Формирование умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

Формирование умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

ФОРМИРОВАНИЕ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы изучения логических задач в начальной школе

.1 Психолого-педагогические основы изучения логических задач в начальной школе

.2 Развитие логического мышления на уроках математики в начальной школе с позиции требований Федерального Государственного Образовательного Стандарта

.3 Классификация логических задач в начальной школе

Глава 2. Методика формирования умения решения логических задач в курсе математики начальной школы

.1 Особенности решения логических задач в начальной школе

.2 Методические основы формирования умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

Глава 3. Экспериментальное исследование по формированию умения решать логические задачи в начальных классах

.1 Организация и результаты опытно-экспериментальной работы по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

.2 Методические рекомендации по формированию умения решать логические задачи

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение

Актуальность исследования. В современной школе с учетом требований сегодняшнего дня ориентация направлена на организацию условий для реализации гуманистической образовательной парадигмы, которая создает условия для формирования субъектов обучения, готовит их к саморазвитию, опираясь на индивидуальные особенности и личный опыт. Но сложившаяся система школьного образования имеет и ряд недостатков. Один из них заключается в том, что полученные школьниками знания, умения и навыки не могут гарантировать приобретение учеником способности к созданию и преобразованию собственной жизнедеятельности и его становления, как подлинного субъекта общества.

Во время учебной деятельности школьников в процессе работы над решением логических задач формируются многие качества математического мышления. Они выражаются гибкостью, критичностью, логичностью, рациональностью. Решение таких задач, способных вносить эмоциональные моменты в умственную работу, дают возможность рассмотреть ситуацию решения как проблемную. Это развивает внутреннюю мотивацию, активизирует психологические процессы, что способствует качественному и быстрому формированию значимых для учебной деятельности мыслительных операций, логических приемов и познавательных умений.

В.А.Далингер, Б.Д.Эльконин, Д.В.Клеменченко, Б.А.Кордемский, А.Н.Леонтьев, Л.M.Лихтарников, И.Н.Семенов, С.Л.Рубинштейн и другие посвятили свои работы проблеме использования логических задач в школьной практике обучения математике.

Как правило, в практике школы логические задачи или совсем не используются, или используются недостаточно, а употребляются для заполнения досуга. Но такие задачи имеют множество важных достоинств. Одним из них есть то, что даже простая логическая задача будет

Способствовать формированию гибкости ума, преодолению и освобождению мышления от шаблонов. Это происходит в том случае, когда школьная задача творческая, а стереотип опыта ученика будет недостаточным для ее решения, так как существует неадекватность условиям задачи. Безусловно, ученику для решения логической задачи, нужно преодолеть проблемно-конфликтную ситуацию: проблемную - потому, что полученные ранее средства, знания и умения будут недостаточными. Они нуждаются в адекватном преобразовании в соответствии условием задачи для нахождения его творческого решения; конфликтную - предпринятые им попытки личностной самореализации терпят провал и нужно проявить активные усилия, чтобы достичь желаемого успеха.

Следовательно, школьник должен понимать содержание логической задачи. У него происходит действенная реализация данного понимания в виде предметно-операционных преобразований, которые направляются на достижение решения. Здесь определяется объективный состав задачи, и одновременно используются неадекватные, но пригодные с точки зрения ученика средства, которыми он обладает. За первичным, поверхностным осмыслением содержания задачи, в ходе которого порождаются разные интеллектуальные и личностные противоречия во время мыслительного поиска, происходит радикальное переосмысление, рефлексия своей деятельности и проблемно-конфликтной ситуации в частности.

Таким образом, актуальность исследования заключается в необходимости разработки такой методики обучения решения логических задач, которая расширяла бы цели обучения на занятиях по математике.

Цель данной работы заключается в разработке методического обеспечения по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе.

Объект дипломной работы - обучение математике младших школьников.

Предмет - формирование умения решать логические задачи младшими школьниками.

Соответственно цели, объекту и предмету исследования определена следующая гипотеза: разработанное методическое обеспечение по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе будет способствовать более эффективному усвоению материала по данной теме.

Для достижения поставленной цели и подтверждения гипотезы были поставлены следующие задачи:

рассмотреть психолого-педагогические основы изучения логических задач в начальной школе;

ознакомиться с вопросами по развитию логического мышления на уроках математики в начальной школе с позиции требований Федерального Государственного Образовательного Стандарта;

изучить классификацию логических задач в начальной школе;

проанализировать особенности решения логических задач в начальной школе;

выделить методические основы формирования умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе;

организовать и проанализировать опытно-экспериментальную работу по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

предложить методические рекомендации по формированию умений решать логические задачи в младших классах.

Практическая значимость исследования определена тем, что в нем разработано методическое обеспечение по формированию умения решения логических задач в курсе математики начальной школы. Данные материалы могут быть использованы в ходе составления учебно-методических пособий по математике для общеобразовательных школ, во время практической деятельности учителей и преподавателей педагогических вузов при работе со студентами.

Структура исследования. Дипломная работа состоит из введения, основной части, заключения списка использованной литературы, приложения.

педагогический математика логический мышление

Глава 1. Теоретические основы изучения логических задач в начальной школе

.1 Психолого-педагогические основы изучения логических задач в начальной школе

Логика - это наука о правильном, верном мышлении. Мыслящий логически человек, способен последовательно и связно мыслить, используя доказательства и выявленные закономерности.

В отношении задач можно сказать, что при их решении всегда задействуется логика. В ходе решения любой задачи необходимо использовать последовательность ее решения, учитывать все взаимосвязи фактов, наличие аргументов.1

Логические задачи являются задачами, при решении которых определяющим фактором будет выявление связей между данными задачи и их анализом. Результатом их решения становится составление последовательных суждений. Любые вычисления и построения при этом будут играть вспомогательную роль или совсем отсутствовать.2

Главной целью логических задач является развитие логики, то есть способности рассуждать логически в повседневной жизни, не требующей объяснений. Возникает вопрос: «Почему эти задачи решаются на уроках математики?» Потому, что:

во-первых, большая часть всей информации, изложенной в учебниках по математике, связана только с логикой;

во-вторых, многие математические задачи подразумевают применение навыков логического мышления;

в-третьих, решая любую задачу, нельзя не прибегнуть к логике.

Но школьный курс математики содержит очень мало логических задач. Поэтому изучению самой науки «Логика», уделяется мало внимания. Вследствие этого, учителю математики нужно понимать, что одни задачи из учебников не научат ребенка логически мыслить и применять логичные рассуждения в своей жизни.

Исследования последних лет в области логики и психологии (в частности работы Ж. Пиаже) показали связь между некоторыми «механизмами» детского мышления с общелогическими и общематематическими понятиями.

Рассматривая понятия «законы композиции», «отношение», «структура» и другие, которые имеют сложные математические определения, казалось бы, не могут быть связаны с формированием математических представлений у маленьких детей. Весь истинный и абстрактный смысл этих понятий, их место в аксиоматическом построении математики как науки является объектом усвоения «натренированной» и хорошо развитой в математике головы. Но все же, некоторые свойства вещей, которые фиксируют эти понятия, дети получают сравнительно рано. Так как для этого имеются конкретные психологические данные.

От момента рождения до 7 - 10 лет у ребенка происходит зарождение и формирование сложной системы общих представлений об окружающем мире, развивается содержательно-предметное мышление.3 Сравнительно узкий эмпирический материал способствует развитию у детей умения выделять общие схемы ориентации в причинно-следственных и пространственно-временных зависимостях вещей. Эти схемы начинают служить неким каркасом «системы координат», внутри которой происходит овладение ребенком разными свойствами многообразного мира. Разуметься, сам ребенок в форме отвлеченного суждения не может выразить и осознать эти общие схемы. Они проявляются в интуитивной форме организации поведения ребенка, но могут отображаться и в суждениях.4

Последние десятилетия интенсивно решаются вопросы, связанные с формированием интеллекта детей и возникновением у них общих представлений о действительности, времени и пространстве. Этими вопросами занимались известный швейцарский психолог Ж. Пиаже и его сотрудники. Некоторые работы непосредственно связаны с проблемами развития математического мышления ребенка. Совместно с Б. Инельдер5, Ж. Пиаже в одной из своих последних книг приводит экспериментальные данные о генезисе и формировании у детей (до 12 - 14 лет) элементарных логических структур: классификации и сериации. Сущность классификации заключается в выполнении операции включения (А + А' = В) и обратной ей операции (В - А' = А). Сериация указывает на упорядочение предметов в систематические ряды (например, расположение палочек разной длины в ряд, каждый член которого будет больше предыдущих и меньше последующих).

