Игровая модель электронных аукционов

Игровая модель электронных аукционов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «КубГУ»)

Кафедра теоретической экономики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА

ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ЭЛКТРОННЫХ АУКЦИОНОВ

Работу выполнил С.А. Федурин

Факультет экономический

Направление 38.03.05 − Бизнес-информатика

Краснодар 2015

Содержание

Введение

1. Инфраструктура проблемы

1.1 Задачи теории игр в экономике

1.2 Конфликты и теория игр

1.3 Основные понятия и классификация видов игр

1.4 Проектирование оптимального механизма

2. Аспекты теории аукционов

2.1 Современная теория аукционов

2.1.1 Основные результаты теории аукционов

2.1.2 Применение теории аукционов - дизайн аукционов

2.1.3 Сравнение различных форматов аукционов

2.2 Системы электронных аукционов

2.2.1 Система электронного документооборота АИС ЕРКТ

2.2.2 Регламент проведения электронных аукционов

2.2.3 Подготовка к проведению электронного аукциона

2.2.4 Проведение электронного аукциона

2.2.5 Регистрация результатов проведенного аукциона

2.2.6 Постановка задачи на создание системы электронных аукционов

3. Конкретизация аукционной ситуации в игровой форме

3.1 Моделирование аукционных торгов с помощью теории игр

3.2 Закрытый аукцион первой цены, его математическая модель

3.3 Закрытый аукцион второй цены (аукциона Викри),его игровая модель

3.4 Модели открытых аукционов (английский и голландский)

3.5 Разработка игровой модели для аукциона закрытого типа первой цены

Заключение

Список использованных источников

Введение

Когда покупатель (заказчик) объявляет конкурс для продавцов (поставщиков) на определенный товар, обладающий определенными характеристиками, то заключаются договора купли-продажи или подряда, то метод заключения называется - торги (англ. tenders). Тот кто предлагает товар на более выгодных условиях выигрывает и с ним подписывается контракт. В современных условиях торги являются распространенным способом размещения заказов на поставки машин и оборудования, выполнение научных, проектных и изыскательских работ, сооружение промышленных и социальных объектов. Организациям с участием государственного капитала сейчас законодательства многих стран разрешают размещать заказы на приобретение товаров и услуг только через торги.

Одной из наиболее сложных проблем при участии в торгах является определение оптимального уровня цены предложения, которая для получения заказа должна быть относительно ниже цен конкурентов.

Актуальность данной темы связана с проблемой неудовлетворенности результатами проведения государственных закупок. Проблемы возникают как со стороны государства, так и со стороны исполнителей.

Цель данной работы - рассмотреть особенности проведения аукционов, построить математические и информационные модели аукциона закрытого типа первой цены и представить их в виде прикладного обеспечения (оболочка).

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

-проанализировать виды аукционов;

-изучить типы математических моделей аукционов;

-разработать математическую модель аукционов закрытого типа первой цены;

-создать информационную модель и форму представления для аукциона первой цены.

Структура дипломной работы представляет собой: введение, три главы, заключение, список использованных источников и приложения.

Во введении обоснованы актуальность данного исследования, цель, задачи.

В первой главе рассмотрена инфраструктура проблемы игровых ситуаций, описаны реальные классы игр, возникающие в экономике. Так же игровые проблемы на аукционах.

Выделен класс задач - математические модели аукционов.

Во второй главе проведена классификация типов аукционов. Были выделены преимущества и недостатки аукционных правил. Простроены математические модели аукционов.

В третьей главе представлена разработанная математическая модель аукционов закрытого типа первой цены и информационный продукт ее представляющий в виде прикладного программного обеспечения.

В заключении сформулированы основные выводы по главам.

