Стохастические математические модели исследования финансовых рынков

Контрольная работа

Стохастические математические модели исследования финансовых рынков

Введение

Структура финансовой математики как науки может быть кратко изображена следующей схемой:

Рис. 1

Сама же финансовая система, которую изучает финансовая математика, может быть представлена диаграммой:

Рис. 2

Таким образом, в теории и практике финансов среди выделенных структур основную роль играют рынки ценных бумаг. В данном методическом пособии будут изучаться так называемые -рынки, то есть математические модели финансовых рынков, состоящих из безрискового банковского счета  и вектора акций различных типов  (буква  соответствует слову bonds - боны, облигации, а буква  является начальной буквой слова stocks - акции). Этот материал является частью раздела «Стохастическая финансовая математика».

1. Понятие о -рынке

Все виды ценных бумаг, фигурирующих на финансовом рынке, можно разделить на два основных класса: рисковые и безрисковые активы. Все разновидности безрисковых активов ведут себя приблизительно как банковский счёт. Рисковые же активы эволюционируют как акции и имеют ярко выраженный случайный характер. Такая двойственность и легла в основу математического названия финансового рынка - -рынка.

Прежде чем давать строгие определения, построим достаточно общую математическую модель финансового рынка. Рассмотрим две последовательности:  и . Нижние индексы обозначают некоторые моменты времени, причём 0 - это начальный момент времени, с которого на финансовом рынке производятся определённые действия, подвергаемые анализу, а N - финальный (терминальный) момент времени, на котором этот анализ завершается.

Первая последовательность  - это последовательность чисел, которые отражают эволюцию цены единицы банковского счёта. За единицу банковского счёта можно принять любую сумму денег в любой валюте, например 1 руб., 1000руб., 10$, 57 EUR и т.п. Для простоты обычно полагают величину  равной единице банковского счёта (чаще всего ).

Приведём наиболее общепринятые формулы эволюции банковского счёта.

Формула простых процентов.

Обозначим через r процентную ставку. Эволюция банковского счёта по простым процентам происходит следующим образом:

;

;

;

…………………………………..

.

На практике использование этой формулы нецелесообразно, так как в этом случае проценты начисляются, исходя только из начальной суммы, а процентные деньги в дальнейшем увеличении капитала не участвуют.

Формула сложных процентов.

В этой формуле проценты начисляются с суммы начального капитала и процентных денег:

;

;

;

…………………………………..

.

В разделе детерминированной финансовой математики тщательно прорабатываются все возможные вариации в начислении процентов: плавающая процентная ставка, непрерывное начисление процентов, учёт инфляции и т.п. Соответствующие формулы можно найти в любой литературе по финансовой математике.

Последовательность  представляет собой последовательность случайных векторов цен акций разного типа:

, ,…, .

Нижний индекс по-прежнему рассматривается нами как момент времени, в который происходит изменение цен акций, а верхний отражает тип акции. Например:

 - цены акций ОАО «Роствертол»;

 - цены акций ОАО ИПФ «Малыш»;

 - цены долларов в рублях и т.п.

Так как цены акций изменяются случайным образом, то естественно считать, что они представляют собой случайные величины на некотором вероятностном пространстве . Мы будем предполагать, что пространство элементарных событий  - конечное множество, а точки множества  будем трактовать как элементарные события, происходящие на финансовом рынке. Под  будем понимать -алгебру всех подмножеств  и каждое событие из  будем трактовать как событие, могущее произойти на финансовом рынке. Так как  конечно, то для нее понятие -алгебра совпадает с понятием алгебра событий (покажите это!). Мы будем использовать термин «алгебра событий».

Обозначим через  множество вероятностей (или, что то же самое, вероятностных мер) на , нагружающих все точки множества . Это означает, что если , то данная вероятностная мера (в.м.) строго положительна на любом элементарном событии из . В дальнейшем мы будем рассматривать только вероятностные меры , принадлежащие множеству . Если  и  - случайные величины, а , то формула «» равносильна фразе « при всех ». Для простоты мы будем использовать последнюю фразу, записывая ее в виде «».

Определение 1. -рынком (в обобщённом смысле) называется объект, состоящий из последовательности строго положительных чисел , интерпретируемых как цены банковского счёта в моменты времени  (цены безрисковых активов), и последовательностей строго положительных случайных величин , , на конечном вероятностном пространстве , интерпретируемых как цены акций (-го типа) в моменты времени  (цены рисковых активов).

Определение 2. Портфелем (в обобщенном смысле) ценных бумаг (или финансовой стратегией в обобщенном смысле) называется объект , состоящий из последовательности случайных величин , где каждое  интерпретируется как число единиц банковского счёта в момент времени n, и последовательности случайных векторов

, ,…, ,

где каждое  интерпретируется как число акций k-го типа в момент времени п (,).

Полным капиталом портфеля  в момент времени п () называется случайная величина . Часто полный капитал записывается в виде

 (), (1)

где второе слагаемое понимается как скалярное произведение векторов  и .

В начальный момент времени  вся ситуация на рынке считается нам известной, в том числе известны цены на все акции. Также логично считать, что владельцу портфеля известно, сколько единиц банковского счёта и сколько акций каждого типа составляют его начальный капитал. Таким образом, случайные величины  будем считать детерминированными действительными числами, а последовательность  - детерминированной последовательностью строго положительных чисел.

Случайные величины  () могут быть не только положительными, но и равными 0 (что соответствует тому обстоятельству, что на банковском счёте в этот момент времени денег нет), а также отрицательными (когда у банка берётся заем). Значения случайных величин  не обязаны быть целыми. Например, если в момент времени п цена единицы банковского счёта равна 100 руб., а на счету 50 руб., то . То, что  тоже могут быть дробными, соответствует гипотезе о безграничной делимости цен акций. Если , то это означает, что в данный момент акции k-го типа в портфеле отсутствуют. Ситуация, когда , носит название короткой продажи акций (short-selling или взятие акций взаймы). Более подробно экономический смысл этого термина мы поясним позднее (см. пример 3).

. Эволюция капитала портфеля ценных бумаг

Пусть в начальный момент времени  капитал рассматриваемого портфеля  имеет вид . В промежутке между моментами  и  вследствие различных обстоятельств, о которых речь пойдет ниже, капитал  может измениться и принять значение, равное , где  - некоторая с.в. Таким образом, капитал увеличится, если , уменьшится, если , и не изменится, если . Для того, чтобы получить при  как можно больший капитал , мы перед объявлением новых цен на акции (которое происходит как раз в момент времени ) изменяем структуру портфеля, продавая одни акции и покупая другие, а также внося изменения в банковский счет. После этих действий мы будем иметь в портфеле  единиц банковского счета и  акций, то есть получим соотношение: =. После объявления при  новых цен на акции, учитывая изменение стоимости банковского счета, получаем капитал портфеля в момент : .

То же самое повторяется между моментами времени  и п. А именно, капитал  изменяется на значение с.в. . Затем мы перераспределяем содержимое портфеля и получаем в результате  единиц банковского счета и  акций, а также соотношение . После объявления в момент времени п новых цен на акции и новой цены банковского счета, получаем капитал (1) портфеля в момент п.

Теорема 1. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (1). Тогда следующие условия равносильны:

(a)          ,  (вид финансирования портфеля);

(b)      ,  (балансовое соотношение);

(c)          ,  (формула приращения капитала);

(d)           ,  (формула приращения дисконтированного капитала).

Заметим, что под дисконтированием в финансовой математике понимается отношение цен рисковых активов к безрисковому.

Доказательство. (a)Þ(b). Из равенства (a) вычтем соотношение (1), записанное для момента времени :

Получили балансовое соотношение (b).

