Методика преподавания темы 'Изображение пространственных фигур' углублённого курса геометрии старших классов
Введение
Актуальность исследования. В 2009 году появился важный
документ - Фундаментальное ядро содержания общего образования. В нём сказано,
что математика - это фундаментальная наука, дающая аппарат для решения многих
практических задач. Кроме этого, математическое образование рассматривается как
средство для интеллектуального развития обучающихся. Помимо этого, важным
аспектом этого документа является представление универсальный учебных действий
(УУД). В них включены следующие действия:
1) личностные;
2) регулятивные;
) познавательные;
) коммуникативные.
В 2012 году был принят ещё один, основополагающий для
образования документ для обучения на старшей ступени общего образования. Это
ФГОС среднего (полного) общего образования. В нём указываются требования к
результатам освоения образовательной программы. Среди них:
- личностные,
- метапредметные,
предметные.
Опираясь на эти важные документы, определяющие политику в
области отечественного образования, необходимо совершенствовать методику
обучения, в частности, математике старших классах как на базовом, так и на
углублённом уровнях.
Сказанное определило актуальность выбранной темы.
Таким образом, проблема исследования состоит в обосновании и
разработке некоторых методических положений о преподавании геометрии в старших
классах различной профильной направленности.
Объектом исследования является процесс обучения математике в
старших классах общеобразовательной школы.
Предметом исследования является процесс обучения геометрии в
старших классах на углублённом уровне.
Цель работы заключается в разработке методики преподавания
темы «Изображение пространственных фигур» для классов с углублённым изучением
математики.
Данная цель определила следующие конкретные задачи
исследования:
1) определить психолого-педагогические и
методические особенности преподавания углублённого курса геометрии в старших
классах;
2) разработать методику преподавания темы
«Изображение пространственных фигур» для классов с углублённым изучением
математики;
3) провести экспериментальную проверку разработанных
материалов с целью проверки их доступности для учащихся.
Практическая значимость исследования определяется тем, что в
нём разработаны и проверены учебные материалы для преподавания темы
«Изображение пространственных фигур» в классах с углублённым
изучением математики, в том числе задачи для указанной темы, среди которых:
устные; базовые; повышенной трудности; нестандартные.
На
защиту выносятся:
- методические положения о преподавании углублённого курса
геометрии в старших классах;
- разработка содержания и методов преподавания темы
«Изображение пространственных фигур» для учащихся, изучающих
геометрию на углублённом уровне.
1. Теоретические основы профильной дифференциации обучения в
общеобразовательной школе
.1 Исторические аспекты профильной дифференциации обучения
Идея дифференцированного обучения не является новой для
отечественной школы. Она возникла ещё в XVIII веке. Её проявлением было
открытие школ, гимназий, училищ.
Большой вклад в развитие академических гимназий внёс М.В.
Ломоносов (1711-1765), который уделял много внимания развитию отечественной
науки и просветительству. При его содействии в 1754 году был открыт Московский
университет и гимназия при нём.
Следующей заметной вехой в дифференциации обучения было
создание училищ разного типа. Были открыты следующие училища:
1) для учёных людей;
2) военные;
3) гражданские;
4) купеческие.
Составителем плана развития (1764) и создания учебных
заведений такого типа был Г.И. Теплов (1711-1779).
Таким образом, в XVIII веке стало складываться профессиональное
обучение, направленное на овладение школьниками востребованных в то время
профессий.
В первой половине XIX века складывалось практическое, или
реальное, образование. Предмет - математика, признавалась всеми и включалась
как обязательный в учебные заведения всех типов, хотя в то время наука
математика ещё не имела такого значения как в современном мире.
Проблемами дифференциации обучения интересовался и другой
видный учёный и педагог К.П. Яновский (1822-1902). В его работах:
- «Самодеятельность учащихся»,
- «Отношение обучения к воспитанию»,
- «Врождённые качества и способности и развитие последних
посредством воспитания».
Удивительно, прошло столько времени, а в этих работах
обсуждаются вопросы, актуальные и по сей день. По-существу, автор проповедовал
современную уровневую дифференциацию, как наиболее естественную и
соответствующую индивидуальным особенностям развития своих воспитанников.
В начале ХХ века произошла реформа обучения математике в
школе. Она широко обсуждались на исторических Всероссийских съездах
преподавателей математики (1911-1914 гг.). На них впервые учителя и
учёные-математики смогли обсудить важные вопросы преподавания математики в
школе и вузе. На съездах был высокоавторитетный состав. Можно назвать фамилии
таких видных педагогов-математиков, как С.А. Богомолов, Н.А. Извольский, А.Р.
Кулишер, К.Ф. Лебединцев, С.И. Шорох-Троцкий и мн. др.
Среди вопросов, обсуждаемых на первом съезде, была проблема
сближения школьного курса математики с математической наукой, доступное введение
в школьную программу важнейших идей современной математики. Большое внимание
было уделено преемственности между курсами математики средней и высшей школ, к
которой непосредственно примыкает проблема фуркации.
Термин «фуркация» появился во второй половине XIX века. Под
фуркаций понимают такое разделение учебных планов и программ, которое
совместимо с общеобразовательным характером школы.
С докладом по этому вопросу выступил К.А. Поссе. Он предложил
разделить школьный курса математики на общий, обязательный для всех, и
специальный, обязательный для тех, кто желает поступить на математическое
отделение физико-математического факультета или высшую техническую школу.
Причём, для будущих математиков, физиков, инженеров в школе должны быть
введены систематические курсы, включающие в себя аналитическую геометрию и
математический анализ.
Автор считал, что при такой организации обучения, когда в
старших классах средней школы допускается специализация, отвечающая
индивидуальным особенностям учащихся, лучше всего можно добиться
действительного, а не формального, согласования программ средней и высшей школ.
Очень близкие к этому идеи прозвучали в докладе В. Б. Струве.
Он отметил, что все старания по усовершенствованию содержания, методов обучения
и других компонентов методической системы не приведут к хорошим результатам,
если не дать возможность старшеклассникам сосредоточиться на небольшом числе
предметов, которые должны соответствовать их индивидуальным особенностям,
запросам, интересам.
Все выступавшие в прениях после этих докладов поддержали
такую реализацию идеи фуркации.
В первые же годы строительства советской школы идея фуркации
также привлекала многих передовых педагогов. Но перестройка всей системы
народного образования, ликвидация неграмотности, тяжёлые годы войны,
восстановление хозяйства надолго затормозили реформу образования, в частности и
математического образования.
В 1958 году на одном из заседаний президиума Академии
педагогических наук с докладом «О введении фуркации в старших классах средней
школы» выступил профессор Н.К. Гончаров, который, в частности, сказал, что
принцип единства в образовании не исключает многообразие типов школ. Он
предложил создать в старших классах четыре направления обучения, а именно:
- физико-техническое;
- химико-техническое;
естественно-агрономическое;
гуманитарное.