Ж. Пиаже и Б. Инельдер при анализе становления классификации, показали, как с ее исходной формы, от создания «фигурной совокупности», которая основывается на пространственной близости объектов, дети могут перейти к классификации, основанной на отношении сходства («нефигурные совокупности»). А далее перейти к самой сложной форме - к включению классов, которые обусловлены связью между объемом и содержанием понятия. Авторы прибегли к рассматриванию вопроса о формировании классификации не по одному, а по двум-трем признакам, с учетом формирования у детей умения к изменению основания классификации с добавлением новых элементов. Подобные стадии авторы нашли и в процессе становления сериации.

Эти исследования имели определенную цель, основанную на выявлении закономерностей формирования операторных структур ума и конституирующего свойства - обратимости, заключающейся в способности ума к движению в прямом и обратном направлении. Обратимость проявляется, когда «операции и действия развертываются в двух направлениях, а понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого факта) понимание другого»6

По мнению Ж. Пиаже психологическое исследование развития арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (в часноти логические операции, осуществляющие в них предварительные условия) разрешает точно соотносить операторные структуры мышления с алгебраическими, топологическими структурами и структурами порядка. Алгебраическая структура («группа») должна соответствовать операторным механизмам ума, которые подчиняются одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Эта группа имеет четыре элементарных свойства, основанных:

на произведении двух элементов группы, который также дает элемент группы;

на прямой операции, которой соответствует только одна обратная операция;

на существовании операции тождества;

на последовательных ассоциативных композициях.

Если перевести выше сказанное на язык интеллектуальных действий это будет означать:

с помощью координации двух систем действие составляет новую схему, которая присоединяется к предыдущим;

заданная операция может развиваться в двух направлениях;

если возвращаемся к исходной точке, то мы находим ее неизменной;

к одной точке можно прийти разными путями, но сама точка останется неизменной.

Структуре порядка отвечает такая форма обратимости, как взаимность (перестановка порядка). С 7 до 11 лет система отношений, которая основывается на принципе взаимности, приводит к формированию в сознании ребенка структуры порядка.

При рассмотрении основных положений, сформулированных Ж. Пиаже по вопросам построения учебной программы можно остановиться на следующем. Он показал, что за периоды дошкольного и школьного детства у детей происходит формирование таких операторных структур мышления, которые дают возможность оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и их отношений. С 7 - 8 лет на стадии конкретных операций интеллектом ребенка приобретается свойство обратимости, что играет огромную роль в понимании теоретического содержания учебных предметов, главным образом математики. Это указывает на то, что традиционной психологией и педагогикой в достаточной мере не учитывался сложный и трудоемкий характер тех стадий умственного развития ребенка, которые непосредственно связаны с периодом 7 - 11 лет.

Ж. Пиаже с эти операторными структурами прямо соотносил основные математические структуры. По его утверждению математическое мышление возможно только на основе уже сложившихся операторных структур (объект этих операций остается в тени). Это выражается такой формой: предварительное образование этих структур (как «координации действий»), а не «знакомство» с математическими объектами и усвоение способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных структур ума, что и является началом математического мышления, «выделения» математических структур.

Полученные результаты Ж. Пиаже с учетом конструирования учебной программы по математике приводят к следующим выводам. Формирование интеллекта ребенка 7 - 11 лет указывает на то, что свойства объектов, описываемые посредством математических понятий «отношение - структура» не «чужды» пониманию, но и сами органически входят в мышление ребенка. Традиционными задачами программы по математике начальной школьной не учитывается это обстоятельство. Следовательно, они не могут реализовать многих возможностей, кроющихся в интеллектуальном развитии ребенка. Поэтому внедрение в начальный школьный курс математики логических задач должно стать нормальным явлением.

Материалы, предоставленные современной детской психологией, положительно оценивают общую идею внедрения в учебные программы логических задач, в основу которых входят понятия об исходных математических структурах. Здесь возникают большие трудности из-за отсутствия опыта построения такого учебного предмета. Прежде всего, нужно определить возрастной «порог», с которого возможно осуществлять обучение на основании новой программы.

Учитывая логику Ж. Пиаже, эти программы можно вводить, когда у детей полностью сформировались операторные структуры (в 14 - 15 лет). Но реальное математическое мышление ребенка может формироваться внутри процесса складывания операторных структур, на которые указывал Ж. Пиаже. Следовательно, эти программы можно вводить гораздо раньше (с 7 -8 лет), в начале формирования у детей конкретных операций с высшим уровнем обратимости. Учитывая «естественные» условия обучения по традиционным программам, формальные операции могут только складываться к 13 - 15 годам. Возникает вопрос: «Можно ли «ускорить» их формирование, если ввести раньше учебный материал, усвоение которого потребует прямого анализа математических структур?»

Конечно же, такие возможности есть. В 7 - 8 лет у детей в достаточной мере развит план мыслительных действий.7 Обучая детей по специальной программе, в которой свойства математических структур подаются «явно» и предлагаются средства их анализа, можно быстрее подводить учащихся к уровню «формальных» операций, чем при «самостоятельном» открытии этих свойств.

Нужно учитывать следующее обстоятельство. Особенности мышления на уровне конкретных операций, которые выделил Ж. Пиаже в 7 - 11-летнем возрасте детей, сами неразрывно связаны с формами организации обучения, которые свойственны традиционной начальной школе. Это обучение проводится на основании предельно эмпирического содержания, часто не связанного с понятийным (теоретическим) отношением к объекту. Такое обучение осуществляет поддержку и закрепление у детей мышления, которое опирается на внешние, уловимые прямым восприятием признаки вещей.

На современном этапе развития данного вопроса опирается на фактические данные, которые могут показать связь операторных структур детского мышления с общематематическими и общелогическими структурами. Но сам «механизм» такой связи не ясен и практически не исследован. Имеющаяся связь способна открыть принципиальные возможности построения учебного предмета по схеме: «от простых структур - к их сложным сочетаниям». При таком построении широко применяются нестандартные логические задачи в процессе обучения младших школьников.

Математика отражает объективную реальность только опосредованно. Предметом ее изучения становятся мысленные идеальные обобщенные образы, которые стали результатом многоуровневой абстракции. Изучать математику необходимо в процессе создания образов и оперирования ними, что потребует большего интеллектуального напряжения, в отличии оперирования предметно - данными объектами.8

Следующая особенность математики заключается в том, что она должна исследовать абстрактные сущности независимо от реальности, отображением которой они становятся. В этом состоит ее дедуктивный характер, который в изучении математики требует правильного рассуждения. Умение правильно и последовательно рассуждать в незнакомой обстановке вызывает большие трудности. Оно может усваиваться только во время целенаправленного обучения. В школе учащиеся овладевают подобными умениями стихийно в процессе решения задач, которые требуют специальных математических знаний. Но математика обладает неограниченными возможностями в развитии интеллекта школьника. С помощью решения математических задач, которые накапливались и проверялись многолетней педагогической практикой, можно эффективно развивать разные стороны психической деятельности человека. Они воздействуют на внимание, воображение, зрительную, слуховую и смысловую память, образное и понятийное мышление, фантазию.

Методическая литература развивающим задачам дала специальные названия: задачи с «изюминкой», задачи на смекалку, задачи на соображение и другие логические задачи. Выделяется особый класс задач: «задачи- ловушки», «обманные» задачи, «провоцирующие» задачи. Условие такой задачи содержит различного рода упоминание, указание, намек, подсказку, подталкивающие к выбору ошибочного пути решения или нахождение неправильного ответа.

В логических задачах заложен высокий потенциал. Они воспитывают одно из важных качеств мышления - критичность, учат анализировать воспринимаемую информацию и давать разностороннюю оценку, повышают у детей интерес к занятиям математикой.9

Огромная и дидактическая ценность таких задач. Ребенок, попав в заблаговременно подготовленную «ловушку», может испытать досаду, сожаление от того, что не заметил нюансов, заведших в неловкое положение. Простым сообщением детям о возможном допускании в заданиях такого рода ошибок, будет малодейственным, так как не является для конкретно взятого ученика личностно значимым. Это происходит потому, что:

во-первых, событие в сообщении задачи происходило давно, в прошлом;

во-вторых, каждый ученик считает, что «неудачником» в нахождении правильного ответа он сам не будет.10

Для получения целостного представления о многообразии логических задач и их возможностях для развития критичности мышления младших школьников, остановимся на одной из типологий этих задач.

тип. Относятся задачи, в условиях которых «навязывается» неправильный ответ. Например, «Сколько прямоугольников можно насчитать в изображении окна?»

тип. Включены задачи, в условии которых есть способ подсказки неправильного пути решения. Например, «Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?»

Ребенок захочет выполнить деление 15:3 и получит ответ: 5 км. Но здесь деление выполнять не нужно. Поскольку каждая лошадь была в одной упряжке, то проскакала столько же, сколько и вся тройка = 15 км.

