Использование задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе для формирования деятельностных компетенций

Использование задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе для формирования деятельностных компетенций

Использование задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе для формирования деятельностных компетенций

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1.1 Задачи по математике с практическим содержанием

1.2 Определение понятия «компетенция» и детализация деятельностных компетенций

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАДАЧ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

2.1 Использование задач с практическим содержанием на уроках математики

2.2 Формирование деятельностных компетенций на уроках математики в начальной школе

2.3 Экспериментальная работа по использованию математических задач с практическим содержанием с целью формирования деятельностных компетенций

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

В методической литературе, в официальных указаниях Министерства просвещения, в практике лучших учителей большое внимание уделяется воспитательной задаче обучения математике, формированию и развитию мышления детей, выработке рациональных качеств мышления (порядка, точности, сжатости, схематизации).

Особое значение при этом приобретает выработка общих и специальных методов решения задач, формирование умений и навыков математической обработки различных фактов из реальной жизни.

Наука и жизнь требуют от школы не только сообщения определенных познавательных фактов своим воспитанникам, но и систематического ознакомления их с идеями и методами науки, передачи им интеллектуального опыта человечества.

Актуальность проблемы использования задач с практическим содержанием в курсе математики начальной школы для формирования деятельностных компетенций не вызывает сомнения, так как условия естественного развития личности учащегося наиболее полно реализуются в случае, когда обучение раскрывает взаимосвязь математики не только с другими науками, но и с жизнью.

Современное образование претерпевает множество изменений. Одним из таких изменений является требование к реализации формирований деятельностных компетенций в процессе обучения - то есть от учителей требуется дать детям те знания, обучить тем умениям и развить те навыки, которыми современный учащийся сможет пользоваться в своей дальнейшей жизни [3].

Очевидно, что осуществляться этот подход должен уже в начальной школе.

Объектом настоящего исследования является процесс обучения математике в начальной школе.

Предметом исследования является методика использования задач с практическим содержанием на уроках математики в младших классах.

Целью исследования является изучение формирования деятельностных компетенций с помощью задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе.

Гипотеза исследования состоит в следующем: использование задач с практическим содержанием на уроках математики в начальной школе способствует формированию деятельностных компетенций.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1.   Рассмотреть сущность задач с практическим содержанием.

2.       Проанализировать проблемы использования задач с практическим содержанием в школьном обучении.

.         Рассмотреть понятия «компетенция» и "деятельностные компетенции".

4.   Изучить формирование деятельностных компетенций на уроках математики в начальной школе.

5.   Выделить приёмы формирования деятельностных компетенций на уроках математики в начальной школе.

6.       Реализовать выделенные приёмы.

Для достижения поставленных целей и решения задач исследования использовались следующие методы исследования: изучение психолого- педагогической, учебно-методической и математической литературы по теме исследования; анализ содержания программ и учебников математики базовой школы, а также сборников прикладных задач по математике; эксперимент.

В качестве опытно-экспериментальной базы был выбран 4 «В» класс ГБОУ СОШ № 1106.

Структура работы обусловлена целями и задачами исследования и состоит из введения, двух глав, заключения.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЗАДАЧ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

1.1 Задачи по математике с практическим содержанием

Рассмотрим сущность задач с практическим содержанием.

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.

Требования к задачам.

К задачам с практическим содержанием предъявляются наряду с общими требованиями следующие дополнительные требования:

а) познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников;

б) доступность школьникам используемого в задаче нематематического материала;

в) реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых значении данных, постановки вопроса и полученного решения.

Желательно знакомить учеников с методами решения задачи, применяемыми на практике, если эти методы отличны от используемых в школе и доступны для учащихся.

Проанализируем прежде всего стилистические требования к таким

«жизненным» задачам:

-   Текст задачи должен описывать реально существующую, житейскую ситуацию. Следовательно, как и описание любой жизненной ситуации,

задачный текст должен быть «зашумлен», избыточен, то есть иметь ряд подробностей, не относящихся к основному требованию задачи.

-  Текст задачи не должен указывать на способы и средства ее решения.

-   Проблема или ситуация должны быть адаптированы к возрастным и психологическим особенностям школьника, мотивировать его познавательный интерес.

-   И, что крайне важно, такие задачи не могут быть прерогативой какого- то одного предмета. С такими задачами школьник должен встречаться как при изучении предметов естественно-математического, так и гуманитарного циклов. А само решение таких задач может и должно быть рассчитано на привлечение знаний из разных предметных областей.

Не менее важно соблюдать и организационные требования:

-   Задача должна содержать открытую (т.к. мы говорим об обучении) цепочку последовательных заданий.

-   Каждое отдельное задание общей задачи должно содержать требование и набор необходимых (и избыточных) данных.

-  Часть данных может располагаться в преамбуле задачи.

-     Предложенные задания должны быть связанны между собой (последующее с предыдущим).

-    Результат, полученный при выполнении первого задания, должен служить условием второго задания, а результат - второго, условием третьего и т.д.

Эти задачи построены на изучении ситуаций окружающего ребенка мира. Но разрешение этих ситуаций возможно лишь (обще)предметными средствами. Например, изучая жизнь бобров, интересно определить, где вероятнее всего эти млекопитающие организуют свою плотину, и рассчитать, сколько деревьев бобрам для этого потребуется. Изучая строение Земли, целесообразно прикинуть, так ли уж глубока сверхглубокая Кольская скважина? А склеивая аккуратную рамку для картины, необходимо выполнить целый ряд измерений, вычислений, построений с помощью линейки [16].

Во всех этих случаях предметные знания и умения становятся

«жизненно» необходимыми. Без их использования нельзя решить ни одну практическую задачу. Следовательно, в обучении возникает так необходимый всем мотив. Практические задачи позволяют создать условия, когда ребенок сам видит, что все, что он изучает, действительно «пригождается». И не когда- то потом, а здесь и сейчас. Это сегодня нужно знать, что такое доля, чтобы оценить степень опасности загрязнения вод Байкала, составляющих пятую часть всех пресных вод земли. Это сегодня нужно умение определять стороны горизонта, без которого невозможно описать экскурсионный маршрут по родному городу (селу).

Некоторые задачи можно решить, выполняя действия с предметами - практическим методом.

Задача 1.

В гараже 20 автомашин - легковых и грузовых, причем на каждую легковую приходится 4 грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в гараже?

Изобразим каждую машину символом. Известно, что на каждую легковую машину приходятся 4 грузовые. Поэтому каждому символу, обозначающему легковую машину, поставим в соответствие четыре таких же символа - грузовые машины.

Практическое решение задачи оформляется в виде символического рисунка, схемы или таблицы.

Задача 2.

Нужно рассадить 18 туристов в двухместные и четырехместные лодки.

Сколько тех и других лодок потребуется, если общее их количество равно 6?

Решение данной задачи может быть представлено последовательностью символических рисунков.

Введя соответствующие обозначения и выполнив практические действия, пересчетом устанавливаем, что рассадили только 12 из 18 человек, поэтому еще шесть туристов разместили по двое (т.к. лодки были и четырехместные) в три первые лодки, указав, таким образом, их число. Остальные лодки - двухместные.

Основой содержания любой практической задачи являются научно- популярные журнальные статьи, справочные таблицы, словарные статьи, описания экскурсионных маршрутов, карты, рисунки и фотографии, Интернет. В общем, все то, что не попадает в тексты учебных задач. Все то, что в учебных задачах становится X рублями, пунктами A и В, водой без цвета, запаха и, тем более, без осадка.

Рассмотрим два образца одной и той же работы с задачами, содержащими зависимость между величинами расчёта (цена, количество, общая стоимость товара) для учащихся 4-го класса, для того, чтобы показать, что проверяемые (или формируемые) знания и умения традиционной работы и учебно-практической задачи полностью совпадают:

–  анализировать задачу, устанавливать зависимость между величинами и взаимосвязь между условием и вопросом задачи, определять количество и порядок действий для решения задачи;

–   решать учебные задачи и задачи, связанные с повседневной жизнью, арифметическим способом;

–   оценивать правильность хода решения и реальность ответа на вопрос задачи;

–  наблюдать за изменением решения задачи при изменении ее условия. Традиционная самостоятельная работа.

1.   Заводская цена автомобилей ВАЗ из пробной партии составляла 2800 тыс. руб. Определи заводскую цену одного автомобиля, если пробная партия состояла из 10 машин.

2.  За 6 кг риса заплатили 120 руб. 60 коп. Определи стоимость 5 кг этого же риса.

3.  За 3 часа стоянки заплатили 150 руб. Сколько часов на этой же стоянке находился автомобиль, если за стоянку заплатили 450 руб.? Реши задачу двумя способами.

4.  Заполни таблицу (см. табл. 1)

Таблица 1. Таблица для заполнения

Учебно-практическая самостоятельная работа «Принтеры нового поколения».

Для отчёта о деятельности клуба «Мы и окружающий мир» необходимо напечатать фотографии. Есть возможность напечатать фотографии на принтере нового поколения. Но для этого необходимо произвести целый ряд расчетов, которые следуют из следующей информации:

Для компьютерной техники семь - десять лет - гигантский отрезок времени. За этот период компьютерная техника делает огромный шаг вперед в своем развитии. Не стали исключением и принтеры. Если раньше мы видели цветные принтеры только по телевизору, то теперь многоцветная (цветная) печать пришла к нам домой.

1.   Фирмой Кенон (Canon) был разработан принтер новой модели i950 для печати фотографий. Экспериментальная партия принтеров этой модели состояла всего из 8 принтеров и была продана за 48 тыс. руб. Определи цену принтера из пробной партии.

2.  Благодаря четкости и реалистичности своих фотографий и способности печатать без полей, эта модель быстро стала одной из самой популярной. Но изменилась его цена, повысившись на 600 руб. за один принтер. Определи, какова была бы стоимость экспериментальной партии по новой цене.