В 60-е годы прошлого века в нашей стране стали открываться
специализированные математических школ и классов. Математические
школы-интернаты были созданы при ведущих университетах и вузах для особо
одарённых школьников. В то же время в некоторых общеобразовательных школах были
созданы специальные математические классы, потом они были названы классами с
углублённым изучением математики.
Кроме этого, для школьников, проявляющих интерес к тому или
иному предмету, были созданы, так называемые, факультативные курсы. Они
появились в практической работе школы в 1967/1968 учебном году.
В странах Запада, в отличие от нашей страны, не было периода
единой школы, одинаковой для всех обучающихся, что позволяет говорить о
стабильности, о сложившейся многолетней системе введения раздельного обучения в
старших классах средней школы.
Приведём несколько примеров.
Наиболее глубокие корни дифференциация имеет во французской
школе. Современная французская школа состоит из трёх ступеней, соответствующих
трём этапам обучения, а именно:
1) элементарный цикл - начальная школа, 1-5
классы;
2) первый цикл - неполная средняя школа, 6-9
классы;
3) второй цикл - полная средняя школа, 10-12
классы.
Дифференциация обучения начинается в старших классах, со
второго цикла вводится полифуркация содержания образования. При этом учащимся
предлагается несколько направлений, основными из которых являются следующие:
- философское;
- гуманитарное;
экономическое;
естественное;
физико-математическое;
техническое.
1) Начальная - 1-6 классы.
2) Средняя - 7-9 классы.
) Высшая - 10-12 классы.
Для всех ребят принято обязательное девятилетнее, причём
бесплатное, обучение. В начальной и средней школах учащиеся обучаются по общей
программе. Профессиональное разделение начинается только с 10 класса, когда
определились склонности, интересы учащихся. Им предлагаются на выбор три
основных потока. Это: академический; общий; профессиональный. Они, в свою
очередь, делятся на направления. Например, академический поток включает в себя
гуманитарное и естественное направления: морской промысел, коммерческое,
домоводство и т. д.
В нашей стране с конца 60-х годов прошлого века были созданы
школы и классы с углублённым изучением отдельных предметов. Они были
организованы с целью развития способностей учащихся. Назовём те направления
специализации школ, которые чаще всего встречались чаще других.
1) Углублённое изучение предметов физико-математического
цикла: математика; физика; вместе физика и математика; вычислительная техника;
математика и основы вычислительной техники; программирование.
2) Углублённое изучение естественного цикла
(без физики): химия; биология; география; вместе биология и химия.
3) Углублённое изучение предметов
гуманитарного цикла: история; литература и русский язык; основы государства;
экономика и право; иностранные языки.
4) Углублённое изучение других циклов:
военные профессии; изобретательное искусство; черчение.
5) Школы с педагогическими классами. Эти
классы были созданы для учащихся, которые проявляли интерес к педагогической
деятельности и хотели поступать в педагогические вузы.
В настоящее время создана, довольно, широкая сеть школ с
углублённым обучением отдельным предметам. Они уже занимают видное место, с
каждым годом их будет открываться всё больше, и в ближайшей перспективе все
старшие классы средних общеобразовательных школ должны стать профильными.
.2 Различные подходы к определению индивидуализации и дифференциации
обучения
Одна из давно сформировавшихся традиций при обучении - учёт
индивидуальных особенностей каждого ученика при построении процесса обучения.
Во-первых, необходимо учитывать различия в тех индивидуальных
качествах учащихся, от которых напрямую зависит эффективность обучения, потому
что, очень часто, различия эти бывают довольно серьёзными. Исходя из этого,
одна из специфических целей обучения - усовершенствование знаний, умений и
навыков учащихся, содействие реализации учебных программ, а также повышение
уровня знаний, умений и навыков каждого учащегося в отдельности. При этом, в
качестве развивающей цели можно выделить формирование и развитие логического
мышления, креативности и умений учебного труда учащегося. Помимо этого,
подобное “разделение” детей на группы, в которых учитываются индивидуальные
различия, способствует развитию их способностей и интересов.
Требование учёта индивидуальных особенностей ребёнка находит
своё отражение в индивидуализации и дифференциации обучения. Заметим, что, не
смотря на то, что дифференциация ранее вообще не подвергалась глубокому,
комплексному изучению (поскольку в качестве объекта исследования дифференциацию
учебной работы стали рассматривать совсем недавно), всё же в вопросах
дифференциации уже успело накопиться множество проблем.
Анализ соответствующей литературы было замечено, что когда
говорят об индивидуализации, то в каждом конкретном случае именно цели и
средства обучения обуславливают более точное содержание этого понятия. При его
использовании часто встречаются большие различия не только в разных странах или
у разных авторов, но также и в повседневной школьной практике.
Именно тот факт, что при определении рассматриваемого понятия
происходит смешение двух понятий сразу: «индивидуализация» и «дифференциация»,
вызывает наибольшее затруднение. Предпочтение того или иного термина - это во
многом вопрос традиций или договоренностей в педагогике.
Без сомнения, чтобы лучше понять психологические основы
дифференцированного обучения, сначала необходимо уточнить само содержание
понятия “дифференциация обучения”, а также его соотношение с понятием
“индивидуализация обучения”, поскольку в современной дидактической литературе
для данных понятий нет однозначной трактовки. Одни исследователи считают эти
понятия синонимами, в то время как другие используют лишь один из двух
терминов, но при этом в достаточно широком смысле.
Если открыть «Педагогическую энциклопедию», то в ней
индивидуализация определяется как “… организация учебного процесса, при которой
выбор способов, приёмов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия
учащихся, уровень развития их способностей к учению”. Большая часть именитых
отечественных исследователей в области индивидуализации обучения используют понятие
индивидуализации примерно в том же значении. Заметим, что, говоря об
индивидуализации, в данном случае вовсе не предполагается обязательный учёт
особенностей каждого конкретного учащегося. Обычно исследователям достаточно
ограничиться учётом групп учащихся, сформированных по какому-либо набору
качеств.
Иной подход к взаимосвязи между данными понятиями и к их
определениям заключается в принятии дифференциации в качестве родового понятия,
уже включающего в себя индивидуализацию. При этом дифференциацию рассматривают
как внутреннюю, так и внешнюю. Под внутренней понимают такую организацию
учебного процесса, при которой индивидуальные особенности учащихся учитываются
и оцениваются в рамках их обучения внутри обычных групп. Учебные планы,
программы и пособия для их работы используются одинаковые, а дифференциация
обеспечивается за счёт использования учителем индивидуальных методов работы,
форм и средств обучения. Внутренняя дифференциация в рамках рассматриваемого
подхода называется индивидуализацией обучения. Внешняя дифференциация - это
форма организации процесса обучения, при которой происходит объединение
учащихся в группы в соответствии с их особенностями, способностями и
склонностями. Обучение в таких группах осуществляется по специально подобранным
программам и учебникам.