1. Инфраструктура проблемы

Теория игр как научная дисциплина изучает отношения между людьми, которые руководствуются несовпадающими (а иногда и противоположными) мотивами. Наряду с традиционными играми, такими как покер, шахматы, футбол и многие другие, теория игр изучает и такие серьезные отношения как рыночная конкуренция, гонка вооружений, загрязнение окружающей среды. В теории игр все эти серьезные отношения называют играми, поскольку в них, как и в играх, результат зависит от решений (стратегий) всех участников. С одной стороны теория игр - это математическая дисциплина, которая применяется во многих областях человеческой деятельности (экономика, военное дело, биология и др.). С другой стороны, теория игр - это раздел современной экономической теории, что подтверждается большим количеством Нобелевских премий в области экономики, присужденных самым выдающимся представителям данной науки. И именно как строго математизированный раздел микроэкономики и рассматривается теория игр.

1.1Задачи теории игр в экономике

Ключевое понятие, которое связывает неоклассическую экономическую теорию и теорию игр - это рациональность: каждый субъект стремится максимизировать свою объективную или субъективную выгоду. Несмотря на критику в его адрес, этот постулат играет важную двойную роль в обеих теориях. Во-первых, он существенно ограничивает возможные варианты принятия решений, поскольку абсолютно рациональное поведение более предсказуемо, чем иррациональное поведение. Во-вторых, он дает четкий критерий оценки эффективности принятых решений: то решение более эффективно, которое приносит большую выгоду лицу, принимающему решение. Неоклассическая экономическая теория обычно предполагает существование и функционирование «совершенного рынка». Каждый субъект принимает решения, основываясь на индикаторах состояния этого рынка. Данный подход логичен при исследовании экономических систем с огромным числом участников, когда отдельному субъекту невозможно предвидеть решения всех других субъектов. Такая децентрализованная экономическая система может устойчиво функционировать (находиться в равновесии), когда рынок находится в состоянии совершенной конкуренции. В действительности «совершенного рынка» не существует, и мы имеем только взаимодействия между людьми, регулируемые некоторыми правилами. Теория игр предполагает, что субъекты при принятии своих решений должны просчитывать возможные решения других субъектов, поскольку результат зависит от решений всех участников. Поэтому в теории игр предполагается, что все субъекты не только рациональны, но и разумны, в том смысле, что они способны находить не только свои оптимальные решения, но также и оценивать оптимальные решения других участников

Необходимость принятия решений генетическая черта человеческих отношений и в особенности в экономической части их жизни. Реальные вопрос для принятия решений приходится решать либо в условиях полной неопределенности, либо в условиях риска.

Полная неопределенность возникает в различных ситуациях. Неопределенными могут быть ситуации у противников (противоположные стороны), уменьшающие эффективность решений, которые принимают противоборствующие стороны. Например, конкурирующие фирмы на одном конкурирующем пространстве, которые выполняют действия, приводящие к реализации своих целей и тем самым, препятствуют в этом конкурентам.

Первое математически строгое определение игры было дано американским математиком венгерского происхождения Джоном фон Нейманом, которого по праву считают одним из величайших математиков 20-го века. Удивительно, но в своей работе, опубликованной в далеком 1928 году, он сформулировал игру n лиц с нулевой суммой точно также, как она формулируется сегодня. В этой же работе Дж. фон Нейман доказал свою знаменитую теорему о существовании решения в смешанных стратегиях для матричных игр (n = 2). Пожалуй, трудно вспомнить другой такой случай (в любой области знаний), когда новая теория была столь строго формализована с момента ее зарождения. Но все же принято считать, что теория игр как самостоятельный раздел экономической теории сформировалась после публикации в 1944 г. Дж. фон Нейманом в соавторстве с Оскаром Моргенштерном книги «Теория игр и экономическое поведение».

1.2 Конфликты и теория игр

На практике зачастую необходимо анализировать явления и ситуации, в которых принимают участия две(или более) стороны, обладающие разными интересами и наделенные соответствующими возможностями использовать для достижения своих целей различные действия. Похожие явления и ситуации имеют название «конфликтные ситуации» или же «конфликты».

Характерная конфликтная ситуация имеет три главных признака:

)заинтересованные стороны (это заказчик, организации, отдельные страны, экономические и финансовые союзы и т.д.);

)потребности сторон (исполнять всяческие финансовые, экономические и политические нужны, устранение конкуренции с рынка сбыта, увеличение доходов и т.д.);

)их допустимые действия (решение на счет объема потребления/производства, пути создания инвестиционного портфеля, выбор дивидендной политики демпинговой политики и т.д.).