3.  Достаточно экономны и недороги и расходные материалы для принтера этой модели: фотобумага и картриджи с краской. Одного такого картриджа хватает на 150 листов фотографий. Цена картриджа - 600 руб., цена пачки фотобумаги в 50 листов - 120 руб. Определи, сколько листов бумаги можно купить на 2400 руб. Сколько картриджей можно купить на ту же сумму?

4.   Качественная печать и цена одной фотографии (цена одного листа и краски, затраченной на один лист), напечатанной на принтере этой модели сделали его самым популярным на сегодняшний день. Рассчитай цену одной фотографии, напечатанной на этом принтере.

Таблица 2.

Приведенная работа «Принтеры нового поколения» не имеет очевидных признаков принадлежности к тому или иному типу задач. Не имеет она и четко выделенного условия и требования. Как части условия, так и требования появляются и дополняют друг друга при переходе от одного задания к другому. Цепочка заданий строится так, что каждый следующий шаг решения опирается на результаты предыдущего шага, провоцируя многократное возвращение ученика от промежуточного требования к предыдущим частям текста.

Представленный текст описывает реальную жизненную ситуацию и не имеет «намеков» на то, какими средствами ее нужно решать. Текст «зашумлен», то есть имеет факты, не связанные с непосредственными требованиями (часть «шума» имеет качественную форму, часть - провоцирующую количественную).

Практика показала, что тексты учебно-практических задач вызывают у школьников на первых порах целый ряд «непредметных» (в анализируемом случае, нематематических) сложностей [2].

Необходимо перевести содержание предложенного текста в предметную область. Самостоятельно определить темы и средства, которые помогут установить связь между частями условия и требованиями. Затем установить эти связи. При этом необходимо удалить из текста «шум», не относящийся к задаче, то есть, сконцентрировать свое внимание на «рассыпанных по всему тексту» частях условия. Непривычным кажется и использование полученных результатов в качестве последующего условия. В конце концов, появляются чисто формальные трудности, связанные с оформлением решения задачи.

Итак, введение учебно-практических задач (или задач с практическим содержанием) соответствует федеральному компоненту государственного стандарта математического образования.

К задачам с практическим содержанием, конечно, вместе с общими требованиями к математическим задачам, можно предъявить и следующие, как дополнительные:

1)  задача должна давать необходимое количество пищи для мыслительной деятельности, обладать познавательной ценностью;

2)       нужно, чтобы условие задачи было отчетливо сформулировано, а содержание нематематического материала было доступным для понимания учеников;

)         в условиях задач должны быть реальные описываемые ситуации, числовые значения данных, постановка вопросов и полученные результаты [9].

Задачи с практическим содержанием рационально использовать в процессе обучения для выявления многообразия использования математики в жизни, своеобразия отображения ею реального мира и достижения таких дидактических целей как:

1)  мотивации введения новых математических понятий и методов;

2)       иллюстрации учебного материала;

3)       закрепления и углубления знаний по предмету;

)         формирования практических умений и навыков.

Задачи с практическим содержанием можно использовать на разных этапах урока. Применение задач как средства мотивации знаний является неоднозначным. С одного взгляда, такие задачи своим интегрированным содержанием, надобностью использования сформированных приемов умственных действий, опорой на дополнительный материал, который добыт в ходе самообразования, в случае хорошей организации учебной работы и своевременности программно-согласованного введения задач в учебный процесс со стороны учителя, содействуют формированию положительной мотивации учения [11].

С другого взгляда, если не учитывать эти особенности решения задач с практическим содержанием, то можно затруднить развитие положительной мотивации. Чтобы не появлялись такие трудности, задачи с практическим содержанием нужно подбирать так, чтобы их постановка приводила к нужде приобретения учениками новых знаний по математике, а приобретенные под влиянием данной нужды знания давали возможность решать не только поставленные задачи с практическим содержанием, но и много других задач прикладного характера.

Для того, чтобы создать проблемную ситуацию можно применять и отдельные фрагменты задач с практическим содержанием, а задачи в целом разобрать на уроках обобщения и систематизации знаний. Применение проблемных задач дает более сознательное овладение математической теорией, учит учеников самостоятельно выполнять учебные задания, использовать приемы поиска, исследования и доказательства, и также применять основные мыслительные операции.

Мы определили, что называют задачей с практическим содержанием. Имеется еще одно близкое по значению понятие - это понятие прикладной задачи. Какую же задачу называют прикладной? «В педагогической литературе понятие прикладной задачи трактуют различно. Иногда прикладной называют задачу, которая требует перевода с естественного языка на математический. Также некоторые считают, что прикладные задачи должны быть по своей постановке и методам решения более приближенными к задачам, которые возникают на практике.

Так, к примеру, М.В. Крутихина под прикладной задачей подразумевает сюжетную задачу, которая сформулирована, чаще всего, в виде задачи- проблемы и которая удовлетворяет следующим требованиям:

1)    вопрос ставится так, как он обыкновенно ставится на практике (решение имеет практическую значимость);

2)  искомые и данные величины (если они заданы) нужно брать реальные, из практики» [14].

В своей книге «Прикладная направленность школьного курса математики» Н.А. Терешин дает следующее определение: «Прикладной задачей называют задачу, которая поставлена вне математики и решается математическими средствами» [5].

Задача с практическим содержанием - это математическая задача, которая раскрывает межпредметные связи и только знакомит нас со сферами человеческой деятельности, в которых она может использоваться.

Прикладная задача все-таки не является задачей математической. Она может встать во всякой сфере человеческой деятельности, это может быть и инженерия, и текстильное производство. Но как задачи с практическим содержанием, так и прикладные задачи решаются математическими средствами, базируясь при этом на математических правилах и формулах.

.2 Определение понятия «компетенция» и детализация деятельностных компетенций

Компетентностное образование сегодня показывает свою недостаточную исследованность.

Не беря во внимание некоторые расхождения в подходах, специалисты США устанавливают три главных компонента в компетентностном образовании: знания, умения и ценности.

Термину «компетенция» давали определение многие ученые, среди которых такие личности, как В.А. Болотов, В.В. Сериков, О.М. Бобиенко и другие.

В энциклопедическом словаре Б.А. Введенского термину компетенция дается следующее определение: «Компетенция - это круг полномочий; круг вопросов, в которых данное лицо обладает познаниями, опытом» [64].

Смородинова М.В. пишет так: «компетенции - это способности индивида справляться с самыми различными задачами, как совокупность знаний, умений навыков, которые необходимы для реализации конкретной деятельности» [38].

Проанализировав приведенные выше определения, мы сформулировали следующее определение: «Компетенцией называют те знания, умения и навыки, которыми младший школьник овладевает в начальной школе и использует их во всех сферах своей дальнейшей жизнедеятельности».

Самой существенной частью данного определения не является его первая часть, которая так часто встречается во всевозможных источниках и на которую многие исследователи наиболее часто ссылаются в своих работах. Существенной частью данного определения является его вторая часть, которая и отличает компетентностный подход от других образовательных подходов, главенствующей целью которых является именно приобретение детьми знаний, умений и навыков.

Деятельностные компетенции относятся не ко всем видам деятельности, в которых участвует человек, к примеру, взрослый специалист, а только к тем, которые включены в состав общеобразовательных областей и учебных предметов.

Такие компетенции отражают предметно-деятельностную составляющую общего образования и призваны обеспечивать комплексное достижение его целей.

Следовательно, основные деятельностные компетенции можно конкретизировать на величине образовательных областей и учебных предметов для всех ступеней обучения.

Реализация деятельностных компетенций в школе подразумевает становление в процессе обучения семи основных деятельностных компетенций.

Детализируем классификацию деятельностных компетенций в отношении уроков математики.

Ценностно-смысловая компетенция.

Даная компетенция включает постановку ученика в ситуацию самоопределения. Если говорить относительно уроков математики, то мы должны в течение учебного процесса выявить математически способных учеников и помочь им в ситуации самоопределения. Другими словами, речь здесь идёт о профориентации. Очевидно, что рано проводить профориентацию в начальной школе, но ведь именно в эти школьные годы мы способствуем выбору детьми той сферы, которая им наиболее интересна - это либо гуманитарная сфера, либо сфера точных наук.

Общекультурная компетенция.

Данная компетенция подразумевает, что непосредственно на уроках математики мы должны знакомить учеников с общественной моралью и традициями. Другими словами, учителю необходимо внедрять такие приёмы работы на уроке, которые не отвлекали бы урок от основного содержания, но при этом были бы с подтекстом, благодаря которому ученики несознательно усваивали бы общекультурные компетенции.

Учебно-познавательная компетенция.

Данная компетенция представляет собой совокупность учебных ситуаций, в которых ученик выступает как субъект и как объект процесса обучения одновременно.

Информационная компетенция.

Эта компетенция в своей сути заключает процесс освоения учеником современных информационных технологий. Другими словами, на уроке математики мы должны, как всегда, непреднамеренно для ученика, обучить его способам работы с информационными технологиями.

Коммуникативная компетенция.

Данная компетенция подразумевает под собой владение учеником средствами коммуникации. Необходимо, чтобы ученик на уроках общался с одноклассниками, умел истолковать для них материал. Другими словами, создание коммуникационных приёмов на уроках математики подготавливает ученика к реализации себя в социуме.

Социально-трудовая компетенция.

На наш взгляд, эта компетенция является одной из самых важных, она подразумевает овладение детьми теми предметными знаниями, умениями и навыками, которые они будут использовать непосредственно в своей дальнейшей жизнедеятельности.

Компетенция личностного самосовершенствования.

