Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Введение

устный вычисление школьник нестандартный

Знания, приобретенные на уроках математики в начальных классах, должны обеспечить надежную опору как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, так как они используются при последующем изучении математики в средних и старших классах. Начальные математические знания ученики младших классов применяют в своей будничной жизни, например, в школе при изучении других предметов, таких как технология, физическая культура, окружающий мир. Математические знания применяются «для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и качественных отношений» [47, с.11]. Младшие школьники получают первоначальные знания о натуральном числе, о нуле, об особенностях натурального ряда чисел, учатся записывать и читать натуральные числа в десятичной системе счисления, «выполнять устно и письменно арифметический действия с числами и числовыми выражениями (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком, учатся решать текстовые задачи, действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» [47, с.11].

Одна из важнейших задач в обучении младших школьников математике в условиях реализации ФГОС НОО представляет собой формирование у учащихся «понятия о числе и арифметических действиях» [38, с.46-47], «формирование сознательных вычислительных навыков» [18, с.42], основой которых является прочное и осознанное усвоение устных и письменных вычислений. Но в начальной школе «учащиеся должны не только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и приобрести твердые вычислительный навыки» [2, с.163]. «Выработка навыков устного счета занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике младших школьников. Именно в первые годы обучения закладываются основные приемы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у них память, речь, воображение, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции» [44, с.23.].

«Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий» [2, с.163], которые занимают особое место в начальном курсе математики. Они выявляют конкретный смысл «арифметических действий, свойства действий, связь между результатами и компонентами, изменение результатов действий в зависимости от изменений одного из компонентов» [2, с.163].

Устные вычисления способствуют не только математическому развитию детей, но и развивают «логическое и алгоритмическое мышление» [47, с.19], творческие начала и волевые качества, способствуют «развитию математической речи учащихся» [47, с.19], «их сообразительности, математической зоркости и наблюдательности» [2, с.164]. Используя при устных вычислениях сравнительно небольшие числа, учащиеся лучше усваивают состав чисел, быстрее схватывают зависимость между «результатами и компонентами действий», «свойства» и законы действий [2, с.163]. Устный счет имеет широкое практическое значение в обычной будничной жизни: он развивает смышленость детей, вызывая у них необходимость подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет «помогает лучшему усвоению приемов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений» [2, с.163]. «Быстрота и правильность устных вычислений особенно необходимы, когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с.164].

«Рассмотрением вопроса о влиянии устного счета на повышение умственной деятельности на уроках математики занимались такие деятели, как О.П. Зайцева, А.Я. Бурлыга, М.И. Волошина, Т. Иванова, Г.В. Бельтюкова, К.А. Зимовец и т.д.» [44, с.23].

Значимость формирования устных вычислений у младших школьников и на сегодняшний день является весьма актуальным. «Внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В связи с этим значительная часть всех заданий в существующих

учебниках математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков» [45, с.25].

Проблемой формирования вычислительных навыков у учащихся начальных классов занимались: М.А. Бантова, М.И. Моро, С.В. Степанова и другие» [45, с.25].

По мнению Е.Ю. Лавлинсковой, «причина трудностей учащихся при устных вычислениях кроется в том, что на сегодняшний момент не прослеживается четкой системы работы по развитию вычислительных навыков. Ведь именно в начальной школе у детей должны быть сформированы прочные, осознанные вычислительные навыки» [23, с.176].

В современной школе на уроках математики младшим школьникам важно научиться не только правильно, но и быстро выполнять устные вычисления как для продолжающейся работы с числами, так и для практической значимости при дальнейшем обучении. Необходимость овладения учащихся прочными и осознанными устными вычислительными навыками обосновывает важность и актуальность выбранной темы выпускной квалификационной работы «Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников».

Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования: особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.

Цель исследования: выявить особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.

Гипотеза исследования: систематическое целенаправленное проведение устного счета на уроках математики, включающего в себя задания в зрительной, слуховой и зрительно-слуховой форме, использование дидактических игр и разнообразных нестандартных заданий, требующих внимания, смекалки, логического мышления и памяти будут способствовать эффективному формированию вычислительных навыков у младших школьников.

Цель и гипотеза работы предполагают следующие задачи исследования:

Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по проблеме исследования.

Раскрыть определение понятий «устные вычисления»,

«вычислительный навык», «приемы и методы навыков формирования устных вычислений».

Определить формы и виды устных вычислений, на основе анализа школьных учебников и методической литературы.

Проанализировать и обработать данные экспериментальной работы.

При написании данной работы нами применялись следующие методы исследования:

Теоретические (теоретический анализ и обобщение научной, педагогической литературы по проблеме исследования).

Эмпирические (педагогический эксперимент).

Работа с учащимися (беседа, наблюдение за деятельностью, сравнение и тестирование)

Коллективная работа с учащимися

Анализ результатов экспериментального исследования.

Исследование проводилось на базе школы МБОУ Гимназия №1 г.

Краснознаменск класс 2В.

ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования устных приемов вычислений у младших школьников

.1 История развития устных приемов вычислений

Математика была, остается и всегда будет одним из основных предметов в школе, потому что получаемые математические знания в процессе обучения в школе необходимы всем людям в обыденной жизни. Редко, когда ребенок, приходя в первый класс, знает, в какой институт он поступит, кем он хочет работать в будущем после окончания школы, но каждый понимает, что математика необходима для решения возникающих житейских ситуаций: заплатить за выбранный товар и посчитать сдачу в магазине, набрать номер маминого телефона, узнать который час на часах и т.д. К тому же, теперь всем ученикам обязательно нужно сдавать ОГЭ по математике в 9 классе и как минимум базовый уровень ЕГЭ в 11-м классе, а для этого, начиная с первого класса, необходимо полноценно и качественно изучать математику, но первоочередная задача - нужно ребенку научиться считать. Ни промышленные исследования и эксперименты, ни «технический прорыв», ни достижения человечества были неисполнимы без использования математики. «Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила вычислений не были выдуманы или открыты одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности» [7, с.11]. Математика как наука подверглась многим изменениям в своей длительной эволюции, пока не стала такой, какой мы изучаем ее теперь. «В основе развития математики, как и всякой другой науки, лежат запросы практической деятельности человека» [11, с.5].

У древнейших народов сначала зародились отдельные математические знания, появляющиеся из постоянных наблюдений за явлениями природы и из обыденной их трудовой деятельности. Развитие счета зародилось с установления связи между количеством предметов и количеством пальцев на руках и ногах. «Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «Крылья» у тибетцев означало также «Два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, десяти» [7, с.11].

В жизни людей зарождается развитие производства и соответственно как следствие этого - торговля. «Счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т.п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами» [7, с.11-12].

Всем нам известно, что «счет ведется десятками: десять единиц образуют один десяток. Десять десятков - одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда - одну единицу третьего разряда и т.д.» [7, с.12].

«Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления» [7, с.12].

Древние люди на первых порах учились считать с помощью пальцев рук, так же как мы обучаем счету маленьких детей. «Поныне говорят: «Перечесть по пальцам». Отсюда - десятичная или десятеричная система исчисления» [7, с.12]. Десять пальцев на руке стали изначальным средством счета для первобытных людей, позже они стали применять камешки, кости, зарубки на камнях для удобства при счете.

Но были и такие народы, «которые пользовались при счете только пятью пальцами одной руки, считали пяткáми: у них выработалась пятеричная система счисления, в которой основой служит число пять. Число «шесть», например, называлось «пять - один» и т.д. В скандинавских странах сохранились следы пятеричной системы» [7, с.12]. Другие древние люди нашли применение при счете не только пальцам рук, но и пальцам ног. Отсюда возникла двадцатеричная система. «То, что числовая последовательность была создана с помощью пальцев ног и рук, доказывает следующее рассуждение. Обычай присваивать числовые значения камням или частям тела дает лишь неразрывное, недифференцированное количество, то количество пальцев рук и ног уже классифицировано и сгруппировано природой: 5 пальцев составляют руку, 10 - две руки, 20 - руки плюс ноги. Вполне естественно, что и в языке прослеживаются те же остановки: пять - «1 рука», десять - «2 руки», двадцать «один человек»» [29, с.52]. «Из этого вытекает неожиданное очень важное следствие. Теперь, когда дорога проложена, числовая последовательность может развиваться дальше, после слов: «Теперь, когда мы сосчитали всего человека» - вторая серия подсчётов может идти точно таким же путем, а за ней третья, четвертая и т.д. Новый уровень надстраивается поверх предыдущего - такая классификация позволяет числовой последовательности развиваться в предложенном порядке», то есть 20+20=40, и т. д. [29, с.52]. Следы двадцатеричной системы сохранились и до наших времен, например, «в современном грузинским языке и во французском языке, в котором вместо «восьмидесяти» говорят «четырежды двадцать»» [7, с.13].

«Другой весьма распространённый в древности вариант - счёт четвёрками пальцев, при этом счёте большой палец не засчитывался. Так, в древнерусском языке все пальцы, кроме большого, назывались словом «перст», а большой - «палец», в английском языке до настоящего времени четыре «счётных» пальца именуются словом «fingers», а большой палец - «thumb». В этом исчислении пальцы двух рук составляют основу древней восьмеричной системы счисления» [19].

Очень интересный способ счета бытовал с помощью фаланг пальцев: «на четырёх пальцах одной руки 12 фаланг если их считать пятым, большим пальцем, то есть прикосновение кончика большого пальца к каждой фаланге принимать за единицу. Эта особенность повлияла на появление двенадцатеричной и шестидесятеричной систем счисления (во втором случае, большой палец несколько раз подряд касался всех фаланг и счёт продолжался дальше, но после каждого нового цикла касаний загибался один палец на второй руке» [36]. «Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления» [7, с.13].

Старинный исконно русский способ счета: «счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой» [19].

Но ведь оказывается с помощью пальцев рук не только складывали и отнимали. На Руси с их помощью еще и умножали. «Старинный русский способ умножения на пальцах однозначных чисел от 6 до 9 издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. Первоначально пальцы обеих рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя. Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10, потом перемножалось число загнутых пальцев одной руки на число загнутых пальцев другой. Два полученных результата складывались» [19].

Другие способы счета, применявшихся в Древней Руси:

счёт дюжинами (двенадцатеричная система) активно практиковали торговцы, особенно в Новгородской республике в XII-XV веках. «Счет дюжинами вёлся большим пальцем по фалангам остальных четырёх пальцев правой руки и начинался от нижней фаланги указательного пальца, а заканчивался верхней фалангой мизинца. Другой вариант - от верхней фаланги мизинца левой руки до нижней фаланги указательного пальца. Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 60 (пятёрки дюжин) все пальцы руки, фиксировавшей полные дюжины, оказывались сжатыми в кулак. Дюжинами до начала XX века в России было принято считать носовые платки, пишущие перья, карандаши, школьные тетрадки, набор из

предметов по традиции составляли ложки, вилки, ножи, а посудные сервизы и комплекты стульев и кресел рассчитывались на 12 персон» [19].

счёт сороками (сороковицами). К нему прибегали в Сибири охотники за пушным зверем. Они «вели счет «сорочками», то есть укомплектованными в мешки шкурками (как правило, 40 собольих хвостов или 40 беличьих шкурок), которые полностью уходили на пошив богатой шубы («сорочки»)

русского боярина XVI века. Так, в таможенной грамоте 1586 года «сороками» были посчитаны шкурки соболей и куниц, посланные в качестве платы за ведение войны с турками от царя Фёдора Ивановича австрийскому императору Рудольфу. Методика счёта была схожа со «счётом дюжинами», только вместо подсчёта фаланг считали суставы пальцев (переходы между фалангами), которых было всего 8. Если число превышало 8, то при достижении 8 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 40 все пальцы руки, фиксировавшей полные осьмушки, оказывались сжатыми в кулак. Следы пальцевого «счёта сороками» сохранились в народных суевериях. Например, несчастливым для охотника считался сорок первый медведь и т. д. Также словом «сороконожка» традиционно называлась любая многоножка. Выражение «сорок сороков» или «тьма» для древнерусского крестьянина символизировало некое число, превосходящее всякое воображение и собственно математические познания самого земледельца» [19].

«Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при своем своеобразии путей развития общим для всех народов является то, что все основные понятия математики … возникли из практики и прошли длинный путь совершенствования» [39, с.17]. В настоящее время почти все народы мира используют десятичную систему счисления.

.2 Психолого-педагогические особенности формирования навыков устных приемов вычислений у младших школьников

Ведущая деятельность дошкольника - игровая. С началом учебы, дошкольники становятся учениками и, соответственно, их ведущая деятельность меняется с игровой на учебную. В связи с этим, в школе детям нужно постоянно приобретать и усваивать новые знания и умения - что является трудностью, с которой сталкиваются младшие школьники. Одна из важных проблем в современной педагогике - постоянное развитие и дорабатывание процесса обучения младших школьников. При обучении у детей возникают различные трудности. Развитие зарубежной и российской

педагогики и психологии неразрывно завязано на исследовании таких случаев. Например, авторы Г.Ф. Кумарина, С.Г. Шевченко считают, дети уже в начальных классах оказываются не в состоянии за отведенное время и в необходимом объеме усвоить программу [20], [53]. «Дезадаптационные проблемы, осложняющие развитие и социализацию детей, объектом научного внимания стали сравнительно недавно. История теоретического знания и научно-практической работы по их изучению, профилактике и коррекции насчитывает чуть более столетия. Примечательно, что на первых порах этой работы ее инициаторами были в основном медики и внимание было сосредоточено на тех проблемах, которые осложняют социализацию индивидов, имеющих выразительные аномалии сенсомоторного и интеллектуального развития (глухота, слепота, тяжелые нарушения двигательной и умственной сферы). Однако постепенно, по мере развития общественного образования, методологического и методического научного инструментария, а также гуманистического самосознания человечества и его экономических возможностей внимание специалистов стало обращаться также и к проблемам, возникающим в процессе воспитания и обучения у детей, не отягощенных явно выраженными отклонениями в развитии» [20, с.5]. Получается, что современные дети ощущают трудности в социальной и школьной адаптации, демонстрируя неуспешность в обучении, не имея явных аномалий и патологий в своем развитии.

