка параметризованной задачи имеет вид:

, , (29)

, , , (30)

  (31)

, , (32)

Отметим, что исходная задача совпадает с параметризованной при равенстве формального параметра единице e = 1. Задача является, таким образом, частным случаем более общей параметризованной, содержащей формальный параметр асимптотического разложения e.

В соответствии с концепцией метода [решение задачи будем искать, представляя функцию давления Р каждой из областей асимптотической формулой по параметру e:

,

. (34)

Сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения e, получим разбитую по коэффициентам асимптотического разложения задачу:

, , (35)

, , , (36)

, (37)

 (38)

, (39)

. (40)

Анализ задачи показывает, что сомножители при степенях e содержат соседние коэффициенты разложения и в этом смысле являются «зацепленными». Для решения соответствующего уравнения в п. 4 осуществлена процедура расцепления.

. Постановка задачи для эквивалентной плоской волны. Формально устремим e к нулю в уравнении (8) получим . С учетом граничных условий (9), (11), результат интегрирования , позволяет установить, что . Таким образом, что нулевой коэффициент асимптотического разложения давления является функцией только от x и не зависит от z: , т.е. представляет собой эквивалентную плоскую волну, волновые поверхности которой параллельны оси z..

Приравнивая к нулю коэффициенты при e в уравнении (8), запишем:

. (41)

Учитывая, что P(0)(x) не зависит от переменной z, введем вспомогательную функцию E(x), также не зависящую от z:

 (42)

Последовательным интегрированием найдем выражения для первой производной от первого коэффициента P(1) по переменной z:

 (43)

и первого коэффициента разложения:

 (44)

с функциональными коэффициентами , подлежащими определению. Используя граничные условия (11) при сомножителе  в первой степени и (9) запишем:

,

. (45)

Следует выражение для функционального коэффициента  через след производной из внешней области:

 (46)

Подставив выражение, получим уравнение для определения нулевого приближения поля давления в пласте:

 (47)

Окончательная постановка задачи в нулевом приближении включает также уравнение в окружающих породах:

, (48)

а также соответствующие граничные и начальные условия:

, (49)

. (50)

Краевая задача для нулевого коэффициента разложения  или нулевого приближения (7) - (10) относится к неклассическим, поскольку уравнение для пласта содержит след производной из внешней области.

Непосредственным интегральным усреднением задачи заключающимся в применении интеграла осреднения  к уравнению, получим следующую постановку:

,

,

.

Нетрудно убедиться, что представленная задача для асимптотически осредненных по толщине центральной зоны значений давления совпадает с задачей для нулевого коэффициента с точностью до обозначений.

Таким образом, физический смысл нулевого коэффициента разложения или нулевого приближения заключается в описании эквивалентной плоской волны в интервале , отыскание которой соответствует нахождению асимптотически усредненного по толщине слоя, в котором осуществляется определение эквивалентной плоской волны, решения исходной задачи.

. Нахождение эквивалентной плоской волны. Решение задачи найдено с использованием интегрального синус-преобразования Фурье по переменной х:

 (51)

Математическая постановка волновой задачи в нулевом приближении в пространстве изображений Фурье по переменной х запишется в виде:

математический волновой фурье трансцилляторный

, (52)

, (53)

. (54)

Решение уравнения с учетом граничного условия представляется через  как:

, где  (55)

Из выражения найдем след производной из внешней области:

 (56)

Подставляя выражение в уравнение, после простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения :

,

откуда окончательно имеем следующие выражения для решения задачи в пространстве изображений Фурье:

,

.

Применяя обратное синус-преобразование Фурье получим следующие выражения для нулевого приближения:

, (57)

 (58)

При этом (57) описывает эквивалентную плоскую волну в центральном слое, а (58) вол новой фронт в настилающем пласте. В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу (47).

. Спектральные соотношения для эквивалентной плоской волны. Для определения спектральных соотношений выражение (57) запишем в виде:

,

где коэффициент поглощения a представляется выражением:

, (59)

а волновое число b:

. (60)

Выражения (61) и (62) содержат вспомогательные функции:

. (61)

Для однородной изотропной среды эти соотношения запишутся как:

,  (62)

, (63)

. (64)

На рисунке 4 представлены зависимости коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях, рассчитанные для неоднородной анизотропной среды по формуле (61) - кривые 1 (К = 2, С = 4, X = 2), 2 (K = 1, C = 1, X = 1), 4 (K = 0.5, C = 0.25, X = 0.5) и по формуле (64) - кривая 3 - для случая однородной изотропной среды. В расчетах принято Af = 10-6. Сопоставление кривых показывает, что увеличение проницаемости вмещающей среды приводит к увеличению коэффициента затухания кривая 1, а уменьшение к снижению коэффициента затухания кривая 4 в сравнении с однородной средой - кривая 4, при достаточно больших w. Различие между кривыми 2 и 3 описывает вклад анизотропии, поскольку окружающееся среда считается проницаемой только в вертикальном направлении.