(b)Þ(c). Применяя соотношение (1), имеем:

. (2)

Применяя ко второй скобке балансовое соотношение (b), получаем нужный вид (c) приращения капитала.

(c)Þ(d). Преобразуем приращение дисконтированного капитала:

.     (3)

Заменяя в скобке  выражением (1), а  - в соответствие с формулой (c), получаем:

,

что и требовалось.

(d)Þ(a). Расписывая формулу (d) и затем применяя (1), имеем:

.

Доказательство завершено.

Самофинансируемый портфель ценных бумаг

Определение 3. Портфель  ценных бумаг называется самофинансируемым, если для него выполняется соотношение (1), а в формуле (a)  при всех .

Переформулируем теорему 1 для самофинансируемого портфеля.

Следствие 1. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (1). Тогда следующие условия равносильны:

(a')      ,  (условие самофинансирования портфеля);

(b')      ,  (балансовое соотношение);

(c')      ,  (формула приращения капитала);

(d')      ,  (формула приращения дисконтированного капитала).

Условие самофинансирования (a¢) означает, что перед изменением состава портфеля в промежутке между моментами времени  и п портфель не испытывает ни притока дополнительного капитала, ни оттока капитала (например, для потребления).

Финансовый смысл балансового соотношения (b¢) поясним для частного случая, когда в портфеле присутствуют акции лишь одного типа (общий случай интерпретируется аналогично). Если  (то есть между моментами времени  и п мы покупаем акции стоимостью ), то из (b¢) следует, что , и значит осуществить эту покупку можно, лишь сняв с банковского счета сумму , равную . Если же , то есть акция продается, то на банковский счет поступает сумма .

Сравнение формулы (c¢) с соотношением (2) показывает, что в рассматриваемом случае самофинансирования реальное изменение капитала происходит лишь за счет реальных изменений величин  и  (выражающих изменение цены банковского счета и цен акций), а не за счет изменений  и  (образно говоря, от простого "перекладывания денег из одного кармана в другой" реального увеличения капитала не получить).

Соотношение (d¢) означает, что при переходе от момента времени  к моменту времени п весь прирост дисконтированного капитала определяется лишь приростом дисконтированной стоимости акций.

Портфель с инвестированием и потреблением

Рис. 3

Будем предполагать, что  и  - последовательности с.в., обладающие следующими свойствами:  и  () (из этих соотношений следует, что рассматриваемые случайные последовательности не убывают и состоят из неотрицательных с.в.). Случайную последовательность  будем называть "процессом инвестирования" (буква I взята из слова investment=инвестирование), а последовательность  - "процессом потребления" (consumption=потребление).

Пусть рассматриваемый нами портфель  формируется следующим образом. При переходе от момента времени  к моменту времени п инвестиции в портфель равняются , а сумма, изымающаяся на потребление, равна . Таким образом, мы попадаем в ситуацию, рассмотренную в теореме 1, если положим .

Переформулируем теорему 1 для случая портфеля с инвестированием и потреблением.

Следствие 2. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (1). Тогда следующие условия равносильны:

(a")      ,  (условие допустимости инвестирования и потребления);

(b")     ,  (балансовое соотношение);

(c")      ,  (формула приращения капитала);

(d")     ,  (формула приращения дисконтированного капитала).

Читателю предлагается придать финансовый смысл соотношениям (a¢¢)-(d¢¢) самостоятельно.

Портфель, учитывающий операционные издержки за покупку и продажу акций

Обозначим через  индикатор события A, то есть .

Введём некоторые стандартные обозначения. Если f - случайная величина, то , а . Особенности поведения этих случайных величин демонстрируют следующие графики:

Рис. 4

Всегда справедливо равенство . Действительно,

.

Рассмотрим следующие векторы случайных величин:

.

Вектор  отражает количество купленных акций в промежутке между моментами времени  и п, а вектор  - количество проданных акций в том же промежутке времени. Допустим, что при покупке каждой акции нужно дополнительно платить долю (процент) l от стоимости этой акции, а при продаже каждой акции - долю  от стоимости акции. Эти затраты выражают собой оплату операционных издержек. Ясно, что при переформировании портфеля в промежутке времени от  до n за покупку акций нужно будет выплатить сумму  операционных издержек, а при продаже - сумму . Таким образом, капитал , накопленный на момент времени , уменьшится на + и будет представляться через обновленный состав акций и банковского счета выражением .

В результате получаем соотношение:

,

которое совпадает с (a), если положить --.

Переформулируем теорему 1 для портфеля, учитывающего операционные издержки за куплю-продажу акций.

Следствие 3. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (1). Тогда следующие условия равносильны:

(a¢¢¢) ,  (условие учета издержек за куплю-продажу акций);

(b¢¢¢) --,  (балансовое соотношение);

(c¢¢¢) --,  (формула приращения капитала);

(d¢¢¢) ,  (формула приращения дисконтированного капитала).

Портфель, учитывающий поступление дивидендов

До настоящего момента мы имели дело с ситуациями, когда полный капитал портфеля формировался по формуле (1), и это давало нам возможность во всех рассмотренных случаях пользоваться теоремой 1. Случай с дивидендами доставляет некоторое отклонение от схемы, изложенной в этой теореме.

Пусть  есть l-мерная случайная последовательность

,

где при любом  и любом   и . Будем интерпретировать  как суммарные дивиденды (dividend=дивиденд), выплачиваемые по акции k-го типа к моменту времени n включительно. Тогда  - дивиденды по этой акции, выплачиваемые в момент времени n.

Пусть капитал  уже включает в себя все дивиденды, выплаченные на момент времени . Ожидая момент n, в который будут объявлены новые цены на акции, а также будут выплачены новые дивиденды, изменим состав портфеля и получим: . В момент времени n "традиционный" капитал портфеля будет, как всегда, равен , но к нему прибавится сумма , равная дивидендам, выплаченным в момент времени n по всем акциям. Получаем соотношение:

, . (4)

Теорема 2. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (4). Тогда следующие условия равносильны:

(A)     ,  (самофинансирование с учетом дивидендов);

(B)   ,  (балансовое соотношение);

(C) ,  (формула приращения капитала);

(D)      ,  (формула приращения дисконтированного капитала).

Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы 1.

(A)Þ(B). Из равенства (A) вычтем соотношение (4), записанное для момента времени :

Получили балансовое соотношение (B).

(B)Þ(C). Применяя соотношение (4) и выкладки, как при доказательстве формулы (2) из теоремы 1, имеем:

.

Применяя ко второй скобке балансовое соотношение (B) и приводя подобные члены, получаем нужный вид (С) приращения капитала.

(C)Þ(D). В формулу (3) подставляем выражение для  (см. ф-лу (4)) и выражение для  (см. ф-лу (С)). Имеем:

=,

что и требовалось.

(D)Þ(A). Расписывая формулу (D) и затем применяя (4), имеем:

.

Доказательство завершено.

Общий случай

Варианты формирования портфеля, рассмотренные в следствиях 2 и 3, а также в теореме 2, могут быть сведены к одному случаю, в котором присутствуют инвестирование-потребление, операционные издержки и дивиденды.

Теорема 3. Рассмотрим портфель  ценных бумаг с капиталом (4). Тогда следующие условия равносильны:

(I) , ;

(II) --+, ;

(III) +--+, ;

(IV) , .

Доказательство проводится так же, как и доказательство теорем 1 и 2.

. Схемы образования событий на финансовом рынке (информационные потоки)

Мы работаем на конечном вероятностном пространстве , то есть, имеем конечное число событий, могущих произойти на финансовом рынке. Любое возможное развитие событий должно быть предусмотрено и заложено в схему, отслеживающую ситуацию на рынке в каждый момент времени. В общем случае эта схема представляется в виде:

Обозначим через  полную группу гипотез о поведении цен на акции в момент времени , для которых выполняются условия:

)        при ;

)        .