Причинами этих появляющихся трудностей в учебной деятельности у младших школьников занимались известные педагоги и психологи, например: М.А. Данилов, В.И. Зыкова, Н.А. Менчинская, Т.А. Власова, М.С. Певзнер, А.Н. Леонтьев, А.А. Смирнов, Л.С. Славина, Ю.К. Бабанский [9], [16], [33], [1], [5], [24], [42], [40] [10]. Они выявили следующие трудности в учебной деятельности: неподготовленность к обучению в школе; социальная запущенность; педагогическая запущенность; физическая ослабленность ребенка из-за длительных заболеваний в дошкольный период и в период обучения в 1 классе; логопедические дефекты речи, не исправленные в дошкольном возрасте; не обнаруженные вовремя недостатки зрения и слуха; умственная отсталость; негативные взаимоотношения с одноклассниками и

учителем. Все эти трудности проявляются в негативном воздействии на успешную учебную деятельность ребенка в начальных классах.

Трудности, оказывающие негативное воздействие на учебную деятельность в младших классах, можно разделить на три группы: биогенные, социогенные и психогенные. Затруднения в учебной деятельности соответственно постепенно являются причиной ослабления познавательных способностей детей, что значительно сокращает эффективность обучения. Ю.З. Гильбух представил такие типы отклонений: общее отставание в обучении, специфическое отставание по языку, специфическое отставание по математике, отклонение от индивидуального оптимума учебной деятельности [6]. Оказывается, помимо общих трудностей в учении младших школьников существуют и специфические - трудности усвоения математического материала, приводящие к отставанию по математике. Рассмотрим их особенности.

Такие авторы, как Н.Б. Истомина, Н.П. Локалова, А.Р. Лурия, Г.Ф. Кумарина, Н.А. Менчинская, Л.С. Цветкова занимались проблемами обучения в математике [18], [25], [28], [27], [20], [33]. Следующие затруднения младших школьников при обучении математике были выявлены в результате анализа названных литературных источников:

«Отсутствие устойчивых навыков счета» [25], дискалькулия.

«Дискалькулия - это нарушение навыка счета. Дискалькулия может наблюдаться как изолированное расстройство или входить в структуру других нарушений школьных навыков. Проявляется она в виде нарушения осмысления структуры числа, затруднений операций с числами, особенно с сложными числами и с переходом через десяток» [22].

«Несформированность понятия «рабочая строка», зеркальное написание цифр» [25].

Неспособность решать арифметические задачи [26], [27].

«Непонимание отношений между смежными числами» [25].

Неспособность перехода из конкретного плана в абстрактный [25], [20] (Несформированность операции абстрагирования). Трудности при изучении числового ряда и его свойств, смысла счетного действия.

«Интеллектуальная пассивность» [41], то есть учебную задачу школьники усваивают только тогда, когда она переведена в практический план.

Три группы трудностей, с которыми сталкиваются младшие школьники при изучении учебного материала по математике [25].

Первая группа трудностей. Несформированность двигательных навыков письма и чтения. Качество процесса письма предопределяется уровнем развития психомоторной сферы ученика [25]:

нарушение зрительно-двигательной координации [25];

несформированность мышечных усилий руки» [25];

несформированность мелкой моторики [25].

У детей с нарушением развития психомоторной сферы наблюдаются трудности в написании букв и цифр, например [25]:

непостоянность размеров букв и цифр (по высоте, ширине букв и цифр) [25];

непостоянность наклона письма [25];

несформированность плавности и связности в соединениях букв,

«печатание» букв [25];

неаккуратный, неразборчивый, небрежный почерк [25];

низкая скорость письма [25];

дрожание руки при письме, выражающееся в дополнительных штрихах, дрожащих линиях [25];

слишком сильный (слабый) нажим на ручку при письме [25].

Вторая группа трудностей. Связана с особенностями формирования когнитивного компонента навыков письма, чтения и вычислительных умений [25]. Трудности, обусловленные данной причиной:

перестановка местами, замена цифр и букв, пропуски цифр в примерах, букв при письме и чтении, недописывание окончаний слов [25];

неверное (ошибочное) прочтение похожих по начертанию букв [25];

трудности при прочтении слогов, слов, соединении букв в слоги, слогов в слова [25];

несформированность прочных навыков счет» [25];

незнание числового ряда, смежных чисел и отношений между ними [25];

несформированность операции абстрагирования, перехода из конкретного плана в абстрактный [25];

непонимание алгоритмов решений задач [25];

«тугодумость» [25].

В основе этой группы трудностей находятся психологические причины:

«Несформированность объемных представлений.

Учащиеся, у которых объемные и пространственные представления не сформированы с большим трудом овладевают конфигурацией цифр и букв, так как они не могут понять соотношение частей этих цифр и букв, их расположение на строке, между линиями строк, «в клеточках». У таких учащихся наблюдается «зеркальное» написание букв и цифр (например, вместо цифры «3» пишут «ε» и др.). У школьников, испытывающих трудности с объемным представлением появляются ошибки на уроках математики: проблемы в счете, ошибки при выполнении арифметических действий с переходом через десяток, несоблюдение рабочей строки, перестановка цифр местами при списывании цифровой последовательности (например, 234 вместо 432). У учеников появляются ошибки, вызванные несформированностью у них однонаправленности прочитывания информации слева направо, сверху вниз. Также возникают проблемы при усвоении математики связаны с непониманием числового ряда и его свойств, смежных чисел и отношений между ними в основе которого лежит несформированность объемных и пространственных представлений [25].

Итак, можно сделать вывод, что младшие школьники, у которых не сформировано понятие числового ряда, имеют сложности с определением места числа в натуральном ряду, затрудняются со счетом в обратном порядке. Если младший школьник не овладел в должной степени числовым рядом или уровень овладения находится на низком уровне, то этот ребенок будет испытывать большие трудности при дальнейшем обучении математике.

«Недостатки в развитии процессов звукобуквенного анализа и синтеза и фонетико-фонематического восприятия» [25].

Недостаточное развитие познавательных процессов [25].

Неполноценность развития мыслительной деятельности у младших школьников приводит к тому, что они затрудняются в формулировании правила на основе анализа нескольких примеров, плохо запоминают правила, схемы рассуждения. В основе этих трудностей - неполноценность обобщения. Недостаточность операции абстрагирования выражается в затруднениях при переходе из конкретного в абстрактный план действия. При изучении математики необходимо умение сравнивать. Слабоуспевающие ученики как правило умеют сравнивать предметы, но не умеют сравнивать математические выражения, не умеют при сравнивании устанавливать взаимнооднозначные со- ответствия. На основе сравнения формируются понятия равенства и неравенства, понятия о геометрических фигурах и др. [25].

Трудности, создаваемые возрастными особенностями мыслительной деятельности младших школьников [25]:

«конкретность мышления», проблема понимания математического смысла задачи в связи со сконцентрированностью на ее сюжетной стороне [25];

«синкретичность мышления», недостаток необходимого анализа данных, приводящий к ошибочным решениям задач [25];

«недостаточная обобщенность мышления», трудности при образовании поднятий, которые базируются на выделении существенных признаков в учебном материале [25];

«однолинейность мышления», неумение видеть и удерживать в сознании одновременно разные стороны, признаки одного и того же предмета, приводит к решению задачи только одним способом [25];

«инертность мыслительной деятельности», формирует шаблонное мышление, стереотипность действий, несмотря на изменение условий, что выливается в затруднения при переводе из одной формы в другую, например, из буквенной формы в цифровую [25].

Недостатки в мыслительной деятельности младших школьников, в развитии памяти проявляются в незнании всех цифр, в плохом запоминании алгоритмов выполнения заданий, ограниченной речи, запасе слов, неточных формулировках определений [25].

Третья группа трудностей. Недостатки в формировании регуляторного компонента навыков письма, чтения и вычислительных умений, в основе которых конкретная психологическая причина, состоящая «в несформированности процессов самоконтроля и саморегуляции» приводящие к следующим последствиям [25]:

неспособность видеть свои ошибки [25];

увеличение ошибок к концу работы [25];

не полное выполнение всех требований учителя [25];

проблемы с формированием двигательного навыка письма [25];

низкая скорость письма [25].

Большие трудности, обусловленные их индивидуально-типологическими особенностями, испытывают школьники в учении, вызванные особенностями темперамента (например, медлительные дети, с флегматическим темпераментом): пропуск букв, цифр, недописывание слов и предложений, так как торопится, чтобы не отстать от класса), низкий темп счета [25];

Огромное значение при обучении младших школьников имеет формирование мотивации грядущей учебной деятельности. Для учеников первоочередной задачей при организации мотивации является преодоление страха перед трудной, абстрактной, непонятной для них математической информацией, возникновение у себя уверенности в возможности ее понимания и интереса к обучению математики в целом.

Таблица 1.

«Трудности при обучении математике: психологические причины» [25].

Из таблицы мы можем видеть зависимость одних математических знаний и умений от других, указывающую, что большинство трудностей являются возникающими пробелами при непонимании материала в процесс изучения, что тормозит дальнейшее понимание математики при изучении и является причиной возникающих трудностей. Весомую роль в предупреждении этих трудностей оказывает вовремя проводимая диагностика математических знаний и умений учащихся. При организации и проведении диагностики требуется четко и конкретно формулировать вопросы и задания, обеспечить достаточное количество времени для обдумывания ответа, позитивно относиться к ответам учеников.

Неуспеваемость младших школьников возможна также из-за неправильных приемов учебной деятельности, в несовершенстве методов преподавания. Опыт работы В.Н. Шаталова, С.Н. Лысенковой подтверждает верность этой точки зрения [28], [52]. Деятельность учителя требует компетентностного подхода: знаний по психологии, педагогике и математике. При обучении математике младших школьников, а также для устранения появляющихся трудностей в обучении педагог должен знать психолого- педагогические особенности развития младшего школьника, уметь создавать проблемные ситуации на уроке, организовывать продуктивную самостоятельную работу, проводить диагностическую работу, а также создавать благоприятный эмоционально-психологический фон при обучении на уроках математике у младших школьников.

.3 Общая характеристика формирования вычислительных приёмов и навыков у младших школьников

«Формирование вычислительных навыков у младших школьников - одна из основных задач», которая должна быть решена в процессе обучения математики [18, с.42]. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, потому что на этом «фундаменте» надстраивается весь дальнейший курс школьной математики, учитывающий формирование вычислительных навыков на основе осознанного использования приемов вычислений. Осознанное использование приемов вычислений представляет собой именно тот запас знаний и умений, который используется каждодневно не только на уроках математики, но и в обыденной жизни. Этот запас знаний и умений необходим не только для последующего изучения математики, но и для изучения других учебных дисциплин. Вычисления изо дня в день стимулируют память младших школьников, их внимание, мышление, стремление к целесообразному и удобному формированию деятельности. Поэтому совершенно закономерно вычислительная линия оказалась одной из основных в школьном курсе изучения математики.

При изучении начального курса математики «предусматривается система упражнений, направленных на выработку у учащихся вычислительных навыков. Это тренировочные упражнения различного характера: решение отдельных примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений и т.п. В формировании навыков предусматривается разная степень их автоматизации: навыки сложения и умножения табличных случаев и обратные по отношению к ним случаю вычитания и деления должны быть доведены до полного автоматизма» [2, с.13].

В начальном курсе математики значительное внимание уделяется вычислительной деятельности школьников, отдавая предпочтение в большей степени устным вычислениям, так как они развивают у ребят память, сообразительность и находчивость, внимание, самостоятельность, математическую зоркость, смекалку.

И.И. Аргинская, М.А. Бантова, В.А. Белошистая, Г.В. Бельтюкова, Н.Б. Истомина, М.И. Моро и другие методисты и учителя ставили перед собой задачу формирования у младших школьников вычислительных умений и навыков.

Вычисления в начальной школе разделяются на устные и письменные. Чтобы охарактеризовать устные и письменные вычисления можно воспользоваться понятиями «умение» и «навык» [18] - так пишет Н.Б. Истомина в своей методике обучения математике в начальных классах.

Что же такое навык? Понятие навык имеет множество определений, самое распространённое: «навык - действие, сформированное путем повторения, характеризующееся высокой степенью освоения и отсутствием поэлементной сознательной регуляции и контроля» [37]. И.Ф. Харламов И.Ф

пишет, что навык - составной элемент умения [49]. «Вычислительный навык - это один из видов учебных навыков, формирующихся в процессе обучения» [32].