Если взять конфликтную ситуацию из реальной жизни, то она окажется довольно сложной. Изучение ее будет представлять проблему из-за наличия многих разных обстоятельств, хотя часть из них может не оказывать каких либо существенных влияний ни на развитие конфликта, ни на его исход.

Для того чтобы проводимый анализ конфликтной ситуации оказался возможным, встает вопрос о необходимости удаления факторов, которые являются второстепенными, и тогда при удачном стечении обстоятельств удается построить упрощенную формализованную математическую модель конфликта, которую принято называть игрой. Она будет отличаться от реальной конфликтной ситуации еще и тем, что для ее проведения существуют вполне определенные правила.

1.3 Основные понятия и классификация видов игр

Сегодня игровые модели столь разнообразны, что вряд ли возможно дать простое формальное определение игры, которое бы включало все модели. Неформально, игра - это модель конфликтной ситуации, в которой 1) участвует n лиц (игроков), 2) заданы правила игры (способ принятия решений каждым из игроков), 3) определены правила осуществления платежей между игроками. Обычно игры классифицируют следующим образом. По количеству игроков: игры 1, 2, …, n игроков. По количеству стратегий: конечные и бесконечные игры. Если у всех игроков конечное число стратеги, то такая игра конечная, иначе - игра бесконечная. По характеру взаимоотношений между игроками: бескоалиционные и кооперативные игры. Игра называется бескоалиционной, если игроки не заключают между собой никаких соглашений. Конечная бескоалиционная игра двух игроков называется биматричной игрой. В кооперативной игре игроки могут заключать соглашения с целью увеличить свои выигрыши. По свойствам функций выигрышей: непрерывные, выпуклые, сепарабельные и т. д. Если сумма выигрышей всех игроков в каждой партии равна нулю, то это - игра с нулевой суммой. Игра двух игроков c нулевой суммой называется антагонистической. В такой игре один игрок выигрывает за счет другого. Конечная антагонистическая игра называется матричной игрой. В играх с ненулевой суммой все игроки в сумме могут получить меньше их суммарного взноса. Например, в лотерее ее организаторы всегда в выигрыше, а участники в сумме получают меньше их суммарного взноса. По количеству ходов: одноходовые и многоходовые. Среди много ходовых игр выделим позиционные игры, в которых несколько игроков последовательно делают ходы; выигрыши игроков зависят от стратегии выбора ходов (пример - шашки, шахматы, карточные игры, игровые автоматы, динамические экономические системы и т. д.). По информированности игроков: игры с совершенной и несовершенной информацией. В игре с совершенной информацией на каждом шаге игрокам известно, какие ходы были сделаны ранее (например, шашки и шахматы). В игре с несовершенной информацией игроки могут не знать, в какой позиции они находятся (некоторые стохастические игры, в частности, карточные игры). К играм с несовершенной информацией сводятся игры с неполной информацией (также известные как байесовские игры). В отличие от игр с несовершенной информацией, где неполная информированность игроков возникает в процессе игры, в играх с неполной информацией неполная информированность некоторых игроков возникает еще до начала игры, как следствие асимметричной информированности игроков (покупатель меньше знает о качестве товара, чем продавец, фирма точно не знает, какую технологию использует ее конкурент, и т. д.).

Одним из основных достижений теории бескоалиционных игр в экономике является формулировка и анализ моделей олигополий. В этих моделях ограниченное число фирм соперничают на некотором рынке. Поскольку на рынке фирм немного, то они могут сами влиять на цены, что невозможно на рынках с совершенной конкуренцией. Теория игр доказывает, что и в этом случае на рынке возможно устойчивое равновесие, если фирмы-олигополисты будут принимать свои решения, просчитывая возможные ответы конкурентов.