Рис. 5 Здесь через , как обычно, обозначается число элементов множества .

События  тоже образуют полную группу гипотез, так как удовлетворяют условиям:

;

;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 и в сумме составляют .

Обозначим полную группу гипотез о поведении цен на акции в момент  через . Аналогичным образом поступим и в другие моменты времени. При этом получим  и .

В результате мы построили последовательность полных групп гипотез . Для каждой группы гипотез   определим наименьшую алгебру  событий, содержащую  и невозможное событие . Таким образом

;

.

Точно так же  формируется из гипотез  и, наконец,  - из .

После проведённых операций мы получили последовательность алгебр событий, каждая предыдущая из которых вложена в последующую, причем начальная алгебра тривиальна, а финальная алгебра совпадает с алгеброй событий F:

.

Каждую алгебру событий   будем трактовать как информацию, доступную на финансовом рынке в момент времени k, а рассмотренную схему будем называть информационным деревом.

Определение 4. Возрастающая последовательность алгебр событий  называется фильтрацией (или информационным потоком). Объект , полученный из вероятностного пространства после внедрения в него фильтрации, называется стохастическим базисом.

Приведём примеры наиболее популярных видов информационных деревьев:

1.       Бинарное дерево.

Рис. 6

Это дерево соответствует важнейшей модели финансового рынка - модели Кокса-Росса-Рубинштейна, изучением которой мы займёмся позднее.

2.       Дерево, связанное с моделью в случае «жёсткой скупки» акций.

Рис. 7

3.       Дерево, связанное с обобщённой моделью в случае скупки акций.

Рис. 8

4. Финансовые обязательства

Определение 5. Финансовым обязательством называется произвольная неотрицательная случайная величина .

Экономически финансовое обязательство - это количество денег, которое мы запланировали получить в терминальный момент в результате ведения портфеля ценных бумаг.

Рассмотрим -рынок при следующих условиях:

)        (одношаговая модель);

)        ;

)        на рынке присутствуют акции только одного типа с ценами  и ;

)        этот рынок бинарный, то есть соответствует схеме

)  - финансовое обязательство.

Такой  - рынок мы будем называть простейшим.

Требуется найти те значения начального капитала , при которых существует самофинансируемый портфель, удовлетворяющий условию , и построить все такие самофинансируемые портфели при заданных параметрах финансового рынка.

Пример 1. Рассмотрим простейший рынок при условиях: ;  (проценты на банковский счёт не начисляются); ; ; ; ; . Поставленная задача состоит из двух вопросов, первый из которых заключается в отыскании значения начального капитала, который необходим для достижения заданного финансового обязательства при конкретной ситуации на финансовом рынке.

Начальный капитал определяется формулой . Часто предполагают, что в начальный момент времени весь капитал находится на банковском счете, то есть . Тогда . Уравнение  является финальным условием, а  - условием самофинансирования (см. следствие 1). Используя заданные параметры и тот факт, что  и  - действительные числа (так как мы определяем их значения, руководствуясь информацией, полученной в момент ), составим систему уравнений:

Получили систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим её, вычтя из первого уравнения второе:

, тогда ,

а .

Итак, для достижения финансового обязательства при данных условиях финансового рынка нам необходим начальный капитал в размере  единиц банковского счёта. Самофинансируемый портфель, удовлетворяющий условию , существует и его компоненты вычисляются по формулам: , . Реально это означает, что мы должны занять в банке 1, затем на эти деньги и на начальный капитал приобрести  акций. В равенстве  слагаемое  означает сумму, полученную нами за акции после объявления на них новой цены, а слагаемое  соответствует возвращению долга банку. При этом выполнение самого равенства  означает, что мы осуществили взятое на себя финансовое обязательство.

Параллельно мы ответили и на вторую часть задания о количестве подобных портфелей: из решения системы видно, что компоненты портфеля определяются единственным образом, то есть существует только один такой самофинансируемый портфель.

Пример 2. Изменим значения параметров и выполним те же действия. Пусть теперь ; ; ; ; ; ; . Опять предполагаем, что . Составим систему и решим её:

Имеем:

;  .

Таким образом, чтобы достичь нужного финансового обязательства, начальный капитал  вкладывается, согласно найденным значениям  и , в акции и в банковский счёт. Соответствующий самофинансируемый портфель единственен.

Пример 3. Рассмотрим тот же финансовый рынок, что и в примере 2, а финансовое обязательство зададим следующим образом: ; . Система для вычисления компонентов самофинансируемого портфеля выглядит следующим образом:

Имеем:

;  .

Согласно проведенным вычислениям, наши действия должны быть таковы. Изначально у нас в банке должно находиться  единиц. В промежутке между начальным и финальным моментами мы берем взаймы две акции (short-selling), продаем их и полученные деньги переводим на банковский счет. В результате на банковском счете мы получаем  единиц. В финальный момент времени у нас на банковском счете будет уже  единиц (добавятся проценты). Беря деньги с этого банковского счета, мы покупаем (по новой цене) две акции и возвращаем их заемщику. Оставшихся на банковском счете денег в точности хватает для выполнения финансового обязательства.

Зададимся теперь другим вопросом: можно ли и в каких случаях, не имея денег, так организовать свои действия на финансовом рынке, чтобы в финальный момент времени существовала возможность получить без риска положительный капитал? Для простейшего -рынка данная задача может быть конкретизирована, например, следующим образом: найдётся ли самофинансируемый портфель, позволяющий выполнить финансовое обязательство ,  при условии ? Заметим, что фраза без риска означает здесь выполнение неравенства , означающего, что ни при каких обстоятельствах мы не понесем потери в терминальный момент времени.

Попробуем решить поставленную задачу в условиях примера 2. Опять воспользуемся финальным условием и условием самофинансирования и составим систему, в которую теперь входит одно неравенство. Если эта система имеет решения, то ответ на вопрос задачи будет положительный. Если же мы получим противоречие, то это будет означать, что подобного самофинансируемого портфеля не существует. Итак, получаем:

Умножим третье уравнение на 1,5 и вычтем второе, получим . Но тогда и . При этом первое неравенство доставляет противоречие: .

Итак, при заданных параметрах финансового рынка невозможно достичь на нём финансового обязательства, удовлетворяющего условиям , . Однако этот результат не даёт нам права сказать, что вообще нельзя получить положительный капитал с нуля, так как мы не проверили ещё две возможные ситуации, когда либо  и , либо  и .

Задание 1. Показать, что в условиях примера 2 достижение описанных выше финансовых обязательств невозможно.

Рассмотрим ещё несколько примеров простейших финансовых рынков. Во всех этих примерах мы будем отвечать на два вопроса:

.        Существует ли самофинансируемая стратегия, позволяющая реплицировать заданное финансовое обязательство  (то есть обеспечивающая выполнение равенства ), сколько таких стратегий и каков необходимый для этого начальный капитал?

.        Определить, можно ли построить самофинансируемую стратегию, реплицирующую при  финансовое обязательство , удовлетворяющее одному из условий:

а)  и ,

б)  и ,

в)  и .

Пример 4. Пусть ; ; ; ; ; ; .

. Действуя так же, как в предыдущих примерах, получим:

.

.

Тогда .

Существует единственная самофинансируемая стратегия, реплицирующая данное финансовое обязательство. Начальный капитал при этом приближенно равен 0,358.

. Рассмотрим финансовое обязательство, удовлетворяющее условиям пункта а):

Полученное противоречие показывает, что такого портфеля не существует.

Аналогично показывается, что не существует самофинансируемых стратегий, реплицирующих финансовые обязательства, удовлетворяющие условиям б) или в).