тип. Обобщены задачи, «заставляющие» составлять, придумывать, строить математические объекты, которые в заданном условии не имеют места. Например, используя цифры 1 и 4, запишите трехзначное число, которое при делении на 3 остаток равен 2. По логике рассуждения придумать такое число невозможно, поскольку любое из чисел, которое удовлетворяет условие задачи, делится на 3 без остатка (144:3=48, 141:3=47).

тип. Собраны задачи, которые «вводят в заблуждение» своей неоднозначной трактовкой буквенных или числовых выражений, словесных оборотов, терминов. Например: «На листке бумаги написано число 606. Какое действие нужно совершить, чтобы увеличить это число в полтора раза?». Эта задача не на математическое действие, а просто «игра с листком бумаги». Его нужно перевернуть, и увидим запись 909, т.е. число, которое будет в полтора раза больше за число 606.

тип. Входят задачи, допускающие возможность «опровержения» семантически правильного решения синтаксическим или другим нематематическим способом. Например: «Крестьянин продал трех коз за 3 рубля. Вопрос: «По чем пошла каждая коза?». Напрашивается ответ: «по одному рублю», но он опровергается: «Козы ходят не по деньгам, а по земле». Представленные разновидности задач не показывают всего их многообразия, а лишь дают представления о способах их составления и использования при обучении математике.

Изучив необходимую литературу, проанализировав психолого- педагогические основы изучения логических задач в начальной школе, мы можем сделать некоторые выводы. Бесспорно, логические задачи в первую очередь направлены на формирование умения рассуждать и овладение приемами правильных рассуждений. Их решение не должно опираться на специальные знания. Объектами усвоения в ходе решения будут приемы рассуждений. Информация, по которой делаются выводы, дается текстом с описанием обычных ситуаций. Поэтому, решение таких задач обучает учащихся до конца обдумывать незнакомые ситуации, не пугаться трудностей, быть уверенными в своих силах.

.2 Развитие логического мышления на уроках математики в начальной школе с позиции требований Федерального Государственного Образовательного Стандарта

Образовательным стандартом нового поколения поставлены перед начальным образованием новые цели и задачи. Современная начальная школа должна научить ребенка не только чтению, счету и письму, что делается сейчас вполне успешно, но и должна привить в обязательном порядке две группы новых умений:

во-первых, научить универсальным учебным действиям, которые составляют умение учиться: навыки решения творческих задач и навыки поиска, анализа и интерпретации информации;

во-вторых, сформировать у детей мотивацию к обучению, самопознанию, саморазвитию.11

Теперь учитель не просто занимается с детьми математикой как таковой, но и на знакомом материале решает еще и новые нестандартные задачи. Следует отметить, что в начальной школе дети овладевают элементами логических действий такими, как: сравнение, классификация, обобщение, анализ и другие.

Поэтому перед учителем начальных классов стоит одна из важных задач - развитие самостоятельной логики мышления, позволяющей детям строить свои умозаключения, приводить необходимые доказательства и высказывания, которые логически связанны между собой, делать выводы на основании своих суждений, и самостоятельно приобретать знания. Математика является именно таким предметом, где можно все это реализовывать.

С развитием логического мышления, человек способствует работе своего интеллекта, а интеллект является гарантией личной свободы и самодостаточности своей индивидуальной судьбы. Большее использование своего интеллекта человеком при анализе и оценке происходящего, приводит к меньшей податливости и попыткам манипулирования им извне.

Сегодня общеобразовательная школа является общественным учреждением, которое непосредственным образом отвечает за качество человеческой истории. В обществах, которые ориентируются на прогрессивное развитие, государственные вложения в образование очень значительные. Постольку, выигрывают в экономическом и культурном плане те страны, которые могут себе позволить создание наиболее совершенной системы образования, гарантирующую экстенсивное и интенсивное развитие интеллектуальных способностей молодого поколения.

Каждым поколением людей предъявлялись свои требования к школе, что влияло на решаемые ней учебные и воспитательные задачи. Вооружение учащихся глубокими знаниями, умениями и навыками являлось первостепенной задачей прошедшего века. Сегодняшние задачи общеобразовательной школы другие. Первоочередно необходимо формировать в учащихся универсальные учебные действия, с помощью которых обеспечивается их умение учиться, способность ориентации в информационном потоке, выработка умения отобрать нужное, саморазвиваться и самосовершенствоваться. С появлением новых Федеральных образовательных стандаров общего образования второго поколения, главной целью образовательного процесса стало формирование универсальных учебных действий: личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных. Согласно стандартам второго поколения познавательные универсальные действия должны включать: обще учебные и логические действия, а так же постановку и решение проблемы.

Логические универсальные действия основываются:

на анализе объектов с целью выделения их признаков (существенных/несущественных);

на синтезе, включающего в себя составление целого из частей с применением самостоятельного достраивания и восполнения недостающих компонентов;

на выборе оснований и критериев для проведения сравнения, сериации и классификации объектов;

на подведении под понятие и выведении следствий;

на установлении причинно-следственных связей;

на построении логической цепочки рассуждений;

на доказательствах;

на выдвижении гипотез и их обосновании.12

Проанализировав вышесказанное, следует отметить, что в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнением, классификацией, обобщением и др.). Каждый учитель старается развивать логическое мышление учащихся. Об этом часто говорится как в методической литературе, так и в объяснительных записках к учебным программам. Следовательно, одной из важнейших задач, которые стоят перед учителем начальных классов, является развитие у детей всех качеств и видов мышления, позволяющих выстраивать умозаключения, делать выводы, обосновывать свои суждения и в итоге, самостоятельно получать знания и решать возникшие проблемы. Использование логических задач на уроках по математике положительно влияет на уровень развития логического мышления учеников и в целом повышает качество математических знаний.

.3 Классификация логических задач в начальной школе

Современный учитель должен вооружать учащихся прочными знаниями, учить их обучаться самостоятельно. Научиться решать самостоятельно логические задачи не младшие школьники не могут. Для этого они должны уметь:

рассуждать доказательно;

мыслить последовательно;

строить гипотезы;

опровергать неправильные выводы.

Важную роль начальной школы нельзя недооценивать с точки зрения начального обучения учащихся решению логических задач. Постигая путь решения логических задач «от незнания к знанию, от неумения к умению» маленький ученик начинает успешно усваивать учебные программы, у него воспитывается трудолюбие, желание и умение хорошо учиться. Задача пробуждает мысль ученика, и тем самым активизирует его мыслительную деятельность. Только постоянно практикуясь можно научиться решать логические задачи. Решение таких задач ученые называют гимнастикой ума.13

Раскрывая сущность понятия «логическая задача» можно процитировать определение Н. Д. Шатовой: логические задачи - это задачи, имеющие необычную конструкцию текста, постановку вопроса, более сложную связь между данными и искомыми, которые требуют проявления смекалки, оригинальности мышления, находчивости. Они вызывают у школьника непроизвольный интерес своим необычным сюжетом, способом решения или иллюстративным материалом. Основным видом деятельности во время работы над задачей становится выявление отношений между объектами задачи, но не нахождение количественных характеристик объекта.14

Во время начального обучения математике используется система задач логического содержания. Их решение требует выстраивания цепочки точных логичных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями. Подобранные логические задачи способствуют тому, чтобы ученик с разных сторон рассмотрел условие задачи, оценил ее и попробовал решить ее разными способами. Успех решения таких задач не должен зависеть от уровня знаний школьников и от овладения ними программного материала.

Анализируя различные классификации логических задач, мы установили, что основой любой классификации выступают существенные отношения объектов, на основе которых построены и решаются задачи определенного типа. Следовательно, можно предположить, что если ученик знает тип решаемой задачи, то он может осмысливать свои действия и понимать их правомерность. Таким образом, для обучения учащихся различным методам решения логических задач нужно систематизировать имеющиеся классификации так, чтобы они объединяли группы задач, с разными методами решения.

Во время анализа литературы мы выявили, что существуют различные классификации логических задач. Для того чтобы систематизировать эти классификации, необходимо проанализировать содержание их классификационных рубрик. Результат анализа показал нам, что существующие классификации логических задач содержат 31 классификационную рубрику. Покажем эти классификационные рубрики по следующим основаниям:

К сюжетным логическим задачам относятся:

Задачи с отношениями:

с транзитивными отношениями;

с некорректными условиями;

с нетранзитивными отношениями;

с несколькими отношениями;

с отношением равенства;

на сравнение элементов в отношениях.

Задачи на переправу.

Задачи на переливание.

Задачи о колпаках.

Задачи на движение.

Задачи о лгунах.

Задачи подбора гирь для получения нужного веса.

Турнирные задачи.

Задачи-шутки и шуточные истории.

Задачи со спичками.

Занимательные задания представлены ребусами, домино, шашками, комбинаторными задачами с магическими квадратами, лабиринтами, круговой считалочкой, играми мудрецов, геометрическими задачами, софизмами и парадоксами.

