Роль транспортной задачи в экономике

Роль транспортной задачи в экономике

Введение

Я выбрала эту тему курсовой работы, потому что каждый человек ежедневно, не всегда осознавая это, решает проблему: как получить наибольший эффект, обладая ограниченными средствами. Наши средства и ресурсы всегда ограничены. Жизнь была бы менее интересной, если бы это было не так. Чтобы достичь наибольшего эффекта, имея ограниченные средства, надо составить план, или программу действий. Раньше план в таких случаях составлялся «на глазок» (теперь, впрочем, зачастую тоже). В середине XX века был создан специальный математический аппарат, помогающий это делать «по науке». Соответствующий раздел математики называется математическим программированием. Актуальность выбранной тематики курсовой работы заключается в том, что к задачам транспортного типа сводятся многие другие задачи линейного программирования - задачи о назначениях, сетевые, календарного планирования.

Целью данной работы является рассмотрение транспортной задачи и метода потенциалов как метода ее решения, которая состоит из трех глав и нескольких подразделений.

Для реализации данной цели в работе необходимо решить следующие задачи:

·              рассмотреть транспортную задачу, общую постановку, цели, задачи;

·              изучить основные типы, виды моделей;

·              охарактеризовать методы решения транспортной задачи;

·              проанализировать метод потенциалов как метод решения транспортной задачи.

Новизна и практическая значимость работы обусловлена тем фактом, что транспортная задача линейного программирования получила в настоящее время широкое распространение в теоретических обработках и практическом применении на транспорте и в промышленности. Особо важное значение она имеет в деле рационализации постановок важнейших видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, а также оптимального планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта.

Предметом исследования является транспортная задача, в частности ее применение в решении экономических задач. Объектом исследования выступает метод потенциалов.

Глава 1. Формулировка транспортной задачи

транспортный задача экономический потенциал

1.1 Математическая модель транспортной задачи

Под названием транспортной задачи объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничения транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения применяют разнообразные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая ее получить оптимальное решение.

Формулировка транспортной задачи.

Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах , , …, . Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах , , … , .

Известны

,

где i= 1, 2, …, n

j= 1, 2, …, n

- стоимость перевозки единицы груза от каждого i- того поставщика к каждому j- тому потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков будут выведены полностью, запросы всех потребителей полностью удовлетворены и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны.

Исходные данные транспортной задачи обычно записываются в таблице.

Вектор запасов поставщиков

=(, , …, )

Вектор запасов потребителей:

B=( , , …, )

Матрица стоимостей:

Транспортная задача, под поставщиками и потребителями, подразумевает различные сельско- хозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины.

Однородными считаются грузы, которые могут быть перевезены одним видом транспорта.

Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и т.д.

.2 Необходимое и достаточное условия разрешимости транспортной задачи

Переменными транспортной задачи являются

i= 1, 2, …, m

j= 1, 2, …, n

Эти переменные означают объемы перевозок от каждого i- того поставщика к каждому j- тому потребителю. Переменные записываются в виде матричных перевозок:

т.к. произведение * определяет затраты на перевозку груза от i-того поставщика j-тому потребителю, то S-е затраты на перевозку всех грузов равны:

по условию задачи требуется обеспечить minimum суммарных затрат, отсюда целевая функция имеет следующий вид:

Система ограничений задачи состоит из двух групп уравнений:

Первая группа из m уравнений i описывает тот факт, что запасы всех m- поставщиков вывозятся полностью:

Вторая группа из n уравнений выражает требования полностью удовлетворить запасы всех n-потребителей:

.3 Свойство системы ограничений транспортной задачи

Учитывая условия неотрицательности объемов перевозок, математическую модель задачи можно записать так

В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запасам потребителей, т.е.

такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель закрытой. Если же условие (6.5) не выполняется, то задача будет называться с неправильным балансом, а ее модель открытой.

Математическая формулировка данной задачи такова:

·        найти переменные задачи  удовлетворяющие системе ограничений (6.2) и (6.3), условиям неотрицательности (6.4)

Математическая транспортной задачи может быть записана в векторном виде. Для этого рассмотрим матрицу А системы уравнений- ограничений задачи (6.2) и (6.3):

Сверху над каждым столбцом матрицы указана переменная задачи, коэффициентами при которой являются элементы соответствующего столбца в уравнениях системы ограничений. Каждый столбец матрицы А соответствует переменный  является вектором- условием задачи и обозначается . Каждый вектор имеет m+n координат и два из них не равны нулю, т.е.=1.