Пример 5. Пусть ; ; ; ; ; ; .

. ,

а .

Тогда .

И здесь существует единственная самофинансируемая стратегия, реплицирующая данное финансовое обязательство.

.

Итак, данная система совместна, что свидетельствует о существовании самофинансируемой стратегии (даже бесконечного множества таких стратегий), которая позволяет получить безрисковую прибыль, начиная с нуля.

Пример 6. Пусть ; ; ; ; ; ; .

1.

Система несовместна, то есть построить самофинансируемую стратегию, реплицирующую данное финансовое обязательство, невозможно.

.

И здесь существует бесконечное множество самофинансируемых стратегий, позволяющих получить безрисковую прибыль с нуля.

Пример 7. Пусть ; ; ; ; ; ; .

.

В данном случае существует бесконечное множество самофинансируемых стратегий, реплицирующих данное финансовое обязательство. Например, если , то , а .

. Эта часть в точности повторяет второй пункт предыдущего примера.

Пример 8. Пусть ; ; ; ; ; ; .

1.

Как и в примере 6, система несовместна, то есть построить самофинансируемую стратегию, реплицирующую финансовое обязательство, невозможно.

. Рассмотрим финансовое обязательство, удовлетворяющее пункту а):

Полученное противоречие показывает, что такого портфеля не существует. Аналогично показывается, что не существует самофинансируемых стратегий, реплицирующих финансовые обязательства, удовлетворяющие условиям б) или в).

Пример 9. Пусть ; ; ; ; ; ; .

.

Как и в примере 7, в данном случае существует бесконечное множество самофинансируемых стратегий, реплицирующих финансовое обязательство.

Например, если , то , а начальный капитал здесь постоянен () и не зависит от компонентов портфеля.

. Этот пункт полностью повторяет соответствующий пункт примера 8.

Итак, мы рассмотрели разные ситуации на финансовом рынке и можем сделать некоторые обобщения. Например, вполне определённо напрашивается вывод о связи состояния рынка со значениями его параметров. В следующей части мы введём терминологию, дающую математическую основу для характеристики различных экономических состояний финансовых рынков.

. Полнота и безарбитражность финансовых рынков

Определение 6. -рынок называется полным (в обобщенном смысле), если любое финансовое обязательство  реплицируемо, то есть существует такой самофинансируемый портфель , что его финальный капитал в точности совпадает с  (то есть ).

Определение 7. -рынок называется безарбитражным (в обобщенном смысле), если не существует самофинансируемого портфеля, удовлетворяющего условиям:  и , причем хотя бы одно из чисел  ().

Определение 8. Случайный вектор , равный отношению цен акций к цене банковского счёта в любой момент времени п, называется дисконтированной ценой акций в момент времени п.

Предложение 1. Рассмотрим простейший -рынок с акцией одного типа и с бинарной схемой образования событий:

.        Пусть  и  - цены единицы банковского счёта, а  и  - цены акций в моменты времени 0 и 1. Пусть число  лежит строго между значениями  и , например

Тогда -рынок безарбитражен и полон, то есть любое финансовое обязательство  реплицируемо и не существует самофинансируемого портфеля, удовлетворяющего условиям  и , где хотя бы одно из чисел  или  строго больше нуля.

.        Пусть , и число  находится в дополнении открытого интервала с концами  и , например

или

Тогда -рынок полон и арбитражен, то есть любое финансовое обязательство реплицируемо и существует бесконечное множество самофинансируемых стратегий, удовлетворяющих условиям  и , где хотя бы одно из чисел  или  строго больше нуля.

.        Пусть  и не совпадают с числом . Тогда -рынок неполон и арбитражен, то есть существует нереплицируемое финансовое обязательство, а самофинансируемых стратегий, удовлетворяющих условиям  и , где хотя бы одно из чисел  или  строго больше нуля, бесконечное множество.

.        Пусть . Тогда -рынок неполон и безарбитражен, то есть существует нереплицируемое финансовое обязательство, и не существует самофинансируемых стратегий, удовлетворяющих условиям  и , где хотя бы одно из чисел  или  строго больше нуля.

Доказательство. Обозначим , , . Напомним, что  - финальное условие и  - условие самофинансирования.

.        Для определённости будем считать, что . Докажем сначала полноту -рынка. Составим систему уравнений полного капитала на атомах  и  в финальный момент времени:

Имеем:

.

По теореме Крамера данная система имеет единственное решение, откуда следует существование единственного самофинансируемого портфеля, реплицирующего .

Докажем безарбитражность. Для этого нам нужно показать невозможность достижения трёх видов финансового обязательства  при условии , когда:

а)  и ;

б)  и ;

в)  и .

Рассмотрим случай а). Составляем систему:

Разделим неравенства на , а третье уравнение - на . Используя введённые обозначения, получим:

Система противоречива и безарбитражность -рынка в этом случае доказана.

Рассмотрим случай в). Имеем:

Разделим неравенство и второе уравнение на , а третье уравнение - на . Используя введённые обозначения, получим:

Полученное противоречие доказывает, что портфеля, позволяющего достичь финансового обязательства в), не существует.

Случай б) совершенно аналогичен случаю в).

Такое состояние финансового рынка исследовалось нами в примерах 1-4.

.        Для определённости будем считать, что .

Полнота -рынка в этом случае доказывается точно так же, как и в предыдущей ситуации.

Докажем, что этот -рынок арбитражен. Для этого достаточно показать, что хотя бы один из вариантов финансового обязательства а), б) или в) достижим при условии .

Пусть . Рассмотрим финансовое обязательство, удовлетворяющее условиям , . Тогда

Имеем:

Система совместна и имеет бесконечное множество решений. Данный -рынок арбитражен. Такой рынок был исследован в примере 5.

Пусть теперь . Рассмотрим финансовое обязательство, удовлетворяющее условиям , . Тогда

Система совместна и имеет бесконечное множество решений. Данный -рынок также арбитражен.

.        Пусть теперь .

Докажем, что данный -рынок неполон. Для этого достаточно найти нереплицируемое финансовое обязательство. Составим систему уравнений для полного капитала на атомах  и :

Имеем:

.

Согласно следствию из теоремы Крамера, данная система имеет либо бесконечное множество решений, либо не имеет их вовсе. Далее:

Таким образом, если задать , удовлетворяющее условию , то это финансовое обязательство будет нереплицируемо.

Докажем, что рассматриваемый рынок арбитражен. Пусть , . Тогда

Если , то . Система имеет бесконечное множество решений.

Если , то . Система тоже имеет бесконечное множество решений. Рынок арбитражен, что мы наблюдали в примерах 6-7.

.        Пусть .

Доказательство неполноты рынка дословно повторяет соответствующее доказательство в предыдущем случае.

Исследуем этот рынок на безарбитражность. Рассмотрим три вида финансовых обязательств а), б) и в) и покажем их нереплицируемость при условии , как мы это сделали в первом пункте. Учтём при этом, что .

а)

в)

б) Рассуждения аналогичны пункту в).

Во всех рассмотренных случаях системы оказались несовместны, откуда следует, что данный -рынок безарбитражен. Такая ситуация соответствует финансовым рынкам примеров 8-9. Следует отметить, что для финансового анализа лучшими являются рынки, одновременно являющиеся полными и безарбитражными.

Предложение 2. Рассмотрим одношаговый -рынок с акцией одного типа со следующей схемой образования событий:

.        Этот рынок всегда неполон, то есть всегда найдётся нереплицируемое финансовое обязательство .

.        Пусть среди чисел ,  и  есть различные. Этот рынок безарбитражен тогда и только тогда, когда

.

Доказательство.

.        Рассмотрим финансовое обязательство , , . Как и раньше, используя формулу полного капитала, составим систему:

а) Пусть , тогда . Если , то полученная система противоречива.