Н.Б. Истомина охарактеризовывает «вычислительное умение» как

«развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется» [18, с.42]. «В отличие от умения, навыки характеризуются свернутым, автоматизированным выполнением действия, с пропуском вспомогательных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42].

«Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами» по М.А. Бантовой. «Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций» [3].

В методике математики задачи по формированию вычислительных навыков у школьников ставили перед собой многие известные методисты, учителя. Известны исследования А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, А.В. Белошистой, С.Е. Царевой, Т.И. Фаддейчевой и др. [43], [2], [34], [30],

[31], [51], [18], [35], [4], [50], [46].

В исследованиях М.А. Бантовой описаны в основном разработки вычислительных навыков [3], у М.И. Моро - рационализация вычислительных приемов [35], у Т.И. Фаддейчевой - индивидуализация процесса формирования вычислительных навыков [46]. Т.И. Фаддейчевой были разработаны тетради с печатной основой по математике «Учись считать устно» №1 и №2, в которых были разработаны и помещены развивающие упражнения для устного счета, которые формируют вычислительные умения и навыки, развивают логическое мышление. [46].

«Полноценный вычислительный навык характеризуется следующими качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью», как пишет М.А. Бантова [3].

Правильность - ребенок должен выбрать правильную операцию и осуществить ее безошибочно [3] [48].

Осознанность - ребенок может объяснить свое решение в любом месте операции. Когда вычислительный навык сформирован, то объяснение кратко.

Рациональность - ребенок выбирает из возможных вариантов операций, выполнение той операции, которая легче и быстрее других. Это качество навыка применяется только в том случае, когда задача имеет несколько вариантов решения [3] [48].

Обобщенность - ребенок переносит прием вычисления как шаблон на новые случаи [3] [48].

Автоматизм (свернутость) - ребенок может быстро свернуть операцию и выполнить ее. Но при этом он может пояснить выбор системы операций [3] [48].

Прочность - сформированные вычислительные навыки сохраняются очень долгое время [3] [48].

О том насколько и как сформированы любые умственные действия можно говорить только тогда, когда ребенок сам, без вмешательства со стороны взрослого, выполняет последовательно все операции и «приходит» к верному решению.

«Значимость формирования устных вычислительных умений и навыков на сегодняшний день является высокой, так как формирование и развитие собственной вычислительной деятельности ребенка благотворно действует на развитие внутреннего плана действия, гибкости и рациональности мышления, а также способствует формированию самоконтроля» по мнению А.В. Белошистой [4].

Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный процесс, который должен основываться на понимании младшими школьниками чисел и арифметических действий с этими числами. И это «одна из основных задач начального курса математики» - отмечает Н.Б. Истомина [18, с.42].

«Вычислительные умения - это развернутое осуществление действия, в

котором каждая операция осознается и контролируется» [18, с.42]. Усвоение навыков устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение [2, с.163]:

«образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий и лучше понять письменные приемы» [2, с.163-164];

«воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности» [2, с.163-164];

«практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с. 163-164].

М.А. Бантова определила «вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами» [3]. Н.Б Истомина пишет о том, что «вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема» [26]. А что же такое вычислительный прием? Вычислительный приём - «это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия» [3]. «Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством» [18, с.42].

«В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным приемам относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100. К письменным приемам относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100» [2, с.163].

«Последовательность рассмотрения вычислительных приемов и формирование вычислительных умений и навыков вычислений определяется целями обучения и логикой построения курса» [18].

«Навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42]. Весь курс изучения математики в начальной школе построен для того, чтобы у учеников сформировались правильные, осознанные, рациональные,

обобщенные, автоматизированные и прочные вычислительные навыки. Любой вычислительный прием изучается только после усвоения теоритических основ этого вычислительного приема, которыми служат определения и свойства арифметических действий.

Группы приемов с их общей теоретической основой, для использования общих подходов в методике формирования соответствующих навыков [17] [48]:

Теоретическая основа приемов - конкретный смысл арифметических действий: сложение и вычитание в пределах 10 для случаев вида а ± 2, 3, 4, 0; табличные результаты умножения и деления [17] [48].

Теоретическая основа приемов - свойства арифметических действий. Относится большинство вычислительных приемов: 2 + 8; 54 + - 20; 74 + 18; 180 : 20 и т.д. Изучаются свойства, затем - приемы вычислений [17] [48].

Теоретическая основа приемов - связь между компонентами и результатами арифметических действий, которые рассматриваются вначале, а затем - вычислительный прием [[17] [48].

Теоретическая основа приемов - вопросы нумерации чисел. Случаи вида: а + 1, 10 + 6; 16 - 10; 16 - 6; 1200 : 100 [17] [48].

Теоретическая основа приемов - правила. Приемы умножения на 1 и 0 [17] [48].

«Особенность изучения материала при изучении математики в начальных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление соответствующих знаний, умений или навыков осуществляется через выполнение учащимися системы упражнений, т.е. определенных математических заданий. Упражнения могут быть различными по своей математической структуре, в зависимости от содержания материала: нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, решение задач и др. Упражнения могут предлагаться по-разному: могут быть записаны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем; могут быть в даны в обычной форме или занимательной, в форме дидактической игры и т.п.» [2].

Подготовка к изучению (введению) нового приема. Овладение учеником основными операциями, составляющими новый прием.

«Система упражнений на этой ступени должна способствовать созданию или расширению опыта детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизведению материала, на который придется опираться при раскрытии нового. Есть еще одна важная сторона… умение выполнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделять существенное общее (выполнять обобщение), отвлекаясь от несущественного» [2].

Ознакомление с вычислительным приемом (новым материалом). Какие операции необходимо выполнить, в каком порядке и почему так, а не иначе можно найти результат арифметического действия.

«Упражнения надо подбирать так, чтобы анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенные стороны формируемого знания. С этой целью надо прежде всего подбирать упражнения так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т.е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали соответствующий вывод» [2].

«После знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков приводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками» [2]. Обязательное сопровождение каждой операции соответствующими словесными пояснениями вслух, а потом про себя. Сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. В словесных рассуждениях они поясняют, какие необходимы операции, порядок этих операций и называют результат каждой из них. Пояснения к выбору и выполнению операций приводят к пониманию сущности каждого этапа и всего приема в целом, что является основой осознанных вычислительных навыков в дальнейшем.

«Самостоятельная работа как метод обучения дает возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность» [2]. Степень самостоятельности учащихся должна расти при переходе от приема к приему одной группы, что приведет при следующем выполнении к самостоятельному нахождению новых вычислительных приемов детьми.

Закрепление знания приема и формирование вычислительного навыка. «Навык вырабатывается в результате тренировки, поэтому на каждом уроке должны включаться примеры как для устной, так и для письменной работы» [2]. «Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями» [2]. На этой ступени учителю важно предусмотреть ряд стадий становления у детей вычислительных навыков:

на первой стадии закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, рассуждая вслух и производя развернутую запись [48];

на второй стадии частичное свертывание операций: учащиеся про себя выделяют, обосновывают выбор, вслух проговаривают промежуточные вычисления. Развернутая запись не делается. Сначала комментарий под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных действий способствует их свертыванию [48];

на третьей стадии полное свертывание операции: учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия, а называют или записывают только окончательный результат [48];

на четвертой стадии предельное свертывание операций: учащиеся производят все действия в свернутом виде, предельно быстро, т. е. овладевают вычислительными навыками, достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений [48].

Важную роль играет достаточное число разнообразных упражнений на применение вычислительных приемов. «Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др.» [2].

Эти стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. «Надо иметь ввиду, что свертывание выполнения операций не у всех

учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и поставленными целями. Правильное выделение стадий позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков» [11]. В ходе формирования вычислительных навыков, «работа над каждым вычислительным приемом по методике М.А. Бантовой (традиционный подход) строится примерно по одному плану: подготовка к ознакомлению с приемом, введение приема и выполнение упражнений, направленных на формирование умения применять прием в разных конкретных условиях» [2]. При таком подходе основные усилия учеников сосредоточены на восприятии готовых знаний, их закреплении и воспроизведении. Такой подход представлен в УМК «Школа России» [32].

Существует другой подход (развивающий) - учащиеся самостоятельно добывают знания («открытие»), преобразуя ранее полученные при необходимости. [23]. Такой подход к формированию вычислительных умений представлен в УМК «Гармония» [32].

Беглость и правильность вычислений можно проверить с помощью арифметического диктанта. Правильность и осознанность выбора вычислительных операций проверяется письменной самостоятельной работой, в которой записываются подробные комментарии к действиям рассуждения или устной контрольной проверкой, когда учащиеся находят результат выражения и при этом рассуждают вслух. Рациональность вычислительных навыков проверяется также самостоятельной работой: учащимся необходимо найти значение выражения всеми возможными способами и отметить из них самый удобный. Для проверки прочности навыка проводится в конце учебного года самостоятельная работа, в которую включаются все вычислительные приемы, определенные программой. Подобный контроль необходимо провести в начале следующего учебного года и сравнить результаты, что и позволит судить о прочности усвоения вычислительных приемов.

«Овладеть осознанными вычислительными навыками нельзя без использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приемов. При этом, возможность выбора теоретической основы для одного случая вычисления позволяет формировать рациональные вычислительные навыки. Цель применения приемов рациональных вычислений

упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычисления форме» [4]. Поиск рациональных приемов вычислений должен проводиться постоянно, систематически и увязываться с изучаемым материалом, так как для нахождения результата арифметического действия можно пользоваться в качестве теоретической основы различными теоретическими знаниями, которые и приводят к разным способам вычислений.

ГЛАВА 2. Методика формирования устных вычислительных навыков у младших школьников

.1 Методика организации занятий по устному счёту

В методическом плане вопрос о формировании устных вычислительных навыков является сомнительным, ведь внедрение калькуляторов в смартфоны и постоянное их использование для облегчения счета ставит под сомнение, насколько необходимо отрабатывать устные вычисления. Формирование устных вычислительных навыков является традицией русской методической школы. Этим объясняется и то, что значительная часть учебников по математике отводится для формирования устных вычислительных навыков.

Приемы вычисления бывают устные и письменные. К устным вычислениям «относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящиеся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 (например, прием для случая 900*7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9*7)» [2].

В начальном курсе математики дети знакомятся с четырьмя арифметическими действиями: «в первом классе они знакомятся со сложением и вычитанием, во втором - с умножением и делением. Сложение и вычитание называют действиями первой ступени, а умножение и деление называют действиями второй ступени» [4].

Сложение и вычитание в пределах 100.

При обучении устным вычислениям в начальной школе, ученики изучают много вычислительных приемов, 12 из которых относятся к вычислениям в пределах 100:

сложение и вычитание целыми десятками 60+20, 50-30 [4];

прибавление единиц или десятков к числу без перехода через десяток 34+20, 34+2 [4];

прибавление единиц к числу с получением в результате целого десятка, что приводит к увеличению разрядных единиц на одну в разряде десятков 26+4 [4];

вычитание единиц или десятков из числа без перехода через десяток 48-30, 48-3 [4];

вычитание единиц из целых десятков с заемом одного десятка 30-6 [4];

прибавление единиц к числу с переходом через десяток 46+5 [4];

вычитание единиц из числа с переходом через десяток 42-5 [4];

сложение двузначных чисел без перехода через десяток 40+16, 45+23 [4];

вычитание двузначного числа из целых десятков с заемом десятков 40-16 [4];

вычитание двузначных чисел без перехода через десяток 45-12 [4];

сложение двузначных чисел с переходом через десяток 37+48 [4];

сложение двузначных чисел с получением в результате целых десятков

+53 [4].

«Методически все вычисление в пределах 100 являются устными» [4].

Рассмотрим их подробнее:

Вычислительные приемы для чисел первого десятка. Школьникам необходимо выучить наизусть результаты действий сложения и вычитания в пределах 10 (Таблица 2. Табличное сложение и вычитание) [4].

Таблица 2. Таблица сложения и вычитания.

Еще им надо научиться решать простые примеры на сложение и вычитание различных видов (нахождение суммы, остатка, увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, разностное сравнение, нахождение неизвестного слагаемого [2]. Изучение сложения и вычитания в пределах 10:

«Раскрытие конкретного смысла сложения и вычитания, запись и чтение примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания натуральной последовательности чисел» [5].

«Присчитывание и отсчитывание. В 1 классе изначально ученики осваивают вычислительный прием вида а ±1» [31]. Принцип образования чисел в натуральном ряду является основанием для этого, т.е. каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Усвоение этого принципа - главная задача изучения нумерации первого десятка. Нахождение значений выражений вида 5±1; 8±1; 6±1 путем называния следующего или предыдущего числа является следствием этого принципа. Важно понимать, что добавление 1 ведет к получению следующего по счету числа, а убавление 1 -предыдущего. Для решения такого типа задач, необходимо заучивание наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке, что приведет к легкому освоению приемов присчитывания и отсчитывания по 1 и выполнению вычислительной деятельности:

+1 17+1 177+1 10 277+1

-1 17-1 177-1 10 277-1

То есть прибавляя к числу 1, получаем следующее по счету, а вычитая из числа 1, получаем предыдущее по счету. Этот же прием является действующим и в трудных случаях:

+1 19+1 199+1 99 999+1

-1 20-1 200-1 100 000-1

Проговаривание: следующим за числом 99 999 является число 100 000; предшествующим числом для числа 200 является 199 [31]. М.А Бантова отмечает, что на «специально отведенном уроке … под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть» [2].

«Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4» [2]. «Прибавление и вычитание по частям. Следующую группу вычислительных приемов в пределах первого десятка являются случаи вида а±2, а±3, а±4, результаты которых могут быть найдены с помощью последовательного присчитывания или отсчитывания» [4]. Эти случаи «прибавить 2» и «вычесть 2» изучаются параллельно в сопоставлении друг с другом, чтобы показать как сходство вычислительных приемов так и противоположный характер действий сложения и вычитания [2]. За несколько уроков до изучения темы надо предложить детям порешать примеры в два действия вида: 6+1+1, 9-1-1, чтобы закрепить умение прибавлять и вычитать единицу и заметить: если прибавить (вычесть) 1 и еще 1, то всего прибавим (вычтем) 2. Перед решением таких примеров проиллюстрировать действиями с предметами. Затем рассматривают приемы прибавления и вычитания числа 2. Далее ученики рисуют в тетрадях, например, 7 яблок, затем 2 яблока раскрашивают, записывают пример 7-2 и, опираясь на свои практические наблюдения объясняют, как вычесть 2 (из 7 вычесть 1 будет 6; из 6 вычесть 1 получится 5). Аналогично раскрываются приемы вычислений для случаев а±3 и а±4. Числа 3 и 4 представляют 3 как 1 и 2, а число 4 как 2 и 2. Приемы вычислений также иллюстрируют действиями с предметами и на первых порах несколько примеров решают с подробной записью приема [2]:

+3=7

+2=6

+1=7

Для приемов а±4 лучше начать записывать по-другому: 5+4=5+2+2=9.

Итог над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 - составление и заучивание наизусть таблиц. Часть таблицы рассматривается коллективно под руководством учителя, часть - самостоятельно. Одновременно с таблицей сложения и вычитания полезно составить таблицу состава чисел из слагаемых, например:

2+2=4 4=2+2 4-2=2

+2=5 5=3+2 5-2=3

… … … 8+2=10 10=8+2 10-2=8

Здесь школьники встречают термины: сложение, вычитание, слагаемое, сумма, уменьшаемое, вычитаемое, разность [2].

«Изучение приема перестановки слагаемых для случаев прибавить 5, 6, 7, 8, 9» [5]. «При сложении в пределах 10 в этих примерах второе слагаемое больше первого (1+9, 2+7, 3+5, 4+6 и т.п.). Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным видам: а+1, а+2, а+3, а+4» [2]. Переместительное свойство сложения. Ученики понимают, что легче к большему числу прибавить меньшее, чем наоборот, а переставлять числа при сложении можно - сумма изменяется [2].

«Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9» [2]. «Чтобы решить, скажем, пример 10-8, надо заменить число 10 суммой чисел 8 и 2 и вычесть из нее одно слагаемое - 8, получим другое слагаемое - 2» [2]. Важно знать состав чисел из слагаемых, как связаны между собой сумма и слагаемые. Дети должны сами сделать вывод в процессе решения упражнений: если из суммы вычесть первое слагаемое, получится второе; если из суммы вычесть второе слагаемое, получится первое.

Также продолжается формирование понятия о числе нуль. Вначале изучения действий включают такие случаи вычитания, когда вычитаемое равно уменьшаемому (2-2, 3-3 и т.д.) … в конце включаются случаи сложения и вычитания с нулем: 6+0, 6-0» [2].

Сотня. Выделяется « в особый концентр» так как «здесь учащиеся знакомятся с новой счетной единицей - десятком» с «понятием разряда» [2]. При изучении четырех арифметических действий в пределах 100, «учащиеся овладевают основными приемами устных вычислений и одновременно усваивают лежащие в их основе свойства действий, связи между результатами и компонентами…это важная ступень в формировании у детей знаний об арифметических действиях и вычислительных навыков» [2]. Также немаловажно выучить наизусть таблицу сложения и таблицу умножения, это приведет к быстрому выполнению примеров обратных действий - вычитания и деления. Понимание таблиц сложения и умножения - это фундамент для в дальнейших устных вычислений.

Результат изучения сложения и вычитания чисел в пределах 100 -осознанное выполнение сложения и вычитания любых чисел в пределах 100,

усвоение табличного сложения и вычитания с переходом через десяток [2].

Сначала рассматривают вычислительные приемы для чисел второго десятка:

Разрядные случаи сложения и вычитания во втором десятке

12 значит, 12-10 = 2 10+2 = 12

2 12-2 = 10 2+10 = 12

Комплексные примеры на применение знания разрядного состава и вычислительных приемов первого десятка:

Вычисли: 2+8+3 = … 10

Способ вычислений: действия выполняются слева направо. 2+8=8+2=10

по свойству перестановки слагаемых. 10+3=13.

Вычисли: 17-7-1=

Способ вычислений: действия выполняются последовательно слева направо. Число 17 состоит из 10 и7, значит 17-7=10. Вычитая из 10 один, получаем число предыдущее - это 9» [4]

Переход через десяток. «Наиболее сложным для большинства детей является прием сложения и вычитания с переходом через десяток. Это случаи вида: 8+5, 13-7.

Сложение с переходом через десяток. Схема приема: 8+5 = 10+3 = 13

3

Алгоритм приема:

второе слагаемое раскладывается на составные части так, чтобы одна из частей в сумме с первым слагаемым составила число 10;

первое слагаемое складывается с частью второго слагаемого, образуя промежуточное число 10;

к промежуточному числу 10 прибавляется оставшаяся часть первого слагаемого (во всех случаях здесь имеет место разрядное суммирование) для получения окончательного ответа [4].

важно: 1) выучить последовательность действий; 2) быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (состав однозначных чисел); 3) дополнять любое однозначное число до 10 (состав числа 10); 4) выполнять разрядное сложение в пределах второго десятка [4].

Большинство детей при изучении данного вычислительного приема испытывают проблемы. Поэтому «в качестве внешней опоры можно использовать линейку… ребенок отмечает первое слагаемое, а затем отсчитывает вправо от него нужное количество «шагов». Результат последнего «шага» совпадает со значением суммы» [4]. Бывают дети- кинестетики, им А.В. Белошистая рекомендует продолжать использовать пальцевый счет. «В этом случае они присчитывают к первому слагаемому единицы , пока хватает пальцев (до 10), а затем, мысленно запоминая полученный десяток, продолжают присчитывать оставшуюся часть второго слагаемого уже к десятку… фактически этот способ моделирует присчитывание по одному, как и использование линейки» [4]. Большой недостаток при таком вычислении: прибавляя большое число, например 7, происходит торможение работы.

Центральная задача методики - довести умение выполнения вычисления во втором десятке до автоматизма, т.е. выучить результаты всех случаев сложения и вычитания наизусть»[4]. Таких случаев - 20. Во всех этих случаях второе слагаемое меньше, чем первое (в остальных случаях применяется перестановка слагаемых).

+2 = 11 9+3 = 12 8+3 = 11

+4 = 11 8+4 = 12 9+4 = 13

+5 = 14 8+5 = 13 7+5 = 12 6+5 = 11

+6 = 15 8+6 = 14 7+6 = 13 6+6 = 12

+7 = 16 8+7 = 15 7+7 = 14

+8 = 16 9+8 = 17 9+9 = 18

Для быстрого запоминания результатов этих вычислений, используется прием опоры на сумму одинаковых слагаемых, которая легче запоминается. Например, 5+5 = 10. Берем любую сумму, в которой одно из слагаемых - число 5 и свойство суммы: при увеличении любого слагаемого на несколько единиц сумма увеличивается на столько же единиц, получаем значение соответствующего выражения:

7+5 = 5+5+2 = 10+2 = 12

     5 2

Дети легко запоминают суммы:

+6 = 12 7+7 = 14 8+8 = 16 9+9 = 18

Используя их как «базовые», получаем результат, присчитывая соответствующее количество единиц к сумме или отсчитывая: 8+9 = 8+8+1 = 16+1 = 17 [4].

Вычитание с переходом через десяток. Схема и алгоритм приема: 14-9 = 5

5

вычитаемое раскладывается на составные части так, чтобы одна из них при вычитании из уменьшаемого составила число 10;

из уменьшаемого вычитается часть вычитаемого, образуя промежуточное число 10;

из промежуточного числа 10 вычитается оставшаяся часть вычитаемого для получения окончательного ответа» [4].

Важно: 1) выучить последовательность действий; 2) быстро подбирать подходящий случай разложения любого однозначного числа на составные части (состав однозначных чисел); 3) выполнять разрядное вычитание в пределах второго десятка; 4) уметь вычитать любое однозначное число из 10 (состав числа 10) [4].

Но и при изучении этого вычислительного приема дети испытывают затруднения при освоении. Также возможно использование линейки в качестве внешней опоры, как и в сложении с переходом через десяток. Дети-кинестетики, продолжают использовать пальцевый счет [4].

Сложение двузначных чисел без перехода через десяток. «На самом деле, уже при знакомстве со случаями 45+23, учитель знакомит детей со способами записи вычислительных действий «в столбик» и приемом поразрядного сложения, применяемых при письменных вычислениях. Сначала предлагается устный способ вычислений:

45 + 23 = …

3 (45 + 20) +3 =68 » [2].

Отличие устных вычислений от письменных: «при устных вычислениях всегда начинают со старших разрядов (в данном случае - с разряда десятков) и выполняют действие, двигаясь слева направо» [4].

Важно знать разрядный состав двузначных чисел, выполнять сложение разрядных единиц (десятки с десятками, единицы с единицами) [4].

Сложение и вычитание целыми десятками. Важно знать десятичный состав двузначного числа. Рассматривая 60 как 6 десятков и 20 как 2 десятка, 60+20 вычисляется как 6 десятков + 2 десятка. Ответ 8 десятков затем рассматривается как 80. Т.о., действия целыми десятками рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10» [4].

Важно опираться на наглядность, сопровождая «соответствующими записями и словесными пояснениями… 34+20… суммой каких разрядных слагаемых заменим число 34? (30 и 4)… заменим число 34 суммой разрядных слагаемых… 34+20 = (30+4) + 20… к сумме чисел 30 и 4 прибавить 20. Как удобнее вычислить результат? (Прибавить число 20 к 30, к первому слагаемому, и к полученному результату прибавить 4, второе слагаемое)… Вычислите результат. (К 30 прибавить 20, получится 50; к 50 прибавить 4, получится 54.) Запись: 34+20 = (30+4) +

= (30+20) +4 = 54» [2].

Надо хорошо понимать разрядный состав двузначных чисел, выполнять сложение целых десятков, сложение в пределах 10 и разрядное сложение (50+4)» [4].

Предлагается решение наиболее удобным способом примеров вида: (50 +3) + 40 и (30 + 6) + 2. При решении таковых учащиеся должны уяснить, что удобнее десятки прибавлять к десяткам, а единицы к единицам, и, что в первом случае прибавляли 40 к числу 53, а во втором - прибавляли 2 к 36 [2].

Прибавление единиц к числу с получением в результате целого десятка, что приводит к увеличению разрядных единиц на одну в разряде десятков.

Важно знать разрядный состав чисел, складывать в пределах 10 и выполнять прибавление десяти к целым десяткам» [4].

Вычитание единиц или десятков из числа без перехода через десяток.

Важно знать разрядный состав чисел, уметь вычитать в пределах 10 и выполнять разрядное сложение (40+5) [4].

Вычитание единиц из целых десятков с заемом одного десятка.

Важно знать десятичный состав целых чисел, вычитать в пределах 10 и выполнять разрядное сложение (20+4) [4].

Сложение двузначных чисел с переходом через десяток 37+48. В уме каждое число раскладывается на разрядные составляющие, а затем разрядные единицы складываются: десятки с десятками, единицы с единицами. Получившиеся суммы складываются. Важно знать разрядный состав двузначных чисел, складывать целые десятки и однозначные числа в пределах 20 [4].

Сложение двузначных чисел с получением в результате целых десятков 37+53. Для выполнение этого приема требуются те же знания и умения, как и в предыдущем. Способ выполнения тот же. Не вызывает затруднений при устном выполнении [4].

Для закрепления знания приема и формирования вычислительного навыка ученики должны выполнять краткое объяснение сначала вслух, а затем про себя: какие действия над какими числами они выполняют и какие получили результаты [2].

Для выработки устный вычислительного навыка, необходимо на каждом уроке выполнять различные упражнения на вычисление результатов сложения и вычитания в пределах 100 для решения «в уме».

Предупреждая появление ошибок в вычислениях надо научить детей постоянно выполнять проверку сложения и вычитания, основанным на связи между компонентами и результатом действий сложения и вычитания. Еще надо использовать способ прикидки результата (сравнивать полученный результат с компонентами) [2].

Умножение и деление в пределах 100.

Одна из тем в курсе начальной математики - тема умножение и деление в пределах 100. Она включает в себя табличное умножение и деление, внетабличное умножение и деление, деление с остатком и особые случаи умножения и деления с 0 и 1.

К табличному - «относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых), например: 8*2, 6*3, 5*4» [5]. Соответствующие им случаи деления тоже называют табличными, например: 16:2, 18:6 [2].