Первая единица вектора  стоит на i-ом месте, а вторая на (m+j)-ом месте, т.е.

Обозначим через  вектор ограничений (правых частей уравнений) (6.2) и (6.3). Представим систему ограничений задачи в векторном виде, тогда математическая модель транспортной задачи записывается следующим образом:

Пример:

Составим математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой приведены в следующей таблице:

Введем переменные задачи и запишем матрицу перевозок и матрицу стоимости:

Целевая функция задачи- элемент С*X

Целевая функция

Z(X)=

Z(X) =+

Данная функция определяет все суммарные затраты на все перевозки и должна достигнуть своего минимального значения.

Нужно составить систему ограничений: сумма всех перевозок стоящих в первой строке матрицы X должны равняться запасам первого поставщика, а сумма перевозок во второй строке матрицы X- запасам второго поставщика.

Аналогичным способом для потребителей:

Таким образом, математическая модель будет записана следующим образом:

с ограничениями:

Условие не отрицательности

Данная функция определяет все суммарные затраты на все перевозки, которая достигнет своего минимального значения.

Глава 2. Методы и способы решения транспортных задач

.1 Методы построения начального опорного решения

Транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами.

Теорема 1. Для того, чтобы задача линейного программирования имело решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков было равно суммарным запасам потребителей:

задача должна быть с правильным балансом.

Теорема 2. Ранг системы векторов- условий транспортной задачи равен:

= m+n-1

Опорным решением транспортной задачи называется любое достижимое решение для которого векторы- условия соответствующие положительным координатам, линейно независимы.

Определение. Цикл- это такая последовательность клеток таблиц транспортной задачи

(

в которой 2 и только 2 клетки расположены в одной строке или столбце, причем, первая и последние клетки также находятся в одной строке или столбце.

Теорема 3. Для того, чтобы система векторов условий транспортной задачи была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы из соответствующих клеток таблицы можно было выделить часть, которая образует цикл.

.2 Метод потенциалов

Понятие потенциала и цикла.

Для перехода от одного базиса к другому при решении транспортной задачи используются так называемые циклы.

Циклом пересчета или короче, циклом в таблице перевозок называется последовательность неизвестных, удовлетворяющая следующим условиям:

) Одно из неизвестных последовательности свободное, а все остальные - базисные.

) Каждые два соседних в последовательности неизвестных лежат либо в одном столбце, либо в одной строке.

) Три последовательных неизвестных не могут находиться в одном столбце или в одной строке.

) Если, начиная с какого-либо неизвестного, мы будем последовательно переходить от одного к следующему за ним неизвестному то, через несколько шагов мы вернемся к исходному неизвестному.

Другое условие означает, что у двух соседних неизвестных в цикле либо первые, либо вторые индексы одинаковы.

Если каждые два соседних неизвестных цикла соединить отрезком прямой, то будет получено геометрическое изображение цикла - замкнутая ломаная из чередующихся горизонтальных и вертикальных звеньев, одна из вершин которой находится в свободной клетке, а остальные - в базисных клетках.

Можно доказать, что для любой свободной клетки таблицы перевозок существует один и только один цикл, содержащий свободное неизвестное из этой клетки, и что число вершин в цикле всегда четно.

Алгоритм решения задачи методом потенциалов:

) Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводят фиктивного поставщика или потребителя с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.

) Строят начальное опорное решение (методом наименьших стоимостей). Количество занятых клеток должно равняться m+n-1. Если количество клеток не совпадает с числом N, то задача называется вырожденной. Чтобы избавиться от вырожденности, необходимо заполнить клетки до совпадения с числом N нулями так, чтобы они не образовывали цикл с уже имеющимися заполненными клетками. В противном случае задача называется невырожденной и можно переходить к следующему этапу алгоритма.

) Строят систему потенциалов. Для этого решают систему уравнений.

) Проверяют, выполняются ли условия оптимальности для свободных клеток таблицы.

Δij=

Δij≥0

Если Δij≤0, то решение не оптимальна. Таким образом, его нужно улучшить.

) Переходят к новому опорному решению. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наименьшая отрицательная оценка min. Затем строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток занятых опорным решением. Осуществляется сдвиг и возвращаемся обратно к пункту 3 алгоритма решения.