Эта компетенция подразумевает овладение учеником теми способами деятельности, которые пригодятся ему в определённой современной жизненной ситуации. К ней относятся правила личной гигиены, забота о собственном здоровье, внутренняя культура, основы безопасности и жизнедеятельности [41].

ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТНЫХ КОМПЕТЕНЦИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАДАЧ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

2.1 Использование задач с практическим содержанием на уроках математики

С помощью практических задач школьники знакомятся с применением математики в решении отдельных вопросов организации, технологии и экономики современного производства. Однако использование этих задач в процессе обучения не раскрывает перед учениками саму технологию применения математических фактов и методов к решению практических проблем. Рассмотрение таких задач, выполняющих в обучении важные дидактические и политехнические функции, лишь в известной мере готовит к решению задач, возникающих на практике. Проиллюстрируем сказанное на примере.

Пример. На какое время хватит запаса ящика зерна сеялки на 250 кг, если ширина захвата сеялки 3,6 м и движется она со скоростью 3,6 км/ч? Норма высева 150 кг на 1 га.

В условии задачи говорится о конкретном сельскохозяйственном процессе, использованы величины, непосредственно влияющие на время опорожнения посевного ящика сеялки, приведены их числовые значения. Но в таком виде задача в жизни не ставится. Возникающая в сельскохозяйственной практике необходимость вычислить время опорожнения посевного ящика сеялки приводит к постановке не математической, а чисто производственной задачи. Лишь в результате глубокого анализа производственного процесса может быть составлена ее математическая модель и найден математический метод ее решения. Однако с точки зрения подготовки учеников к решению производственной задачи приведенный нами пример полезен, ибо помогает сориентироваться в выявлении основных величин, влияющих на время опорожнения посевного ящика.

Таким образом, использование в процессе обучения математике задач с практическим содержанием полезно для подготовки учащихся к решению задач, непосредственно выдвигаемых практикой, но далеко не в полной мере решает проблемы такой подготовки. Приведем еще примеры задач.

1.   У ручья две пары мальчишек пускают по воде кораблики, а ещё четверо на самокатах пытаются кораблики обогнать. Сколько всего ребят играют у ручья?

Решение:

1) 2·2 = 4 (мал.)

2) 4 + 4 = 8 (мал.)

Ответ: 8 ребят играют у ручья.

2.   Девочки плетут из жёлтых одуванчиков венки и пускают их по воде. Вика и Лера сплели каждая по 2 венка, а Оля сплела целых 4. Сколько всего венков сплели девочки?

Решение:

1) 2·2 = 4 (вен.)

) 4 + 4 = 8 (вен.)

Ответ: 8 венков сплели девочки.

3.   Весной бабушкины куры хорошо несут яйца. 3 рыжие курицы снесли по 2 яйца каждая, и одно яйцо снесла чёрная курица. Сколько всего яиц снесли бабушкины куры?

Решение:

1) 3·2 = 6 (яиц)

) 6 + 1 = 7 (яиц)

Ответ: 7 яиц снесли бабушкины куры.

4.   В парке у большого фонтана катается 4 пары детей на роликовых коньках и 5 велосипедистов. Сколько всего детей катается в парке у фонтана?

Решение:

1) 4·2 = 8 (дет.)

) 8 + 5 = 13 (дет.)

Ответ: 13 детей катается в парке у фонтана.

5.  Для праздника птиц 7 мальчишек смастерили по 2 скворечника, а Иван сделал целых 4 скворечника. Сколько всего скворечников сделали мальчики?

Решение:

1) 7·2 = 14 (скв.)

) 14 + 4 = 18 (скв.)

Ответ: 18 скворечников сделали мальчики.

6.  Чтобы купить новый футбольный мяч, 9 мальчиков сдали по 2 рубля, а Игорь вложил в покупку 10 рублей. Сколько всего денег собрали ребята на новый футбольный мяч?

1) 9·2 = 18 (руб.)

) 18 + 10 = 28 (руб.)

Ответ: 28 собрали ребята на новый футбольный мяч.

7.   Мама покупала всю неделю по два пучка черемши в день, а в воскресенье купила 5 пучков. Сколько всего пучков черемши купила мама за 7 дней?

Решение:

1) 6·2 = 12 (пуч.)

) 12 + 5 = 17 (пуч.)

Ответ: 17 пучков черемши купила мама за 7 дней.

Вместе с тем усиление прикладной и практической направленности преподавания математики непосредственно связано с формированием у учащихся представления о математизации науки и производства, об особенностях применения математики к решению практических задач. В связи с этим выявим сущность практических задач и пути методического обеспечения подготовки учащихся к их решению.

а) Условимся называть задачи, возникающие в производственной деятельности, в разных отраслях знаний, в окружающей действительности, практическими (производственными) задачами.

Эти задачи не являются математическими, но многие из них могут быть решены средствами математики. Для этой цели необходимы четкое представление о практической ситуации, в которой ставится задача, поиск возможности перевода ее на язык математической задачи и применения математических методов для ее решения.

Этот поиск непосредственно связан с выяснением величин, определяющих изучаемое явление или производственный процесс, с обнаружением связей между величинами, установлением существенных и несущественных факторов, влияющих на процесс (явление), с нахождением, используя справочную литературу, числовых значений нужных величин. Мы дали далеко не полный перечень действий, связанных с поиском возможностей применения аппарата и методов математики для решения практических задач. На деле этот процесс сложнее, требует значительных знаний в рассматриваемой практической проблеме и достаточной математической культуры.

Приведем несколько примеров практических (производственных) задач.

-    Определите сменную производительность тракторного агрегата при вспашке.

-   Определите перспективную урожайность пшеницы в совхозе (колхозе), районе.

-     Установите оптимальное сочетание выращиваемых в совхозе сельскохозяйственных культур, обеспечивающее получение максимальной продукции в кормовых единицах.

Все эти различные по содержанию производственные задачи могут быть решены методами математики. Эти методы существенно отличаются друг от друга по содержанию, по сложности используемого математического аппарата. Решение многих производственных задач требует математических знаний, выходящих за пределы возможностей учащихся средней школы. Решение других невозможно без серьезных производственных знаний, которыми школьники не всегда владеют. Таким образом, в большинстве случаев решение практических задач непосильно ученикам из-за недостаточности их специальной и математической подготовки.

Однако жизнь настойчиво требует постепенного введения учащихся в мир практических задач, создания у них представления об этих задачах, выработки умения решать простейшие из них. Это нелегкая педагогическая проблема. Она нуждается в должном методическом обеспечении.

Решение практических задач средствами математики ведется по известной трехэтапной схеме, сущность которой состоит в следующем.

На первом этапе - этапе формализации - осуществляется переход от практической задачи, которую предстоит решить, к построению ее математической модели;

На втором этапе решается математическая задача, сформулированная на первом этапе;

На третьем этапе - этапе интерпретации - полученное решение математической задачи переводится на язык исходной практической задачи.

Весь процесс обучения математике в школе включает ознакомление школьников с готовыми математическими моделями. Эти модели принимают различные формы. С простейшими видами математических моделей ученики знакомятся при решении задач в младших классах, задач на составление уравнений в средних классах.

Таким образом, изучая школьный курс, ученики в известной степени (в рамках школьной программы) знакомятся со вторым этапом решения практических задач. Работа на первом этапе происходит, например, при необходимости составить уравнение, неравенство или их систему по условию конкретной идеализированной математической задачи. Но как раз те трудности, с которыми сталкиваются при математическом моделировании практических задач, в традиционном обучении математике ускользают из поля зрения учителя и ученика.

Математическое моделирование настолько широко применяется для изучения реального мира, что создание у учащихся представления о его сущности, подведение их к овладению каждым из этапов должно стать предметом постоянных забот учителя математики.

Математическое моделирование осуществляется по приведенной выше трехэтапной схеме.

Наиболее ответственным и сложным является первый этап - самопостроение математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения описать явление (процесс) на языке математики. В идеале имеет место стремление построить математическую модель, адекватную исходному прототипу. На деле адекватность не достигается, так как не представляется возможным учесть и выразить на языке математики все факторы, влияющие на изучаемое явление.

Именно поэтому математическая модель лишь приближенно его отражает и результаты моделирования тем достовернее, чем меньше погрешность, допущенная при составлении модели. Реализация первого этапа требует многих умений, в числе которых весьма важны умение выделять существенные факторы, определяющие исследуемое явление (процесс), умение указать те факторы, которые вызывают погрешность при составлении модели, умение выбрать математически и аппарат для составления модели.

Существенным на втором этапе является умелое планирование процесса решения сформулированной математической задачи, выделение в нем составляющих задачи, умение анализировать и уточнять составленную модель, переходить от одной модели к другой и выбирать в каждом конкретном случае наиболее целесообразное и вместе с тем оптимальное решение задачи.

Важную роль играет умение дать качественную оценку количественных результатов, полученных при использовании исходной информации, выявить источники погрешностей, допускаемых при решении математической задачи и оценивать их.

На третьем этапе главное - умение грамотно перевести результат решения математической задачи на язык исходной задачи.

Важное значение на этом этапе имеет владение методами проверки решения практической задачи, умение распространить найденное решение на решение других практических задач, оценить итоговую степень точности полученных результатов и выяснить ее влияние на корректность решения задачи.

Мы остановились лишь на некоторых умениях, имеющих существенное значение на каждом этапе математического моделирования. Хорошо понимая, что эти умения затруднительно в полной мере сформировать у учащихся, полагаем, что имеются возможности в школе заложить основу таких умений.

Создание первоначальных представлений. Подготовку учащихся к математическому моделированию практических задач следует вести во всех классах, используя для этого уроки и различные формы внеклассной работы по математике, в связи с решением задач, выполнением практических и лабораторных работ.