К логическим задачам по методическим приемам решения относятся:

Задачи, с навязывание одного определенного ответа.

Задачи, условие которых подталкивает ученика к выполнению какого-либо действия, но выполнять его не требуется.

Задачи с необходимым выполнением арифметического действия по заданным величинам.

Задачи, условия допускающие возможность «опровержения» семантически верного решения.

Задачи, которые решаются с конца.

Задачи на восстановление.

Задачи на нахождение числа по остаткам от деления.

Задачи на установление истинности утверждений.

Задачи на угадывание чисел.

Задачи, для решения которых используются таблицы и схемы.

Задачи, решаемые при помощи графов.

Задачи, решаемые методом кругов Эйлера.

Задачи на подбор возможных вариантов.

Задачи на упорядочивание множеств.

К логическим задачам по логическим приемам относятся:

Задачи на преодоление ригидности мышления.

Задачи, при решении которых используются рассуждения.

Задачи на анализ и синтез.

Задачи на исключение лишнего.

Задачи на аналогию.

Задачи на классификацию по определенному признаку.

Проанализировав выявленные классификации логических задач, нами отмечено, что наибольшее количество классификационных 16 рубрик существует у О. Б. Богомоловой.15

Средними показателями уровня содержания классификационных рубрик в классификациях логических задач (5-10) отмечены работы авторов: Л.В. Занкова16; Е.Ю. Левиной17; Л.М. Лихтарникова18; Ф.М. Мязитовой19; Ю.В. Нестеренко20, Л.В. Селькиной21.

В классификациях логических задач наименьшее количество рубрик содержится в предложенных работах следующих авторов: Б.А. Кордемского22; Ф.Ф. Нагибина и E.C. Канина23; Н.Б. Бабкиной24.

Частые классификации логических задач встречается такие типы задач:

По смысловому содержанию.

По методическим приемам решения.

По логическим приемам решения.

Не во всех авторов в классификациях упоминаются занимательные задачи. Крайне редко в классификациях указываются такие классификационные рубрики:

Задачи с отношениями.

Задачи на установление истинности утверждений.

Задачи, навязывающие один вполне определенный ответ.

Задачи, с условием, подталкивающим к выполнению какое-либо действия, но выполнять это действие не требуется.

Задачи, условием допускающим возможность «опровержения» семантически верного решения.

Задачи на преодоление ригидности мышления.25

Проанализировав рассмотренные классификации, сделали вывод, что классификация логических задач О. Б. Богомоловой наиболее полная.

По смысловому содержанию:

Задачи с отношениями:

с транзитивными отношениями;

с некорректными условиями;

с нетранзитивными отношениями;

с несколькими отношениями;

с отношением равенства;

на сравнение элементов в отношениях.

Задачи на переправу.

Занимательные задачи.

По методическим приемам решения:

Задачи с использованием таблиц и схем.

Задачи, решаемые с помощью графов.

Задачи на перебор возможных вариантов.

По логическим приемам решения:

Задачи на анализ, синтез.

Задачи на аналогию.

Задачи на классификацию.

Система задач О.Б. Богомоловой содействует развитию логического мышления, обучает правильному построению рассуждения, способствует выдвижению и исследованию гипотезы, самостоятельному принятию решения, активизации умственной деятельности школьников.

В других рассмотренных классификациях логических задач имеются некоторые недостатки: содержание отдельных классификационных рубрик перекрывают друг друга, а объединение различных классификационных рубрик не составляет совокупность логических задач.

О.Б. Богомолова, провела классификацию логических задач с учетом смыслового содержания и методических приемов их решения и выделила 6 разделов:

Задачи с отношениями.

Задачи с использованием схем и таблиц.

Задачи на переправу.

Задачи, решаемые с помощью графов.

Задачи на перебор возможных вариантов.

Занимательные задачи.

Набор заданий для устной работы.26

Во время анализа содержания логических задач в учебниках начального курса математики по выше перечисленным разделам, мы можем сказать, что учебник по математике Л.Г.Петерсон27 ориентирован на личностное развитие младших школьников. Ним математические знания рассматриваются не как самоцель, а как средство:

развития логического мышления учащихся;

развития их чувств и эмоций;

развития творческих способностей и мотивов деятельности.

В авторской программе по математике под редакцией М.И. Моро28 содержится 5180 различных математических заданий, в том числе 802 - логических задачи. Учебники начального курса математики М. И. Моро содержат 15,48% разнообразных логических задач, способствующих развитию логического мышления. Эти задачи не используют весь потенциал средств развития логического мышления. В учебнике М. И. Моро представлены модели в виде краткой записи и рисунка задачи, меньше моделей в виде чертежа, мало заданий на их сравнение. Но в целом, учебник охватывает разнообразные задания, которые будут способствовать развитию операций логического мышления. Проанализировав учебники математики для начальной школы, мы сделали вывод, что авторская программа по математике под редакцией Л.Г. Петерсон содержит большее количество заданий, которые непосредственно направлены на развитие логического мышления младших школьников. В этом и будет ее превосходство над авторскими программами по математике под редакцией М.И. Моро и других авторов. Поэтому каждому учителю начальной школы следует спланировать так учебную программу по математике, чтобы она в обязательном порядке содержала обучение детей решению логических задач.

Глава 2. Методика формирования умения решения логических задач в курсе математики начальной школы

.1 Особенности решения логических задач в начальной школе

Основная работа по развитию логического мышления проводится с текстовой задачей. Любая задача способствует развитию логического мышления, и именно она является отличным инструментом такого развития. Сейчас существует множество такого рода задач и специализированной литературы, выпущенных за последние годы, которые направлены на развитие логического мышления ученика.

Решение текстовых задач является сложной деятельностью, содержание которой будет полностью зависеть от конкретной задачи и от умений ученика решить ее.

Каждая задача представляет единство условия и цели. Если отсутствует один из этих компонентов, то нет самой задачи. Это важно для проведения анализа текста задачи с соблюдением такого единства. Анализ условия задачи нужно соотносить с ее вопросом и, наоборот, вопрос задачи анализируется в соответствии с условием. Их не разрывают, так как они являются одним целым.

Текстовая задача состоит из двух частей: условия и вопроса (требования).

Условие содержит сведения об объектах и некоторых величинах, которые характеризуют данные объекта, известные и неизвестные значения этих величин, отношения между ними.

Требование (вопрос) задачи указывает на то, что нужно найти. Оно выражается предложением в повелительной или вопросительной форме.

Бывают задачи, в которых часть условия или все условие включается в одно предложение вместе с требованием задачи.

Реальная жизнь часто создает разнообразные задачные ситуации. Составленная на их основе задача может содержать лишнюю информацию, которая не нужна для выполнения требования задачи.

Но на жизненных задачных ситуациях могут формулироваться и задачи с недостаточной информацией для выполнения требований.

Одну и ту же задачу можно рассматривать как задачу с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся и решающих значений.

Анализируя задачу в узком смысле, в ней выделяются следующие составные элементы:

Наличие словесного изложения сюжета, который явно, или завуалировано указывает на функциональную зависимость между величинами, числовые значения которых входят в содержание задачи.

Присутствие числовых значений величин или числовых данных, о которых сообщается в тексте задачи.

Формулирование задания в виде вопроса, предлагающего узнать неизвестные значения одной или нескольких величин. Эти значения называются искомыми.31

Решение задач занимает в процессе обучения школьников существенное место, как по времени, так и по их влиянию на умственное развитие ребенка.32

Учитель, дав задание ученику, не должен указывать на особенности его решения. Проанализировав ход мыслей обучающегося во время решения, можно понять, как развита его смекалка. После получения ответа, нужно предложить ему объяснить решение с аргументацией последовательности. На этом этапе при возникновении трудностей нужно активно помочь ученику. При возникновении затруднений во время решения, необходимо направлять мысли ребенка в нужное русло, подсказывая одно- два суждения из цепочки рассуждений. Если задача не понятна для ученика, то нужно объяснить каждое суждение в ее решении.

Особенности решения логических текстовых задач:

Необходимо прочитать задачу, представь то, о чем в ней говорится.

Сделать краткую запись задачи, чертеж или схему.

Объяснить, что означает каждое число, назвать вопрос задачи.

Подумать, какое число должно получиться в результате (больше/меньше, данного числа и т.д.).

Подумать, можно ли сразу ответить на вопрос задачи. При отрицательном ответе - почему? Что нужно узнать сначала? Что потом? Составить план решения задачи.

Выполнить само решение.

Проверить ответ и ответить на вопрос задачи.

Подумать над другими способами решения.

Основная цель таких заданий - увлечение ребенка изучаемым предметом, процессом осмысления информации и развитие его логики. Успешное решение логических задач заслуживает поощрения похвалой.