) Решим конкретный пример с помощью методом потенциалов транспортную задачу:

значит, задача с правильным балансом.

) Находим опорное решение методом наименьшей стоимости:

= m+n-1=3+4-1=6 (невырожденная).

) F(

)

Для заполнения клеток вычислим значения потенциалов:

(1; 1)

(1; 2)

(2; 1)

(3; 2)

(3; 3)

(3; 4)

Вычислим оценки для пустых клеток:

Пусть теперь мы имеем некоторую свободную клетку с соответствующим ей циклом. Если мы изменим значение свободного неизвестного, увеличив его на некоторое число x, то, переходя последовательно от одной вершины цикла к другой, мы должны будем, в силу неизменности сумм, по строкам и по столбцам поочередно уменьшать и увеличивать значения неизвестных в цикле на то же число x.

Очевидно, если снабдить вершины цикла поочередно знаками “+” и “-“, приписав вершине в свободной клетке знак “+”, то можно сказать, что в вершинах со знаком “+” число прибавляется к прежнему значению неизвестного, находящегося в этой вершине, а в вершинах со знаком “-“, то это число вычитается из прежнего значения неизвестного, находящегося в этой вершине.

Замечание. Так как число вершин в цикле всегда четно, то, возвращаясь в свободную клетку, мы должны будем приписать ей знак “+”, т. е. тот знак, который ей уже приписан при выходе из нее. Это очень существенное обстоятельство, так как иначе мы пришли бы к противоречию. Безразлично также, в каком направлении обходится цикл при “означивании” вершин.

Если в качестве выбрать наименьшее из чисел, стоящих в вершинах, снабженных знаком “-“, то, по крайней мере, одно из прежних базисных неизвестных примет значение нуль, и мы можем перевести его в число свободных неизвестных, сделав вместо него базисным то неизвестное, которое было свободным.

min= min

) F= (

Для заполненных клеток вычислим значения потенциалов:

(1; 1)

(1; 2)

(1; 3)

(2; 1)

(3; 2)

(3; 4)

Оценки

3) F= (

(1; 2)

(1; 3)

(2; 1)

(3; 1)

(3; 2)

(3; 4)

F (

Замечание 1. Подсчитывая косвенные тарифы как суммы соответствующих потенциалов, полезно не пропускать и клетки с базисными неизвестными (заполненные клетки). Для этих клеток сумма потенциалов равна истинному тарифу; последнее может служить проверкой правильности найденных значении потенциалов.

Замечание 2. Можно показать, что если сумму всех затрат по данному плану перевозок выразить через свободные неизвестные [для этого надо исключить базисные неизвестные из выражения для S, см. формулу (2.4)], то коэффициент при каждом из таких неизвестных будет равен алгебраической сумме тарифов по циклу, соответствующему ей в таблице перевозок. Это еще раз подтверждает, что пересчет по циклам является специфической формой применения симплекс-метода к решению транспортной задачи.

Критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи. Методы отыскания оптимального решения.

Из сказанного в предыдущем пункте вытекает следующий критерий оптимальности базисного решения транспортной задачи: если для некоторого базисного плана перевозок алгебраические суммы тарифов по циклам для всех свободных клеток неотрицательны, то этот план оптимальный.

Отсюда вытекает способ отыскания оптимального решения транспортной задачи, состоящий в том, что, имея некоторое базисное решение, вычисляют алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток. Если критерий оптимальности выполнен, то данное решение является оптимальным; если же имеются клетки с отрицательными алгебраическими суммами тарифов, то переходят к новому базису, производя пересчет по циклу, соответствующему одной из таких клеток. Полученное таким образом новое базисное решение будет лучше исходного - затраты на его реализацию будут меньшими. Для нового решения также проверяют выполнимость критерия оптимальности и в случае необходимости снова совершают пересчет по циклу для одной из клеток с отрицательной алгебраической суммой тарифов и т. д.

Через конечное число шагов приходят к искомому оптимальному базисному решению.

В случае если алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток положительны, мы имеем единственное оптимальное решение; если же алгебраические суммы тарифов для всех свободных клеток неотрицательны, но среди них имеются алгебраические суммы тарифов, равные нулю, то оптимальное решение не единственное: при пересчете по циклу для клетки с нулевой алгебраической суммой тарифов мы получим оптимальное же решение, но отличное от исходного (затраты по обоим планам будут одинаковыми).