На первых порах в нецелесообразно знакомить учащихся с трехэтапной схемой математического моделирования практических задач. Здесь следует ориентировать учащихся на выделение существенных факторов, определяющих изучаемое явление, на правильный выбор математического аппарата для решения поставленной проблемы, на верное истолкование полученного решения. Работу можно начать в связи с выполнением практических работ на достаточно ранней ступени обучения.

Школьникам может быть предложена практическая работа по данной теме. Им раздаются модели плоских фигур, имеющих форму прямоугольников, и поручается вычислить площади этих фигур.

Выполнение работы целесообразно осуществить следующим образом. Осмотрев модель фигуры, ученики распознают ее форму. Выяснив, что модель имеет форму прямоугольника, школьники вспоминают, значения каких величин надо знать для вычисления его площади. Выполнив необходимые измерения (пусть обнаружилось, что длина равна 7 см, а ширина - 4 см), учащиеся формулируют для себя задачу: «Вычислить площадь прямоугольника, длина которого 7 см, а ширина - 4 см».

Решив задачу, ученики выясняют, что площадь прямоугольника равна 28 см2. Переведя полученный результат на язык исходного задания, школьники дают ответ в виде: «Площадь фигуры составляет 28 см2». Частое повторение аналогичных элементарных заданий играет нужную пропедевтическую роль. Условия для такого повторения имеются и в последующих классах: практические работы могут быть предложены ученикам при изучении многих вопросов школьного курса математики.

Содержание подготовительной работы не может оставаться неизменным. Оно должно постепенно пополняться новыми элементами, обогащающими представления учеников о математическом моделировании. Эти новые элементы естественно включать в связи с рассмотрением соответствующего программного материала по математике. Умение переходить от одной математической модели к другой удобно реализовать, например, в связи с выполнением измерительных работ на местности, внимание к которым неоправданно ослаблено в школе. Разговор о погрешностях, допускаемых при составлении модели, естественно акцентировать в связи с изучением приближенных вычислений [29].

Развитие первоначальных представлений. Широкие возможности для пропедевтики математического моделирования практических задач предоставляются в связи с решением задач школьного курса математики. Начать эту работу можно уже в четвертом классе решением задач прикладного характера с недостающими данными. Учитывая, что значения недостающих данных чаще всего можно найти из таблиц.

При обучении решению задач в начальной школе необходимо организовать учебную деятельность учащихся с использованием специальных обучающих заданий, для выполнения которых требуется применить определённые методические приёмы.

Обучающие задания нацеливают учащихся на проведение различных видов деятельности, формируя тем самым умение действовать в соответствии с поставленной целью. При этом следует использовать методические приёмы, которые побуждают детей анализировать объекты с тем, чтобы:

–  выделить их существенные и несущественные признаки;

–  выявить их сходство и различие; провести сравнение и классификацию по заданным или самостоятельно выделенным признакам (основаниям);

–  установить причинно-следственные связи;

–   построить рассуждения в форме простых и составных суждений об объекте, его структуре, свойствах;

–  обобщить, т.е. осуществить генерализацию для целого ряда единичных объектов на основе выделения сущностной связи.

Опишем методические приёмы, которые можно использовать в процессе обучения решению задач с практическим содержанием в начальной школе.

1.    Эвристический методический прием заключается в том, что дети находят истину через опыты, известные факты и с помощью анализа.

Приведем примеры используемых для этого заданий.

Задача 1. Перед тобой находится кастрюля и стакан. Найди вместимость кастрюли, если известно, что вместимость стакана равен 250 мл. Ответ дай в литрах.

Задача 2. Найди площадь поверхности своей парты с помощью квадрата, стороны которого равны 250 мм. Ответ дай в см2.

Таким образом, дети с помощью полученных знаний о мерах длины, объема и т.д. переводят величины из исходных - в заданные. А после, в ходе своей практической деятельности, ищут ответ на поставленный вопрос.

2.  Методический приём сравнения используется для приобретения опыта математического анализа текстов учебных заданий. Сравнение - важный способ перехода от созерцания к абстрактному мышлению. В процессе формирования понятия и обобщённых способов действий этот переход осуществляется путём установления соотношений между предметными, вербальными, графическими и символическими моделями. Приём сравнения лежит в основе обобщения и систематизации знаний; установления более глубоких связей ранее изученного материала с новым; поиска общих признаков при формировании понятий; поиска закономерностей. Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы, ученики переносят на математические объекты. По внешним признакам, доступным для восприятия, учащиеся устанавливают сходство и различие между ними и осмысливают эти признаки с точки зрения различных понятий.

Формирование умения пользоваться этим приёмом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Работу по формированию у учащихся приёма сравнения лучше всего начать с первых уроков математики в начальной школе, а затем продолжить в основной школе, где дети самостоятельно используют этот приём, без указания: «сравни…», «в чём сходство и различие…». Приведём примеры используемых для этого заданий.

Задание 1. Сравни тексты задач в табл. 3. Чем они похожи? Чем различаются?

Сравнивая тексты задач, ученик устанавливает, что в них сюжет один и тот же, числовые данные одни и те же и вопрос сформулирован одинаковый. Различаются тексты условием: в первом случае у Коли на 5 флажков больше, а во втором - на 5 меньше.

Задание 2. Обоснуй смысл действий в каждом из 9 способов решения задачи, используя текст и схему к ней.

Задача. На двух полках 12 книг, на одной на 2 книги больше, чем на другой. Сколько книг на каждой полке?

) 5 + 2 = 7 (кн.)

2  способ

1) 12 - 2 = 10 (кн.)

) 10 : 2 = 5 (кн.)

) 12 - 5 = 7 (кн.)

3  способ

1) 12 + 2 = 14 (кн.)

) 14 : 2 = 7 (кн.)

) 12 - 7 = 5 (кн.)

4  способ

1) 12 + 2 = 14 (кн.)

) 14 : 2 = 7 (кн.)

) 7 - 2 = 5 (кн.)

5  способ

1) 12 : 2 = 6 (кн.)

) 2 : 2 = 1 (кн.)

) 6 - 1 = 5 (кн.)

) 12 - 5 = 7 (кн.)

6  способ

1) 12 : 2 = 6 (кн.)

) 2 : 2 = 1 (кн.)

) 6 - 1 = 5 (кн.)

) 6 + 1 = 7 (кн.)

7  способ

1) 12 : 2 = 6 (кн.)

) 2 : 2 = 1 (кн.)

) 6 - 1 = 5 (кн.)

) 5 + 2 = 7 (кн.)

8  способ

1) 12 : 2 = 6 (кн.)

) 2 : 2 = 1 (кн.)

) 6 + 1 = 7 (кн.)

) 12 - 7= 5 (кн.)

9  способ

1) 12 : 2 = 6 (кн.)

) 2 : 2 = 1 (кн.)

) 6 + 1 = 7 (кн.)

) 7 - 2 = 5 (кн.)

Учащиеся поясняют каждое арифметическое действие. Задание 3. Сопоставь план и способ решения задачи.

а) 1 способ

1)       книги первой полки, взятые 2 раза

2)       книги на первой полке

)         книги на второй полке 2 способ

1)       книги второй полки, взятые 2 раза

2)       книги на второй полке

3)       книги на первой полке б) 1 способ

) 12 + 2 = 14 (кн.)

) 14 : 2 = 7 (кн.)

) 7 - 2 = 5 (кн.)

способ

) 12 + 2 = 14 (кн.)

) 14 : 2 = 7 (кн.)

) 12 - 7 = 5 (кн.)

способ

) 12 - 2 = 10 (кн.)

) 10 : 2 = 5 (кн.)

) 12 - 5 = 7 (кн.)

способ

) 12 - 2 = 10 (кн.)

) 10 : 2 = 5 (кн.)

) 5 + 2 = 7 (кн.)

3.    Методический приём выбора используется для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения, используя для этого математическое содержание задания. Этот приём позволяет осознать сущность формируемых понятий, общих способов действий и содержательную зависимость между ними. Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений, для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Покажем это на примерах.

1)  Выбор ответа к данной задаче.

Задача. 8 кг муки разложили поровну в 4 пакета. Сколько граммов муки в каждом пакете?

Выбери и подчеркни верный ответ. 1) 2000 г

) 200 г

Использование данного приема стимулирует учащихся к анализу текста, к установлению зависимости между данными и искомым, переводу одних единиц измерения в другие. Решив задачу, ученик подчёркивает верный ответ. Подобные задачи помогают готовиться к итоговому тестированию.

2)  Выбор решения задачи.

Задача. На велогонках стартовали 70 спортсменов. На первом этапе с трассы сошли 4 велосипедиста, на втором - 6. Сколько спортсменов пришли к финишу?

Выбери выражение, которое является решением задачи:

В данном случае приём выбора помогает учащимся обосновывать каждое выражение с использованием условия и вопроса задачи, тем самым способствует развитию умения анализировать, понимать условие задачи, соотносить текст с решением.

3)  Выбор данных к условию задачи из её решения.

Задача. Лесник посадил … дубков, а елей - на … … . Сколько всего деревьев посадил лесник?

Вставь пропущенные в тексте числа и слова, используя решение задачи: 1) 30 + 12 = 42 (д.)

) 42 + 30 = 72 (д.)

Здесь приём выбора способствует не только усвоению структуры задач, но ставит учащихся перед необходимостью анализировать связи между решением и условием, формирует умение устанавливать нужную связь, позволяющую правильно выбрать числа для условия задачи.

4)  Выбор схемы к задаче.

Задача. В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 в клетку, остальные в линейку.

Сколько тетрадей в линейку лежит в портфеле?

Выбери схему, которая поможет решить задачу.

В процессе выбора схемы, соответствующей тексту задачи, ученик анализирует каждую из них, соотносит числовые данные со схемой. У учащихся в процессе выполнения этого задания формируется умение переводить словесную (текстовую) модель в схематическую.