Рис. 4. Зависимость коэффициента поглощения от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

На рисунке 5 представлены зависимости коэффициента фазы от циклической частоты, рассчитанные при тех же значениях, что и на рисунке 2 по формулам (62) для неоднородной среды и (65) для однородной. С увеличением частоты, как следует из анализа кривых, коэффициент фазы возрастает. При этом с увеличением проницаемости окружающих пород «крутизна» кривых возрастает. При больших значениях w зависимость b от w является линейной. Область нелинейной зависимости увеличивается с увеличением проницаемости окружающей среды.

Рис. 5. Зависимость коэффициента фазы от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 1, 2, 4 - неоднородная среда, 3 - однородная среда

Рисунок 6 иллюстрирует зависимости фазовой скорости от циклической частоты, рассчитанные по формулам (6.6) - кривая 3 и (6.3) - кривые 1, 2, 4. Расчетные параметры те же, что и на рисунках 2 и 3. Из фигуры следует, что при малых частотах с увеличением частоты фазовая скорость возрастает. При больших значениях безразмерных частот фазовая скорость от ω не зависит.

Рис. 6. Зависимость фазовой скорости от циклической частоты при ее малых (a) и больших (б) значениях: 3 - однородная среда, 1, 2, 4 - неоднородная среда

После умножения решения задачи в нулевом приближении на exp(iwt) действительную часть (57), (58) представим виде:

, (65)

. (66)

Из (67) и (68) следует, что волновой процесс в нулевом приближении (или «в среднем») может быть представлен в пласте в виде плоской затухающей волны, распространяющейся по оси x. Эта волна возбуждает в точке z = 1 бегущую по z затухающую волну в окружающих породах со сдвигом фазы - bx , соответствующим приходу к точке x возбуждающей волны.

На рисунке 7 представлено распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты в момент времени t = 0. Расчетные параметры: w = 5, Х = 2, Af = 1, С = 4, К = 2.

Рис. 7. Распределение давления вдоль горизонтальной оси при различных значениях вертикальной координаты: 1 - z = 0, 2 - 2, 3 - 3

Отыскание выражений для первого коэффициента разложения уточняет геометрию волнового фронта в области осреднения. В этом смысле первый коэффициент асимптотического разложения можно рассматривать как погрешность плоского представления рассматриваемого фильтрационно-волнового процесса.

. Определение погрешности плоского представления фильтрационно-волнового процесса. Для первого коэффициента разложения имеем:

, , (67)

, , , (68)

, (69)

, , (70)

. (71)

Задача является «зацепленной», так как уравнение (72) и выражение (74) содержат коэффициенты первого и второго порядков разложения. Для «расцепления» используем выражение для первого коэффициента разложения, полученного в разделе 4. Из (44) с учетом (45), (46) и (57) выражение для  можно записать в виде:

, (72)

где  - функция, подлежащая определению. Запишем выражение для производной второго коэффициента разложения:

, .

 равно нулю согласно условию симметрии. Далее, запишем:

. (73)

Получим уравнение для первого коэффициента разложения :

, , . (74)

Задача для  содержит также следующие уравнение и соотношение:

, , (75)

. (76)

Задача имеет бесконечное множество решений. Однако если к ней добавить условие (75), то указанная задача имеет только тривиальное решение. Для получения единственного решения задачи для первого коэффициента разложения условие (75) следует ослабить и заменить нелокальным средне интегральным, которое найдено ниже путем осреднения задачи для остаточного члена.

. Определение дополнительных условий для поправки к плоской волне. Подставив асимптотические формулы:

, ,

воспользовавшись известными соотношениями для нулевого и первого коэффициентов, запишем:

, , (77)

,

, , (78)

, (79)

, (80)

, (81)

. (82)

Эта задача по сложности сопоставима с исходной. Для нахождения дополнительного условия усредним задачу в интервале центрального пласта, применив интегральную процедуру:

.