В зависимости от методов подсчета алгебраических сумм тарифов для свободных клеток различают два метода отыскания оптимального решения транспортной задачи:

Распределительный метод. При этом методе для каждой пустой клетки строят цикл и для каждого цикла непосредственно вычисляют алгебраическую сумму тарифов.

Метод потенциалов. При этом методе предварительно находят потенциалы баз и потребителей, а затем вычисляют для каждой пустой клетки алгебраическую сумму тарифов с помощью потенциалов.

Преимущества метода потенциалов по сравнению с распределительным методом состоят в том, что отпадает необходимость построения циклов для каждой из пустых клеток и упрощается вычисление алгебраических сумм тарифов. Цикл строится только один - тот, по которому производится пересчет.

Применяя метод потенциалов, можно говорить не о знаке алгебраических сумм тарифов, а о сравнении косвенных тарифов с истинными. Требование неотрицательности алгебраических сумм тарифов заменяется условием, что косвенные тарифы не превосходят истинных.

Следует иметь в виду, что потенциалы (так же как и циклы) для каждого нового базисного плана определяются заново.

2.3 Распределительный метод

Один из наиболее простых методов решения транспортных задач - распределительный метод.

Пусть для транспортной задачи найдено начальное опорное решение Х1 и вычислено значение целевой функции на этом решении F(Х1). По доказанной выше теореме для каждой свободной клетки таблицы задачи можно построить единственный цикл, который содержит эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением. Обозначив этот цикл и осуществив сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину  можно получить новое опорное решение Х2.

Определим, как изменится целевая функция при переходе к новому опорному решению. При сдвиге на единицу груза по циклу, соответствующему клетке (l, m), приращение целевой функции  равно разности двух сумм:

В клетках, отмеченных знаком “+”, величины груза прибавляются, что приводит к увеличению значения целевой функции F(X), а в клетках, отмеченных знаком “-”, величины груза уменьшаются, что приводит к уменьшению значения целевой функции.

Если разность сумм для свободной клетки ( l, m ) меньше нуля, т.е. Δ lm< 0, то перераспределение величины θ по соответствующему циклу приведет к уменьшению значения F(X) на величину θ•Δlm, т.е. опорное решение можно улучшить. Если же величины Δlm, называемые оценками, для всех свободных клеток таблицы транспортной задачи неотрицательны, то значениие целевой функции нельзя уменьшить и опорное решение оптимально. Следовательно, признаком оптимальности распределительного метода является условие

Для решения транспортной задачи распределительным методом необходимо найти начальное опорное решение. Затем для очередной опорной клетки (l, m) построить цикл и вычислить оценку Δlm. Если оценка неотрицательная, переходят к следующей свободной клетке. Если же оценка отрицательная, следует осуществить сдвиг по циклу на величину

В результате получится новое опорное решение.

Для каждого нового опорного решения вычисление оценок начинается с первой свободной клетки таблицы. Очередность проверяемых свободных клеток целесообразно устанавливать в порядке возрастания стоимости перевозок cij ,так как решается задача на нахождение минимума.

Пример. Решить распределительным методом транспортную задачу, исходные данные которой приведены в таблице: b1 b2 b3

Решение . Строим начальное опорное решение методом минимальной стоимости :

Затем вычисляем значение целевой функции да нем: (X1) = 20∙1 + 30∙5 + 10∙8 + 40∙15 = 850

Таблица

Находим цикл для свободной клетки (1, 2) таблицы, он включает клетки (1, 2), (1, 3), (3, 3), (3, 2). Вычисляем оценку Δ12 = (3 + 15) -- (2 + 8) = 8. Так как Δ12 = 8 > 0, переходим к следующей свободной клетке (2, 1). Для нее цикл таков: (2, 1), (1, 1), (1,3), (3, 3), (3, 2), (2, 2) (см. табл.). Оценка Δ21 = (4 + 2 + 8) - (1 + 15 + 5) =14 - 21 = -7. Так как Δ21| =- -7 < 0, определяем величину груза, перераспределяемого по циклу,

Приращение целевой функции ΔF=-7∙20=-140. Получим новое опорное решение X2. Значение целевой функции на нем F(X2)=20∙2+20∙4+10∙5+30∙8+20∙15=710.