Рис. 5. Схема задачи

5)  Выбор вопроса, соответствующего условию.

Задача. В одной коробке 10 карандашей, а в другой - на 3 карандаша больше. деятельностный компетенция учебный математический

Выбери вопрос, который можно поставить к данному условию, чтобы получилась задача.

1)  Сколько карандашей в первой коробке?

2)       Сколько карандашей во второй коробке?

)         На сколько карандашей в первой коробке меньше, чем во второй?

)         Сколько карандашей в двух коробках?

Использование приёма выбора стимулирует учащихся к анализу текста, высказыванию суждений, их обоснованию. Например, прочитав первый вопрос, учащиеся отмечают, что в нём спрашивается о том, что из условия задачи известно, - значит, этот вопрос не подходит. Рассматривая четвёртый вопрос, ученики делают вывод, что в вопросе спрашивается о том, что неизвестно. Неизвестное можно найти, пользуясь данными числами; значит, этот вопрос можно поставить к данному условию. Таким образом, учащиеся не только усваивают структуру задачи, но встают перед необходимостью анализировать связи между данными и искомым, вырабатывают умение устанавливать нужную связь, позволяющую ответить на вопрос задачи.

) Выбор выражения, которое является решением задачи.

Задача. На первой полке было 9 книг, на второй - 8 книг, 7 книг взяли.

Сколько книг осталось на двух полках?

Учащиеся анализируют каждое выражение, обосновывают, какие из них имеют смысл, доказывают выбор правильного выражения и называют его: (9 +- 7. Рассуждая, дети говорят, что если книги взяли только с первой полки, то решением будет выражение (9 - 7) + 8. Аналогично рассуждая, они объясняют выбор третьего выражения для решения задачи.

4.    Методический приём преобразования лежит в основе осознания причинно-следственных связей между изучаемыми понятиями и обобщёнными способами действий, способствует формированию умения выполнять различные видоизменения числового и буквенного материала. Действия учеников в ходе выполнения соответствующих заданий направляются, в основном, указанием: «измени …», «представь …», «замени …» и др.

Приведём примеры заданий.

Задача. В одной коробке 20 конфет, а в другой на 3 конфеты меньше.

Сколько конфет в двух коробках?

Измени вопрос так, чтобы задача решалась в одно действие.

2)   Приём преобразования отношений в соответствии с математической записью.

Подумай, что можно изменить в тексте задачи, чтобы выражение 19 - 6 было её решением.

Задача. В коллекции у Серёжи 19 жуков, а пауков на 6 больше. Сколько жуков и пауков в коллекции у Серёжи?

В процессе анализа учащиеся при ходят к выводу, что задача решается в два действия. Им необходимо изменить условие и вопрос таким образом, чтобы задача решалась в одно действие. Для этого следует внести изменения в условие задачи и сформулировать вопрос.

3)  Преобразование решённой задачи.

Измени вопрос задачи, используя её решение.

Задача. Два парохода отошли одновременно от двух пристаней и идут навстречу друг другу. Встретились они через 2 часа. Один пароход шёл со скоростью 20 км в час, другой - 30 км в час. Найди расстояние между пристанями.

Решение:

) 20 + 30 = 50 (км)

) 50 . 2 = 100 (км)

При составлении задачи необходимо обратить внимание учащихся на то, что неверно включать в условие результаты промежуточных действий. В условие задачи необходимо включить её ответ, т.е. результат последнего действия. Поэтому может быть составлена следующая задача:

Два парохода вышли одновременно навстречу друг другу от двух пристаней и встретились через 2 часа. Расстояние между пристанями 100 км. Один пароход шёл со скоростью 20 км в час. Определи скорость второго парохода.

Эту задачу желательно решить двумя способами. После решения полезно сравнить условия обеих задач, а также способы их решения, обсудить, какие числа входят в условия обеих задач [29].

5.   Методический приём конструирования способствует формированию умения самостоятельно устанавливать соответствия между предметными, графическими и символическими моделями, преобразовывать их в математические; переносить усвоенные знания, умение и навыки на область новых знаний. Конструирование заданий включает учащихся в поисковую деятельность и тем самым создает условия для развития их мышления.

Это помогает школьникам структурировать данные (ситуацию, проблему и т.п.), выяснять математические отношения, создавать математическую модель ситуации, анализировать и преобразовывать её, что обеспечивает условия для формирования математической компетентности учащегося, которая даёт возможность адекватного применения математики для решения возникающих в повседневной жизни проблем.

Действия учеников в ходе выполнения подобных заданий направляются в основном указанием «поставь …», «составь …», «подумай …», «подбери …» и др.

Приведём примеры заданий.

1)  Поиск и выделение необходимой информации.

Задача. У Коли 9 конфет, а у Пети - 6. Закончи рисунок, если каждая конфета обозначена кругом.

Закрась красным цветом столько конфет у Коли, сколько их было у Пети.

2)  Составление вопроса задачи.

Придумай вопросы к задачам, чтобы они решались:

–  одним действием;

–        двумя действиями.

Задача. У Миши 13 белых голубей, а серых - на 9 меньше.

3)  Дополнение условия задачи.

Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Задача. В гараже было 36 машин. Сколько машин осталось? Данные, которыми можно дополнить условие задачи.

а) Утром приехало 9 машин, а вечером уехала 21 машина. б) Уехало на 12 машин больше, чем было.

в) Уехало сначала 9 машин, а потом 21 машина.

Дети учатся доказывать свою точку зрения, мыслить и рассуждать при анализе условия задачи. В данном случае они приходят к мнению, что из предложенных данных можно дополнить условие пунктами а) и в), пункт б) не удовлетворяет условию и вопросу задачи, так как не могло уехать больше машин, чем было в гараже [35].

Итак, мы постарались доказать, что в процессе обучения решению задач с практическим содержанием в начальной школе необходимо использовать специальные задания, включающие сочетания различных методических приёмов.

Существует много причин неудовлетворительного решения учащимися задач с практическим содержанием. Хотя в учебниках по математике имеются образцы решения задач и некоторые указания к решению, эти разъяснения не дают ученику достаточно прочной основы к овладению решением задач.

Разрозненные указания учителей, как правило, учащимися не записываются и не систематизируются. Поэтому все эти указания, рассчитанные только на память, быстро забываются учениками и решение каждой новой задачи они начинают как бы «без руля и без ветрил».

Учителя мало внимания уделяют конструированию составных задач из основных, а также анализу задач. В школьных учебниках мало внимания уделяется системе конструктивных упражнений по составлению задач.

К причинам неудовлетворительного решения задач также следует отнести слабые навыки учащихся в схематической и символической записи условия, способствующей анализу и синтезу задачи, более яркому выражению зависимостей между величинами, входящими в задачу.

Многие учащиеся слабо представляют себе функциональную зависимость между величинами, входящими в задачу, не умеют выражать эту зависимость в символах и потому плохо переводят словесные тексты на абстрактный язык математики.

Некоторые учащиеся не понимают, что значит решить задачу и потому дают неполное решение задачи, пишут в ответ число, не являющееся решением задачи.

Цели решения задачи в школе состоят не только в том, чтобы получить наиболее рационально, важно научить учащихся вести маленькие исследования, постепенно их усложняя. Для расчетов, ответ является концом работы, для целей обучения получение ответа не может считаться завершением решения задачи. Получение ответа является началом исследования [17].

Отметим то, что в основном задачники были изданы еще 10-20 лет назад, и, к примеру, задачи с экономическим содержанием того времени уже не актуальны на сегодняшний момент, в связи с прошедшими политическими и экономическими изменениями в нашем государстве. Поэтому при использовании всевозможных задачников необходимо критично подходить к выбору материала, используемого на уроке.

2.2 Формирование деятельностных компетенций на уроках математики в начальной школе

Любому человеку, вступающему в самостоятельную жизнь в условиях современного рынка и быстро изменяющегося информационного пространства, необходимо быть эффективным, конкурентоспособным работником. Он должен быть творческим, самостоятельным, ответственным, коммуникабельным человеком, способным решать проблемы личные и коллективные. Ему должна быть присуща потребность к познанию нового, умение находить и отбирать нужную информацию. Все эти качества можно успешно формировать, используя компетентностный подход в обучении математике, что является одним из личностных и социальных смыслов образования.

В новых федеральных государственных стандартах (ФГОС) используется следующее определение деятельностных компетенций.

Деятельностными компетенциями называют способность успешно действовать на основе практического опыта, умений и знаний при решении задачи, общей для многих видов непрофессиональной и профессиональной деятельности.

Учащиеся должны обладать общими компетенциями, включающими способность:

Первая деятельностная компетенция. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

Вторая деятельностная компетенция. Организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных руководителем.

Третья деятельностная компетенция. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы.

Четвертая деятельностная компетенция. Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач.

Пятая деятельностная компетенция. Использовать информационно- коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Шестая деятельностная компетенция. Работать в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, клиентами.

Рассмотрим формирование общих компетенций на уроках математики в начальных классах.

Первая деятельностная компетенция. Способность понимать сущность и социальную значимость будущих профессий, проявлять к ним устойчивый интерес должна формироваться на каждом уроке. Конкретные задачи, связанные с будущими профессиями, мобилизуют обучающихся на их решение. Правильность выполнения таких задач повышает их самооценку.

При решении задач практического содержания формируется второй уровень активности - активность интерпретации. Абстрактные математические формулы превращаются в конкретную жизненную ситуацию.

Вторая деятельностная компетенция. Способность организовывать собственную деятельность, исходя из цели и способов ее достижения, определенных учителем, формируется, в основном, при домашней подготовке какого-либо сообщения, реферата, презентации к ним, создании моделей многогранников и т.д. Это относится к творческой форме домашней работы. При подготовке таких работ формируется третий уровень активности - творческий. Сюда же можно отнести участие в конкурсах, олимпиадах.