б) Пусть , тогда значения  и  по правилу Крамера однозначно определяются из системы  Подставляя эти значения в третье уравнение системы, всегда можно выбрать такое , чтобы равенство  не выполнялось и, следовательно, система не имела решения.

         Таким образом, всегда можно подобрать такое финансовое обязательство, достичь которого на данном рынке не удастся. Рассматриваемый рынок неполон.

2.      Докажем безарбитражность рынка при выполнении условий предложения.

Пусть, например,  или, в обозначениях предложения 1, . Рассмотрим финансовое обязательство , удовлетворяющее условиям: , . Действуя, как в предложении 1, получим систему:

Принимая во внимание равенство , имеем:

Остальные случаи, включая те, которые влекут арбитраж, рассматриваются аналогично.

Пример 10. Рассмотрим двушаговую модель:

Пусть ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . Найдём все самофинансируемые портфели, реплицирующие данное финансовое обязательство, и соответствующие начальные капиталы.

Полный капитал в момент времени  находится по формуле , откуда получаем систему:

Из условия самофинансирования  получаем:

Из формулы полного капитала имеем . Следовательно,

Далее:

.

Покажем теперь, что данный рынок безарбитражен, то есть не существует такого самофинансируемого портфеля, у которого ,  и хотя бы одно из чисел  ().

Пусть . Запишем систему:

         (5)

Используем балансовое соотношение при : . Расписываем его:

Учтём условие самофинансирования :

Подставим полученные выражения в систему (5):

Если , то второе неравенство не выполняется; если  или , то не выполняется первое неравенство. Из этого следует, что система противоречива и рынок безарбитражен.

. Понятия измеримости, адаптируемости и предсказуемости

Определение 9. Пусть  - вероятностное пространство, а g - случайная величина на нём. Пусть  - s-подалгебра s-алгебры . Случайная величина g называется измеримой относительно s-алгебры , если она является случайной величиной на вероятностном пространстве .

Поясним это определение на двушаговой модели финансового рынка, схема которой приведена в примере 10. Пусть

,

.

Ясно, что . С.в. g на  - это функция, задаваемая значениями , , , . Таким образом, максимальное число различных значений с.в. g равно четырем. Если g является измеримой относительно , то есть является с.в. на , то она задаётся двумя значениями  и . При каких условиях g является с.в. и на , и на ? В данной ситуации ответ такой: когда  и . Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Теорема 4. Пусть  - конечная s-алгебра и . Пусть  - полная группа гипотез, порождающая . С.в. g на  измерима относительно  тогда и только тогда, когда для  и для  выполняется равенство .

Доказательство предоставляется читателю.

Определение 10. Пусть  - стохастический базис некоторого -рынка с акциями , . Данная последовательность цен акций называется адаптированной к фильтрации , если для  и  с.в.  измерима относительно s-алгебры .

Продолжим пояснения на схеме примера 10. Адаптируемость последовательности цен акций ,  и  к фильтрации  означает, что  измерима относительно ,  - относительно , а  - относительно . Так как  тривиальна, то . В формировании  участвуют два атома; значит,  может принимать максимум два различных значения  и . Так как  порождена четырьмя атомами,  может иметь максимум четыре различных значения , , , .

Определение 11. Пусть  - стохастический базис некоторого -рынка. Последовательность с.в.  называется предсказуемой относительно фильтрации , если она адаптирована к фильтрации , то есть  измерима относительно ,  - относительно ,…,  - относительно .

В нашем примере предсказуемыми являются последовательности  и . С.в.  и  измеримы относительно  и являются константами. С.в.  и  измеримы относительно  (так как они назначаются между моментами  и , то есть с использованием информации, содержащейся в ) и поэтому принимают значения ,  и , .

Произведём некоторую модификацию определений 1 и 2 в свете вновь введенных понятий.

Определение . Если в определении 1 считать, что цены акций адаптированы к данной фильтрации , то такой -рынок будем называть -рынком в обычном финансовом смысле.

Определение . Если в определении 2 считать, что  и  при любом  являются предсказуемыми относительно фильтрации , то такой портфель назовём портфелем ценных бумаг в обычном финансовом смысле.

В стохастической финансовой математике обычно используются именно определения  и . В частности, в определениях 6 и 7 мы всегда считаем, что портфели ценных бумаг понимаются в обычном финансовом смысле.

. Понятие об опционах европейского типа

Рассмотрим два физических или юридических лица, которые действуют на финансовом рынке. Одно из них - покупатель - приобретает какой-нибудь контракт, платя за это величину С - цену (стоимость) контракта, или, как часто говорят, премию. Получив деньги С, другое лицо - продавец - должен гарантировать покупателю выполнение этого контракта в какой-то момент времени N. Для этого он создаёт портфель  с начальным

капиталом  и задается целью получить максимальный финальный капитал . Сумма  должна быть по меньшей мере такова, чтобы обязательства по контракту могли быть выполнены.

Контракты европейского типа характеризуются тем, что они исполняются точно в финальный момент времени N. Контракты же американского типа могут быть предъявлены к исполнению (погашены) в любой момент времени до момента N включительно. Мы рассмотрим только контракты европейского типа, точнее, только опционы европейского типа, так как остальные разновидности вторичных ценных бумаг подобны опционам, за исключением некоторых экономических деталей.

. Опционы-call, то есть опционы на покупку акций, предполагают следующую ситуацию. Покупателю опциона нужно в момент времени N иметь акцию определённого типа, однако в настоящий момент приобрести эту акцию он не может (или не хочет, ввиду экономической нецелесообразности). Естественно предположить, что в момент N он хочет купить эту акцию подешевле. С этой целью он заключает с продавцом опциона-call контракт, согласно которому продавец опциона обязуется продать покупателю нужную акцию в момент времени N по заранее оговорённой цене К - цене поставки. За выполнение этого контракта покупатель сразу платит продавцу деньги С (цена контракта, премия). Основной момент данного вида сделки состоит в том, что продавец обязан в момент N выполнить условия контракта в то время, как покупатель имеет право не предоставлять контракт к исполнению.

Ответим на вопрос: какое финансовое обязательство продавца соответствует данному контракту? Возможны два варианта развития событий.

1.      Стоимость акции в момент N больше контрактной, то есть . Тогда покупатель предъявляет контракт к исполнению, покупает акцию за деньги , после чего сразу же продает эту акцию по рыночной цене  и получает прибыль .

.        Стоимость акции в момент N меньше (или равна) контрактной, то есть . Тогда покупателю не выгодно предъявлять контракт к исполнению, так как он может купить эту акцию на рынке по более низкой цене.

Анализируя эти возможности, делаем заключение, что соответствующее финансовое обязательство продавца имеет вид:

. Опционы-put, то есть опционы на продажу акций, предоставляют возможность покупателю опциона продать акцию в момент времени N по заранее оговорённой цене  продавцу опциона. Покупатель опциона платит за эту возможность деньги С, а продавец опциона обязуется купить акцию в момент N по цене поставки . Здесь тоже возможны два варианта поведения покупателя опциона:

.        Если стоимость акции в момент N меньше контрактной , то покупатель, купив тут же её на рынке, предъявляет опцион к исполнению и имеет возможность получить прибыль .

.        Если стоимость акции в момент N больше контрактной , то покупатель не предъявляет опцион к исполнению (он может продать имеющуюся у него акцию более выгодно на рынке).