К внетабличным - «относят умножение и деление в пределах 100 двузначного числа на однозначное, умножение однозначного на двузначное, а также деление двузначного числа на двузначное, например: 16*4, 4*16, 51:3, 51:17» [2].

«Умножение и деление с числом нуль, а также умножение и деление на

» относят к особым случаям умножения и деления [2].

Результатом изучения умножения и деления в пределах 100 является усвоение «понятия о действиях умножения и деления, связь между компонентами и результатами этих действий, переместительное свойство умножения, свойство умножения суммы на число, числа на сумму, деления числа на сумму; должны знать наизусть таблицу умножения и соответствующие случаи деления; усвоить приемы вычислений для случаев умножения и деления с числами 10, единица, нуль, а также для внетабличных случаев умножения и деления; овладеть вычислительными навыками в отношении перечисленных случаев умножения и деления» [2].

Рассмотрим методику работы над этими разделами.

Табличное умножение и деление. В этом разделе вначале

«раскрывается конкретный смысл действий умножения и деления и на этой основе вводятся первые приемы умножения и деления, составляется таблица умножения двух и деления на 2; затем изучается переместительное свойство умножения, на основе которого составляется таблица умножения на 2; далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления, на их основе рассматриваются табличные случаи деления с частным 2, приемы умножения и деления с числами 1 и 10, а также остальные таблицы умножения и деления; после этого вводятся приемы умножения и деления с числом нуль… еще в 1 классе при изучении нумерации, сложения и вычитания в пределах 10 и 100 целесообразно ввести счет пар предметов, троек и т. д. и предлагать задачи (примеры) на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых:

В трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках?

В первой коробке 3 карандаша, во второй - 6, в третьей - 8. Сколько всего карандашей в коробках?

Подобные задачи (примеры) полезно иллюстрировать предметами или рисунками. Следует включать и обратные упражнения: по данным рисункам составить задачи (примеры) на сложение.

Решая такие задачи и примеры, учащиеся замечают, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми, и считают, сколько таких слагаемых» [2].

В дальнейшем «сумма одинаковых слагаемых заменяется произведением (6+6+6+6=24; 6*4=24). Выполняя эту операцию дети знакомятся с действием умножения, с записью умножения, усваивают роль множителей» [2].

Рассмотрим, как это предлагает сделать М.А. Бантова. «Учитель предлагает решить задачу: «Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка?» Выполнив иллюстрации, учащиеся записывают решение: 5+5+5+5 = 20.

Что можно сказать о слагаемых этой суммы? (Одинаковые.) Сколько их? (4.) Здесь по 5 взяли 4 раза. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5*4 = 20. Читают эту запись так: по 5 взять 4 раза, получится

(Дети повторяют.) Можно прочитать по-другому: 5 умножить на 4, получится 20. (Повторяют.) Здесь выполнили действие умножения. Сложение одинаковых слагаемых называют умножением. (Повторяют.) Умножение обозначают знаком - точкой Что показывает в этой записи число 5? (Число 5 берется слагаемым.) Что показывает число 4? (Сколько раз взяли слагаемым число 5.)» [2].

Для усвоения необходимо выполнить достаточное количество подобных упражнений на замену суммы произведением, при этом дети каждый раз должны устанавливать, что показывает каждое число в новой записи.

Важно, чтобы дети понимали, когда замена суммы произведением возможна, а когда - нет, говорит М.А. Бантова. Для этого надо прорешать примеры с одинаковыми и разными слагаемыми. Возникающие вопросы при этом: «Можно ли пример 2+5+8 заменить примером на умножение?», «Всегда пример на сложение можно заменить примером на умножение?», «В каких случаях это сделать нельзя, а в каких можно?». Необходимо закрепить знания этого приема, так как не нем основывается составление таблиц умножения, для чего научить детей вести рассуждение при замене произведения суммой по определенному плану: назвать первый множитель и сказать, какое число берется слагаемым; назвать второй множитель и сказать, сколько надо взять таких слагаемых; вычислить сумму [2].

Комментарии детей при вычислении произведения 7*3: первое число (первый множитель) 7, значит, берем слагаемым число 7; второе число (второй множитель) 3, следовательно слагаемых будет 3; вычисляем 7+7+7=21 [2].

При вычислении некоторых сумм одинаковых слагаемых желательно познакомить детей с приемом группировки слагаемых и использовать в дальнейшем. Сумма 2+2+2+2+2+2+2, надо акцентировать внимание детей, что сумма пяти слагаемых равна 10, а к 10 легко прибавить сумму остальных слагаемых: 10+4= 14. Этот прием используется в дальнейшем при составлении таблиц умножения [2]. Надо добиться, чтобы дети заменяли произведения суммами:

*7=2+2+2+2+2+2+2=14

Приему нахождения произведения с опорой на другое произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, уделяется много времени, так как на нем основывается составление таблиц умножения.

Составляется таблица умножения двух, которую дети учат [2]. При ее составлении результат находят сложением, используя при этом наглядные пособия или обводят в тетради 9 рядов клеток, по 2 клетки в ряду. Таблица на доске и в тетрадях записывается так [2]:

*2 = 4 2+2 = 4

*3 = 6 2+2+2 = 6

*4 = 8 2+2+2+2 = 8

*5 = 10 2+2+2+2+2 = 10

*6 = 12 2+2+2+2+2+2 = 12

*7 = 14 2+2+2+2+2+2+2 = 14

*8 = 16 2+2+2+2+2+2+2+2 = 16

*9 = 18 2+2+2+2+2+2+2+2+2 = 18

Составляя результаты в таблице «дети используют прием нахождения произведения с опорой на другое произведение: «Как решить пример 2*2? (2+2

= 4.) Как теперь можно решить пример 2*3? (Здесь на одну двойку больше, надо к 4 прибавить 2, получится 6.) Так же вычисляются другие произведения. Дойдя до случая 2*5, надо обратить внимание детей, что здесь результат равен 10, а к 10 легко прибавлять другие числа. Далее, выделив пять слагаемых, дети находят результат, прибавляя к 10 сумму остальных слагаемых.

Таблицу умножения двух на данном этапе читают так: 2 умножить на 2,

получится 4, или по 2 взять 2 раза, получится 4» [2].

В процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части, раскрывается конкретный смысл деления. Первый вычислительный прием деления основывается на знании конкретного смысла действия деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами. Например, чтобы найти частное 12:3, берут 12 кружков, раскладывают их по 3 и считают, сколько раз получилось по 3 кружка, или раскладывают 12 кружков на 3 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части [2]. Для закрепления решаются простые задачи на деление по содержанию и на равные части и решаются примеры на деление с помощью действий с конкретными предметами (палочки), в процессе решения ученики узнают термины умножения и деления [2].

Изучается переместительное свойство умножения, которое дает возможность сократить число запоминаемых наизусть случаев. Например, вместо двух случаев (8*2 и 2*8) ученики запоминают один [2].

Важно понимание связи между компонентами и результатами действий умножения и деления, на их основе вводятся приемы для табличных случаев деления. Например, 3*6 = 18 ученики составляют два примера на деление 18:3 = 6 и 18:6 = 3 и делают вывод: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель. Табличные случаи деления с числом 2 [2]:

*2 = 4 4:2 = 2

*3 = 6 6:2 = 3

*4 = 8 8:2 = 4

*5 = 10 10:2 = 5

*6 = 12 12:2 = 6

*7 = 14 14:2 = 7

*8 = 16 16:2 = 8

*9 = 18 18:2 = 9

Для закреплении знания связей между компонентами и результатами действий умножения и деления, ученики знакомятся с приемом подбора частного. Например, надо 15 разделить на 5, для этого надо подобрать такое число (частное), при умножении которого на делитель 5 получается делимое 15; это число 3, так как 5 * 3 = 18 . Этот прием широко используется при делении чисел в пределах 100 [2].

Вводятся приемы умножения и деления с числами 1 и 10. Сначала рассматривается прием умножения единицы на числа не равные 1. Учащиеся решают примеры, находя результат сложением и делают выводы: «при умножении единицы на любое число получается то число, на которое умножали» [2].

«Деление на число, равное делимому (3:3 = 1) , раскрывается на основе конкретного смысла деления: если, например, 3 карандаша разложить в 3 коробки поровну, то в каждой коробке окажется по одному карандашу. Рассуждая таким образом, ученики… замечают, что при делении на число, равное делимому, в частном получается 1» [2]. На основе связи между компонента­ ми и результатом действия умножения, вводится деление: зная, что 1*4 = 4, находим 4:1 = 4. Ученики делают вывод: «при делении любого числа на единицу в частном получается это же число» [2].

«При умножении 10 на однозначные числа ученики пользуются приемом: чтобы умножить 10 на 2, можно 1 десяток умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. Умножая на 10, дети используют переместительное свойство умножения: чтобы 2 умножить на 10, можно 10 умножить на 2, получится 2 десятка, или 20. При делении используется знание связи между компонентами и результатом действия деления: чтобы 20 разделить на 10, надо подобрать такое число, при умножении которого на 10 получится 20; это 2; значит, 20:10 = 2.

Так же находим, что 20:2=10» [2].

Табличное умножение и деление изучается параллельно, из каждого случая умножения получают соответствующие случаи деления; если 4*3=12, то 12:4 = 3 и 12:3 = 4. Для такого вывода служит знание детьми связи между компонентами и результатом действия умножения [2].

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом (сначала 3,

затем 4, 5 и т.д.) составляются также как и с числом 2. После того, как

составлена таблица умножения по постоянному первому множителю, ученики сразу пишут еще один пример на умножение (переставляя множители) и два примера на деление [2].

Краткая таблица умножения для запоминания наизусть.

*2 = 4

*2 = 6 3*3 = 9

*2 = 8 4*3 = 12 4*4 = 16

*2 = 10 5*3 = 15 5*4 = 20 5*5 = 25

*2 = 12 6*3 = 18 6*4 = 24 6*5 = 30

*2 = 14 7*3 = 21 7*4 = 28 7*5 = 35

*2 = 16 8*3 = 24 8*4 = 32 8*5 = 40

*2 = 18 9*3 = 27 9*4 = 36 9*5 = 45

*6 = 36

*6 = 42 7*7 = 49

*6 = 48 8*7 = 56 8*8 = 64

*6 = 54 9*7 = 63 9*8 = 72 9*9 = 81

Заучивая наизусть таблицу умножения, важно ученикам быстро находить соответствующий результат деления.

Далее рассматриваются случаи умножения и деления с нулем.

Внетабличное умножение и деление. Порядок изучения внетабличного умножения и деления начинается с рассматривания свойств умножения числа на сумму и суммы на число. Потом рассматривается умножение и деление чисел, оканчивающихся нулем, умножение двузначного числа на однозначное и умножение однозначного числа на двузначное, свойство деления суммы на число, на основе которого раскрывается прием деления двузначного числа на однозначное и деление двузначного числа на двузначное. При изучении этой темы обязательна проверка умножения и деления [2].

Методика изучения свойств умножения и деления суммы на число и умножения числа на сумму. Для этого необходимо конкретный смысл действия умножения и правило о порядке выполнения арифметических действий в выражениях без скобок. Учащиеся читают выражение 4*(3+4) и вычисляют его значение уже известным способом: 4*(3+4) =4*7=28

Возможна путаница изученного свойства умножения числа на сумму и суммы на число с ранее изученным свойствами прибавления суммы к числу и числа к сумме, например: (10+5)*3= 10*3+5. То есть ребенок может умножить на число только первое слагаемое, а затем прибавить второе, так как прибавляют число к сумме. Для предупреждения таких ошибок необходимо решать специальные упражнения, примеры вида: (6+5)*3 и (6+5)+3 [2].

Существенное отличие: прибавляя сумму к числу, прибавляем к нему одно из слагаемых и к результату прибавляем другое слагаемое, а при умножении числа на сумму умножаем число на каждое из слагаемых и результаты складываем [2].

Методика изучения свойства умножение суммы на число. Первоначально рассматриваются приемы для случаев умножения и деления чисел, оканчивающихся нулем. Их решение сводится к умножению и делению однозначных чисел, выражающих число десятков, например:

*3 80:8

десятка *3 = 9 десятков

*3 = 90

десятков:8 = 1 десяток

:8 = 10

При умножении однозначных чисел на двузначные разрядные числа используется прием перестановки множителей (3*20=20*3). Деление двузначных чисел, оканчивающихся нулем, выполняется способом подбора частного на основе связи между компонентами и результатом деления. Например, чтобы 80 разделить на 20, надо подобрать такое число, при умножении которого на 20 получится 80. Сначала пробуем: 2 - мало, 3 -

мало, 4 - подходит, так как 20*4 = 80. Значит, 80:20 = 4.

После изучения свойства умножения числа на сумму и суммы на число вводятся приемы, основанные на этих свойствах. Прием умножения двузначного числа на однозначное: дети могут самостоятельно отыскать способ решения новых примеров: 12*4, 24*3 или самостоятельно объяснить ход решения нового примера по развернутой записи его решения: 12*4= (10+2)*4=10*4+2*4=48

Они должны сами выделить три этапа, из которых складывается решение примера: заменить первый множитель суммой разрядных слагаемых; прочитать полученное выражение (10+2)*4 и вычислить произведение удобным способом: умножить на число каждое слагаемое в отдельности и полученные произведения сложить.