С учетом результатов интегрирования:

,

Получим следующую осредненную по толщине центрального пласта задачу для остаточного члена:

, , (83)

, , (84)

, (85)

. (86)

Искомое нелокальное среднеинтегральное условие определяется из требования тривиального решения осредненной задачи для остаточного члена. Необходимыми условиями тривиального решения задачи являются обращение в нуль правых частей уравнения:

 , (87)

. (88)

Условие (88) используется в качестве граничного в задаче для первого коэффициента разложения. Ниже показано, что при добавлении этого условия задача для первого коэффициента разложения имеет единственное решение. При этом осредненная задача для остаточного члена имеет только нулевое решение. Поскольку осредненное значение остаточного члена при этом равно нулю, то построенное решение является в некотором смысле «в среднем точным» асимптотическим решением.

. Определение поправочных функций. Задача для первого коэффициента разложения запишется как:

, , (89)

, , , (90)

,  (91)

. (92)

Решение этой задачи отыскивается с использованием синус-преобразования Фурье, уравнение запишем в виде:

Из формулы следует , коэффициент  определяется из условия: . С учетом полученных соотношений задача в пространстве изображений представится в виде:

, , (93)

  (94)

. (95)

Структура решения уравнения запишется как:

. (96)

Аналогично нулевому приближению решение уравнения имеет вид:

. (97)

Определим след производной из внешней области для уравнения (96):

. (98)

После подстановки (98) в уравнение (96) и простых преобразований получим алгебраическое уравнение для определения (s):

.

С учетом (57) запишем выражение для Qu(s) в виде:

. (99)

. (100)

. (101)

Решение задачи для первого коэффициента разложения имеет вид:

, (102)

. (103)

В справедливости полученных выражений нетрудно убедиться прямой подстановкой выражений в задачу:

Получим выражения для реальной части первого коэффициента разложения в центральном пласте и окружающей среде:

,

где:

,

.

Выражения для первого коэффициента разложения уточняют фильтрационно-волновые поля давления в нулевом приближении и обеспечивают детальное описание геометрии волнового фронта в пласте. Отметим, что коэффициенты поглощения a, фазы b, функций частоты  и d в первом коэффициенте разложения определяются теми же выражениями, что и в нулевом приближении.

На рисунке 8 изображено распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях. Расчетные параметры: w = 1, X = 1, Af = 1, C = 1, K = 1, x = 1, t = 0. Первое приближение уточняет геометрию фронта исследуемой волны в зоне представления плоской волной.

Рис. 8. Распределение давления по вертикальной оси в нулевом и первом приближениях: кривая 1 - нулевое приближение, кривая 2 - первое

. Проверка достоверности представления волны в виде плоской. Точное решение задачи получено с помощью синус-преобразования Фурье:

, , (104)

, , , (105)

, (106)

, . (107)

Решение уравнения (101) имеет вид:

.

Общее решение уравнения (92) запишется как:

,

где . Из (103) следует, что С1 = С2. Вид С1 определяется из условия (104):

.

Точное решение задачи (101) - (104) представится в виде:

,

.

С помощью довольно громоздких преобразований нами показано, что  при e ® 0 совпадает с выражением (57), а  - с выражением (92). Такое сопоставление является прямой проверкой справедливости развитого выше метода решения волновых задач сопряжения.

Итак, применение «в среднем точной» модификации асимптотического метода к задаче о фильтрационно-волновом поле в неоднородной анизотропной среде позволяет представить выражения для любого волнового процесса в виде плоской волны (нулевое приближение), а также определить реальную геометрию волнового фронта (первое приближение). При этом нулевой и первый коэффициенты совпадают с разложением Маклорена точного решения задачи о фильтрационно-волновых полях в неоднородной пористой среде. Поэтому найденные решения расширяют возможности исследования полей давления применительно к реальным условиям в акустическом каротаже, сейсморазведке и при интенсификации нефтеизвлечения.

Заключение

В данной работе представлена разработка математической модели гидроразрыва пласта.

Для реализации поставленной цели в квалификационной работе необходимо решить следующие задачи:

) выполнить анализ литературы по теме исследования;

) изучить теоретические основы ГРП.

Таким образом, достигнута поставленная цель через решение следующих задач:

) выполнить анализ литературы по теме исследования;

) изучение теоретических основ ГРП.