Третья деятельностная компетенция. Способность обучающегося анализировать рабочую ситуацию, осуществлять текущий и итоговый контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, нести ответственность за результаты своей работы должна формироваться также на каждом уроке. В рамках этой компетенции определяются требования соответствующей функциональной грамотности:

-  умение отличать факты от домыслов,

-  владение измерительными навыками,

-     использование вероятностных, статистических и иных методов познания.

Реализация данной компетенции перекликается с такими технологиями, как развивающее обучение, проблемное обучение. Момент совместного целеполагания присутствует практически на каждом уроке. При изучении новой темы ученики, под руководством учителя, сами формулируют тему, ставят цели и задачи изучения темы, составляют план, определяют еѐ практическую значимость. В процессе решения учебной задачи или проблемы выдвигают гипотезы, оценивают начальные данные и предполагаемый результат, учатся давать самооценку своей деятельности.

Применяя такую форму организации занятия, как деловая игра, учащиеся пытаются анализировать ту ситуацию, в которой они находятся. И если им поручена роль, то они отвечают за свою деятельность, оценивают себя и корректирует свои ошибки. Так, при проведении учебного занятия по теме

«Прямоугольный параллелепипед», часть урока посвящалась разыгрыванию ролей, связанному с производством, т.е. применялся метод игрового производственного проектирования.

Четвертая деятельностная компетенция. Способность осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, формируется постоянно. Это и работа с учебником, и с любой другой учебной литературой: справочники, энциклопедии, словари; работа с Интернет- ресурсами. В ходе изучения математики, у учащихся возникает потребность в получении новой информации и ее первичной обработке. Использование компьютера на уроках вызывает интерес и оживление учащихся. Поэтому, применяя компьютерные презентации, обучающие диски по математике, занятие проходит намного эффективнее. Также на уроках используется информация, полученная из других учебных предметов (физика, химия, черчение, информатика и др.).

Использование дидактических средств (тесты, терминологические кроссворды и др.) повышают активность обучения. С их помощью запоминается больший объем математической информации.

Пятая деятельностная компетенция. Способность использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности в настоящее время стало необходимостью. Умение работать с компьютером, применять различное программное обеспечение, является хорошим показателем для достижения успехов не только в математике. Почти у каждого учащегося есть дома компьютер. Выполняя домашнее задание, он может воспользоваться Интернет-ресурсами как дома, так и в школе (в кабинете информатики). На компьютерах показывается работа, выполненная учащимися (презентации, графики, тексты сообщений, рисунки и другое). Сильным учащимся дается задание в виде ЕГЭ, слабым-задание изобразить фигуры, записать формулы, напечатать теорему, свойства и др. Также на уроках математики используются разнообразные творческие проектные задания, интерактивные формы работы: тесты в системе online, электронные учебники, презентации.

Шестая деятельностная компетенция. Способность работать в команде, эффективно общаться с одноклассниками, учителями, друзьями - формируется не только при групповой или парной форме обучения. Работая в группах, дети берут ответственность на себя (становятся лидерами в группе), принимают решение. На уроках математики они учатся общаться друг с другом (работа в группах), с педагогом. Они могут более уверенно овладеть монологической и диалогической речью, могут вступать в речевое общение, участвовать в диалоге (понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение), приводить примеры, подбирать аргументы, перефразировать мысль, формулировать выводы. Учащиеся учатся развернуто обосновывать суждения, давать определения, приводить доказательства, объяснять изученные положения на самостоятельно подобранных примерах, владеть видами публичных выступлений (сообщений). Так в ходе подготовки и проведения внеурочного занятия - математического КВНа - обучающиеся активно сочиняли стишки и декламировали их, произносили монологическую и диалогическую речь. На данном занятии применялся и такой вид активного метода обучения, как мозговой штурм (блиц - турнир), на котором проверялись полученные знания не только этого года обучения, но и предыдущих лет. Также был применен метод анализа конкретных ситуаций при подготовке этого занятия.

Учебный курс математики может быть реализован с применением деятельностно-компетентностного подхода и при такой реализации учащиеся, формируя в себе деятельностные компетенции, будут иметь ясные представления о целях и мотивах своей учебной деятельности, будут планировать свою учебную деятельность и оценивать ее последствия; нести ответственность за правильность выбора. Возможность взглянуть на себя «изнутри» и «извне», сравнить себя с другими учащимися, оценить свои поступки и поведение, научиться принимать себя и других как отдельную личность.

2.3 Экспериментальная работа по использованию математических задач с практическим содержанием с целью формирования деятельностных компетенций

По мнению А.В. Хуторского, предложенные деятельностные компетенции реализуются на обще-предметном и предметном уровнях [51]. Вследствие этого в практической части нашего исследования перед нами стояла задача - реализовать все допустимые из предложенных компетенций на предметном уровне. В данном случае, на уровне уроков математики. Данному вопросу и будет посвящён этот раздел нашего исследования.

Для начала мы провели первичный эксперимент. Дали ученикам 4 класса следующие задачи:

1.       От дома до школы Мише надо пройти 600 метров. Успеет ли он на урок, если урок начинается в 8:30, а сейчас 8:26?

2.       Известно, что вместимость кастрюли 3 литра, а вместимость стакана - 200 мл. Сколько формочек войдет в кастрюлю, если известно, что вместимость стакана равна вместимости трех формочек?

.         Измерь площадь классной доски с помощью квадратов, если известно, что площадь 1 квадрата равна 100 см2.

В ходе этого эксперимента выяснилось, что ученикам сложно решить такие задачи, так как это требует дополнительных знаний. Самостоятельно они это не решили, пришлось им помогать. То есть у детей не заложены знания, как с помощью практики легко решить подобные задачи.

Далее мы продолжили свое исследование в реализации всех допустимых компетенций на уроках математики.

Ценностно-смысловая компетенция. На наш взгляд, лучше всего для реализации данной компетенции подходит проведение предметной олимпиады, которая включает в себя нестандартные задания, требующие применения учеником именно предметной логики, а не материала из школьного курса.

Мы провели в четвертом классе школы подобную олимпиаду. Так как для детей данная олимпиада была первой, мы включили в неё не только задания на проверку математической логики, но и задания, имеющие усложнённый характер.

Задача 2.

Ваня живет в 12-этажном доме на 9 этаже, если считать сверху. На каком этаже живет Ваня?

Задача 3.

Отцу и сыну вместе 40 лет. Сколько будет им вместе через три года?» Задача 4.

В коробке лежат 15 шариков: черных, белых и красных. Красных шариков в 7 раз больше, чем белых. Сколько в коробке черных шариков?

Задача 5.

Каждому из 4 своих внуков дедушка налил по 2 стакана берёзового сока, а своей дочери (маме этих ребят) - 3 стакана. Сколько всего стаканов берёзового сока налил дедушка дочери и внукам?

Рассмотрим одну из предложенных детям задачу: «Отцу и сыну вместе 40 лет. Сколько будет им вместе через три года?»

В этой задаче неизвестно, чему равны слагаемые: возраст отца и возраст сына. Однако, известна их сумма - 40 лет. Неизвестно и то, сколько будет лет каждому из них через 3 года. Но известно, что каждое слагаемое увеличится на 3, а значит, сумма увеличится на 3 + 3 = 6. Значит, она станет равной 40 + 6 =46.

Одиннадцать учеников из 26 нашли верный ответ, но только трое учеников смогли правильно составить краткую запись - наглядное изображение задачи, то есть именно у этих учеников развито математическое мышление, они смогли интерпретировать текст задачи схематически.

Значит, склонность учеников к тому или иному предмету не может быть выявлена по результатам контрольных проверок знаний (как это делалось ранее), одним из приёмов её выявления является проведение олимпиады.

Общекультурная компетенция. С первого взгляда, достаточно трудно реализовать данную компетенцию на уроках математики. Тем не менее, возможно использование задач со скрытой информативной частью.

Пример 1.Ученики младших классов каждый год ходят в музей. В этом году на экскурсию пришли 16 девочек, а мальчиков - на 8 больше. Сколько всего детей пришло в музей?

Пример 2. В археологической экспедиции участвовало 8 мужчин и 5 женщин. Сколько всего человек приняло участие в экспедиции?

Пример 3. В одном выставочном зале 12 картин, а во втором - 9.

Сколько всего картин в двух залах?

Следовательно, работая над данными задачами, дети невольно усваивает общепринятые культурные нормы.

Задачи со скрытой, неявной информативной частью не сложны в работе и данный прием вполне применим в школе. Важно только при подведении итогов урока акцентировать внимание учеников не только на математических составляющих урока, но и на общекультурных.

Учебно-познавательная компетенция.

Реализация данной компетенции не вызывает особых трудностей, так как для её становления существуют различные практические приемы организации работы учеников.

Также одним из способов реализации данной компетенции является проведение проверочных работ в форме теста. Целесообразность данной работы с точки зрения компетентностного подхода заключается в том, что в ходе работы ученики приобретают общеучебные умения и навыки. Причем именно умение решать тесты для детей будет очень полезным в будущем, т.к. им предстоит сдавать единый государственный экзамен в форме теста.

Мы провели тест начального уровня в четвертом классе школы, содержащий задачи с практическим содержанием.

Тест.

1. Обведи правильный ответ. Для праздника птиц 7 мальчишек смастерили по 2 скворечника, а Иван сделал целых 4 скворечника. Сколько всего скворечников сделали мальчики?

- 6,

18,

11,

13.

2. Обведи правильный ответ. Мама, папа и дочка нашли в лесопарке по 2 сморчка, а сын нашёл 6 сморчков. Сколько всего сморчков нашла в лесопарке семья?

- 6,

10,

8,

4.