Вычисляем Δ11 = (1 + 15 + 5) - (2 + 8 + 4) =7>0 , Δ 12 = (3 + 15) - (2 + 8) =8>0, Δ 23 = (7 + 8) - (5 + 15)=-5<0, Δ31= (6 + 5) - (8 + 4) =-1<0. Оценки можно вычислять до первой отрицательной. Так какΔ23 =-5<0, осуществляем сдвиг по циклу (2,3), (3,3), (3,2), (2,2) на величину. Приращение целевой функции ΔF=-5∙10=-50. Получаем третье опорное решение X3. Значение целевой функции на нем F(X3)=20∙2+20∙4+10∙7+40∙8+10∙15=660.

Вычисляем оценки для свободных клеток Δ11 = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 , Δ12 = (3 + 15) - (2 + 8) =8>0, Δ22 =(5 + 15) - (7 + 8) =5>0, Δ31 = (6 + 7) - (4 + 15) =-6<0. Так как Δ31 =-6<0, осуществляем сдвиг по циклу (3,1), (2,1), (2,3), (3,3), на величину. Приращение целевой функции ΔFm=-6∙10=-60. Получаем четвертое опорное решение X4 Значение целевой функции на нем F(X4)=20 ∙2+10∙4+20∙7+10∙6+40∙8=600.

Вычисляем оценки для свободных клеток Δ11 = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 , Δ12 = (3 + 7+ 6) - (2 +4+ 8) =2>0, Δ22 =(5 + 6) - (4 + 8) =-1<0. Так как Δ22 =-1<0, осуществляем сдвиг по циклу (2,2), (3,2), (3,1), (2,1), на величину. Приращение целевой функции ΔF=-1∙10=-10. Получаем пятое опорное решение X5.

Значение целевой функции на нем F(X5)=20 ∙2+10∙5+20∙7+20∙6+30∙8=590. Вычисляем оценки для свободных клеток Δ11 = (1 + 7) - (2 + 4) =2>0 , Δ12 = (3 + 7) - (2 +5) =3>0, Δ33 =(15 + 5) - (7 + 8) =5>0. Все оценки для свободных клеток положительные, следовательно, последнее опорное решение оптимально.

Транспортные задачи с неправильным балансом.

В рассмотренной модели транспортной задачи мы предполагали, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.

Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется задачей с неправильным балансом, а ее модель - открытой. Решение задачи с неправильным балансом сводится к решению задачи с правильным балансом введением в ее математическую модель фиктивного поставщика или фиктивного потребителя. Тарифы на перевозку грузов от таких поставщиков или к таким потребителям полагаются равными 0 (т.е. фактически соответствующие перевозки не производятся). В случае превышения общего запаса продукции над потребностью, т.е. если

в рассмотрение вводится фиктивный потребитель с потребностью

и тарифами на перевозку ci ( k +1) =0. Если же

то вводится фиктивный поставщик, запасы которого равны

с тарифами на перевозку c ( n +1)j=0. Этим приемом задача сводится к закрытой транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. Заметим, что при составлении начального опорного решения для ускорения вычислений в последнюю очередь следует (хотя и не обязательно) распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетворять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответствуют наименьшие тарифы на перевозку (равные 0).

Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность.

Пусть требуется при решении транспортной задачи ограничить перевозки от поставщика с номером l к потребителю с номером m.

Возможны ограничения двух типов

I ) xlm > а ; 2) xlm<b ,

где а и b - постоянные величины.

. Если xlm > a , то необходимо прежде, чем решать задачу, сократить (уменьшить) запасы l-го поставщика и запросы m-го потребителя на величину а (зарезервировать перевозку xlm =а). После решения задачи в оптимальном решении следует увеличить объем перевозки xlm на величину а.

. Если xlm <b , то необходимо вместо m -го потребителя с запросами bm ввести двух других потребителей. Один из них с номером m должен иметь запросы b 'm=b, а другой с номером п + 1- запросы bп+1= bm - b. Стоимости перевозок для этих потребителей остаются прежними, за исключением стоимости cl(n+1) которая принимается равной сколь угодно большому числу М (М >> 1). После получения оптимального решения величины грузов, перевозимых к (n + 1)-му потребителю, прибавляются к величинам перевозок l-го потребителя. Так как cl(n+1)) = М- самая большая стоимость перевозки, то в оптимальном решении клетка с номером (l, n+ 1) останется пустой, xl{n+1) = 0 и объем перевозки хlm не превзойдет b.