Достаточно полный анализ существующих подходов к определению
понятий ”индивидуализация” и ”дифференциация” обучения проведён в работе И.Э.
Унт. Таким образом, индивидуализацию И.Э. Унт рассматривает как более широкое
понятие, чем дифференциация, и при этом включающее в себя последнее.
Однако довольно часто термины «индивидуализация» и
«дифференциация» употребляют в качестве синонимов. Так, говоря о подходе к
обучению учащихся на уроке, индивидуальный и дифференцированный подходы имеют
одно и то же значение.
В зарубежной педагогике также можно встретить различные варианты
использования этих понятий. Например, в США понятием «индивидуализация» обычно
охватываются абсолютно любые формы и методы учёта индивидуальных особенностей
учащихся.
Порой, помимо этих возможностей, добавляются ещё так
называемые административные стратегии, которые являются ни чем иным как
формированием различных групп на основании общих признаков учащихся. Как видим,
понятие индивидуализации здесь используется в весьма широком понимании. Во той
же французской педагогике, начиная уже с 1930-х гг., в качестве
индивидуализации понимали, прежде всего, совершенствование самостоятельной
работы учащихся в соответствии с их индивидуальными способностями. Если все
учащиеся в классе работали с одними и теми же заданиями каждый самостоятельно,
то это считалось индивидуальной работой; если же задания подбирались с учетом
индивидуальных особенностей для каждого учащегося, то мы имеем дело с
индивидуализацией
Из сказанного можно сделать вывод о том, что использование
понятия «индивидуализация» в узком смысле нецелесообразно, например,
подразумевая только внутриклассную индивидуализацию учебных заданий. Такое
понятие не обеспечивает в полном мере учёт индивидуальных особенностей
учащихся, а лишь даёт частичную и изолированную оценку, поэтому точно
определить место и роль индивидуализации в системе обучения, в целом,
достаточно затруднительно. При этом, как синонимы, использовать данные термины
тем более нецелесообразно, поскольку это приведёт к ещё большей
неопределенности этих понятий.
Исходя из всего вышесказанного, под индивидуализацией в
данной работе будем понимать учёт индивидуальных особенностей учащихся в
процессе обучения.
Под дифференциацией будем подразумевать учёт индивидуальных
особенностей учащихся в той форме, когда учащиеся группируются на основании
каких-либо особенностей для отдельного обучения. Обычно для обучения в этом
случае используют сразу несколько различных учебных планов и программ.
В ходе данной работы при определении дифференциации будем
ограничиваться в основном проблемами, связанными с учётом индивидуальных
особенностей учащихся.
Ещё раз постараемся уточнить, чем отличаются понятия
«индивидуальный подход» и «индивидуализация». В первом случае мы имеем дело с
принципом обучения, а во втором - с непосредственным осуществлением этого
принципа, имеющим свои методы и формы. В этом же значении соотносит принципы
индивидуального подхода и индивидуализации обучения ученый Е.С. Рабунский,
который провёл наиболее широкое исследование индивидуального подхода в качестве
принципа обучения в отечественной педагогике.
Используя понятие «индивидуализация обучения» будем
подразумевать, что при практическом его использовании мы говорим не об
абсолютной, а об относительной индивидуализации, поскольку в реальной школьной
практике абсолютная индивидуализация невозможна по следующим причинам:
- при учёте индивидуальных особенностей, рассматривается не
каждый отдельный учащийся, а группы учащихся, которые обладают примерно
сходными особенностями;
- учитываются лишь те особенности или комплексы особенностей,
которые на данный момент известны и играют важную роль для данного учения
(например, общие умственные способности); наряду с этим, может выступать ряд
особенностей, которые в данной форме индивидуализации невозможно учесть или
даже это не требуется (например, различные свойства характера или
темперамента);
- иногда может происходить учёт тех свойств или состояний,
которые важны для данного конкретного ученика(например, способности в
какой-либо области, расстройство здоровья);
- индивидуализация реализуется не в полном объёме учебной
деятельности, а периодически либо в каком-либо виде учебной работы и
интегрирована с неиндивидуализированной работой.
Индивидуализацию также можно рассматривать с точек зрения
процесса обучения, содержания образования и построения школьной системы. Первая
из них включает в себя отбор методов и форм обучения, вторая затрагивает
создание учебных планов, программ, учебной литературы и составление заданий,
предъявляемых учащимся, и третья подразумевает формирование школ и классов
различных типов.
Итак, проведённый анализ свидетельствует о наличии разных
подходов к определению понятий ”дифференциация” и ”индивидуализация” обучения,
и каждый из них в определённой степени правомерен.
.3 Уровневая и профильная формы дифференциации обучения
Дифференциация «difference» в переводе с латинского языка
означает разделение, расслоение целого на различные части, формы, В
дифференциации выделяют три основных компонента:
1) Учёт индивидуально-типологических
особенностей личности.
2) Группирование учащихся.
3) Различие построения процесса обучения в
группах.
Если в процессе обучения отсутствуют хотя бы два из этих
компонентов, то это нельзя назвать дифференцированным обучением.
Существует несколько точек зрения на дифференциацию. Её можно
рассматривать:
1) как содержание образования (создание
учебных планов, программ, учебной литературы и составление заданий,
предъявляемых учащимся).
2) как процесс обучения (отбор методов, форм,
средств обучения);
3) как построение школьной системы
(формирование различных школ и классов).
Элементы дифференцированного обучения в тех или иных формах
присутствуют сегодня практически в каждом общеобразовательном учреждении. Это
видно по наличию профильных классов, гимназических, классов коррекции, по
организации отдельных гибких групп учащихся в составе обычных классов. При
реализации дифференцированного обучения в школе возникает ряд проблем, которые
требуют осмысленного теоретического подхода.
Изучение истории возникновения и развития дифференцированного
обучения как в нашей стране, так и за рубежом, может дать педагогу богатый
материал для размышления.
Возникновение дифференциации обучения можно отнести ко
времени распространения классно-урочной системы. Так как до этого обучение было
преимущественно индивидуальным, то, естественно, что и при выборе темпа
продвижения, и при подборе методов обучения, педагоги исходили из
индивидуальных особенностей конкретного ученика. Необходимость и важность учёта
врождённых способностей у ученика и свойств его ума отмечали ещё великие
мыслители прошлого, например, Платон, Я.А. Коменский и мн. др.
Отечественные педагоги, (в частности, К.Д. Ушинский) также
подчёркивали необходимость ориентации в процессе обучения именно на
индивидуальные особенности учеников.