3. Обведи правильный ответ. В аквариуме жило 40 рыбок. Гуппи было 15 штук, скалярий - 6, а остальные были вуалехвосты. Сколько вуалехвостов жило в аквариуме?

- 21,

19,

34,

25.

4.  Обведи правильный ответ. Пингвин в погоне за рыбой плывёт со скоростью 30 км/ч. Когда же он удирает от морского леопарда, его скорость увеличивается на 20 км/ч. Какой становится скорость пингвина?

- 10,

50,

30,

20.

5. Обведи правильный ответ. Дети нашли 43 гриба. Из них 8 засушили, а остальные пожарили. Сколько грибов пожарили?

- 52,

35,

45,

17.

6.      Обведи правильный ответ. На карусели каталось несколько детей.

Когда сошло 18 ребят, осталось кататься 20. Сколько детей каталось на карусели?

- 28,

2,

38,

8.

7.    Обведи правильный ответ. На катке 56 детей. Из них 28 мальчиков. Сколько девочек на катке?

- 84,

32,

28,

28.

8.    Обведи правильный ответ. Девочки плетут из жёлтых одуванчиков венки и пускают их по воде. Вика и Лера сплели каждая по 2 венка, а Оля сплела целых 4. Сколько всего венков сплели девочки?

- 6,

8,

10,

2.

9.    Обведи правильный ответ. На двух клумбах посадили 60 роз: 45 - на большой, а остальные - на маленькой. Сколько роз на маленькой клумбе?

- 105,

35,

15,

25.

10.    Обведи правильный ответ. С крыш 2 домов свисает 45 сосулек. На первом доме - 24 сосульки, а остальные - на втором. Сколько сосулек на втором доме?

- 26,

69,

21,

61.

Мы обнаружили, что шесть учеников выполнили задание верно, но при этом не указали верный ответ.

Ученики, не обращая внимание на условие теста, вписывают правильный ответ в текст задания.

Решение тестов на уроках позволяет выявить слабые места в оформлении заданий. Важным является то, что чем раньше мы начнём устранять ошибку, тем проще ученику будет перестроиться под новые требования.

Учебно-познавательная компетенция реализуется в современной начальной школе, она имеет практическую направленность, однако не следует забывать о значимости данного направления в будущей жизни ребёнка.

Информационная компетенция может быть реализована не ранее, чем в 3-

классах, так как она подразумевает использование ребёнком различных информационных ресурсов, что довольно-таки трудно для учеников 1-2 классов.

Коммуникативная компетенция не является новой в школьной системе обучения, так как её реализация подразумевает использование различных коллективных (коммуникативных) приёмов работы (таких, как дискуссия, групповая работа, парная работа и др.). Данные приёмы активно используются в современной начальной школе и им посвящено множество исследований.

Главным при реализации данной компетенции является соблюдение принципа полезности проводимой работы.

Социально-трудовая компетенция. На наш взгляд, данная компетенция может быть реализована следующим образом.

В четвертом классе школы мы провели несколько уроков с использованием различных задач практического содержания на тему труда. Затем детям была предложена контрольная работа с такими задачами, в результате которой мы получили обратную связь с хорошими результатами.

В депо стояло 15 трамваев. Сколько исправных трамваев выехало на линию, если 6 неисправных трамваев осталось в депо?

Задача 2.

Мама нашла 16 белых грибов, а папа - 12 груздей. На сколько меньше грибов нашёл папа, чем мама?

Задача 3.

От куска ткани длиной 24 м отрезали сначала 6 м, а потом ещё 4 м.

Сколько всего метров ткани отрезали?

Задача 4.

Мама с бабушкой сажали в огороде овощи. Мама посадила 10 грядок, а бабушка - на 4 грядки больше. Сколько всего они посади грядок?

Задача 5.

Первый изготовил 25 деталей, второй на 5 больше, а третий на 10 меньше.

Сколько деталей изготовили вместе трое рабочих?

Папа нашел 15 белых грибов, а мама - 11 груздей. На сколько больше грибов нашёл папа, чем мама?

Задача 2.

В поле утром выехало 13 тракторов, к обеду 4 сломались. Сколько тракторов осталось работать?

Задача 3.

В первой клумбе посадили 15 цветов, во второй 13, а в третей 16. Сколько всего посадили цветов?

Задача 4.

Рабочие изготовили 64 детали, первый изготовил 25 деталей, второй - на 5 больше. Сколько деталей изготовил третий рабочий?

Задача 5.

На заводе изготавливают 26 видов кастрюль, из них 7 видов без рисунка.

На сколько видов кастрюль с рисунком больше чем без рисунка?

Таким образом, мы развивали у детей способность применения умения вычислять в различных (в том числе нестандартных) ситуациях. То есть, если постоянно проводить работу по усовершенствованию способности решать задачи у детей, то у них не возникнут проблемы такого плана, как вычислить сумму покупок в магазине до того момента, как подойти к кассе, что относится к социально-трудовой сфере.

Для того, чтобы помочь детям окончательно научиться решать задачи с практическим содержанием на уроках математики, мы провели формирующий эксперимент. В нем мы рассматривали решения следующих задач:

1.        Ксюше и Кате родители дали задание вскопать грядки прямоугольной формы, имеющие одинаковые периметры - 48 метров. Длина участка Ксюши равна 20 метрам, а участка Кати - 16 метров. Катя заявила Ксюше, что она закончит работу раньше Ксюши, так как длина ее участка меньше. Ксюша заявила Кате, что они закончат работу одновременно, так как периметр их участков одинаковый. Кто из девочек прав?

2.       Ручка стоит 25 рублей. Может ли Петя заплатить за нее без сдачи восемью монетами по 1 рублю и по 5 рублей?

.         Сколько килограмм кукурузы получит фермер Антон с участка прямоугольной формы, длина которого 800 метров, а ширина 300 метров, если ее урожайность равна 90 центнеров с 1 гектара?

В заключение мы провели контрольный эксперимент. Мы дали ученикам задачи, как и в констатирующем эксперименте, но немного поменяли условие:

1.        От дома до автобусной остановки Даше надо пройти 450 метров. Автобус отправляется в 15:25. Своим подругам Даша сказала, что она вышла из дома в 15:23 и успела на этот автобус, при этом шла она спокойным шагом. Проверь, правду сказала Даша своим подругам или соврала?

2.       Известно, что вместимость ведра равна вместимости 10 кружек, а вместимость одной кружки равна вместимости 50 десертных ложек. Вместимость 1 десертной ложки - 10 мл. Найди вместимость ведра.

3.       Измерь площадь поверхности парты с помощью прямоугольника, если известно, что площадь прямоугольника равна 50 см2, а его ширина - 5 см.

Результат нас порадовал: 22 ученика из 26 смогли решить задачи и обосновать свое решение.

Для закрепления изученного мы разобрали с учениками 4 класса в течение нескольких уроков задачи с практическим содержанием.

Итак, мы предложили свои варианты реализации деятельностных компетенций на уроках математики в начальной школе. Предложенные разработки могут быть модернизированы, изменены или дополнены. Всё зависит от уровня готовности учителя и учеников класса к реализации формирования деятельностных компетенций в своей учебной деятельности.

Важно, чтобы каждый учитель старался ученикам дать максимум. Если есть возможность, то вывести учеников на улицу, чтобы измерить длину шага, время ходьбы ребенка, расстояние между двумя объектами и т.д. Дети быстрее освоят материал, если наравне с теоретическими знаниями они получат и практические.

Вследствие небольшого времени проведения эксперимента, мы не можем быть уверенными, что задачи с практическим содержанием формируют деятельностные компетенции у учеников младших классов. Однако результаты проведенной нами работы дают основание надеяться, что данные задачи способствуют их формированию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Многие учащиеся начальных классов думают, что математика - это таблица умножения и сотни однотипных примеров и задач. Механические манипуляции с числами и клеточками в тетради вырабатывают у детей стойкую и незаслуженную неприязнь к математике.

Но математика - это не только умение пересчитывать предметы и сравнивать числа. Это, главным образом, умение мыслить логически. Это умение нужно повсюду: в биологии и в языкознании, в магазине и в горах, на уроке и на необитаемом острове, - и, собственно поэтому, математика фундаментальна.

Нами были выведены, разработаны и выделены конкретные приёмы реализации на уроке математики всех компетенций, составляющих образовательную компетентность младшего школьника.

Мы выяснили, что для формирования деятельностных компетенций нужно:

1.  Знакомить учащихся через задачи практического характера с новыми фактами и сведениями, которые могут показать учащимся современный уровень науки и перспективы ее движения.

2.       Раскрывать с помощью практических задач научные поиски, результаты открытий, трудности.

.         Показать необходимость различных подходов для объяснения явлений жизни, знаний, приобретаемых личным опытом.

.         Раскрывать перед учащимися практическую силу научных знаний, возможность применения приобретаемых на уроках знаний в жизни человека при решении бытовых и практических вопросов.

Проделанная нами работа доказала, что реализация формирования деятельностных компетенций на уроках математики возможна. Можно с уверенностью говорить, что такая работа проводится в современной начальной школе, что было видно при анализе учебной и научно-методической литературы.

Итогом нашего исследования стала подборка задач с практическим содержанием, которые могут использоваться учителями на уроках математики и которые будут способствовать формированию деятельностных компетенций у младших школьников.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Агаркова Н. В. Нескучная математика. 1 - 4 классы. Занимательная математика. Волгоград: «Учитель», 2007.

2.       Байрамукова П. У. Внеклассная работа по математике: учеб. пособие / П. У. Байрамукова. - 2-е изд., доп. и перераб.; Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2007. - 142 с.

.         Байрамукова П. У. Обучение математике в начальных классах: практические и лабораторные занятия / П. У. Байрамукова, А. М. Джулай.- Ростов н/Д : Феникс, 2007. - 119 с.