Методическая наука по-разному решает вопрос обучения детей установлению связи между данными и искомыми в текстовой задаче и в зависимости от этого выбирать и выполнить арифметические действия.33

Процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

этап - проанализировать условия задачи, разобраться в том, какая это задача, каково ее условие, в чем состоит ее требование (вопрос).

этап - сделать схематическую запись задачи. Проведенный анализ записывается схематическими записями.

этап - состоит в поиске способа решения задачи. Используя анализ задачи и построение ее схематической записи, находится способ решения данной задачи.

этап - производится реализация решения задачи. Если способ решения найден, он осуществляется решением.

этап - проводится проверка решения задачи. После осуществленного и изложенного (письменно/устно) решения, нужно путем проверки убедиться в правильности решения и в том, что оно удовлетворяет все требования задачи.

этап - повторное исследование задачи для установления, при каких условиях задача имеет решение, сколько имеется различных решений в каждом отдельном случае; когда она вообще не имеет решения и т.д.

этап - четкое формирование ответа задачи после убеждения в правильности решения.

этап - произвести анализ выполненного решения, установить существование/отсутствие другого, более рационального способа решения, возможно ли обобщение, какие выводы сделаны из этого решения.34

Нужно закрепить этапы решения логических задач (Приложение 3). Данная схема даст детям общее представление о решении задач, как о сложном и многоплановом процессе.

.2 Методические основы формирования умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

Как сказано выше, развитие у детей логического мышления - важная задача начального обучения. Логическое мышление, выполнение разных умозаключений без наглядной опоры, сопоставление суждений по определенным правилам являются необходимым условием успешного усвоения учебного материала.35

Обучение решению логических задач достигается двумя взаимосвязанными целями обучения:

решением определенных видов задач;

приемами поиска решения любой задачи.

Первая цель дает необходимый опыт и обеспечивает возможностью выделения в решаемой задаче тех подзадач, решение которых известно. Более того, решая каждую новую задачу можно применять те способы и приемы, которые уже дали положительные результаты. На практике чаще встречаются задача, при поиске решения, которых прежний опыт не может помочь и требуется новая догадка, «открытие». В таких ситуациях можно помочь ученику прийти к такой догадке и предложить ему некоторое средство, помогающее «открытию». При реализации идей развивающего обучения такая цель кажется более важной, так как содействует развитию когнитивных способностей:

умение анализировать новую ситуацию, а на основе проведенного анализа принимать правильное решение;

вырабатывать план действий и умение осуществлять его.36

Не смотря на огромное количество методик и рекомендаций по формированию умения решать логические задачи, на практике педагоги сталкиваются со значительными проблемами. Учащимся предлагается задача. Знакомясь с нею, они вместе с учителем анализируют условие и решают ее. Но при этом не извлекается максимальная польза. И при повторном решении этой задачи через несколько дней часть учащихся будут снова испытывать затруднения в ее решении.

Наибольшего эффекта можно достичь в результате применения различных форм работы над задачей. Это:

Проведение работы над решенной задачей. Многими учащимися только после повторного анализа осознается план решения задачи. Это правильный путь выработки твердых знаний по математике. Непременно, повторный анализ требует времени, но это будет оправдано.

Решить задачи различными способами. Из-за нехватки времени мало уделяется внимания решению задач разными способами. Но если все же ребенок научился это делать, значит, он находится на достаточно высоком математическом уровне развития. Привычка нахождения другого способа решения задач поможет ему в будущем. Эти способы доступны не всем учащимся, а только тем, кто по-настоящему любит математику и имеет особые математические способности. При этом:

Нужно правильно организовать способы анализа задачи, начиная с вопроса или от данных к вопросу.

Представить ситуацию, описанную в задаче (например, нарисовать «картинку»). Учителю нужно обратить внимание детей на детали задачи, с которыми обязательно нужно работать, а некоторые можно и опустить. Дети мысленно участвуют в этой ситуации. Разбивают текст задачи на смысловые части. Производят моделирование ситуации при помощи чертежей или рисунков.

Самостоятельно составлять задачи учащимися. Составить задачу:

используя в ней слова: «больше на», «столько», «сколько»;

«меньше в», «на столько больше», «на столько меньше»;

решая ее в 1, 2, 3 действия;

по заданному плану ее решения, действиям или ответу;

по выражению и т.д.

Решать задачи с недостающими/лишними данными.

Изменять вопрос задачи.

Составлять различные выражения по данным задачам с объяснением того, что обозначает каждое выражение. Выбирать те выражения, которые будут ответом на вопрос задачи.

Объяснять готовые решения задачи.

Использовать приемы сравнения задач и их решений.

Записать и сравнить два решения на доске: одно верное и другое неверное.

Изменять условия задачи так, чтобы он решалась другим действием.

Заканчивать решение задачи.

Определять: «Какой вопрос и какое действие является лишним в решении задачи, или, наоборот, восстанавливать пропущенный вопрос и действие в задаче.

Составлять аналогичные задачи с изменением данных.

Решать обратные задачи.37

В ходе нашей работы нами установлено, что систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор младших школьников. Решение детьми логических задач согласно приведенной выше схеме, дает им возможность более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей действительности и активно использовать математические знания в повседневной жизни.

При решении логических задач на уроках математики создаются дидактические условия:

для овладения младшими школьниками основами логического и алгоритмического мышления;

для развития математической речи, совершенствования умения работать с информацией;

для устанавливания истинности утверждений, чтения и заполнения таблиц;

для сравнивания и обобщения информации, представленной в строках и столбцах таблиц;

для понимания и составления высказываний, содержащих логические связки и слова (и, или, если..., то..., верно/неверно, что...);

для составления плана поиска информации;

для распознавания одной и той же информации, представленной в разной форме (в таблицах, графах, блок схемах, моделях из отрезков и др.).

Глава 3. Экспериментальное исследование по формированию умения решать логические задачи в начальных классах

.1 Организация и результаты опытно-экспериментальной работы по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальной школе

Чтобы решать логические задачи, учащиеся должны применять свои знания, усвоенные по программе.

Во время эксперимента вопросы методики использования логических задач рассматривались нами с определенным этапом формирования математических знаний и умений учащихся. Что потребовало соотношения их с известными методами обучения.

В основу этой методики взят тот факт, что логические задачи направлены не на формальное усвоение готового алгоритма, а должны формировать в учащихся простейшие навыки самостоятельного построения алгоритмов, нахождения ними способов решения новых для них задач.

Использование логических задач при обучении младших школьников математике осуществляется в разных формах:

на уроке во время устного счета, самостоятельных и контрольных работ;

на индивидуальных заданиях;

во внеклассной работе: на кружках, в викторинах, конкурсах, олимпиадах.

Конечно же, основной организационной формой будет урок, где задействованы все учащиеся в решении логических задач.38

За основной критерий эффективности экспериментальной методики мы сочли уровень сформированности общих умений учащихся решать текстовые логические задачи. Наш интерес был вызван:

развитием навыков выполнения основных мыслительных операций;

умением учащихся переносить полученные знания в новые условия в ходе решения задач;

изменением интереса детей к математике;

влиянием применения логических задач для активизации познавательной деятельности учащихся.

Выборку исследования составили 23 младших школьника.

В ходе констатирующего этапа исследования мы выявили: как в учащихся 2 «А» класса сформированы умения по решению логических задач. Для этого использовалось наблюдение за работой учащихся.

На контрольной работе использовались логические задачи: Задача 1

Три товарища, Алеша, Коля и Саша, сели на скамейку в один ряд.

Сколькими способами они могут это сделать?

Рассмотрим один из способов решения, предложенный испытуемым: Пусть А - Алеша, К - Коля, С - Саша. Тогда возможны варианты:

Алеша, Коля и Саша могут расположиться на скамейке 6 способами. Задача 2

У Марины было целое яблоко, две половинки и четыре четвертинки.

Сколько было у нее яблок?

Ответ: 3 яблока.

По результатам констатирующего эксперимента мы увидели, что практически не могли справиться с заданиями 5 учеников (21,7%), хорошо ориентировались в работе 10 (43,5%), показали отличные результаты - 8 человек (34,8%).

Исходя из этого, мы составили диаграмму (диаграмма 1), где можно увидеть результаты первого этапа нашего исследования.

Диаграмма 1

Во время формирующего этапа исследования с учащимися 2 «А» класса было организовано обучение решению логических задач на уроках математики. Урок проводился один раз в неделю на протяжении четырех недель.

Мы предложили отдельные виды задач для формирующего этапа экспериментальной работы.

Занятие 1.

Задача 1.

Три брата делили наследство - два одинаковых дома. Чтобы все получили поровну в денежном выражении, братья сделали так: два старших взяли себе по дому, а младшему они заплатили деньги - по 600 рублей каждый. Много ли стоит каждый дом?

Решение: Младший брат получил 600* 2= 1200(р.)

Такова доля каждого брата. Значит, все наследство составляет 1200 * 3= 3600 (р.).