Рост интереса к идеям дифференциации приходился в нашей
стране на пятидесятые-шестидесятые годы, а также девяностые годы двадцатого
века.
В 20-е годы прошлого века, в связи с трудностями в
экономической жизни страны, путём активного поиска принципов, содержания,
методов, обучения, идея дифференцированного обучения нашла своё выражение в
профессионализации школы. Резко возникла необходимость обучить старшеклассников
какой-либо профессии.
В опытно-показательных учреждениях Наркомпроса апробировалась
дифференциация по способностям детей. Создавались отдельно группы из учащихся с
чётко выраженным интеллектом, и отдельно группы слабоуспевающих детей. Для
последних общеобразовательные дисциплины преподавались в сокращённом варианте,
но при этом увеличивалось количество практических занятий в школьных
мастерских.
В это время активно реализовалась дифференциация по интересам
учащихся в форме кружковых занятий. Помимо этого, в некоторых школах в
отсутствии классно-урочной системы ученики распределялись по группам
умственного труда: физико-математическим, биологическим, общественных наук и т.
д.
30-е годы прошлого века ознаменовали начало нового этапа в
истории отечественной педагогики. Новый курс был направлен на жёсткую
регламентацию учебного процесса и его единообразие. Однако и в это время идеи
дифференцированного обучения выдвигались как средство преодоления
неуспеваемости среди школьников или в качестве способа уменьшения нагрузки на
учеников, но широкого распространения эти идеи не получили.
В 60-е, 70-е годы прошлого века в качестве единственного вида
дифференцированного обучения появились факультативные занятия.
В 80-е и 90-е годы двадцатого века наблюдался резкий подъём
интереса среди педагогов к дифференцированному обучению. Это было в первую
очередь связано с крупными социальными переменами и демократизацией жизни
общества, потрясшими страну, а также сменой ценностных ориентиров, в связи с
этим произошло выдвижение на первый план интересов отдельной личности. Начали
создаваться гимназии, лицеи и школы с углублённым изучением отдельных
предметов.
Дифференцированное обучение повлияло и на современное
образование. Был значительно расширен список профилей в школах:
естественно-математический; гуманитарный; социально-экономический;
технологический и т.д. Такое многообразие профилей школ, а также их типов
закономерно привело к изменению целей дифференциации. Её целью стало стремление
к более полному учёту индивидуальных запросов учащихся, развитию их интересов и
способностей, достижению целей образования.
Относительно сущности дифференциации существует несколько
разных точек зрения:
В качестве психолого-педагогической точки зрения современных
отечественных подходов к дифференциации можно выделить индивидуализацию
обучения, основанную на создании оптимальных условий для выявления задатков
развития способностей и интересов школьника.
Дидактическая сущность проявляется в решении назревших
проблем школы через создание новой методической системы дифференциации обучения
учащихся, в основе которой лежат принципиально новые мотивационные положения.
В настоящее время в опыте работы общеобразовательных школ
можно выделить несколько основных направлений дифференцированного обучения:
по образовательным целям;
по уровням выполнения задания;
по времени выполнения задания;
по содержанию обучения;
по последовательности изложения материала;
по видам учебной деятельности;
по оценке деятельности.
Таким образом, дифференциация обучения - это такой способ
построения системы обучения, при котором учащихся, основываясь на каких-либо их
особенностях, объединяют в более или менее однородные группы, либо даже в целые
классы или школы, для отдельного обучения по различным специальностям для
каждой группы, которое отличается учебными заданиями, планами и программами.
В дифференциации обучения можно выделить два вида :
дифференциацию внешнюю и внутреннюю.
Внешняя дифференциация приводит к разбиению на относительно
стабильные группы, основываясь на определённых особенностях развития интересов,
склонностей, способностей, на достигнутых результатах, на проектируемой
профессии, в которых различаются как содержание образования, так и учебные
требования, предъявляемые к школьникам.
При создании групп происходит учёт:
интересов и склонностей учащихся;
способностей;
достигнутых результатов;
проектируемой профессии.
Внешняя дифференциация может осуществляться как в рамках
селективной системы, так и в рамках элективной системы (табл. 1).
Таблица 1
|
Элективная
(гибкая)
|
Селективная
(жёсткая)
|
|
Свободный выбор
предметов вариативной части учебного плана
|
Профильные
классы, школы.
|
|
Курсы по выбору
|
Специализированные
классы, школы
|
|
Внеурочные
формы деятельности
|
Специально-
профессиональные образовательные учреждения
|
Смысл же внутренней дифференциации заключается в различном
подходе к обучению детей внутри группы (в классе) учащихся, отобранной по
случайным признакам.
Выделяют несколько уровней:
1) выравнивания, или компенсации;
2) обязательных результатов, или основной,
базовый;
3) продвинутый;
4) творческий.
Дифференциация по уровню умственного развития не получает в
современной педагогике однозначной оценки, поскольку в ней имеются как
положительные, так и отрицательные аспекты.
Примерами положительных аспектов уровневой дифференциации
могут служить:
исключение неоправданных и нецелесообразных для общества
«уравниловки» и усреднения детей;
появление у учителя возможности помогать «слабому», уделять
внимание «сильному»;
факт отсутствия в классе отстающих школьников позволяет не
понижать общий уровень преподавания;
появление возможности более эффективной работы с трудными
учащимися, плохо адаптирующимися к общественным нормам;
реализация желания «сильных» учащихся быстрее и глубже
продвигаться в образовании;
повышается уровень «Я - концепции»: у «сильных» появляется
возможность утверждаться в своих способностях, а «слабые» испытывают учебный
успех, избавляются от комплекса неполноценности;
повышается уровень мотивации ученья в «сильных» группах
учащихся;
в группе, организованной из одинаковых детей, ребёнку легче
учиться.
Другим видом дифференциации является профильная
дифференциация. Это дифференциация по содержанию учебного материала.
Ю.М. Колягин, М.В. Ткачёва и Н.Е. Фёдорова предлагают
принципы построения системы профильной дифференциации.
Основные цели профильной дифференциации не сильно изменились,
по сравнению с целями фуркации и дифференцированного обучения до 1988 года,
которая, по своему существу, уже была профильной, или внешней дифференциацией.
Цели обучения в условиях профильной дифференциации традиционно подразделяются
на образовательные, воспитательные и развивающие.
1) Образовательные цели включают в себя
следующие аспекты: способствование достижению образовательных целей обучения;
повышение успеваемости учащихся; подготовка учащихся к поступлению в высшую
школу; подготовка учащихся к обучению в высшей школе; подготовка учащихся к
выбору будущей профессии.
2) Воспитательная цель заключается в
формировании личности учащихся.
3) Развивающие цели направлены на развитие
индивидуальности учащегося; развитие общих и специальных способностей; развитие
мышления, в том числе и творческого; развитие познавательных интересов
учащихся.