4.       Бахтина И. Активные методы обучения. //Математика в школе. - 2008. - №4 - С. 20-21.

.         Беденко М. В. Математика: 2 класс: Сборник текстовых задач. - 2-е изд. - М.: 5 за знания, 2010. - 112 с.

.         Белицкая Н. Г., Орг А. О. Школьные олимпиады. Начальная школа. М.: Айрис - пресс,2008

.         Власова И. Н. Комбинаторно-вероятностные задачи в начальном обучении математике // Начальная школа. 2012. № 1.

8.       Воронина, Л.В. Развитие младших школьников в процессе формирования у них математической культуры /Л.В. Воронина //Начальная школа плюс до и после. - 2014. - №1. - С. 51-57.

.         Воронщиков С.Г. Учебно-познавательная компетентность школьников: опыт системного конструирования. // Завуч. Управление современной школой. - №6. - 2007. С. 81-97.

10.     Гальперин П. Я. Формирование умственных действий: хрестоматия по общей психологии: психология мышления. М. , 2001.

11.     Гашаров Н.Г., Махмутов Х.М. Дивергентные задачи - средство развития творческого мышления младших школьников //Начальная школа. - 2014. - №2. - 29-33.

.         География Тюменского региона. Флора и фауна. Сборник задач по математике для 5-6 классов. Пособие для учителей математики общеобразовательных школ г. Тобольска и Тюменской области. - Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2010. - 140 с.

13.     Демидова Т. Е., Козлова С. А., Рубин А. Г., Тонких А. П. Элементы стохастики в начальной школе // Начальная школа плюс до и после. 2005. № 5.

14.     Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А. Опыт создания компетентностно-ориентированных измерителей для оценки образовательных достижений учащихся по математике // Оценка качества образования - 2008. - №4 - С. 17-23. - №5 - с. 18-24.

.         Дубова М.В. Содержание математической компетентности выпускника начальной школы /М.В. Дубова //Начальная школа плюс до и после. - 2013. - № 9. С. 34 - 39.

16.     Егорова Г.И. Ценностно-смысловая направленность развивающегося педагогического образования: Развитие педагогической науки // Материалы межрегиональной научно-практической конференции. - СПб.: Экспресс, 2011. - С. 50-55.

.         Егорова О.А. Задачи в стихах, // Начальная школа, 2005, № 3 - С. 76.

.         Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Математика. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 1-4 кл. М.: Ассоциация 21 века, 2004.

19.     Калмыкова, З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости / З.И. Калмыкова. - М.: Педагогика, 1981. - 200 с.

.         Карбакова И.Н., Терешина Л.В. Деятельностный метод обучения. Волгоград, 2008.

21. Корощенко Н.А. Математические задачи с региональным содержанием Тюменского края.

22. Копотева Г.Л., Логинова И.М. Проектируем урок, формируем универсальные учебные действия / Г.Л. Копотева, Волгоград: Учитель, 2014. - 99.

23.     Кузнецова Т.И. Методы моделирования дробных чисел в условиях повторительного школьного курса математики / Т.И. Кузнецова //Школьные технологии. - 2013. - № 6. - С. 55-57.

.         Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок, 2005.

.         Кушнир Т.И. Формирование творческой активности учащихся при решении математических задач // Вестник ТГСПА им. Д.И. Менделеева. - 2013. - № 5. - С. 49-57.

26.     Левитас Г. Г. Нестандартные задачи на уроках математики во втором классе. - М.: ИЛЕКСА, 2010, - 52 с.

.         Максимова Т. Н. Олимпиадные задания. 3-4 кл. М.: «ВАКО», 2011.

28.     Мендыгалиева А.К. Методические приемы при обучении решению задач в начальной школе// Начальная школа плюс до и после. - 2013. - №10. - С. 43-47.

.         Нагимова Н.И. Формирование общих и профессиональных компетенций в учреждениях начального и профессионального образования [Текст]: методическое пособие/ Н.И.Нагимова. - Ульяновск: УИПКПРО, 2010.- 66с.

30.     Образовательная система «Школа 2100» - качественное образование для всех: сб. мат-лов / под науч. ред. Д. И. Фельдштейна. М.: Баласс, 2006.

31.     Основные итоги единого государственного экзамена по математике в 2012 году в г. Санкт-Петербурге. Аналитический отчёт предметной комиссии. - СПб.: РЦОКОиИТ, 2012. - 16 с.

.         Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 2 ч. Ч 1 / под ред. Г. С. Ковалевой, О. Б. Логиновой. М.: Просвещение, 2010.

33.     Панькова И.И. Дидактические основы опережения в учебном процессе: Автореф. дис., канд. пед. наук / И.И. Панькова. - Ростов н/Д, 1990. - 18 с.

.         Планируемые результаты начального общего образования / под ред. Г.С. Ковалёвой, О.Б. Логиновой. - М.: Просвещение, 2009. - 120 с.

.         Рудницкая В. Н., Юдачева Т. В. Математика 4 класс: учеб. для четырехлет. нач. шк. М.: Вентана-Графф, 2004.

36.     Смирнова А.А. Организация повторения в 9 классе при подготовке к аттестации в новом формате / А.А. Смирнова, Е.Ю. Лукичёва, А.Н. Тернопол // Математика в школе. - 2010. - № 3. - С. 34-41.

.         Смородинова М. В. К вопросу о семантике понятий «компетенция» и «компетентность» в педагогической науке // Молодой ученый. - 2010. - №6. - С. 324-326.

.         Системный анализ процесса мышления / Под ред. К.В. Судакова, АМН СССР. - М.: Медицина, 1989. - 336 с.

.         Тихоненко А.В. Обучение решению текстовых задач в начальной школе: учеб. пособие для вузов / А. В. Тихоненко. - 2-е изд., испр. и доп.; Гриф УМО. - Ростов н/Д : Феникс, 2007. - 253 с.

.         Тихоненко А.В. Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе / А. В. Тихоненко [и др.]. - Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 350 с.

.         Тихоненко А.В. Технология изучения понятия величины на уроках математики в начальной школе: учеб. пособие для вузов / А. В. Тихоненко. - Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2006. - 219 с.

.         Тонких А. П. Сборник задач по математике: Пособие для учителя начальных классов. ФГОС. М.: Баласс, 2013.

.         Тонких А. П. Стохастика в начальной школе. Сборник задач: пособие для учителей начальных классов. М.: Баласс, 2013.

44.     Тонких А. П. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа плюс До и После. 2003. № 4.

45.     Трофименко Ю. В. Ключевые компетенции и профессиональная компетентность будущего учителя начальной школы / А. В. Тихоненко, Ю.В. Трофименко // Вопросы гуманитарных наук. - М., 2009.- № 2. С. 289 - 295.

46.     Трофименко Ю. В. Прием моделирования как вид проектирования учебной деятельности младших школьников в процессе обучения решению задач на движение / Ю. В. Трофименко. Армавир, 2008. С. 75 - 79.

47.     Туркина В.М. Методический аспект проблемы преемственности в развивающем обучении школьников математике / В.М. Туркина // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. - 2003. - № 6 (том 3). - С. 249-258.

48.     Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования / рук. Л. И. Льняная. М.: Просвещение, 2011.

49.     Формирование умений учебной деятельности как навыковой составляющей ключевых компетенций выпускника образовательной школы: Коллективная монография / [Е.Е.Волкова, О.Б.Епишева, В.В.Клюсова, Г.А.Яркова и др.] Под общ. ред. О.Б. Епишевой. - Тобольск: ТГСПА им. Д.И. Менделеева, 2009. - 174 с.

.         Хуторской А.В. Технология проектирования ключевых и предметных компетенций // Интернет-журнал "Эйдос". - 2005. - 12 декабря.

.         Царева С.Е. Вероятностно-статистическая пропедевтика в математическом образовании младших школьников // Начальная школа. 2010. № 4.

52.     Царева С.Е. Как научить учить математике? // Начальная школа. - 2006. - № 6. - 58 с.

.         Чекин А.Л. Математика. 1 класс. Учебник в 2-х частях. Ч.1 /под ред. Чураковой Р.Г. - М.: Академкнига/Учебник, 2015.

54.     Чекин А.Л. Математика. 1 класс. Учебник в 2-х частях. Ч.2 /под ред. Чураковой Р.Г. - М.: Академкнига/Учебник, 2015.

55.     Чекин А.Л. Математика. 2 класс. Учебник. Часть 1. -М., 2014.

56.     Чекин А.Л. Математика. 2 класс. Учебник. Часть 2. -М., 2014.

57.     Чекин А.Л. Математика. 3 класс. Учебник. Часть 1. -М., 2014.

58.     Чекин А.Л. Математика. 3 класс. Учебник. Часть 2. -М., 2014.

59.     Чекин А.Л. Математика. 3 класс. Учебник. Часть 3. -М., 2014.

60.     Чекин А.Л. Математика. 4 класс. Учебник. Часть 1. -М., 2014.

61.     Чекин А.Л. Математика. 4 класс. Учебник. Часть 2. -М., 2014.

62. Шамыкаева В.Е. Технология создания образовательного web - сайта. /В.Е. Шамыкаева //Школьные технологии. - 2013. - № 2. - С. 110-119.

63. Энциклопедический словарь // Под ред. Б.А. Введенского. - М.: Большая советская энциклопедия, 1954. - Том 2. - 719 с.

64.     Якиманская И.С. Основные направления исследования образного мышления / И.С. Якиманская // Вопросы психологии. - 1985. - № 5. - С. 5-17.

.         Яркова Г.А. Технологический подход к формированию учебных умений учащихся при обучении математике в начальной школе: учеб.-метод. пособие для студентов специальности «031200 - Педагогика и методика начального образования» / Г.А. Яркова. - Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 2005. - 155 с.