В связи с этими ситуациями финансовое обязательство продавца опциона-put выглядит следующим образом:

Перейдем теперь к постановке одного из основных вопросов, которые решает стохастическая финансовая математика. Какова стоимость  контракта, которая, с одной стороны, давала бы возможность продавцу контракта построить стратегию, приводящую к достижению финансового обязательства и выполнению контракта, а с другой - устраивала бы покупателя контракта, который хочет максимизировать прибыль при благоприятно развивающихся обстоятельствах и минимизировать убыток при неблагоприятной для него ситуации на рынке? В частности, здесь идет речь и о вычислении справедливой цены опциона, которая удовлетворяла бы и покупателя, и продавца опциона.

Оказалось, что решение данной задачи тесно связано с понятием хеджирования финансового обязательства.

8. Верхние хеджи и верхняя цена контракта

Определение 12. Самофинансируемый портфель  называется верхним -хеджем, если он удовлетворяет условиям:

) ;

) .

Совокупность всех верхних -хеджей обозначается .

В соответствии с изложенным в предыдущем пункте продавец контракта, получивший в начальный момент времени премию С, строит верхний -хедж с тем, чтобы выполнить финансовое обязательство.

Определение 13. Верхней ценой (стоимостью) контракта называется число

.

Ясно, что для любого финансового обязательства  существует такой начальный капитал х, что . Например, достаточно взять  и положить эти деньги на банковский счет.

Свойства верхней цены контракта

1.      Если , то

.        Если , и  - цена контракта, то продавец контракта находится в состоянии арбитража, то есть при реализации этого контракта он может извлечь прибыль без риска.

Доказательство.

. Пусть . По определению  существует такое число у, что , причём . В качестве у можно взять, например,  с достаточно большим номером, где  - последовательность чисел, строго монотонно убывающая к , для которой  (см. определение 13).

Обозначим . Так как , то существует  такой, что  и . Рассмотрим новый портфель , где  и . Покажем, что этот портфель является самофинансируемым.

Проверим выполнение балансового соотношения:

.

Итак, самофинансируемость портфеля  вытекает из самофинансируемости портфеля p. Остаётся показать, что  является верхним -хеджем. Действительно,

.

Таким образом, мы показали, что , то есть .

Пусть . В точности повторив вышеизложенное доказательство для , получим, что и в этом случае .

. Выберем произвольно число , удовлетворяющее условию . По свойству 1) . Продавец контракта строит портфель

, удовлетворяющий условиям  и . Покажем, что продавец контракта при любых обстоятельствах получит положительную прибыль.

Построим таблицу, отражающую доход продавца:

Итого, доход продавца , ч.т.д.

Итак, структура множества начальных капиталов, которые могут обеспечить выполнение финансового обязательства продавца контракта, имеет вид:

 или

Пример 11. В условиях примера 5 найти все верхние хеджи и верхнюю цену контракта.

Следуя определению верхней цены контракта, нам нужно вычислить нижнюю границу начального капитала  при условии, что . Имеем оптимизационную задачу:

Решим её графическим способом.

Ясно, что . Как следует из свойства 1) верхней цены контракта, для любого , то есть в данном случае для любого , можно построить верхний хедж из области допустимых значений изображённой на рисунке.

Множество верхних хеджей, соответствующих каждому значению  начального капитала, предлагается описать самостоятельно.

9. Нижний хедж и нижняя стоимость контракта

Определение 14. Самофинансируемый портфель  называется нижним -хеджем, если он удовлетворяет условиям:

) ;

) .

Совокупность всех нижних -хеджей обозначается .

Определение 15. Нижней ценой (стоимостью) контракта называется число

.

Свойства нижней цены контракта

.        Если , то

.        Если  и  - цена контракта, то покупатель контракта находится в состоянии арбитража, то есть при реализации этого контракта он может извлечь положительную прибыль без риска.

Доказательство предоставляется читателю.

Множества цен контракта, при которых покупатель контракта не будет в проигрыше, представляют собой

 или

. Соотношения между верхней и нижней ценами

Определение 16. -хедж называется совершенным, если он является одновременно верхним и нижним, то есть если выполняется равенство .

Ясно, что между числами  и  возможны три соотношения:

) ;

) ;

) .

Теорема 5. Если данный -рынок безарбитражен, то для любого финансового обязательства  верно неравенство .

Доказательство. Пусть существует такое финансовое обязательство , что . Выберем числа х и у так, чтобы :

Тогда из первого свойства верхней цены , то есть существует такой портфель , при котором  и .

С другой стороны, по первому свойству нижней цены , то есть существует такой портфель , что  и .

Рассмотрим новый портфель , где  и . Это самофинансируемый портфель, у которого

,

.

Таким образом, самофинансируемый портфель  реализует арбитражную возможность, что вступает в противоречие с условием теоремы и доказывает её.

Теорема 6. Если данный -рынок безарбитражен и полон, то для любого финансового обязательства  значения  и  совпадают, причём для  существует совершенный -хедж.

Доказательство. Пусть  - произвольное финансовое обязательство. Так как рассматриваемый -рынок полон, то существует самофинансируемый портфель  такой, что . Обозначим .

Таким образом,  и . Из первого включения и определения верхней цены финансового обязательства вытекает, что . Из второго включения и определения нижней цены финансового обязательства вытекает, что . А так как исходный -рынок безарбитражен, то по теореме 5 получаем неравенство . Имеем:

и все доказано.

Следствие 4. Пусть -рынок безарбитражен. Тогда для любого реплицируемого финансового обязательства  выполняется равенство .

Доказательство содержится в рассуждениях теоремы 6.

Следствие 5. Пусть -рынок безарбитражен и существует финансовое обязательство  такое, что . Тогда этот рынок неполон.

Пример 12. Пусть значения параметров одношагового бинарного рынка взяты из примера 8: ; ; ; ; . Пусть финансовое обязательство имеет вид: ; . Такого рода рынок мы уже рассматривали: из пункта 4) предложения 1 следует, что этот рынок безарбитражен, но не полон. Найдём верхнюю и нижнюю цены данного финансового обязательства, чтобы выяснить, действительно ли .

Сначала займёмся верхними хеджами. Пусть  - верхний -хедж. Найдём его финальный капитал: . По условию самофинансирования , то есть . По определению верхней цены имеем:

То же проделаем с нижними хеджами. Пусть  - нижний -хедж. Его финальный капитал , а условие самофинансирования , то есть . По определению нижней цены имеем:

Таким образом, мы получили соотношение: .

11. Условные вероятности, условные математические ожидания и мартингалы

Условная вероятность

Пусть  - некоторое конечное вероятностное пространство. Рассмотрим на нем полную группу гипотез , т.е.

) , ;

) , ;

) .

Часто полную систему гипотез называют разбиением , а сами гипотезы  называют атомами алгебры событий .

Напомним, что подалгеброй , порожденной разбиением , называют совокупность, состоящую из всех объединений атомов и невозможного события. Таким образом, любое разбиение  пространства элементарных событий  порождает подалгебру  исходной алгебры . Справедлив и обратный результат.

Теорема 7. Если  - конечная подалгебра алгебры событий , то существует такое разбиение , которое порождает эту подалгебру.

Доказательство предоставляется читателю.

Пусть  - произвольное событие. Рассмотрим условные вероятности: , , ..., . Напомним, что

.

Определение 17. Условной вероятностью события  по отношению к подалгебре  (порожденной разбиением ) называется случайная величина

.

Таким образом,  есть с.в., принимающая на атоме  значение . Из определения 9 вытекает, что с.в.  измерима относительно подалгебры .

Свойства условной вероятности

. Для несовместных событий  справедливо равенство

.

Доказательство. По определению 17 имеем:

.

. Если , то .

Доказательство. По определению 17

.

. Справедливо соотношение (формула полной вероятности):

.

Доказательство.

.

Пример 13. Пусть  - разбиение единичного квадрата  (см. рисунок), а подалгебра  порождена разбиением . Вычислим , где  - прямоугольник между прямыми  и :

1) ;

) ;

) ;

.