Существует ещё один важный аспект профильной дифференциации,
про который не стоит забывать. Во многих исследованиях дифференциация
называется фактором, способствующим снижению учебных перегрузок учащихся.
В связи с распространением идей дифференциации возникла
проблема создания новых учебников и для основной средней школы, и для старшего
звена общеобразовательной школы. Например, ещё в работе авторы, В.Г. Болтянский
и Г.Д. Глейзер, предлагали разделить старшеклассников по отношению к курсу
математики на три группы.
В первую группу нужно набирать школьников, для которых
математика является лишь элементом общего развития, В своей дальнейшей
производственной деятельности они будут использовать её лишь в незначительном
объёме.
Во вторую группу будут входить учащиеся, для которых
математика будет являться важным инструментом в их профессиональной
деятельности. Для этой категории существенны знания о математических фактах,
навыки логического мышления, развитые пространственные представления, прочные
навыки решения математических задач.
Наконец, в третью группу нужно отнести тех учащихся, которые
изберут математику (или близкие к ней области знания) в качестве основы своей
будущей деятельности. Учащиеся этой группы проявляют интерес к изучению
математики и должны творчески овладеть её основами.
Условно, соответствующий уровень овладения математическими
знаниями учащимися этих трёх групп можно соответственно назвать:
общекультурным; прикладным; творческим. При наличии желания, а также проявлении
трудолюбия и настойчивости и в связи с более поздним проявлением математических
интересов, у учащихся есть возможность в процессе обучения переходить из одной
группы в другую.
Такую триаду учебников целесообразно использовать не только в
специальных школах или классах, но и в одном классе, чтобы разные ученики могли
изучать предмет по учебникам разного уровня и при желании переходить с одного
из них на другой.
Другая точка зрения была высказана в статье, согласно которой
каждому ученику должен быть доступен учебник, в котором были бы предусмотрены
все уровни усвоения материала т. е. должен быть один разноуровневый учебник.
Выбор профиля обучения во многом зависит от выбора будущей
специальности. Среди специализированных профильных классов наиболее часто
встречаются математические, физико-математические, технические, а также
гуманитарные (среди них исторические, филологические, философские),
естественнонаучные (биологические, химические, географические), юридические,
экономические и др.
И.М. Смирновой была разработана модель обучения математике в
условиях профильной дифференциации.
В содержания обучения автор выделила три основные
составляющие:
- гуманитарную;
- прикладную;
естественнонаучную.
При этом, по мнению автора, в содержание учебного материала
любого профиля обучения должны быть включены все три составляющие, но с разным
процентным отношением.
Гуманитарные составляющие в классах естественнонаучного и
прикладного профилей примерно должны быть одинаковыми. Естественнонаучная
составляющая в гуманитарных классах меньше, чем в классах прикладной
направленности, а прикладная составляющая меньше, чем в классах
естественнонаучного направления.
Проведя анализ наблюдений, а также достаточно большое
количество соответствующих анкетирований и тестирований, а также опираясь на
личный опыт преподавания в профильных классах, автор выделила
психолого-педагогические особенности учащихся гуманитарных и математических
классов.
Для отражения данных наблюдений в повседневной школьной
практике, была разработана специальная методика, названная открытой.
Вот её основные принципы.
1) Направленность обучения в первую очередь
на развитие личности ученика, на формирование для каждого школьника своего
индивидуального стиля деятельности.
2) Вариативность обучения, которая
заключается в разнообразии его содержания, форм и методов. Этот принцип
предоставляет каждому учащемуся возможность подбирать учебный материал исходя
из своих индивидуальных возможностей и интересов, пользуясь предпочтительными
формами и методами работы. Но это, конечно, не означает свободного,
добровольного или выборочного содержание обучения.
3) Валидность обучения означает достаточно
высокий уровень значимости математического материала для достижения необходимых
результатов обучения.
4) Успешность обучения понимается автором как
наличие у каждого ученика собственного, пусть и небольшого, успеха в обучении.
Поскольку последний рождает вдохновение и уверенность ученика в собственных
силах. Задача учителя состоит в том, чтобы помочь каждому ученику достичь этого
успеха.
Вывод. Уровневая дифференциация, в основе которой лежит
степень освоения учащимися учебного материала, характерна для основной ступени
общего образования. Она осуществляется в 7-9 классах.
Профильная дифференциация - это дифференциация по содержанию
учебного материала. Он может отличаться объёмом, глубиной изложения, перечнем
вопросов. Эта форма дифференциации осуществляется в старших классах. Для них
предусмотрены курсы, в частности и по математике, трёх типов:
1) базовый;
2) углублённый;
) курсы по выбору.
- гуманитарный;
- социально-экономический;
технологический;
естественно-математический.
В первых двух названных профилях математика изучается на
базовом уровне (4 часа в неделю), в двух последующих - на углублённом (6 часов
в неделю).
Курсы по выбору предусмотрены на всех профилях обучения.
2.
Преподавание темы «Изображение пространственных фигур» в физико-математических
классах
2.1
Основные свойства параллельного проектирования
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве. Все они
(плоские и неплоские) изображаются плоскими фигурами. Как же можно изобразить
объёмную фигуру на плоскости?
Обычно для этого используют параллельное проектирование.
Оно задаётся некоторой плоскостью, назовём её, и прямой,
пусть, пересекающей её (рис. 1). Теперь определим параллельную проекцию точки
на плоскость в направлении прямой. Возьмём точку A, не принадлежащую прямой и
не принадлежащую плоскости. Проведём через неё прямую, параллельную. Точка
пересечения этой прямой и плоскости называется параллельной проекцией точки А
на плоскость в направлении прямой.
Параллельной проекцией точки, принадлежащая прямой, будет
точка её пересечения с плоскостью, а точки, принадлежащей плоскости, будет сама
точка.
Таким образом, для каждой точки пространства сопоставляется
её параллельная проекция на заданную плоскость в заданном направлении. Это
соответствие называется параллельным проектированием.
Параллельной проекцией фигуры на заданную плоскость в заданном
направлении называется фигура, состоящая из параллельных проекций всех точек
заданной фигуры на заданную плоскость в заданном направлении.
Рассмотрим основные свойства параллельного проектирования.
Свойство 1. Параллельной проекцией прямой на заданную
плоскость в заданном направлении является либо точка, либо прямая.
Доказательство. Если прямая параллельна или совпадает с
направлением проектирования, то её проекцией будет точка её пересечения с
плоскостью (рис. 1).
Пусть теперь прямая не параллельна и не совпадает с прямой
(рис. 2). Возьмём какую-нибудь точку А на прямой и проведём через неё прямую,
параллельную направлению проектирования. Её пересечение с плоскостью даст точку
A, являющуюся проекцией точки А. Через прямую и точку A проведём плоскость. Её
пересечением с плоскостью будет искомая прямая, являющаяся проекцией прямой на
плоскость. Это следует из того, что любая точка на прямой является параллельной
проекцией некоторой точки на данной прямой.