Важно своевременно сократить объяснение: 12*4, десять умножить на 4, получится 40; 2 умножить на 4, получится 8; к 40 прибавить 8, будет 48 [2].

При умножении однозначного числа на двузначное можно использовать переместительное свойство умножения: 6*11=11*6 = 66

При делении двузначного числа на однозначное используется свойство деления суммы на число. Это свойство усваивается сложнее, «при делении двузначного числа на однозначное встречаются разные группы примеров:

:2=(20+6):2=20:2+6:2=10+3=13 делимое заменяем суммой разрядных слагаемых

) 70:2=(60+10):2= 60:2+10:2 = 30+5 = 35 делимое заменяем суммой удобных слагаемых, разрядные двузначные числа

) 84:7= (70+14):6=70:7+14:7=10+2=12 делимое заменяем суммой двух чисел, одно - двузначное разрядное число, а другое - двузначное неразрядное

Эти слагаемые удобные в том смысле, что при делении их на данный делитель получаются разрядные слагаемые частного. Трудность заключается в нахождении удобных слагаемых [2]. Нужно предлагать в целях подготовки следующие упражнения: «выделять двузначные разрядные числа, которые учащиеся уже умеют делить на 2 (10, 20, 40, 60, 80), на 3 (30, 60, 90), на 4 (40,

) и т. д.; представлять разными способами числа в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число без остатка: например, 24 можно заменить такой суммой, каждое слагаемое которой делится на 2: 20+ 4, 12+12, 10+ 14 и т. д.; решать разными способами примеры вида: (18+45):9» [5].

После рассматриваются примеры, «при решении которых приходится делимое заменять суммой разрядных слагаемых, например: 48:4

=(40+8):4=40:4+8:4=12» [2].

Потом рассматриваются примеры, «при решении которых приходится делимое заменять суммой удобных слагаемых, например:

:2= (40+10):2 = 40:2+10:2= 25

:3= (60+15):3 = 60:3+15:3= 25

Здесь подобрать удобные слагаемые труднее, чем в примерах первой группы. Поэтому следует уделить большое внимание замене делимого суммой удобных слагаемых и выбору самого удобного способа. Так, пример 42:3 может быть решен разными способами:

:3 = (30+18):3 = 30:3+18:3 = 16

:3 = (27+21):3 = 27:3+21:3 = 16

:3 = (24+24):3 = 24:3+24:3= 16

Самый удобный способ - первый, так как при делении удобных слагаемых (30 и 18) получаются разрядные слагаемые частного (10+6 = 16) [2]. К внетабличному делению относится деление двузначного числа на двузначное. Также используется способ подбора частного, который основан на связи между компонентами и результатом действия деления: подбирают частное, а затем умножают на него делитель и смотрят, получилось ли делимое. Так, при решении примера 85:17 ставится вопрос: на какое число надо умножить делитель 17, чтобы получить делимое 85? (На число 5.) Значит,

85:17=5 [2].

Приемы подбора частного: дети находят частное медленно, числа берут по порядку: 2, 3, 4 и т. д., постепенно число проб будет сокращаться.

Деление с остатком. Особенность деления с остатком - здесь находят два числа: частное и остаток. «Конкретный смысл деления с остатком раскрывается при решении простых задач на деление по содержанию и на равные части с помощью выполнения операций с предметами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить разбиение данного множества на равночисленные подмножества и что в таких случаях операция разбиения связывается с действием деления с остатком». То есть ответ на вопрос ученики сначала находят практически, затем выполняемые операции с предметами надо сопоставить с действием деления с остатком. Например, предлагается решить задачу: «17 карандашей разложили в 3 коробки поровну, сколько карандашей положили в каждую коробку и сколько карандашей осталось?» Один ученик у доски, а остальные у себя на партах раскладывают 17 карандашей на 3 равные части, затем выясняют, что получилось по 5 карандашей в коробке и еще осталось 2 карандаша. Учитель говорит, что решение таких задач тоже выполняется делением, только с остатком: 17 разделили на 3, получилось 5 и 2 в остатке.

Решению задач на деление по содержанию: раскрывается отношение между делителем и остатком, т. е. ученики устанавливают: если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя. Для чего решаются примеры на деление последовательных чисел на 2, затем на 3 (4, 5), например:

Учащиеся сравнивают остаток с делителем и замечают, что при делении на 2 в остатке получается только число 1 и не может быть 2 (3, 4 и т. д.). Точно так же выясняется, что при делении на 3 остатком может быть число 1 или 2, при делении на 4-только числа 1, 2, 3 и т. д. Сравнивая остаток и делитель, делается вывод, что остаток всегда меньше делителя [2].

На уроках лучше брать примеры парами: один из них на деление без остатка, а другой на деление с остатком, но примеры должны иметь одинаковые делители и частные» [2].

Решаются упражнения на деление с остатком, например 37:8. «Ученик должен усвоить следующее рассуждение: «37 на 8 без остатка не делится. Самое большое число, которое меньше, чем 37, и делится на 8 без остатка, 32. 32 разделить на 8, получится 4; из 37 вычтем 32, получится 5, в остатке 5.

Значит, 37 разделить на 8, получится 4 и в остатке 5»» [2].

Если у детей при решении примеров на деление с остатком получается остаток больше делителя, то полезно детям давать решенные примеры с ошибкой, для нахождения и объяснения ее детьми.

Навык деления с остатком, как табличного и внетабличного умножения и деления вырабатывается в результате тренировки, поэтому надо больше решать примеров как устно, так и в письменно. В процессе изучения умножения и деления обязательно необходимо проводить проверку.

.2 Методические основы применения нестандартных способов решения при формировании устных приемов вычислений

Дети часто испытывают трудности при вычислениях в уме. А.В. Белошистая считает, что учить детей сразу приемам письменных вычислений - значит с первых же шагов обрекать их на полную беспомощность при выполнении устных вычислений в пределах 100. Что научить приемам письменных вычислений иногда проще, чем пытаться развивать собственную вычислительную деятельность ребенка. Ведь ежедневно людям приходится выполнять несложные вычисления в уме, обычно в пределах 100 [2]. Спецефические трудности с устными вычислениями испытывают дети с замедленным типом мышления, дети с ведущим синтетическим способом мыслительной деятельности, а также ведущие кинестетики [2].

Для таких детей «были разработаны специальные схематические модели двузначных чисел, отражающие их десятичную структуру. На базе

использования этих моделей для этих детей была разработана иная последовательность знакомства с вычислительными приемами и иные способы их выполнения. Использование этих способов при устных вычислениях лишь в небольшой степени меняет порядок изучения вычислительных приемов.

В начальной школе уделяется большое внимание разрядной структуре чисел. «Соответственно понятию «разрядный состав двузначного числа» мы рассматриваем два случая так называемого разрядного сложения и вычитания, которые в дальнейшем становятся одним из опорных приемов для обучения сложению и вычитанию с переходом через десяток и других вычислительных приемов в пределах 100. В соответствии с разрядным составом строится и схематическая разрядная модель числа, с которой связываются соответствующие случаи сложения и вычитания:

39 30 + 9 39 - 9

9 9 + 30 39 - 30

Для детей с трудностями вычислительной деятельности предлагается другая схематичная модель двузначного числа, имеющая в основе его десятичный состав. Использование схематической десятичной модели, доступной восприятию первоклассника, позволило обойти невозможность использования аналитической записи, отражающей десятичную структуру числа.

С другой стороны, данная модель позволяет эффективно использовать мыслительные особенности ребенка с преобладанием синтетического типа мышления, которые предрасположены к работе с наглядными моделями изучаемых понятий. Используемая модель понятия (двузначного числа) позволяет такому ребенку в конкретной деятельности моделировать сам прием вычисления, в то де время являясь основой для самопроверки (т.е. дает возможность убедиться в правильности ответа).39 - 9 39 - 10 39 - 20 30 + 9

- 19 39 - 29 39 - 30 9 + 30

Детям, которым трудно даются арифметические вычисления, такая модель значительно облегчает работу.

Однако в отношении детей, о которых идет речь (синтетики с замедленным типом мышления, необходимо требующие наглядной внешней опоры для формирования осознанного типа деятельности), такая модель оказывается более эффективной в связи со своей наглядностью, а чуть большая затрата труда и времени для построения модели (самостоятельного рисования десятичной схемы числа) этих детей не отвращает, наоборот, она служит как бы приемом подготовительно-организующим дальнейшую вычислительную деятельность. Использование таких моделей еще на этапе изучения нумерации в пределах 100 (до начала изучения темы «Сложение и вычитание в пределах 100»), позволяет легко освоить первые девять приемов вычислений» [4].

.3 Методические рекомендации по формированию умений и навыков устных вычислений

Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения различных упражнений. Для формирования умений и навыков в работу включаются устные упражнения, такие как «устный счет», игры «молчанка»,

«эстафета», «лесенка», «круговые примеры» и др. Очень полезны арифметические диктанты - устные вычисления с показом ответов разрезными цифрами или записью ответов в тетрадях… Особенно ценны упражнения с элементами творчества, догадки: составить примеры, задачи, исправить неверно решенные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в примерах: … -3 = 7; 8-… = 6; 8+… = 10; 6*4 = 2.

Эффективными для формирования вычислительных навыков являются упражнения с равенствами и неравенствами: сравнить выражения и вставить знаки «<», «>» или «=»: 7+2 … 7, 10-3 … 4; проверить правильно ли поставлены знаки в заданных равенствах и неравенствах: 6+4 < 10, 6+3 > 10, 8+2 = 10; вставить подходящее число, чтобы получилась верная запись: 10-4 <…, 5+2 > …, 5+3 = ….

Сравнение выражений выполняют на основе сравнения их значений (5+2>6, так как 7 больше, чем 6), поэтому дети с помощью таких упражнений закрепляют навыки вычислений.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что сложив два числа, получаем новое число и что соответственно это число может быть выражено суммой двух чисел: если 6+2=8. То 8=6+2; если 5+3=8, то 8=5+3 и т.д. С этой целью предлагают специальные упражнения, например: Составьте примеры на сложение с ответом 7 и замените число 7 суммой по образцу … + … = 7, 7 =

… + …» [5].

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо постоянно упражняться в устных вычислениях, а письменно вычислять только тогда, когда уже трудно устно.

Весь урок должен быть охвачен упражнениями в устных вычислениях.

«Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать учащимся при опросе» [2]. Следуя этому у учителей утвердилась традиция: на каждом уроке специально отводить 5-7 мин для устных вычислений, проводить так устный счет [2]. В. С. Кравченко считает, что устные задания должны соответствовать теме и задачам урока. Это не дополнительный материал и не самоцель, а органическая, необходимая часть урока, без которой усвоение заданий и навыков будет протекать с большими трудностями, с большей потерей времени [21]. М.А. Бантова пишет о том, что в зависимости от цели и темы урока учитель определяет место устного счета на уроке. «Если устные упражнения предназначаются для повторения ранее пройденного материала, формированию вычислительных навыков и готовят к изучению нового материала, то лучше их провести в начале урока до изучения нового материала. Если устные упражнения имеют цель закрепить изученное на данном уроке, то надо провести устный счет после изучения нового материала» [2]. Не нужно проводить его в конце урока, так как дети уже устали, а устный счет требует внимания, памяти, логического мышления. В конце можно провести небольшую «математическую разминку», которая будет способствовать поддержанию интереса детей к предмету и развивать математическую грамотность» [8]. Выполняемое количество упражнений не должно переутомлять детей и не превышать отведенного для этого времени на уроке.

Задания для устного счета предлагают детям так, чтобы они воспринимали их либо зрительно, либо на слух, либо и зрительно, и на слух… рекомендуется чередовать задания всех трех видов» [2]. К слуховой форме относятся математические диктанты, устные задачи в стихах и т.д. К зрительно-слуховой относятся примеры-цепочки, графические диктанты.

Очень важно уроках математики решать нестандартные задачи, которые требуют размышления, развивают логическое мышление и смекалку.

На уроках математики рекомендуется как можно больше устных упражнений проводить в форме игры, так как такая форма вызывает повышенный интерес у младших школьников. Рассмотрим распространенные математические игры.

Игра «Молчанка». Берется любая геометрическая фигура, в центре

которой и по контуру, записываются числа. Около числа, расположенного в центре, ставится знак одного из арифметических действий. Число, записанное в центре - постоянное. Игра проводится так: учитель показывает на одно из чисел, которое записано по контуру, а дети выполняют указанное действие с этим числом, записанным в центре. Вызванный ученик записывает результат. Остальные поднятием руки

сигнализируют, если допущена ошибка. Вся работа протекает молча. Игра может быть изменена: учитель показывает на число, а дети молча показывают результат на разрезных цифрах [2].

Круговые примеры. «32:4 36­9 24:8 3­12 8+16 27+5 Это круговые примеры: первый пример берется произвольно (32:4), результат этого примера должен быть первым компонентом следующего примера (8+16), результат этого примера будет первым компонентом следующего примера (24:8) и т. д., результат последнего примера будет первым компонентом первого (32). Затем эти примеры записываются в произвольном порядке.