Бескоалиционные одношаговые игры, в которых участвует конечное число игроков и правила игры очень просты: игроки одновременно и независимо друг от друга принимают свои решения (выбирают по одной из своих стратегий); после того как решения объявлены (или проявили себя каким-либо иным образом), по заранее оговоренным правилам игроки могут вычислить свои выигрыши или проигрыши. Набор стратегий игроков (ситуация) называется равновесным, если стратегия каждого отдельного игрока является его оптимальным ответом на стратегии остальных игроков. Целью анализа бескоалиционной игры является поиск ситуаций равновесия. Если таких ситуаций не существует, то иногда мы можем исправить положение, расширяя понятие «стратегия». Наиболее известным из таких расширений являются смешанные стратегии, которые по сути являются недетерминированными правилами применения игроками их исходных (чистых) стратегий. Немаловажно заметить, что методы анализа бескоалиционных игр в стратегической форме лежат в основе анализа более сложных многошаговых бескоалиционных игр.

Кооперативные игры, в которых целью игроков была максимизация выигрыша (прибыли). На практике ничуть не реже встречаются ситуации, когда игроки образуют коалиции с целью минимизировать свои издержки. Такая кооперативная игра представляется парой (N, c), где N есть множество игроков, а характеристическая функция c.

Антагонистическими будем считать игры двух игроков, сумма выигрышей которых равна нулю. Такие игры относятся к классу антагонистических игр. При этом выигрыш одного игрока равен, естественно, проигрышу другого игрока. Игра с ненулевой суммой, это игра, когда нужно вносить взнос за право участия в ней. Экономические задачи теории игр относятся к обоим типам игр.

Матричная игра - это конечная антагонистическая игра. Напомним, что термин «антагонистическая» означает, что это есть игра двух лиц с нулевой суммой. Матричная игра задается матрицей A размера m × n выигрышей игрока 1. В этой игре игрок 1 выбирает строку. i = 1, m , а второй игрок столбец, j = 1, n . Тогда игра может быть названа игрой m х n (эм на эн). Обозначим через aij - матрицу выигрышей игрока 1 и одновременно матрица проигрышей игрока 2, если первый игрок выбрал стратегию Ai, а второй игрок стратегию Bj . В этом случае говорят, что имеет место ситуация {A , B}.

(1.3.1)

Биматричная игра - конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. Выигрыш каждого игрока задается своей платежной матрицей вида (1.3.1).

Следует отметить, что в экономике (в отличие от военного дела) антагонистические конфликты встречаются не часто. Пожалуй, можно привести только два типичных примера.

1)Так называемые «игры с природой», в которых только один участник, стремящийся максимизировать свою прибыль, которая зависит от того, какой будет погода, или от того, каким будет состояние рынка. Если этот единственный участник принял решение оптимально спланировать свою хозяйственную деятельность при самых неблагоприятных погодных или рыночных условиях, то он может считать природу или рынок активным антагонистическим субъектом, целью которого является создание погодных или рыночных условий, при которых ожидаемый доход будет наименьшим.

)Игры с постоянной суммой, в которых две фирмы-олигополисты конкурируют на одном рынке, и прибыль каждой из фирм пропорциональна ее доле на рынке. Тем не менее, роль матричных игр в теории игр существенна, поскольку решение многих более сложных игровых моделей сводится к решению одной или нескольких матричных игр. В частности, для вычисления значения характеристической функции кооперативной игры часто требуется решить некоторую матричную игру.

Классификация игр представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 - Классификация игр (составлен автором на основе [14])

Основы теории позиционных игр заложены Х. Куном. Позиционные игры - это многоходовые (или динамические) бескоалиционные игры. В позиционной игре ходы делаются в логической последовательности. Каждый ход делается либо одним из игроков (личный ход), либо выбирается случайным образом (случайный ход) в соответствии с заданным распределением вероятностей. В каждой конечной позиции игры задан вектор выигрышей игроков.

Проектирование механизма («mechanismdesign»), несмотря на инженерное название, - это раздел теории игр, где изучаются конфликтные ситуации с выраженным стратегическим поведением всех участников, в которых нужно определить правила принятия решений и осуществления платежей, чтобы равновесным оказался такой исход, в котором достигает своего максимума некоторая функция социального выбора. Поэтому проектирование механизма иногда называют обратной теорией игр. Такая постановка задачи поиска нужного механизма кажется слишком сложной. Мы начнем изучение основ теории проектирования механизма с рассмотрения принципа откровенности, который позволяет ограничиться поиском только такого механизма, который в байесовской игре, где множество стратегий каждого из игроков совпадает с множеством его типов, побуждает всех игроков честно сообщать свои типы.