Обратно, параллельная проекция любой точки прямой принадлежит
прямой.
Свойство 2. При параллельном проектировании сохраняется
отношение отрезков, лежащих на одной прямой.
Доказательство. Очевидно, что если отрезок лежит на прямой,
совпадающей с прямой или параллельной ей, то его проекцией будет точка. Пусть
теперь точки A, B и C принадлежат прямой, не параллельной и не совпадающей с.
Тогда - проекция прямой на плоскость в направлении прямой, а
точки A, B и C - проекции точек A, B и C соответственно. Прямые и
соответствующие прямые, проходящие через эти точки и
параллельные направлению проекции (рис. 3). Тогда, из теоремы о
пропорциональных отрезках (обобщённой теоремы Фалеса), следует равенство
отношений AB:BC=A B :B C.
Свойство 3. Параллельной проекцией двух параллельных прямых
на заданную плоскость в заданном направлении является либо две точки, либо две
параллельные прямые, либо одна прямая.
Доказательство. Если данные прямые параллельны прямой или
одна из них совпадает с, то параллельной проекцией данных прямых будут две
точки - точки их пересечения с плоскостью изображений.
Пусть теперь прямые - параллельные прямые, не параллельные
прямой, и не одна из них не совпадает с. Рассмотрим плоскости линии пересечения
которых с плоскостью дают проекции прямых соответственно (рис. 4). Если эти
плоскости совпадают, то и проекции прямых также совпадают. Если эти плоскости
различны, то они параллельны между собой (по признаку параллельности двух
плоскостей). Тогда, по свойству параллельных плоскостей, тоже будут
параллельны.
Параллельные проекции плоских фигур.
При изображении пространственных фигур на плоскости важно
правильно изображать плоские фигуры, так как они входят в поверхность многих
пространственных фигур.
Теорема. Если плоская фигура лежит в плоскости, параллельной
плоскости проектирования, то её проекция на эту плоскость будет равна исходной
фигуре.
Доказательство. Пусть дана фигура, лежащая в плоскости,
параллельной плоскости проектирования, фигура - параллельная проекция данной
фигуры.
Определим преобразование фигуры в фигуру, сопоставляя точки
фигуры с их параллельными проекциями, которые принадлежат фигуре. Тогда, если A
и B - точки фигуры и A, B - их параллельные проекции, то четырёхугольник ABBA -
параллелограмм (рис. 5). Следовательно, AB=A B. Значит, преобразование
сохраняет расстояние, т. е. является движением. Следовательно, фигуры и равны.
Если же фигура лежит в плоскости, не параллельной плоскости
проектирования, то её проекция не равна ей.
Из свойств параллельного проектирования следует, что
параллельной проекцией многоугольника является либо отрезок, либо многоугольник
с тем же числом сторон. Причём, если какие-либо две его стороны параллельны, то
их проекции также будут параллельны. Но, в силу того, что расстояние между
точками и углы, вообще говоря, не сохраняются, то можно сказать, что проекцией
любого треугольника является любой треугольник. На рисунке 6 изображён
произвольный треугольник ABC, лежащий в плоскости проектирования. Треугольник
ACB1 - равносторонний, плоскость которого не совпадает с плоскостью
проектирования. Тогда параллельной проекцией равностороннего треугольника ACB1
на плоскость проектирования в направлении прямой BB1 будет произвольный
треугольник ABC.
Таким образом, чтобы построить теперь изображение
многоугольника, с числом сторон больше трёх, следует опираться на отношения
отрезков в этом многоугольнике и свойства параллельного проектирования.
Для примера взят правильный шестиугольник (рис. 7, рис. 8).
.2 Изображение неплоских фигур в параллельной проекции
Для изображения пространственных фигур используют
параллельную проекцию. Плоскость, на которую проектируется фигура, называется
плоскостью изображений, а сама проекция - изображением.
Приведём несколько примеров изображений пространственных
фигур.
При изображении куба, как правило, для лучшего, наглядного
восприятия, плоскость изображений выбирается параллельной одной из его граней.
При этом грани, которые параллельны плоскости изображений, изображаются равными
квадратами (рис. 9).
Для того чтобы построить изображение призмы (рис. 10),
достаточно построить многоугольник, изображающий основание. Затем через каждую
вершину провести параллельные прямые и отложить на них равные отрезки. Соединив
вторые концы отрезков, получим второе основание.
Чтобы построить изображение пирамиды (рис. 11), достаточно
изобразить её основание. Затем выбрать точку, которая будет изображать вершину
пирамиды, и соединить с ней каждую из вершин основания.
Для изображения цилиндра (рис. 12) следует изобразить его
основания в виде двух равных эллипсов и провести две образующие, соединяющие
соответствующие точки на них.
Чтобы построить изображение конуса (рис. 13), достаточно
изобразить его основание в виде эллипса. Затем выбрать точку, которая будет
изображать вершину конуса, и провести через неё касательные к эллипсу, которые
изобразят образующие конуса.
.3 Сечения многогранников
Рассмотрим построение сечений многогранника плоскостью.
Пусть дано изображение куба и три точки A, B и C,
принадлежащие рёбрам этого куба, выходящим из одной вершины. Тогда, для того
чтобы построить сечение куба плоскостью, проходящей через эти точки, достаточно
просто соединить их отрезками. Полученный треугольник будет изображением
сечения куба плоскостью (рис. 14).
Для построения более сложных сечений используется метод
нахождения прямых пересечения плоскости сечения с плоскостями, в которых лежат
грани изображаемого многогранника. В основе лежит умение построить точку
пересечения прямой и плоскости по заданным двум точкам этой прямой и их
проекциями на плоскость. Такой метод имеет название - метод следов.
Используя этот метод, построим изображение сечения куба,
проходящего через точки A, B и C, принадлежащие попарно скрещивающимся рёбрам
этого куба (рис. 15).
Найдём пересечение прямой AB, лежащей в плоскости сечения, с
«нижней» гранью куба. Для этого построим параллельные проекции A, B точек
соответственно A, B на эту грань куба в направлении «бокового» ребра куба (рис.
16).
Пересечение прямых AB и A B будет искомой точкой P. Она
принадлежит плоскости сечения и плоскости «нижней» грани куба. Следовательно,
плоскость сечения пересекает эту плоскость по прямой CP. Точка пересечения этой
прямой с ребром куба даст ещё одну вершину D сечения. Соединим точки C и D, B и
D отрезками. Через точку A проведём прямую, параллельную BD, и точку её
пересечения с ребром куба обозначим E. Соединим E и C отрезком. Через точку A
проведём прямую, параллельную CD, и точку её пересечения с ребром куба
обозначим F. Соединим B и F отрезком. Полученный шестиугольник AECDBF является
искомым изображением сечения куба (рис. 16).