Игра проводится так: примеры записываются на доске; ученики решают первый пример; вызванный ученик называет не результат, а тот пример, который начинается с числа, равного результату (8+16); дети решают этот пример и называют следующий пример, который начинается с результата этого примера: 24:8 и т. д., пока не придут к первому примеру» [2]. Ученики могут сами составлять примеры.

Угадывание задуманных примеров. Учитель записывает на доске примеры и называет ответ одного из них (не первого), а ребята должны найти замысленный учителем пример по ответу. Для этого им приходится решить все или почти все примеры, пока не найдется нужный [2].

Магические или занимательные квадраты. Квадраты состоят из 9, 16,

клеток. В клетки записываются такие числа, сумма которых по всем направлениям (строкам, столбцам и диагоналям) одинаковая. В первом случае квадрат заполнен, но надо проверить, является ли данный квадрат магическим. Во втором случае в квадрате не все числа указаны, но есть сумма. Надо дополнить квадрат. В третьем случае не все числа даны и сумма не дана, сначала надо еще найти эту сумму и после этого дополнить квадрат [2].

Сумма 15

Существуют множество других игр: «Домино», «Ромашка», «Лото»,

«Лучший счетчик», «Лесенка», «Лабиринт», «Математическая эстафета», угадывание чисел, задуманных детьми, и др. Все эти игры способствуют формированию навыков устных вычислений.

Необходимо постоянно проверять умения и навыки устных вычислений у детей, проводя устный счет, математические диктанты.

ГЛАВА 3. Опытно-экспериментальная работа по формированию устных приемов вычислений у младших школьников

.1 Организация экспериментальной работы по выявлению уровня сформированности навыков устных приёмов вычислений у учащихся

Цель работы: Экспериментально проверить эффективность формирования у второклассников устных вычислительных навыков.

Метод исследования: анализ продуктов деятельности учащихся.

Проведя теоретический анализ методик устных вычислительных навыков у младших школьников, мы выделили основное условие способствующее наиболее эффективному формированию устных приемов вычислений у младших школьников - включение в работу различных устных упражнений.

Мы попробовали определить уровень сформированности устных вычислительных навыков у младших школьников. Опытно-эксперементальная работы проводилась в МБОУ Гимназия №1 г. Краснознаменск класс 2В. В ней принимали участие 27 человек. Обучаются дети по программе «Перспектива», авторами учебника по математике являются Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова, Т.Б. Бука [12] [13]. В 1 классе ребята познакомились с числом 0, числами от 1 до 20, изучили таблицу сложения однозначных чисел, научились складывать и вычитать числа в пределах 20 без перехода через десяток, во 2 - познакомились с умножением и делением, изучили таблицу умножения в пределах 20, рассмотрели случаи умножения и деления с круглыми десятками, изучили устные приемы сложения и вычитания натуральных чисел в пределах 100 [14].

Для выявления уровня сформированности устных вычислительных навыков мы провели диагностику, а именно математический диктант. Диагностировались следующие вычислительные приемы:

За задания № 1, 2, 3, 5, 9, 11, 14, 15 решив его правильно, ребята могли

получить по 1 баллу, за остальные - по 2 балла, т.е. возможно было получить 25 баллов за эту работу. За вычислительные ошибки снимался 1 балл. Полученные результаты оценивались по следующим уровням: высокий (22-25 баллов), средний (13-21 балла), ниже среднего (0-12 баллов).

Чтобы узнать какой уровень сформированности у младших школьников 2В вычислительных навыков мы использовали такие методы исследования, как математический диктант, направленный на изучение уровня сформированности навыков устного счета и на выявление количества усвоенных устных приемов вычислений. Конечно же по результатам этого математического диктанта нельзя сделать полного вывода об уровне сформированности навыков устных приемов вычислений у учеников в экспериментальном классе, поэтому нами было проведено еще наблюдение, для обнаружения количества и качества усвоенных приемов вычислительных навыков.

В таблице мы можем видеть результаты математического диктанта.

Таблица 3. Таблица результатов математического диктанта.

Анализируя проверку математического диктанта мы можем видеть, что с первым заданием справились все ученики. С одиннадцатым - справились все, кроме одного ученика. Со вторым заданием не справились пятеро. В третьем - ошиблись двое. В четвертом задании четыре ученика дали верный ответ, остальные сделали ошибки. С пятым заданием не справился один ученик, восемь учеников дали верный ответ. Шестое, десятое и двенадцатое задания решили правильно четверо. С седьмым справились семеро. В девятом ошиблись пятеро. Восьмое решили верно двое учеников, а в тринадцатом пятеро. С четырнадцатым и пятнадцатым совсем не справились восемь учеников. Ребята допускали ошибки в примерах на вычитание двузначных чисел с переходом через разряд. С заданием на вычитание двузначных чисел с переходом через разряд полностью справились только двое учеников - Федор К. и Вероника С. При выполнении примеров на сложение двузначных чисел с переходом через разряд ошибки допускали почти все, кроме Федора К., Вероники С, Антона А., Елизаветы Р., Павла К.

Можно сделать вывод: по результатам математического диктанта наблюдается низкий уровень сформированности устных приемов вычислений у семи учеников: Андрея К., Ники К., Даниила Г., Елизаветы К., Снежаны Н., Елизавелы Кл. и Евгения Б., высокий уровень у троих учащихся: Федора К., Антона А. и Вероники С. У остальных - средний уровень сформированности устных приемов вычислений.

Помимо математического диктанта, мы использовали метод наблюдения, для анализа работы детей на уроке математики, как у доски, так и с места, их устными рассуждениями, правильностью и быстротой устных вычислений.

Таблица 4. Протокол наблюдения за учениками на уроках математики.

- допускает ошибки в устных вычислениях,

не допускает ошибок в устных вычислениях.

По итогам этого наблюдения за работой ребят на уроках математики мы видим, что показатель сформированности вычислительных навыков присутствует у трех учащихся (высокий уровень) - у Федора К., Антона А. и Вероники С, они правильно выполняют вычисления. Показатель сформированности устных приемов вычислений отсутствует только у Евгения Б. (ниже среднего уровня) - часто допускает вычислительные ошибки, связанные почти со всеми вычислительными приемами, кроме приема сложения без перехода через разряд. У остальных учащихся показатель сформированности устных вычислительных навыков присутствует частично (средний уровень). Семеро учащихся - Андрей К., Ника К., Даниил Г., Елизавета К., Снежана Н., Елизавета Кл. и Евгений Б. - часто допускают вычислительные ошибки, связанные со сложением и вычитанием с переходом через разряд, с табличным умножением и делением до 20.

На данном этапе опытно-экспериментальной работы, мы установили, что у семи учащихся класса уровень сформированности устных приемов вычислений ниже среднего, у семнадцати учащихся - средний уровень и только у троих вычислительный навык сформирован на высоком уровне. Рассмотрим в процентном соотношении уровень сформированности устных приемов вычислений на диаграмме.

Диаграмма 1. Уровень сформированности устных приемов вычислений на первом этапе.

На диаграмме можно видеть, что учеников с высоким уровнем сформированности устных приемов вычислений - 11,11%, со средним уровнем - 62,96%, с низким - 25,93%.

На основании полученных результатов математического диктанта и анализа наблюдения за учениками, можно сделать вывод о том, что в данном классе 2В сформированность устных приемов вычислений на среднем уровне. Ребята допускают множество ошибок в вычислениях, связанных со сложением и вычитанием с переходом через разряд. Всего трое учащихся из класса выполняют вычисления правильно, без ошибок. Все это указывает о необходимости дорабатывания и повышения качества и количества устных навыков вычислений. Поэтому нужно ввести задания, направленные на

совершенствование и развитие приемов устных вычислений, и включить их в каждый урок математики.

Из теоретического анализа методик устных вычислительных навыков у младших школьников мы выявили, что для формирования устных вычислительных навыков необходимо достаточное число разнообразных упражнений, как по числовым данным, так и по форме, а быстрота устного счета формируется в процессе выполнения постоянных длительных упражнений. Но надо помнить, что однообразные упражнения притупляют интерес к предмету, нагоняют скуку. Мы разработали задания, направленные на совершенствование приемов устных вычислений.

Рассмотрим фрагменты заданий, включенных в уроки математики для формирования навыков устного сложения, вычитания, умножения и деления.

. Игра «Лучший счетчик». К доске вызываются два ученика, которые становятся спиной к доске. На доске предварительно написаны примеры в два столбика. Учитель показывает на пример и остальные ученики устно решают его. Вызванный учителем ученик, сидящий за партой, называет ответ. Два ученика, стоящие у доски, с разрешения учителя поворачиваются к примерам. Она должны найти пример, ответ на который назвал ученик с места. Выигрывает тот ученик, кто первым показал этот пример [15].

-9 40+34 В процессе игры, ученик сосредотачивается,

+8 76-4

-30 3+48

+32 9+21

-12 63+6

самостоятельно мыслит, а соревновательный процесс активизирует детей и повышает интерес к игре.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Игра «Цепочка».

*3-> ?-19-> ?+10-> ?:3-> ?+86-> ?-41-> ?+8-> ?-39-> ?:6-> ?+25=

Можно усложнить задачу, написав итоговый ответ в цепочке, оставив неизвестным первое число.

Игра «Поле чудес». Ученику дается карточка, на которой написаны примеры и дан код для расшифровки слова. Ученику нужно решить все примеры и выписать ответы в строчку, сопоставить ответ букве и прочитать заданное слово.

20:20

-47

:4

-28

-18

:3

:2

-35

Кроссворд. Также ребятам были предложены разнообразные кроссворды разных уровней сложности. Кроссворды продолжительное время поддерживают интерес к выполнению данного задания.

Игра «Молчанка». Ребятам показывали на одно из чисел, которое записано по контуру, а ученики выполняют указанное действие с этим числом, записанным в центре. Вызванный ученик записывает результат молча на доске. Остальные ученики поднятием руки сигнализируют, если допущена ошибка. Вся работа протекает молча.

Также ребятам предлагалась игра «Ромашка», вариант игры «Молчанка».

На лепестках цветка написаны числа, а в середине число и знак (+, - , *, :).

Рифмованные задачи помогали ребятам в усваивании таблицы умножения и деления, например:

За три дня к Айболиту лечиться Пришли восемь зайцев,

Четыре волчицы. Сколько больных зверей

Вылечит Айболит за пять дней?

Напекла лиса ватрушек, Пригласила пять подружек. Вот ватрушки, надо их Разделить на шестерых.

Всех ватрушек восемнадцать, Сколько каждой можно съесть?

У стены стоят кадушки,

В каждой кадушке по две лягушки. Если было б пять кадушек, Сколько было б в них лягушек?

В муравейнике мурашки Шили к празднику рубашки, Одному мурашке в руки Нужно сшить три штуки. Сколько для шести мурашек Надо сшить всего рубашек?

*3+27=41 9+16:8=12 6*(30-27)=17

-4*4=63 32-18:2=24 (12+18):3=11

Ребята быстро считают и ,находя ошибки, исправляют. Такой вид устного счета тренирует у учеников память и внимание.

Еще устный счет включался в физкультминутки. Ребятам говорили, что они будут приседать, если учитель не прав, а если прав, то стоите на месте. Например:

больше 6 в 2 раза (дети приседают). Почему?

Чтобы получить 9, нужно из 40 вычесть 21 (дети приседают). Почему?

Для того, чтобы разложить 30 кг моркови в ящики по 10 кг, необходимо

ящика (дети приседают). Почему?

Магический квадрат. Ребятам предлагались различные магические квадраты. Нужно было их заполнить.

39

Регулярно проводились математические диктанты. Например:

Сколько четвёрок в числе 16?

Запиши число, которое меньше 53 на 18.

Сколько будет, если взять 2 раза по 8?

На сколько число 62 больше 36?

Какое число больше 48 на 18?

Какое число нужно вычесть из 60, чтобы получить сумму чисел 14 и 8?

Увеличь 33 на 49.

Первое слагаемое 48, второе слагаемое на 9 меньше. Чему равна сумма?

Какое число надо увеличить на 8, чтобы получить 33?

На сколько 81 больше 9? 11) 90 без 46?

Дополни 23 до 70.

Найди произведение чисел 5 и 4.

За два яблока заплатили 18 рублей. Сколько стоит одно яблоко?

На одной тарелке 15 слив, а на второй в три раза меньше. Сколько слив на двух тарелках?

.2 Обработка и анализ результатов экспериментального исследования

После проведения заданий, направленных на совершенствование и развитие приемов устных вычислений, на каждом уроке математики, мы проверили уровень сформированности устных вычислительных навыков, для этого мы провели еще один математический диктант по тем же критериям как и в первый раз, результаты которого мы можем видеть в таблице.

Таблица 5. Таблица результатов математического диктанта.

Таким образом, мы видим, что уровень сформированности устных приемов вычислений во всем классе стал выше. Рассмотрим его в процентном соотношении на диаграмме.

Диаграмма 2. Уровень сформированности устных приемов вычислений на контрольном этапе.

Из диаграммы видно, что учеников со средним уровнем сформированности устных приемов вычислений - 70,37%, с высоким - 29,63%. Мы видим, что показатели явно улучшились. На основе полученных результатов, можно сделать вывод о том, что в данном классе сформированность устных приемов вычислений осталась на среднем уровне,

но учеников с низким уровнем сформированности устных приемов вычислений нет, а количество учеников с высоким и средним сформированности устных приемов вычислений увеличилось.