1.4 Проектирование оптимального механизма

Рассматривая задачу проектирования механизма, целью которой есть реализация некоторой функции социального выбора посредством механизма из заданного класса (с требуемыми свойствами). А теперь предположим, что проектировщик механизма (например, это аукционер) желает среди всех допустимых механизмов выбрать тот, который приносит ему наибольший ожидаемый доход.

Рассматривая только детерминированные механизмы, можно предположить, что в тех случаях, когда не удается найти детерминированный механизм с желаемыми свойствами, мы можем достичь большего, разработав недетерминированный механизм. Pандомизированный (недетерминированный) механизм выбирает исход в игре и назначает платежи игроков случайным образом согласно заданным распределениям вероятностей на множествах альтернатив и платежей.

Во второй главе показано, что данный тип аукциона является оптимальным для аукционера. В общем случае искомый оптимальный механизм может быть рандомизированным.

Важно понимать, что представленные ( 1) будем считать, что оценки t1, . . . , tn всех игроков являются независимыми непрерывными случайными величинами; 2)известны функция распределения Fi и функция fi плотности случайной величины) предположения о типах игроков. Следующие два понятия являются ключевыми при проектировании оптимального механизма.

Важно понимать, что теперь означенные выше предположения о типах игроков - это не представления самих игроков о типах своих оппонентов. Теперь это представление проектировщика механизма о типах всех игроков. Заметим также, что представления игроков о типах оппонентов могут отличаться от представления проектировщика механизма.

Рассмотрение теории игр можно проводить с различных точек зрения. Перед нами встают следующие задачи:

)нахождение разумного поведения игроков для выработки принципов оптимальности;

)нахождение оптимальных ситуаций и стратегий для выяснения реализуемости принципов оптимальности;

)нахождение оптимального решения поставленной задачи (реализация игры).

Не всегда возможно игрок может представить ситуации выигрыша с помощью количественной оценки, а в некоторых ситуациях это вообще не имеет смысла. В этом случае переходят к качественной оценке ситуации, и проводят оценку предпочтительных ситуаций для отдельных игроков. Тогда можно говорить о теории игр с предпочтениями, которая содержит в себе теорию игр с выигрышами как частный случай.

Таким образом, нахождение оптимальной стратегии - основная цель теории игр. Понятие оптимальной стратегии - одно из важнейших понятий теории игр, может пониматься по разному в зависимости от показателя оптимальности (эффективности). И для разных показателей один и тот же параметр может быть и одновременно не быть оптимальным. Поэтому прежде чем отвечать на какой-либо вопрос, строят игровой алгоритм для рассматриваемого вопроса (рисунок 2).

Рисунок 2 - Место игрового алгоритма в экономическом сценарии (составлен автором на основе [13])

Применительно к экономике, теория игр изучает функционирование экономических систем в условиях «несовершенного рынка».

Игровые модели олигополий и аукционов являются примерами успешного применения игрового подхода в экономике. Решение проблемы ассиметричной информированности участников экономической системы - также важное достижение теории игр.

2. Аспекты теории аукционов

Аукционы используются с незапамятных времен. Однако они попали в границы рассмотрения экономической теории только лишь в 1961 году, когда была опубликована классическая работа Викри (Vickrey). Основным результатом данной работы было доказательство специального случая Теоремы об эквивалентности.