Рассмотрим пример построения сечения шестиугольной пирамиды
SABCDEF, проходящего через заданные точки A1, C1 и E1 (рис. 17). Сначала
построим линию пересечения плоскости сечения и плоскости основания пирамиды.
Для этого проведём прямые через точки A, C и A1,
C1. Их точку пересечения обозначим P. Проведём прямые через
точки E, C и E1, C1. Их точку пересечения обозначим Q. Прямая PQ будет искомой
линией пересечения.
Проведём прямую ED, и точку её пересечения с прямой PQ
обозначим R.
Проведём прямую RE1, и точку её пересечения с ребром
обозначим D1. Проведём прямую FC, и точку её пересечения с прямой PQ обозначим
U.
Проведём прямую UC1, и точку её пересечения с ребром SF
обозначим F1. Проведём прямую AB, и точку её пересечения с прямой PQ обозначим
V.
Ортогональным проектированием называется параллельное
проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования.
Так как ортогональное проектирования является частным случаем
параллельного проектирования, то для него верны все свойства параллельного
проектирования.
Для изображения прямоугольного параллелепипеда или куба в
ортогональной проекции важно понять, куда переходят рёбра прямого трёхгранного
угла при ортогональном проектировании.
Пусть дан прямой трёхгранный угол с вершиной S и рёбрами a,
b, c. Плоскость пересекает эти ребра в точках A, B и C (рис. 18). Обозначим
через O ортогональную проекцию вершины S на плоскость. Тогда прямые AO, BO и CO
будут ортогональными проекциями прямых SA, SB и SC соответственно. Докажем, что
точка O является ортоцентром треугольника ABC.
Доказательство. По условию, прямая SC перпендикулярна прямым
SA и SB. Следовательно, она перпендикулярна плоскости SAB.
Прямая AB лежит в этой плоскости. Значит, она перпендикулярна
прямой SC. Прямая CO является ортогональной проекцией SC, значит, по теореме о
трёх перпендикулярах, перпендикулярна AB. Таким образом, прямая CO содержит
высоту треугольника ABC. Аналогично доказывается, что прямые AO и BO содержат
соответствующие высоты треугольника ABC. Итак, точка O является ортоцентром
треугольника ABC.
Построим ортогональную проекцию трёхгранного угла. Для этого
изобразим треугольник ABC и проведём в нём высоты (рис. 19). Лучи OA, OB и OC
будут изображениями рёбер трёхгранного угла.
Имея изображение прямого трёхгранного угла, легко построить
изображение прямоугольного параллелепипеда (рис. 20). Его рёбра лежат на
прямых, параллельных OA, OB и OC соответственно.
2.5 Центральное проектирование, или перспектива
Кроме параллельного и ортогонального проектирования, которые
широко применяются в геометрии для изображения пространственных фигур, большое
значение имеет и, так называемое, центральное проектирование, которое нашло
применение в фотографии, живописи и т. д. Это обусловлено тем, что восприятие
человеком окружающих предметов с помощью зрения осуществляется как раз
непосредственно по законам центрального проектирования.
Центральное проектирование, или, говоря иначе, перспектива, в
качестве науки образовалась ещё в Древней Греции. Самые первые упоминания о
перспективе встречаются в работах Эсхила (525-456 гг. до н. э.). Важное место
использованию перспективы при изображении пространственных фигур отведено в
трактате «О геометрии», принадлежащем перу известного мыслителя и учёного
древности Демокрита (около 460-370 гг. до н. э.).
Главным теоретиком перспективы считается Филиппо Брунеллески
(1377-1446) - итальянский архитектор. Практиками же, которые смогли воплотить
достижения в области перспективы в своих полотнах считаются великие художники
эпохи Возрождения. Прежде всего, это Леонардо да Винчи (1452-1519) и Альбрехт
Дюрер (1471-1528) и многие другие художники, скульпторы, архитекторы этого
исторического периода.
А. Дюрер предложил в своих книгах несколько устройств,
позволяющих получать перспективу, некоторые из которых он даже изобразил на
своих гравюрах.
Леонардо да Винчи в своём произведении «Трактат о живописи»
выделил три основные части перспективы:
1) линейная перспектива, она занимается
изучением законов построения уменьшения фигур по мере удаления их от
наблюдателя;
2) воздушная и цветовая перспектива, которая
трактует изменение цвета предметов в зависимости от их расстояния до
наблюдателя и влияния слоя воздуха на насыщенность и локальность цвета;
3) перспектива чёткости очертания формы
предмета, которая занимается анализом изменений степени отчётливости границ
фигур и контраста света и тени на них, по мере удаления их в глубину
пространства, изображаемого на картине.
Два последних раздела не получили дальнейшего теоретического
развития из-за большой сложности исследования поставленной проблемы.
Первый же раздел развился в точную науку - линейную
перспективу, позднее ставшей одной из составных частей в начертательной
геометрии.
Основоположником изучения этого раздела геометрии считается
французский геометр, учёный, инженер и активный общественный деятель Великой
французской революции - Гаспар Монж (1746-1818). Именно его книга
«Начертательная геометрия», изданная в 1795 году, считается первым
систематическим изложением метода изображения пространственных фигур на
плоскости.
Прекрасно владели теорией перспективы и применяли её в своих
полотнах и русские художники XVII-XIX вв. Крупнейшим представителем
отечественной академической школы, лучшим рисовальщиком своего времени был А.П.
Лосенко (1737-1773). От своих учеников он требовал тщательного изучения теории
перспективы с целью дальнейшего применения её законов в академическом рисунке.
Более двадцати лет провёл в поисках способа овладения
видением натуры, опираясь на законы перспективы, известный русский художник
А.Г. Венецианов (1780-1847). Он рассматривал перспективу как метод изображения реальных предметов в
конкретной обстановке. Он был поэтому убеждён в том,
что обучение художественным навыкам необходимо начинать именно с изучения
законов перспективы.
Не меньшее значение придавал изучению перспективы и другой
известный художник и педагог - Н.Н. Ге (1831-1894). Обращаясь к своим ученикам,
он повторял: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите её в работу, в
рисование. Никогда не отделяйте её от рисования, как это делают многие, то есть
рисуют по чувству, а потом поправляют правилами перспективы - напротив, пусть
перспектива у вас будет всегдашним спутником вашей работы и стражем верности».
Перейдём теперь к изучению теории центрального
проектирования, для чего рассмотрим основные определения, свойства и теоремы,
связанные с ним.
Обозначим π - некоторую плоскость, и
пусть S - не принадлежащая ей точка, центр проектирования (рис. 21). Проведём
прямую a, проходящую через точку A пространства и соединяющую эту точку с
точкой S. Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется центральной проекцией точки A на плоскость π.