По итогам года в классе также была проведена контрольная работа, в которой ребята получили довольно высокие оценки.

Анализ результатов показал, что учащиеся, участвующие в эксперименте успешно справились с заданиями, что может являться некоторым подтверждением того, что разработанная нами на теоретических положениях методика формирования устных приемов вычислений у младших школьников, является эффективной.

Наблюдения за учениками в момент эксперимента показали, что они справились с математическим диктантом и контрольной работой быстро. В процессе выполнения работы учащиеся чувствовали себя уверенно, практически не задавали вопросы учителю, сверстникам, не отвлекались.

Сравнив эти результаты с результатами первого контрольного среза, мы можем сделать вывод, что произошла положительная динамика в знаниях, умениях учащихся.

Данные свидетельствуют о том, что использованная нами методика формирования устных вычислительных навыков у младших школьников повлияла на качество усвоения изучаемого материала. Тем самым мы доказали выдвинутую нами гипотезу.

Заключение

Устный счет присутствует в нашей повседневной жизни, развивает воображение, память, логическое и алгоритмическое мышление, восприятие и внимание, обеспечивает эффективное овладение и оперирование умениями и навыками, формирует умения самостоятельно использовать полученные знания для усвоения новой информации.

Формирование устных приемов вычислений - одна из важнейших задач в обучении младших школьников на уроках математики, которая должна быть решена в ходе обучения, поскольку устные приемы вычислений необходимы при изучении четырех арифметических действий. Начальная школа всегда уделяла большое внимание проблеме формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков, ведь основой начального математического знания является понятие числа и четырех арифметический действий.

В процессе работы по теме «Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников» нами было охарактеризовано понятии «вычислительный навык» и выделены этапы его формирования (подготовка к введению нового приема, ознакомление с вычислительным приемом, закрепление знаний приема и выработка вычислительного навыка). Так же нами были выбраны и рассмотрены задания, направленные на формирование устных приемов вычислений и даны методические рекомендации по формированию умений и навыков устных вычислений. Навыки устных вычислений формируются в процессе выполнения:

различных упражнений, таких как «устный счет», игры «молчанка», «эстафета», «лесенка», «круговые примеры», «домино», «ромашка»,

«лото», «лучший счетчик», примеры-цепочки, устные задачи в стихах и др. Их можно соединять с проверкой домашних заданий, закреплением изученного материала, предлагать при опросе.

математических и графических диктантов.

упражнений с элементами творчества, нестандартных задач, которые требуют размышления, развивают логическое мышление и смекалку, догадок: составить примеры, задачи, исправить неверно решенные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в примерах.

упражнений с равенствами и неравенствами: сравнить выражения и вставить знаки «<», «>» или «=».

необходимо постоянно упражняться в устных вычислениях, пока возможны устные вычисления. Упражнения в устных вычислениях должны пронизывать весь урок. Устные задания должны соответствовать теме и задачам урока. Устный счет не нужно проводить в конце урока, ведь это требует внимания, памяти, логического мышления. Выполняемое количество упражнений не должно переутомлять детей и не превышать отведенного для этого времени на уроке.

необходимо чередовать задания для восприятия устного счета (зрительно,

на слух, либо и зрительно, и на слух).

как можно больше устных упражнений проводить в форме игры, так как такая форма вызывает повышенный интерес у младших школьников.

Использование этих типов заданий на уроках математики возбуждает у младших школьников интерес к этому предмету, стимулирует их к активной деятельности и позволяет более прочно сформировать устные вычислительные навыки.

В ходе проведенной нами опытно-экспериментальной работы по изучению уровня сформированности устных приемов вычислений у учащихся 2 «В» класса мы изучили динамику развития уровня сформированности навыков вычислений у младших школьников. Мы установили, что после систематического использования на уроках математики различных заданий уровень сформированности устных приемов вычислений повысился. Можно сделать вывод, что систематическое использование на уроках математики комплекса разнообразных заданий и дидактических игр, которые требуют смекалки, внимания и памяти, способствует развитию умственных способностей у младших школьников, что в свою очередь улучшает уровень сформированности устных навыков счета.

Основываясь на результатах, полученных в ходе проведения опытно- экспериментальной работы, мы рассмотрели комплекс разнообразных заданий и игр, способствующих совершенствованию и развитию приемов устных вычислений, а так же направленных на увеличение количества

сформированных устных вычислительных приемов. Эти задания включались в уроки математики на различных этапах их проведения.

Результатом такой работы стало формирование у учащихся опытно- экспериментального класса более прочных и осознанных устных вычислительных навыков, так же эти задания способствовали увеличению количества сформированных вычислительных приемов.

Наблюдения за учениками показали, что они справились с математическим диктантом и с контрольной работой быстро. В процессе выполнения работы учащиеся чувствовали себя уверенно, не задавали вопросы учителю, сверстникам, не отвлекались.

Система устных вычислений играет одну из первостепенных ролей не только в формировании автоматизации устных вычислительных навыков у учащихся начальной школы, но и в создании положительной мотивации учения, в развитии личностных качеств ребенка.

В результате опытно-экспериментальной работы нам удалось достигнуть поставленной цели и разработать методические рекомендации для формировании устных вычислительных навыков младших школьников. В данной работе в ходе опытно-экспериментальной работы были решены все поставленные задачи, гипотеза подтвердилась, цель исследования достигнута.

Список использованной литературы

Бабанский Ю.К. Вопросы предупреждения неуспеваемости школьников /

под ред. Бабанского Ю.К. - Ростов-на-Дону, 1972. - 523 с.

Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для учащихся школ, отделений пед. училищ (спец. 2001)/ Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. /Под ред. М. А. Бантовой-3­е изд., испр.- Москва: Просвещение, 1984. - С. 13, 15-24, 63-111, 163-170.

Бантова М.А. Стадии формирования вычислительного навыка/ М.А. Бантова// Начальная школа. - 1993. - №11. - С. 38-43.

Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец.

«Педагогика и методика начального образования» /А.В. Белошистая. - М.: Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2007. - С.80-124.

Власова Т.А. О детях с отклонениями в развитии/ Власова Т.А., Певзнер М.С. - Москва: Просвещение, 1973. - 176 с.

Гильбух Ю.З. Учебная деятельность младшего школьника: Диагностика и коррекция неблагополучия. - Киев, 1993. - 136 с.

Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителей. -

Москва: Книга по требованию, 2012. - С.11-13.

Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения / В.В. Давыдов. - М. Педагогика, 1986. - 240с.

Данилов М. А. и др. Дидактика / Б. П. Есипов, М. А. Данилов, М. Н. Скаткин, Э. И. Моносзон, С. М. Шабалов; под ред. Б. П. Есипова; Акад. пед. наук РСФСР. Институтт теории и истории педагогики. - Москва: Изд-во Акад. пед. наук, 1957. - 517с.

Деменева Н.Н. Коррекционно-развивающая направленность обучения младших школьников устным и письменным вычислениям на уроках математики: Курс лекций. - Н.Новгород: НГПУ, 2006. - 128 с.

Депман И. Из истории математики. - Москва: Детгиз, 1950. - С.5

Дорофеев Г.В. Математика. Учебник. 2 класс. В 2 частях/ Дорофеев Г. В., Миракова Т. Н., Бука Т. Б. - М.: Просвещение, 2015. - Ч.1 - 122 с., Ч.2. - 107с.

Дорофеев Г.В. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. 2 часть/ Дорофеев Г. В., Миракова Т. Н., Бука Т. Б. - М.: Просвещение, 2015. - Ч.1 - 95 с., Ч.2.

95с.

Дорофеев Г.В. Уроки математики. 2 класс: пособие для учителей общеобразовательных учреждений/ Г.В. Дорофеев, Т.Н. Миракова; Российская академия наук, Российская академия образования, издательство

«Просвещение». - М.: Просвещение, 2009. - 125c.

Зайцева О.П. Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и в развитии личностных качеств ребенка/ О.П. Зайцева // Начальная школа. - 2010. - №1. - стр. 58-64.

Зыкова В.И. Психологические проблемы неуспеваемости школьников. -

Москва, 1971. - 272с.

Ильина О.Н. Проблема формирования вычислительных навыков младших школьников в современных условиях/ О.Н. Ильина //Интернет журнал СахГУ «Наука, образование, общество». - 2006.

Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений.- 5-е изд., стереотип. - Москва: Издательский центр “Академия”, 2002. - С. 42-45.

Казаченко Б. Тридевятое царство, тридесятое государство, или как считали наши предки/ Б. Казаченко// Наука и жизнь. - 2007. - №10.

Коррекционная педагогика в начальном образовании: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. Заведений/ Кумарина Г.Ф. [и др.] под ред. Кумариной Г.Ф. - Москва: Издательский центр «Академия», 2003. - 320с.

Кравченко В.С. Устные упражнения по математике в 1-3 классах: Пособие для учителей / В.С. Кравченко, Л.С. Оксман, Н.А. Янковская. - М.: Просвещение, 1979. - 143с.

Кривуля А.П. Трудности обучения математики младших школьников

(http://doctor.kz/baby/news/2011/06/08/11528 )

Лавлинскова Е.Ю. Методика формирования навыка устного счета (по системе общего развития Л.В. Занкова). - Волгоград: Панорама, 2006 - С.176.

Леонтьев А.Н. Проблемы развития психики. Москва: Издательство МГУ, 1981. - 584с.

Локалова Н.П. Как помочь слабоуспевающему школьнику. Психодиагностические таблицы: причины и коррекция трудностей при обучении младших школьников русскому языку, чтению и математике. - Изд. 3-е, перераб. и доп. - Москва: «Ось-89», 2001 - 96 с. (http://lib100.com/pedagogics/how_help_student/html/ )

Лурия А.Р. К патологии счетных операций. - Москва: АПН РСФСР, 1946.-

Вып. 3. - С. 181-192.

Лурия А.Р. Нейропсихология и проблемы обучения в общеобразовательной школе/ Лурия А.Р., Цветкова Л.С. - Москва: Институт практической психологии, Воронеж: НПО МОДЭК, 1997. - 64с.

Лысенкова С.Н. Методом опережающего обучения: книга для учителя. -

Москва: Просвещение, 1988. - 192с.

Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. - Москва: ЗАО Центрполиграф, 2011. - С. 49-53.

Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / Иванов И.А. [и др.] под научной редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой Москва: Дрофа, 2008.- 2-е изд., испр. и доп. - 416с.

Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: пособие для вузов / Иванов И.А. [и др.] под научной редакцией В.В. Орлова Москва: Дрофа, 2007. - 22с.

Методика формирования навыков устных вычислений младших школьников (http://www.studfiles.ru/preview/4582507/page:2/ )

Мечинская Н.А. Психологические проблемы неуспеваемости школьников.

Москва: Педагогика, 1971. - 272с.

Минаева С.С. 1 класс методическое пособие/ Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. - Вентана-Граф, 2009. - 144с.

Моро М.И. Методика обучения математике в I-III классах. Пособие для учителя, 2-е изд., перераб. и доп./ Моро М.И., Пышкало А.М. - Москва: Просвещение, 1978. - 336с.

Пальцевый счет (https://ru.wikipedia.org/wiki/Пальцевый_счёт)

Петровский А.В. Общая психология. Учеб. для студентов пед. институтов / Под ред. А.В. Петровского. 2-е изд., доп. и перераб. - Москва: Просвещение, 1976. - 479с.

Примерная основная образовательная программа начального общего образования/ одобрена решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию, протокол от 8.04.2015 г.№1/15. - С. 46-47.

Рыбников К.А. История математики. - издательство московского университета, 1960 - С. 17.

Славина С.С. Индивидуальный подход к неуспевающим и недисциплинированным школьникам. - Москва, 1986. - 217с.

Славина Л.С. Трудные дети/ Под редакцией В.Э. Чудновского. - Москва: Институт практической психологии, Воронеж: НПО МОДЭК, 1998. - 496с.

Смирнов А.А., Мечинская Н.А., Костюк Г.С. Актуальные задачи и проблемы психологии обучения. / Смирнов А.А., Мечинская Н.А., Костюк Г.С. //Вопросы психологии. - 1963, №5.

Столяр А.А. Методика начального обучения математике/ Под общ. редакцией Столяра А.А. и Дрозда В.Л. - Минск Высшая школа, 1988. - 254с.

Туйбаева Л.И., Полиева Н.Н. Устный счет как средство развития умственных способностей у младших школьников/ Л.И. Туйбаева, Н.Н. Полиева// Научно-методический журнал «Проблемы педагогики». - 2015. -

№ 2 (3). - С.23.

Туйбаева Л.И., Шахназарян А.Н. Формирование навыков устных вычислений у младших школьников/ Л.И. Туйбаева, А.Н. Шахназарян// Научно-методический журнал «Проблемы педагогики». - 2015. - № 2 (3). - С.25.

Фаддейчева Т.И. Обучение устным вычислениям: тетради с печатной основой «Учись считать устно» / Т.И. Фаддейчева// Начальная школа. - 2003. - № 10. - С. 66-69.

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования - Утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от « 6 » октября 2009 г. № 373. - С. 11-20.

Формирование вычислительных навыков на уроках математики в начальной школе (https:/

Харламов И.Ф. Педагогика. - Москва: Гардарики, 1999. - С. 86.