Каждый дом стоит 3600:2= 1800 (р.).

Ответ: 1800 р. стоит каждый дом.

Задача 2.

Расшифруй пример на сложение трех двузначных чисел: 1А + 2А + 3А = 7А

Все четыре буквы А означают одну и ту же цифру. Ответ: 15+25+35 = 75.

Задача 3.

В магазине было шесть разных ящиков с гвоздями, массы которых 6, 7, 8, 9. 10, 11 кг

Пять из них приобрели два покупателя, причем каждому гвоздей по массе досталось поровну.

Какой ящик остался в магазине? Сколько решений имеет задача? Решение: рассмотрим шесть случаев.

Пусть остался 1-й ящик. Тогда масса гвоздей в остальных ящиках 7+8+9+10+11= 45 (кг)

Но 45 не делится на 2. Значит, оставшиеся гвозди нельзя разделить пополам, не вскрывая ящики. Рассуждая аналогично, устанавливаем, что не могут остаться 3-й или 5-й ящики.

Пусть остался 2-й ящик. Тогда в остальных ящиках гвоздей 6+8+9+10+11= 44(кг). 44:2 = 22(кг)

Однако среди чисел 6,8, 9, 10, 11 нельзя подобрать такие, чтобы их сумма была ровна 22.

Таким же рассуждением устанавливаем, что не может остаться последний ящик.

Пусть останется 4-й ящик. Тогда масса гвоздей в остальных: 6+7+8+10+11 = 42(кг). 42:2 = 21(кг); 21= 10+11= 6+7+8 (кг)

Ответ: остался 4 ящик. Задача имеет единственное решение.

Занятие 2.

Задача 1.

Врач прописал Буратино три таблетки и велел приниматьт их по одной через каждые 20 минут. На какое время Буратино хватит этих таблеток?

Решение: ○ 20мин. ○ 20мин. ○ 20+20=40 мин.

Ответ: 40минут

Задача 2. Коля умеет складывать двузначные числа на калькуляторе. Но у Колиного калькулятора заедает кнопка девять, и она не нажимается. Напиши, как Коля может вычислить 57+29 на своём калькуляторе.

Ответ: 57+28+1, 58+58.

Задача 3.

Миша, Игорь, Боря и Вася занимались спортом: один - плаванием, другой - бегом, третий - прыжками, четвёртый - коньками. Кто каким видом спорта занимался, если Вася не катался на коньках, Боря не плавал и не катался на коньках, а Миша бегал?

Решение:

После рассуждений можно сделать вывод: раз Миша занимается бегом, то он не занимается ни плаваньем, ни прыжками, ни коньками и Игорь, и Боря, и Вася - не занимаются бегом.

Следующий шаг: видно, что коньками занимается Игорь

Действуя, дальше по аналогии получаем ответ: Миша - бегает, Игорь коньки, Боря - прыжки, Вася - плаванье.

Занятие 3.

Задача 1.

Лиза, Наташа и Маша учились в разных школах и разных классах: одна в спортивной школе в 3 классе, другая - в музыкальной школе во 2 классе, третья - в спортивной школе во 2 классе. Где училась каждая девочка, если Наташа училась, как и Маша, во 2 классе, а Маша и Лиза - в спортивной школе?

Решение:

Лиза - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл. Наташа - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл. Маша - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл.

Наташа и Маша - во 2 классе, следовательно - они НЕ учатся в 3 классе:

Лиза - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл.

Наташа - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл.

Маша - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл.

Маша и Лиза в спортивной школе, следовательно: они не учатся в музыкальной:

Лиза - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл. Наташа - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл. Маша - спорт.шк.3кл. - муз.шк.2кл. - спорт.шк.2кл. Делаем вывод: Маша учится в спортивной школе во 2 классе.

Раз Маша учится в спортивной школе во 2 классе, то Лиза и Наташа там НЕ учатся, следовательно Лиза учится в спортивной школе в 3 классе, а Наташа в музыкальной школе во 2 классе.

Задача 2.

Лохматики живут в другой Галактике. Их деньги отличаются от наших. Вот такая у них денежная система:

дого - 2рубля

лалуп - 4 рубля

строн - 8 рублей

Сколько лалупов в одном строне? 2 Сколько дого в одном строне? 4 Сколько дого в одном лалупе? 2 Задача 3.

Выбери верный ответ. Две девочки были в куртках, одна - в пальто. Кто во что был одет, если Маша с Надей и Катя с Надей были одеты по- разному.

а) Маша и Надя - в куртках, Катя - в пальто; б) Маша и Катя - в куртках, Надя в пальто.

Занятие 4.

Задача 1.

Миша, Гена и Серёжа лепили из пластилина: один - кошку, другой - слона, третий - собаку. Кто что вылепил если Гена не лепил слона, Серёжа не лепил слона и собаку.

По условию Серёжа не лепил слона и собаку, значит он лепил кошку, следовательно Миша и Гена НЕ лепили кошку, а так как по условию Гена не лепил слона, то он лепил собаку. Миша не лепил собаку, значит он лепил слона.

Задача 2.

Закончи ряды чисел.

         17 24 …

         35 30 …

Задача 3.

Сейчас папе 56 лет, а Васе - 23 года. Сколько лет исполнится папе, когда Васе будет столько лет, сколько папе сейчас.

-23=33 (года) - разница 56+33=89 (лет).

Ответ: 89 лет.

Во время формирующего эксперимента мы также анализировали ответы детей, и увидели:

удовлетворительное решение задач показали 9 учеников (39,1%);

хорошо справлялись с решением - 8 (34,8%);

отлично показали себя в данной работе 6 детей (26,1%).

Исходя из представленных данных, нами была составлена наглядная диаграмма (диаграмма 2).

Диаграмма 2

Во время контрольного этапа мы провели контрольную работу по решению различных видов логических задач, используемых за пройденные этапы экспериментальной работы для учащихся 2 «А» класса.

вариант.

Задание 1. В семье трое детей - два мальчика и одна девочка. Их имена начинаются с букв «А», «В», «Г». Имена, начинающиеся с букв «А» и

«В» - это имена одного мальчика и одной девочки. Имена, начинающиеся с букв «В» и «Г» - это имена одного мальчика и одной девочки. С какой буквы начинается имя девочки?

Задание 2. Лисичка пригласила собирать грибы волка, зайца, оленя, мышь и бурундука. Кто больше всех собрал грибов, если мышь собрала не меньше грибов, чем заяц, лиса - меньше, чем волк, бурундук - больше, чем олень, лиса - больше, чем мышь, бурундук - не больше, чем заяц?

Задание 3. На одной чаше весов лежат три одинаковых пакета с картофелем и две гири по 2 кг каждая, а на другой - четыре таких же пакета с картофелем и 1 гиря в 1 кг. Сколько весит пакет с картофелем, если весы находятся в равновесии?

вариант.

Задание 1. У трех сестер - Юли, Тони и Веры - два платка синего цвета и один - розового. Какого цвета платок у каждой из них, если у Юли и Тони платки разного цвета, а у Веры и Юли - тоже?

Задание 2. На стоянке стоят пять машин. Известно, что «Жигули» стоят перед «Волгой», «Ауди» - после «Тойоты», «Волга» - перед

«Мерседесом», «Мерседес» - перед «Тойотой». В каком порядке стоят машины на стоянке?

Задание 3. На одной чаше весов лежат шесть одинаковых яблок и три одинаковые груши, на другой - три таких же яблока и пять таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

Анализируя ответы детей, мы смогли выявить, что 2 испытуемых (8,7%) имеют удовлетворительный уровень в решении логических задач. 9 учеников (39,1%) хорошо справляются с поставленными задачами, а оставшиеся 12 (52,2%) смогли решить представленные логические задачи на отлично.

Для более удобного понимания степень усвоения логических задач младшими школьниками, нами была составлена наглядная диаграмма (диаграмма 3).

Диаграмма 3

Мы предположили, что специально обучать детей решению логических задач не нужно, так как они перестанут выполнять свою основную функцию и станут стандартными. Но, все же, мы познакомили их с некоторыми приемами, способствующими облегчению решению задач. Что было педагогически оправдано.

На конкретных примерах показали использование различных средств и приемов решения логических задач.

Проанализировав результаты обучения в ходе эксперимента, мы увидели, что к окончанию нашей работы учащиеся 2 «А» класса овладели прочными, осознанными знаниями и умениями решения различных видов логических задач, что подтверждают данные таблицы 1.

Учащиеся, успеваемость которых была на «хорошо» и «удовлетворительно», показали более высокие результаты по сравнению с начальными. Мы наглядно увидели, что учащиеся начальных классов могут применять свои знания в новых условиях.

Таблица 1 - Уровень умения решать логические задачи учениками 2 «А» класса на разных этапах экспериментальной работы

Для более удобного рассмотрения полученных данных, нами была составлена диаграмма (диаграмма 4), в которой показан уровень умения решать логические задачи учениками 2 «А» класса на разных этапах экспериментальной работы.