Рисунок 3 - Классификация аукционов по параметрам[21]

Кроме Викри на ранней стадии развитии теории аукционов, также принимали участие: Шубик (Shubik) с соавторами, Уилсон и его ученик ОртегаРейчерт (OrtegaReichert). Шубик, Левитан (Levitan) и Грейсмер (Griesmer) анализировали равновесие в аукционах первой цены, в котором оценки участников были реализациями равномерных случайных величин с разными уровнями поддержки. Уилсон исследовал чистый CV-аукцион и первым представил анализ «проклятия победителя»

2.1 Современная теория аукционов

Среди авторов современной теории аукционов, рассматривающих аукционы можно выделить две группы. Представители первой концентрируется на вопросах эффективности различных форматов аукционах, как правило, при условии, что участники разнотипные. Представители второй пытаются определить являются ли оценки участников частными (PV) или общими (CV). Авторы, которые занимаются сравнением различных типов аукционов в условиях участников разного типа, как правило, рассматривают открытый и закрытый аукционы и две группы компаний. Компании из первой группы имеют в среднем более высокие оценки, по сравнению с оценками компаний второй группы. Основные выводы заключаются в том, что:

-у компаний с меньшими оценками меньше стимулов участвовать в открытом, чем в закрытом аукционе;

-открытый аукцион всегда эффективен, по сравнению с закрытым.

Определение 1: Аукцион - это процедура, которая обладает следующими свойствами:

-решение о том, кому передать благо;

-решение о том, сколько каждый участник должен заплатить;

-участники посылают сигнал о своей готовности платить;

-решение о том, кому достается благо и сколько каждый участник должен заплатить определяется исключительно на основе полученных сигналов.

Существует четыре базовых типа аукциона представленные в таблицу 1. Два из них -закрытый аукцион первой цены и открытый аукцион - первой цены тождественны, поскольку информационно и стратегически не отличаются друг от друга. Закрытый аукцион второй цены и открытый аукцион второй цены эквивалентны в том, случае если оценки блага частные. Продавец в аукционах может устанавливать резервную и начальную цену. Резервная цена по существу является ценностью объекта для продавца. Начальная цена - это цена, с которой начинается торг. В случае, если резервная цена оглашается перед началом аукциона, то она становится начальной ценой. Организатор аукциона также устанавливает шаг аукциона. Величину шага торгов целесообразно увязывать со стартовой ценой, поскольку при стартовой цене, близкой к стоимости объекта и высоким шагом торгов аукцион может выиграть участник с не самой высокой оценкой объекта.

Существует два основных критерия качества аукционной процедуры: эффективность и доход. Аукцион называют эффективным, если в итоге аукционной процедуры объект достается участнику с самой высокой оценкой торгуемого объекта. С точки зрения дохода аукцион тем лучше, чем больший доход организатору он приносит. На результаты аукциона также оказывают влияние факторы, не зависящие от продавца: отношение участников к риску, являются ли участники однотипными, влияние оценок одного участника на оценки других и др. В общем случае оценка предмета торга зависит от собственной оценки участника и от оценок других игроков. Как правило, рассматривают один из двух крайних случаев: PV аукционы, когда оценка у каждого участника своя и не зависит от оценок других участников, CV аукционы, когда существует объективная оценка блага.

Остальные три типа - это голландский аукцион (открытый, первой цены), закрытый аукцион первой цены, а также «аукцион Викри» (закрытый аукцион второй цены). На голландском аукционе продавец снижает цену до тех пор, пока кто-то из покупателей не пожелает приобрести лот. Победитель платит объявленную продавцом сумму. На закрытых аукционах участники делают письменные заявки, указывая в них цену, которую они готовы заплатить. Победитель (участник, предложивший максимальную цену) платит сумму, обозначенную в заявке (и тогда перед нами закрытый аукцион первой цены), или же сумму второй по величине заявки (и тогда мы имеем дело с аукционом Викри). Для ускорения многоэтапного аукциона на понижение закупщику следует принять англо-голландский формат аукциона с умеренным шагом. Для дальнейшего ускорения процесса размер шага может быть увеличен.

Таблица 1 - Базовые виды аукционов [21]

Аукцион является частным случаем механизма коллективного выбора. Принципиально могут быть два вида аукциона: на покупку и на продажу. Поскольку принципиальной разницы с теоретической точки зрения между ними нет, дальше рассматриваются только аукционы на продажу (лесные аукционы являются аукционами на продажу). В дальнейшем будем использовать следующее определение аукциона.

2.1.1 Основные результаты теории аукционов

Рассмотрим основные результаты теории аукционов.