Пусть  - с.в. на . Если  и , то будем обозначать .

Пример 14. Пусть  - независимые с.в.,  - действительные числа и . Вычислим .

Имеем:

Пусть  - с.в., множество различных значений которой есть . Обозначим . Система событий  представляет собой полную группу гипотез. Алгебру, порожденную этой группой гипотез будем обозначать  и называть алгеброй событий, порожденной с.в. .

Определение 18. Условной вероятностью события  при условии, что известна с.в. , называется с.в. .

Пример 15. Пусть - независимые с.в., каждая из которых может принимать только значения 0 или 1, причем , а . Пусть  - действительное число. Вычислим .

Так как с.в.  может принимать лишь значения , то следует брать только . Используя определение 18 и результат предыдущего примера, имеем:

Заметим, что в результате вычислений условной вероятности относительно  мы получили с.в., зависящие только от .

Пусть теперь с.в.  и  представлены в виде , , где все значения  различны и все значения  различны (и, следовательно, совокупности  и  представляют собой полные группы гипотез). Обозначим через  алгебру событий, порожденную полной группой гипотез .

Определение 19. Условной вероятностью события  при условии, что известны с.в. , называется с.в. .

Точно так же определяется условная вероятность по отношению к трем, четырем и т.д. с.в.

Условное математическое ожидание

Перейдем к определению условного математического ожидания. Рассмотрим, как и ранее, с.в. . Закон распределения этой с.в. таков:

Обычное математическое ожидание с.в. , как известно, вычисляется по формуле:

.

Поставим вопрос: как естественным образом определить условное математическое ожидание , где  - подалгебра исходной алгебры событий ?

Почти очевидно, что в предыдущей формуле безусловные вероятности  нужно заменить условными вероятностями .

Определение 20. Условным математическим ожиданием с.в.  относительно подалгебры  называется с.в.

.

Напомним, что подалгебра  порождается некоторым разбиением .

Свойства условного математического ожидания

. Имеет место равенство

,

где  - среднее значение с.в.  на атоме .

Доказательство. По определению 20 имеем:

.

Для того чтобы получить окончательный результат, необходимо доказать, что :

.

Имеем:

.

.  для   и с.в.  измерима относительно алгебры событий .

Доказательство. Докажем достаточность. Имеем: . Так как  измерима относительно , то ее можно представить в виде: .

Реализуем 2-е условие. Возьмем ; тогда ,то есть

.

Теперь получаем:

(последняя импликация следует из выкладок, приведенных в доказательстве предыдущего свойства).

Необходимость доказывается аналогично.

. Свойство линейности:

.

. Если  совпадает с тривиальной алгеброй, т.е. , то .

. ,

где .

. (Связь между условным математическим ожиданием и условной вероятностью). Если , то .

Это свойство означает, что понятие условного математического ожидания более общее, чем понятие условной вероятности.

. Если с.в.  измерима относительно подалгебры , то . В частности, .

. (Телескопическое свойство) Пусть алгебра . Тогда .

Точно так же, как мы определяли , определяется условное математическое ожидание . А именно, полагают:

.

. Если с.в.  и  независимы, то .

Доказательства свойств 3-9 предоставляются читателю.

Пример 16. Пусть - независимые с.в., каждая из которых может принимать только значения 0 или 1, причем , а . Мы получили в примере 15:

Вычислим теперь . Имеем:

Произведем теперь подсчет того же условного математического ожидания, используя свойства математического ожидания:

.

Пример 17. Пусть X и Y - независимые одинаково распределенные случайные величины. Доказать формулу:

.

Докажем сначала первое равенство, используя определение 20. Для простоты будем считать, что с.в. X и Y принимают значения . Тогда  принимает значения . По определению 20 имеем:

,

.

Таким образом, достаточно доказать следующее равенство:

.

Рассмотрим события:

, k = 2, 3, 4, … , 2m.

Очевидно, что  образуют полную группу гипотез. По определению 17 имеем:

,

.

Для доказательства равенства величин слева достаточно показать, что

.

Действительно,

,

т.е. первое равенство из требуемого двойного равенства доказано.

Докажем второе из двойного равенства. Имеем:

,

что и требовалось доказать.

Пример 18. Привести пример двух зависимых с.в. X и Y, для которых выполняется равенство:

 (см. свойство 9).

Зададим вероятностное пространство . Обозначим:

 и .

Сначала определим : , , , причем  - различны. Теперь зададим : , , , причем . Обозначим:

, , .

Ясно, что  и  зависимы тогда и только тогда, когда для некоторого  и  выполняется . Возьмем , . Тогда:

, .

Т.к. , то . Следовательно,  и  зависимы.

Имеем

, где .

Получаем:

.

Подберем параметры так, чтобы , т.е. чтобы . Положим . Тогда

.

Достаточно взять , , .

В результате получаем:

.

Таким образом, , что и требовалось.

Пример 19. Условной дисперсией случайной величины  относительно подалгебры  называется с.в.

.

Читателю предлагается самостоятельно доказать следующее соотношение:

.

Мартингалы и их свойства

Определение 21. Пусть  - стохастический базис, а  - адаптированная последовательность с.в. (т.е. для любых  n = 0, 1, … , N с.в.  измерима относительно алгебры ). Данная последовательность с.в. называется мартингалом, если для любого  справедливо равенство:

 (мартингальное соотношение).

Интуитивно мартингальное соотношение следует понимать так: если значения с.в.  оцениваются (усредняются) по отношению к той информации, которая доступна до момента  включительно, то ничего нового не получается и мы приходим к значению с.в.  в момент времени .

Еще одна трактовка мартингального свойства: мартингал - это случайный процесс, неизменяемый в смысле условного математического ожидания.

Слово мартингал пришло из французского языка: мартингал = une martingale (уздечка, вожжа). Это слово связано со следующим свойством: если с положительной вероятностью  превзойдет , то обязательно с положительной вероятностью  станет меньше .

Другой источник слова «мартингал»: так называли способ ведения игры одним из игроков, заключающийся в удвоении ставки при проигрыше и завершение игры при первом выигрыше.

Теорема 8. Пусть  - мартингал. Пусть  - алгебра событий, порожденная с.в. , т.е. . Тогда последовательность с.в.  является мартингалом.

Доказательство. Ясно, что для любого n = 0, 1, … , N , т.к.  - какая-то алгебра, относительно которой измеримы с.в. , а  - наименьшая алгебра, по отношению к которой измеримы те же с.в. При этом последовательность  адаптирована к фильтрации .

Докажем мартингальное соотношение. Имеем:

.

Пример 20. Пусть  - бернуллиевская последовательность независимых в совокупности с.в., где . Образуем новую последовательность с.в.:

Рассмотрим также естественную фильтрацию:

, .

Докажем, что последовательность  - мартингал. Имеем:

.

Таким образом, мартингальность доказана.

Пример 21. Используя обозначения предыдущего примера, доказать, что

.

Сделать самостоятельно!

Пример 22. Пусть  - бернуллиевская последовательность независимых в совокупности с.в., где , . Рассмотрим следующие случайные последовательности :

а) ,

б) .

Докажем, что эти последовательности являются мартингалами относительно фильтрации , .

а) Имеем:

.

б) Производим вычисления аналогично пункту а):

.

Теорема 9. Пусть  - стохастический базис,  - некоторая с.в. и . Тогда последовательность  образует мартингал (мартингальное решение задачи Дирихле). В частности, .

Доказательство. Имеем:

.

Соотношение  следует из цепочки равенств:

.

Определение 22. Пусть  - стохастический базис и  - некоторая адаптированная последовательность с.в. Вероятность  будем называть мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой, что употребляется значительно чаще) для заданной последовательности с.в., если  - мартингал.