В некоторых задачах требуется запретить перевозки от отдельных поставщиков отдельным потребителям. В таких случаях либо зачеркивают соответствующую клетку таблицы транспортной задачи, либо назначают соответствующую этой клетке стоимость перевозки единицы груза сколь угодно большой, равной М >> 1. В остальном задача решается обычным способом.

Глава 3. Применение транспортной задачи для решения экономических задач

.1 Рассмотрение применения транспортных задач на конкретном примере

Пример:

 = m+n-1=3+4-1=6 (невырожденная).

) F(

)

Для заполнения клеток вычислим значения потенциалов:

(1; 1)

(1; 2)

(2; 1)

(3; 2)

(3; 3)

(3; 4)

Вычислим оценки для пустых клеток:

 = min

) F= (

Для заполненных клеток вычислим значения потенциалов:

(1; 1)

(1; 2)

(1; 3)

(2; 1)

(3; 2)

(3; 4)

Оценки

3) F= (

(1; 2)

(1; 3)

(2; 1)

(3; 1)

(3; 2)

(3; 4)

F (

.2 Анализ применения транспортных задач в экономике

И так, мы установили, что Математическое моделирование играет большую роль в решении различных экономических проблем, позволяя определить цели и типы их решения, обеспечивая структуру для целостного анализа. С помощь количественных моделей возможно более подробное изучение полученных данных, поэтому экономико-математическое моделирование является неотъемлемой частью любого исследования в области экономики. Ввиду сложности экономики для ее модельного описания используются различные подходы, одним из которых является линейное программирование.

Частью линейного программирования являются транспортные задачи, которые играют особую роль в уменьшении транспортных издержек предприятия. Это является актуальным вопросом в условиях рыночной экономики, когда любые затраты должны быть минимизированы, ведь тогда издержки покрываются меньшей частью прибыли, а также позволяют снизить себестоимость продукции на рынке, что делает предприятие более конкурентоспособным.

Заключение

Современные процессы в обществе реализуется в рамках информационной среды. Базовым компонентом которой являются компьютерные технологии. В связи с этим проблемы и задачи решаемые с использованием этих систем должны быть представлены в понятной для компьютера форме. В каждой предметной области имеются программные и аппаратные средства для информационной поддержки задач данной научной дисциплины. Практическое решение этих проблем невозможно без использования математических моделей, которые затем реализуются в компьютерные модели. В математике есть раздел где изучаются математические модели экспериментальных задач, это линейное программирование. К классическим моделям задач линейного программирования относится транспортная задача.

В курсовой работе изложены основные подходы и методы решения транспортной задачи, являющейся одной из наиболее распространенных задач линейного программирования. Решение данной задачи позволяет разработать наиболее рациональные пути и способы транспортирования товаров, устранить чрезмерно дальние, встречные, повторные перевозки. Все это сокращает время продвижения товаров, уменьшает затраты предприятий и фирм, связанные с осуществлением процессов снабжения сырьем, материалами, топливом, оборудованием и т.д.

В данной курсовой работе поставлена задача: необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная цена всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей. Оба предложенных метода дают одинаковое решение и определяют оптимальный план продукции товара и максимальную рыночную цену стоимость выпускаемой продукции для каждого из промежутков диапазона изменения параметра.

Описанная в работе задача и методы ее решения - только отдельный пример огромного множества задач линейного программирования. В результате проделанной работы был рассмотрен теоретический материал, посвященный решению двойственных задач линейного программирования.

Результатом работы над курсовым проектом является программа для решения задач линейного программирования с помощью двойственного симплекс-метода. Как это не покажется странным, но ни в одном философском словаре или философской энциклопедии вы не найдете статьи, посвященной понятию - "двойственность". Это тем более странно, что двойственные понятия широко используются в философии и различных отраслях специального знания ( в физике, математике, химии и др.).

Однако, до сих пор не было сделано попытки систематизировать с учетом достижений современной науки все то, что "действительно удивительно и божественно для вдумчивого мыслителя - это присущее всей природе удвоение числовых значений, и наоборот, раздвоение-отношение, наблюдаемое во всех видах и родах вещей" (Платон, 1999).

Список использованной литературы

1. Красс М. С., Чупрынов Б.П. «Основы математики и ее приложения в экономическом образовании», Минс, 2001 г. Издания

. Математическое моделирование в задачах. Белолипецкий В.М., Шокин Ю.И.

. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. ”Высшая математика. Математическое программирование ”, Минск, Вышейшая школа, 2001г.