Диаграмма 4

Проведенные анкетирование и контрольные работы показали, что все учащиеся эксперимента, где проводилась систематическая работа на уроках и вне их по обучению решению логических задач, показали хорошие навыки самостоятельной работы. Они чаще предлагали различные способы решения и обычных задач. Логические задачи в обучении содействовали повышению интереса учащихся к изучению математики. Полученные нами данные указывают на то, что рациональное использование данного вида задач оказывает положительное влияние на формирование математических знаний младших школьников.

.2 Методические рекомендации по формированию умения решать логические задачи

Мыслительные умения, восприятие и память при решении задач

Для решения логических задач требуется применение многочисленных мыслительных умений:

анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент;

синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее;

кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли;

объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации.

Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению текстовых задач современные достижения психологической науки.39

Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению логических задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Индивидуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении логических задач развивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математических задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

Обучение мышлению. Эффективность математических логических задач в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.40

Логические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому логическому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность высказанных утверждений, выполняемых выкладок и вычислений.

Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся Эффективность учебной деятельности по развитию логического мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач.

Рассмотрим некоторые из них.

а) Задачи и упражнения, включающие элементы исследования. Простейшие исследования при решении задач следует предлагать уже с первых уроков математики. В последующих классах следует предлагать не только задачи с элементами исследований, но и задачи, включающие исследование в качестве обязательной составной части. Задачи и упражнения с выполнением некоторых исследований могут найти свое место во всех разделах курса математики в начальной школе.

б) Задачи на доказательство доказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. Именно при выполнении доказательств оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.

в) Задачи и упражнения в отыскании ошибок также играют значительную роль в развитии математического мышления учащихся. Такие задачи приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости и т. д. Первые упражнения в отыскании ошибок должны быть несложными.

Психологи установили, что решение одной задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, умение выбрать из них наиболее рациональные, простые, изящные свидетельствуют об умении ученика мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Различные варианты решения одной задачи дают возможность ученику применять весь арсенал его математических знаний. Таким образом, рассмотрение различных вариантов решения задачи воспитывает у учащихся гибкость мышления. Поиск рационального варианта решения лишь на первых порах требует дополнительных затрат времени на решение задачи.41

Конструирование задач учениками заставляет их использовать больший объем информации, применять рассуждения, обратные применяемые при обычном решении задач. Следовательно, при составлении задачи ученик применяет логические средства, отличные от тех, с помощью которых решаются обычные задачи, открывает новые связи между математическими объектами. Это развивает их мышление.

Следует предостеречь учителя от чрезмерного увлечения конструированием задач. Нет необходимости доводить конструирование задач до навыка, поэтому не нужно предлагать ученикам трафареты для составления математических объектов и задач. Всякий трафарет, шаблон в конструировании губит главное, ради чего эти упражнения вводятся: творческую мысль ученика.42

Результатом проведенной работы являются несколько методических рекомендаций к курсу математики:

В целях совершенствования преподавания математики целесообразна дальнейшая разработка новых методик использования логических задач.

Систематически использовать на уроках задачи, способствующие формированию у учащихся познавательного интереса и самостоятельности.

Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению логических задач, с помощью специально подобранных упражнений, учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы.

Целесообразно использование на уроках задач на сообразительность, задач-шуток, математических ребусов, софизмов.

Учитывать индивидуальные особенности школьника, дифференциацию познавательных процессов у каждого из них, используя задания различного типа.

Проведенная работа позволила сформулировать ряд методических рекомендаций учителю:

Учащимся необходимо предлагать задания с использованием в основном конструктивных образов, заставляющих учеников не отвлекаться на несущественные признаки и сразу выделять суть выделенных отношений.

Важно, чтобы учащиеся решали не конкретную задачу, а искали общий принцип решения задач данного вида.

На уроке необходима специальная деятельность школьников, направленная на выяснение сути встречаемых в условии задачи понятий и отношений. Без понимания сути последних, невозможно успешно решить логическую задачу.

При обучении необходимо так организовать учебную деятельность младших школьников, чтобы они сами «открывали» способы решения задач и принципы их построения. При этом нужно рассматривать с учащимися все предложенные ими идеи и отбрасывать лишь те, которые не имеют «рационального зерна».

Необходимо составлять с учащимися план решения задачи, чтобы дети учились планировать свои действия прежде, чем будут их выполнять.

При этом важно, чтобы выполнение составленной системы действий приводило к достижению намеченной цели.

Необходимо, чтобы учащиеся не только осознавали способ решения задачи, но и понимали принцип его построения, а также старались осознавать основание своих действий.43

Научить ребят анализировать самые простые ситуации, в которых им приходится или придётся оказаться.

Научить видеть в образах, разнообразных предметах и явлениях их общие свойства, глубинные черты (простейшее - общий признак поездов, более сложное - общее между словами доброта и справедливость).

Выработать умение, позволяющее осознавать, что на всех уроках в школе, в жизни мы пользуемся языком, который важнейшим образом связан с логикой. Отсюда ещё одна задача:

Научить осмыслению возможных проблем и трудностей, связанных с обыденным, разговорным языком, умение избегать ловушек языка, изначальной неточности слов, проблем, связанных с многозначностью понятий, преднамеренных уловок, называемых в логике софизмами. Причём, весь этот материал осваивается учениками на основе анализа плутовских сказок, весёлых историй и т. д.

Выработать навыки оперирования понятиями, высказываниями, умение строить выводы, т. е. получать умозаключения, а также попытаться добиться такого положения, когда ученики сумеют правильно задавать вопросы, отвечать на них, сумеют выбирать правильный ответ из нескольких предложенных вариантов, составить план ответа, тем самым формировать регулятивные универсальные учебные действия.

Способствовать выработке чувства ответственности за последствия сказанных слов. Ведь слово имеет великую силу, в том числе и разрушительную: словом можно не только поддержать, возвысить, но и ранить, а иногда и убить человека. Таким образом, формируются личностные универсальные учебные действия.

Создать у обучающихся установку на умение слушать и слышать другого, научить осознанию того, что и другой может быть прав. Другими словами, речь идёт о формировании коммуникативных универсальных учебных действий.

Учить чётко и ясно излагать свои мысли, уметь обосновывать свою точку зрения, пользуясь для этого логическим мышлением и богатством языковых возможностей, формируя познавательные универсальные учебные действия.

Чтобы приступить к формированию умения решать логические задачи необходимо убедиться, что ребята освоили стандартные (то есть самые простые и очевидные) ходы. Четко нужно, чтобы они понимали значение «математических фраз»: «больше в», «больше на», а также «слагаемые», «уменьшаемые», «вычитаемые», «выше», «ниже», «дальше», «ближе» и т.д. - только после этого условия задач не будут казаться такими запутанными и сложными.

На уроках математики следует уделять большое внимание решению логических задач. Прежде всего, чтобы обучение решению задач было успешным, учитель должен сам разобраться с задачей, изучить методику работы.

Подводя итог проведенной работы, стоит акцентировать внимание на том, что нами выявлено, что большинство задач, используемых в обучении математике в начальной школе, выполняют, в основном, дидактические функции. Поэтому возникает необходимость применения логических задач, выполняющих развивающие функции.44

В нашей работе выполнен сравнительный анализ систем задач различных курсов. Мы установили, что в современном курсе математики начальной школы логических задач начали использовать больше: они включаются и во внеклассную работу, и в учебники математики. Математические задачи способны развивать мышление, логику, создают комплекс аналитических умений: учат группировать предметы, раскрывать закономерности, определять связи между явлениями, принимать решения.

Нами проведен анализ теории и практики использования логических задач в обучении математике младших школьников. Определены требования к составлению и отбору логических задач.

Разработаны основные вопросы методики использования логических задач на различных этапах обучения и в связи с применением различных методов и средств обучения. Мы разработали и проверили рекомендации по использованию логических задач в обучении младших школьников математике. В ходе исследования мы узнали, что систематическое целенаправленное применение логических задач в обучении математике младших школьников оказывает положительное влияние на овладение ими способов решения текстовых задач, активизирует познавательную деятельность учащихся, повышает их интерес к изучению математики.

Заключение

Одной из важных задач математического образования стало вооружение учащихся логическим мышлением, которое базируется на общих приемах мышления, пространственном воображении, развитии способности понимания смысла поставленной задачи, умении логично рассуждать, усвоении навыков алгоритмического мышления. Каждый ученик должен с одной стороны - научиться проводить анализ, отличить гипотезу от факта, четко выражать свои мысли; с другой стороны - развивать свое воображение и интуицию, пространственное представление, способность предвидеть результаты и предугадывать пути решения. Математика даст благоприятные возможности для воспитания упорства в достижении цели, развития воли, трудолюбия,45 настойчивости в ходе преодоления трудностей.