Заметим, что последовательность , где  - изначально рассматриваемая вероятность, не обязана быть мартингалом.

В финансовой математике для выполнения различных расчетов чрезвычайно важно найти все мартингальные меры исходной последовательности с.в.

12. Мартингальные методы в стохастической финансовой математике

Пусть  - стохастический базис. Напомним наше предположение, что вероятность  строго положительна на всех атомах алгебры , то есть . Рассмотрим -рынок на данном стохастическом базисе и обозначим через  дисконтированные стоимости акций.

Определение 23. Вероятность  называется мартингальной вероятностью (или мартингальной мерой) данного -рынка, если при любом индексе  процесс  - мартингал.

Таким образом, относительно мартингальной меры  все дисконтированные стоимости акций являются мартингалами. Мартингальные меры  часто называют риск-нейтральными вероятностными мерами. Совокупность всех мартингальных мер данного -рынка обозначим через . Ясно, что

Теорема 10 (первая фундаментальная теорема финансовой математики.) Для того, чтобы -рынок был безарбитражен, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство опускается.

Теорема 11 (вторая фундаментальная теорема финансовой математики. Для того, чтобы безарбитражный -рынок был полон, необходимо и достаточно, чтобы множество  состояло из одного элемента.

Доказательство опускается.

Модель -рынка Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-рынок)

В данной модели рассматривается банковский счет и один тип акций. Банковский счет изменяется по формуле сложных процентов , где  - фиксированная процентная ставка.

Пусть  - последовательность независимых в совокупности двузначных одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения  и  , причем , , . Эти случайные величины могут быть определены на некотором конечном вероятностном пространстве W, которое можно идентифицировать с совокупностью векторов вида , где

.

Например, элементарное событие  означает, что все случайные величины  приняли значение . Элементарное событие  означает, что , а все остальные  приняли значение . Ясно, что . Информационное дерево для данной модели - бинарное дерево - было представлено на странице 16.

.

Опишем более подробно фильтрацию . Имеем:

;

.

Ясно, что

,

.

Далее:

,

где ,

, и т.д.

Очевидно, что . Ясно также, что

, , .

Рекуррентные формулы для вычисления стоимости цен банковского счета и акций.

Напомним обычный способ задания вероятности на конечном вероятностном пространстве :

, ,,,

.

В следующей теореме нам понадобится также формула бинома Ньютона:

.

Теорема 12. Если , то рынок Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR-рынок) безарбитражен и полон.

Доказательство.

Пусть . Тогда

где , если , и наоборот, , если .

Сделаем некоторые выводы.

1.      Если  - мартингальная мера, то для неё выполняется равенство

.

Из этого равенства по индукции следует равенство

,

а т.к. событие  - элементарное событие пространства , то  определяется однозначно. Таким образом, если мартингальная мера существует, то она единственна.

. Зададим на элементарных событиях пространства  функцию  формулой:

.

Проверим, что сумма этих чисел равна 1. Имеем:

.

Таким образом,  определяет некоторую вероятность на , которая по ранее доказанной равносильности будет мартингальной мерой.

Из пунктов 1 и 2 следует, что мартингальная мера  существует и единственна. По теореме 11 CRR-рынок безарбитражен и полон.

Замечание. Из полученной формулы, по которой вычисляется мартингальная мера , следует, что с.в.  независимы в совокупности относительно вероятности .

Теорема 13. Пусть дан CRR-рынок, удовлетворяющий условиям . Тогда:

)        для любого финансового обязательства  его справедливая цена  определяется по формуле:

,

где  - математическое ожидание относительно мартингальной вероятности ;

)        существует единственный совершенный -хедж , полный капитал которого задается формулой

;

при этом -измеримые с.в.  и  определяются равенствами:

 ,

.

Доказательство. По теореме 12 рынок Кокса-Росса-Рубинштейна безарбитражен и полон; поэтому по теореме 6 для любого финансового обязательства   и это число называется справедливой ценой финансового обязательства.

Пусть  - некоторый совершенный -хедж. Используя выражение , покажем, что последовательность образует мартингал. Действительно,

==,

что и требовалось. Отметим, что последнее равенство обосновывается самофинансируемостью рассматриваемого портфеля.

Значение мартингала  в момент  есть , поэтому

.

Таким образом, мы получили формулы для вычисления  и одновременно показали, что этот полный капитал совершенного хеджа определяется однозначно. В частности,

.

Из следствия 1 получаем, что выполняется соотношение . Имеем:

.

Таким образом,  определено однозначно.

Теперь  вычисляется из условия самофинансирования .

Обычно теорему 13 применяют для вычисления справедливых цен опционов с финансовыми обязательствами вида  (в частности, для опциона-call европейского типа ).

Пусть , где  - некоторая функция. Рассмотрим следующую функцию двух переменных:

.

Теорема 14. Пусть в модели CRR финансовое обязательство имеет вид . Тогда капитал совершенного хеджа  определяется формулой:

,

где число  определено в теореме 12 ().

В частности, справедливая цена этого финансового обязательства задаётся формулой:

.

Структура совершенного хеджа такова:

,

.

Доказательство опускается.

Теорема 15 (Кокса-Росса-Рубинштейна). Для стандартного опциона-call европейского типа с финансовым обязательством вида  справедливая цена выражается формулой:

,

где , причем  означает целую часть числа, , а  (функция трёх переменных). При этом, если , то .

Доказательство опускается.

Пример 23. Рассмотрим одношаговую модель Кокса-Росса-Рубинштейна с параметрами: ; ; . По теореме 12, так как выполняется неравенство , данный рынок безарбитражен и полон. Согласно теореме 6 для такого рынка существует справедливая цена опциона. Следуя теореме 15, определим справедливую цену опциона-call, если , , а контрактная цена .

Найдём значения , где . Таким образом , а ;

.

Рассчитаем теперь финансовое обязательство продавца опциона:

, то есть , а .

Решим поставленную задачу двумя способами:

. Будем действовать как в примерах 1-9, учитывая, что начальный капитал определяется формулой , и предполагая, что в начальный момент времени продавец опциона получает денежную сумму, равную цене опциона С, то есть весь капитал находится на банковском счете, и , а . Составим систему уравнений:

Получили систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Решим её, вычтя из второго уравнения первое:

, тогда  , а .

Таким образом, справедливая цена опциона-call при заданных параметрах финансового рынка .

2.  Используем теорему 15 для проведения расчётов при тех же исходных условиях:

3. 

, где ; ; ;

;

; ;

;

.

Как видим, формулы теоремы 15 дают тот же результат, что и прямые вычисления. Однако в многошаговых моделях второй метод является основным, в частности, при составлении комплексов программ.

финансовый опцион контракт мартингал

Библиографический список

1.       Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП, 2007. Т.4 №1. С. 18-65.

2.      Красий Н.П., Павлов И.В. Модели -рынков типа Кокса-Росса-Рубинштейна в случае скупки акций // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естест. науки. 2011. №1. С. 7-11.

.        Мельников А.В., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2011.

.        Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчёт производных ценных бумаг. М.: ТВП, 2007.

.        Мисюра В.В., Павлов И.В. Критерий существования мартингальной меры и расчёт цены опциона в случае специальной хааровской фильтрации // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008. №4. С. 24-30.

.        Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников А.В. К теории расчётов опционов европейского и американского типов. I. Дискретное время // Теория вероятностей и её применения. 2014. Т.39 №1. С.23-79.

.        Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,2. М.: Фазис, 2008.

.        Ширяев А.Н. Вероятность. В 2 кн. - 3-е изд., перераб. и доп. М.: МЦНМО, 2014.

.        Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и её применения. 2014. Т.39 №1. С.5-22.