Обозначим её A'. Соответствие, при котором точкам A
пространства сопоставляются их центральные проекции A', называется центральным
проектированием, или перспективой.
Следует заметить, что вовсе не для любой точки пространства
определена её центральная проекция. Если рассмотреть случай, когда прямая a и
плоскость π параллельны, то точка A на эту плоскость
проекции не имеет.
Если мы рассмотрим некоторую фигуру Φ в пространстве, то проекции всех её точек на плоскость π образуют фигуру Φ', которая называется
центральной проекцией фигуры Φ на плоскость π.
Теорема. Если плоская фигура F расположена в плоскости α, параллельной плоскости проектирования π, то её центральной проекцией будет фигура F', подобная F, причём
коэффициент подобия k будет равен отношению расстояний от центра S до
плоскостей π и α (рис. 22).
Доказательство. Зададим преобразование фигуры F в фигуру F',
сопоставляя каждой точке фигуры F её центральную проекцию. Через центр S
перпендикулярно плоскости π проведём прямую. Исходя
из того, что по условию плоскости π и α параллельны, эта прямая будет перпендикулярна и плоскости α. Обозначим точки пересечения этой прямой с плоскостями α и π буквами C и C'
соответственно. Для точек A и B фигуры F на плоскости α рассмотрим их центральные проекции соответственно A' и B'.
Образовались треугольники ABS, A'B'S и ACS, A'C'S. Заметим, что эти
треугольники подобны, и коэффициент подобия k равен отношению длин
соответственных сторон SC: SC'.
Таким образом, определённое преобразование фигуры F в фигуру
F' изменяет расстояние между точками в одно и то же число раз. Значит, можно
сделать вывод, что фигуры F и F' подобны.
Выясним, в какую фигуру при центральном проектировании
переходит прямая.
Пусть прямая a пересекает плоскость проектирования π, а центр проектирования S не принадлежит прямой a. Найдём проекцию
этой прямой на плоскость π. Через прямую a и центр
проектирования S проведём плоскость α, обозначим линию её
пересечения с плоскостью π через a' (рис. 23).
Через точку S, принадлежащую плоскости α, проведём прямую s, параллельную прямой а, и обозначим точку её
пересечения с прямой a' через S'. Заметим, что все точки прямой a, кроме точки
B, имеют проекции на плоскость π. Для точки В, поскольку
SB параллельна плоскости π, проекции не существует.
Значит, прямая а', без точки S', является искомой проекцией прямой a (без точки
B) на плоскость π.
Выясним, в какие фигуры могут переходить параллельные прямые
при центральном проектировании. Мы знаем, что при параллельном проектировании
параллельные прямые переходят или в параллельные прямые, или в одну прямую, или
в две точки, что определяется расположением этих прямых относительно
направления проектирования. Оказывается, при центральном проектировании
параллельные прямые могут переходить и в пересекающиеся прямые.
Пусть прямые а и b параллельны и пересекают плоскость π, а центр проектирования не принадлежит плоскости этих прямых (рис.
24). Тогда, повторяя предыдущие построения для прямых а и b, получим, что их
проекциями будут служить пересекающиеся прямые а' и b', за исключением их общей
точки S'. Зрительный эффект, при котором кажется, что параллельные прямые
пересекаются, может возникнуть, когда мы смотрим на параллельно натянутые
провода; железнодорожные рельсы; длинную, ровную, уходящую вдаль дорогу и т. п.
Рассмотрим изображения куба в различных центральных
проекциях. На рисунке 25 изображён куб в центральной проекции на плоскость,
параллельную грани ABB1A1.
На рисунке 26 изображён куб в центральной проекции на
плоскость, параллельную ребру BB1, но не параллельную его граням.
На рисунке 27 изображён куб в центральной проекции на
плоскость, не параллельную ни одному его ребру.
Заключение
индивидуализация
учебный интеллектуальный
Проведённое теоретическое и экспериментальное исследование
позволяет сделать следующие выводы.
1) Проведён анализ исторической,
психолого-педагогической, учебно-методической и математической литературы, на
основании которого определились психолого-педагогические и методические
особенности преподавания геометрии в старших классах.
2) Разработана методика преподавания темы
«Изображение пространственных фигур» на углублённом уровне изучения геометрии.
3) Проведена экспериментальная проверка
разработанных учебных материалов.
4) Экспериментальная проверка показала, что
изучение учащимися темы «Изображение пространственных фигур» способствует
повышению их математической культуры, развития творческих способностей каждого
обучающегося, раскрытию их индивидуальных возможностей.
Литература
1. Александров А.Д. О геометрии // Математика в школе. - 1980. -
№ 3. - С. 56.
2. Александров А.Д. и др. Геометрия: учебник для 10 класса
общеобразовательных учреждений (углублённый уровень). - М.: Просвещение, 2013.
- 238с.
3. Антология педагогической мысли России второй половины XIX в.
- М.: Педагогика, 1990. - 608с.
4. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: учебник для 10-11 классов
общеобразовательных учреждений (базовый и углублённый уровни). - М.:
Просвещение, 2013. - 206с.
5. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса:
Методические основы. - М.: Просвещение, 1982. - 208с.
6. Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. К проблеме дифференциации
школьного образования // Математика в школе. - 1988. - № 3. - С. 9- 13.
7. Василевский А.Б. Метод параллельных проекций. - Минск:
Народная асвета, 1985. - 128с.
8. Возрастная и педагогическая психология / под ред. М.В. Гамезо
и др. - М.: Просвещение, 1984. - 256с.
9. Волович М.Б. Математика без перегрузок. - М.: Педагогика,
1991. - 144 с.
10. Волошинов А.В. Математика и искусство. - «-е изд. - М.:
Просвещение, 2000. - 399с.
11. Глейзер Г.И. История математики в школе. IX-X классы. - М.:
Просвещение, 1983. - С. 149.
12. Гончаров Н.К. Ещё раз о дифференцированном обучении в старших
классах общеобразовательной школы // Советская педагогика. - 1963. - № 2. - C.
39-50.
13. Гончаров Н.К. О введении фуркации в старших классах средней
школы // Советская педагогика. - 1958. - № 6. - С. 12-37.
15. Дидактика средней школы / под ред. М.Н. Скаткина. - 2-е изд.
- М.: Просвещение, 1982. - 320с.
16. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. и др. Дифференциация в обучении
математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 15-21.
17. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. и др. Концепция профильного курса
математики // Математика в школе. - 2006. - № 7. - С. 14.
18. Зимняя И.А. Педагогическая психология. - М.: Логос, 2000. -
384с.
19. Колягин Ю.М. и др. Профильная дифференциация обучения
математике // Математика в школе. - 1990. - № 4. - С. 21-27.