Современная математика стала живой наукой с многосторонними связями. Она оказывает существенное влияние на развитие других наук и практики. Она стала базой научно-технического прогресса и важным компонентом развития личности.

Одна из основных целей изучения математики направлена на формирование и развитие мышления людей. Это касается, прежде всего, абстрактного мышления и способности человека к абстрагированию, его умения работать с «абстрактными», «неосязаемыми» объектами. В ходе изучения математики, начиная с первых дней пребывания ребенка в школе, происходит процесс формирования логического (дедуктивного) мышления, алгоритмического мышления и других качеств мышления: силы и гибкости, конструктивности и критичности и т.д.

Поэтому, как один из основополагающих принципов новой концепции «математики для всех», получает приоритетное направление развивающая функция обучения математике. Согласно этому принципу, центральное место в методической системе обучения математике занимает не изучение основ науки математики, как таковой, а познание учеником окружающего мира средствами математики. Вследствие этого происходит динамичная адаптация человека к миру, к социализации личности.

Основная цель математического образования - развитие умения математически, что значит, логически и осознанно проводить исследования явлений реального мира. Логическое мышление заключается в умении оперировать абстрактными понятиями, используя для этого рассуждения и опровержения. Способность логически мыслить выражается в понимании ребенком происходящего вокруг него, в умении делать умозаключения, решать различные задачи и проверять их другими способами, в опровержении и доказательстве истины словом. Развитию логического мышления способствует решение на уроках математики различного рода логических задач.

Использование учителем начальной школы логических задач на уроке - необходимый элемент обучения математики.

Теоретико-экспериментальное исследование полностью подтвердило гипотезу, дало возможность решить поставленные частные задачи, которые подтверждены полученными результатами и сделанными выводами.

В нашей работе уточнено понятие логической задачи: логическая задача - это задача, в которой основным видом деятельности по ее решению является раскрытие отношений между объектами задачи, а не нахождение количественных характеристик объекта.

Мы выявили действия визуализации и вербализации процессов анализа условия логических задач и их решения. Определили роль применения логических задач для развития учащихся начальной школы.

Нами рассмотрены требования к системе логических задач. Задачи, входящие в систему, основываются:

на наличии познавательных и развивающих функций в их содержании и ходе решения;

на соответствии возрастным особенностям школьников и учете психологических особенностей восприятия учащимися информации;

на направленности задач на развитие у учащихся умения видеть у объектов общие признаки;

на понимании, нахождении связей и отношений объектов;

на построение в ходе решения задачи определенной схемы операций и системы выводов;

на объединении групп задач, которые решаются разными методами;

на соответствии возрастающему уровню сложности.

В процессе данной работы изучена классификация логических задач:

задачи на упорядочение множеств;

задачи на установление соответствий и исключение неверных вариантов;

задачи на манипулирование предметами;

задачи на установление истинности и ложности утверждений;

задачи на определение количества элементов, которые обладают указанным признаком.

Нами предложено методическое обеспечение по формированию умения решать логические задачи на уроках математики в начальных классах. Процесс осознания школьниками собственной мыслительной деятельности обеспечит сочетание логического и образного компонентов мышления.

Проведенная работа позволила сформулировать ряд методических рекомендаций учителю:

Учащимся необходимо предлагать задания с использованием в основном конструктивных образов, заставляющих учеников не отвлекаться на несущественные признаки и сразу выделять суть выделенных отношений.

Важно, чтобы учащиеся решали не конкретную задачу, а искали общий принцип решения задач данного вида.

На уроке необходима специальная деятельность школьников, направленная на выяснение сути встречаемых в условии задачи понятий и отношений. Без понимания сути последних, невозможно успешно решить логическую задачу.

При обучении необходимо так организовать учебную деятельность младших школьников, чтобы они сами «открывали» способы решения задач и принципы их построения. При этом нужно рассматривать с учащимися все предложенные ими идеи и отбрасывать лишь те, которые не имеют «рационального зерна».

Необходимо составлять с учащимися план решения задачи, чтобы дети учились планировать свои действия прежде, чем будут их выполнять. При этом важно, чтобы выполнение составленной системы действий приводило к достижению намеченной цели.

Необходимо, чтобы учащиеся не только осознавали способ решения задачи, но и понимали принцип его построения, а также старались осознавать основание своих действий.46

Научить ребят анализировать самые простые ситуации, в которых им приходится или придётся оказаться.

Научить видеть в образах, разнообразных предметах и явлениях их общие свойства, глубинные черты (простейшее - общий признак поездов, более сложное - общее между словами доброта и справедливость).

Выработать умение, позволяющее осознавать, что на всех уроках в школе, в жизни мы пользуемся языком, который важнейшим образом связан с логикой. Отсюда ещё одна задача:

Научить осмыслению возможных проблем и трудностей, связанных с обыденным, разговорным языком, умение избегать ловушек языка, изначальной неточности слов, проблем, связанных с многозначностью понятий, преднамеренных уловок, называемых в логике софизмами. Причём, весь этот материал осваивается учениками на основе анализа плутовских сказок, весёлых историй и т. д.

Выработать навыки оперирования понятиями, высказываниями, умение строить выводы, т. е. получать умозаключения, а также попытаться добиться такого положения, когда ученики сумеют правильно задавать вопросы, отвечать на них, сумеют выбирать правильный ответ из нескольких предложенных вариантов, составить план ответа, тем самым формировать регулятивные универсальные учебные действия.

Способствовать выработке чувства ответственности за последствия сказанных слов. Ведь слово имеет великую силу, в том числе и разрушительную: словом можно не только поддержать, возвысить, но и ранить, а иногда и убить человека. Таким образом, формируются личностные универсальные учебные действия.

Создать у обучающихся установку на умение слушать и слышать другого, научить осознанию того, что и другой может быть прав. Другими словами, речь идёт о формировании коммуникативных универсальных учебных действий.

Учить чётко и ясно излагать свои мысли, уметь обосновывать свою точку зрения, пользуясь для этого логическим мышлением и богатством языковых возможностей, формируя познавательные универсальные учебные действия.

Чтобы приступить к формированию умения решать логические задачи необходимо убедиться, что ребята освоили стандартные (то есть самые простые и очевидные) ходы. Четко нужно, чтобы они понимали значение «математических фраз»: «больше в», «больше на», а также «слагаемые», «уменьшаемые», «вычитаемые», «выше», «ниже», «дальше», «ближе» и т.д. - только после этого условия задач не будут казаться такими запутанными и сложными.

Мыслить логично - значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях и уметь вскрывать логические ошибки. Эти качества мышления имеют большое значение для успешности освоения всех без исключения учебных дисциплин.

Список использованной литературы

1.      Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования / Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897

.        Бабкина Н.В. Радость познания. Логические задачи для детей младшего школьного возраста - М.: АРКТИ, 2000 г. - 24 с.

.        Богомолова О.Б. Логические задачи / О. Б. Богомолова - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005 г. - 271 с.

.        Брейтигам Э.К. Формирование математических понятий высокого уровня абстракции // Педагогика, 1998 г., №7 - С. 45-49

.        Быльцов С. Логические головоломки и задачи. Занимательная математика для всей семьи - СПб: Питер, 2010 г. - 160 с.

.        Возрастная и педагогическая психология / Под ред. М.В. Гамезо, М.В. Матюхиной, Т.С. Михальчик - М.: Просвещение, 1984 г. - 256 с.

.        Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка- М.: Моск. ун-т, 1985 г. - 45 с.

.        Далингер В.А., Борисова Л.П. Методические системы развивающего обучения математике в начальной школе: Учеб. пособие - Омск: ОмГПУ, 2004 г. - 205 с.

.        Далингер В.А., Загородных К.А. Методика организации и проведения самостоятельных работ учащихся в процессе обучения их решению текстовых задач: кн. для учителя - Омск: ОмГПУ, 1996 г. - 101 с.

.        Далингер В.А. Развивающее обучение математике: состояние, проблемы, перспективы: коллективная монография / В. А. Далингер [и др.] - Омск: Сфера, 2007 г. - 376 с.

.        Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач - М.: Академия, 2002 г. - 288 с.

.        Епишева О.Б., Крупин В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителей

.        М.: Просвещение, 2000 г. - 136 с.,

.        Занков Л.В., Занков В.В. Методика преподавания математики в 1 классе - М.: ВЛАДОС, 1998 г. - 96 с.

.        Задачи как цель и как средство обучения математике учащихся средней школы: Меж-вуз. сб. науч. тр. - Д.: Изд-во Ленинград, педин-т, 1981 г. - 147 с.

.        Интернет ресурс #"896142.files/image006.jpg">

Использование логических универсальных действий в процессе решения логических задач

Требования ФГОС к результатам учащихся

Этапы решения логических задач