)Эквивалентность:

-закрытый аукцион первой цены тождественен убывающему открытому аукциону первой цены. Закрытый аукцион второй цены эквивалентен открытому возрастающему аукциону второй цены, если оценки участников частные, независимые;

-стандартные аукционы при условии нейтральности к риску, симметричности участников, независимых, частных оценок дают одинаковую ожидаемую прибыль продавцу.

)Резервная цена:

-оптимальная резервная цена выше прибыли от использования объекта аукциона продавцом;

-установление платы за участие в аукционе эквивалентно установлению резервной цены:

,

- где r - резервная цена, e - плата за участие в аукционе, G(y) - функция распределения второй по величине ставки;

-увеличение резервной цены увеличивает ожидаемый доход продавца и уменьшает вероятность того, что аукцион состоится;

-для того, чтобы резервная цена оказывала влияние на поведение участников продавец должен держать обещание о том, что не продаст объект в «ближайшем» будущем, если аукцион не состоится;

-секретная резервная цена имеет смысл только в случае, если продавец рассчитывает позже продать объект дороже.

)Осложняющие факторы:

-отношение к риску: Если участники несклонны к риску, то ставки и ожидаемый доход выше в аукционе первой цены по сравнению с аукционом второй цены;

-бюджетное ограничение: Аукцион первой цены более прибыльный по сравнению с аукционом второй цены. Менее платежеспособные участники делают более высокие ставки;

-несимметричность участников делает неоднозначным сравнение между аукционом первой и второй цены.

)Эффективность:

-аукционы второй цены в случае независимых частных оценок всегда ex-post (после реализации) эффективны.

2.1.2 Применение теории аукционов - дизайн аукционов

Существующие обзоры практики применения позволяют сделать вывод о том, что отдельные аспекты теории аукционов заслуживают более пристального внимания, чем другие. Клемперер выделяет несколько таких аспектов:

)затрудненность входа и деятельность по удерживанию потенциальных участников от входа;

)резервные цены и политические мотивы;

)соблюдение априорно установленных правил;

)рыночная структура Ниже очень кратко описана сущность сложностей, связанных с приведенными выше аспектами.

Возможность неявного сговора обеспечивается очень простым механизмом наказания за нарушение правил сговора. Так, компания А, которая хочет наказать компанию Б, может вступить в аукцион, который ей неинтересен, чтобы поднять ставки и тем самым наказать компанию Б за нарушение правил сговора в другом аукционе. Таким образом, открытый аукцион создает предпосылки для согласованного поведения участников.

Конкуренция в аукционе играет одну из ключевых ролей. В то же время в открытом аукционе немало «препятствий» для участников. Основным, как ни странно, является то, что в открытом аукционе всегда побеждает участник с максимальной оценкой лота (эффективность). Следовательно, компаниям не выгодно участвовать, если есть «фаворит», который, по общему мнению, обладает наивысшей оценкой блага. Проблема незаинтересованности компаний в участии возникает в более широком спектре аукционов, в случае если цена участия для разных компаний существенно варьируется. Особенно осторожны малые компании, поскольку они понимают, что в большинстве случаев их выигрыш означает переоценку лота. Отдельного рассмотрения заслуживает «хищническое» поведение. Крупный игрок может намеренно демонстрировать свое намерение выиграть аукцион путем участие в прошедших аукционах, публикаций в прессе и т.д. и за счет этого отпугнуть других участников. Затрудненность входа делает очень вероятным сговор «сильных» игроков, поскольку все «слабые» игроки отказались от участия в аукционе. Даже если «слабый» игрок войдет, то «сильные» участники не позволят ему задержаться.

Для организатора аукциона может быть невыгодным исключать недобросовестного участника из аукциона, поскольку это может существенно ухудшить его результаты. Нарушения правил аукциона, чаще встречаются в открытых аукционах, поскольку открытый аукцион растянут во времени, т.е. у участников есть возможность оценить стратегию конкурентов и предпринять ответные действия. Если продавец не сдержит обещание и продаст лот по цене ниже резервной, то больше никто не будет обращать внимание на ее наличие.

Структура рынка играет важную роль в определении последствий применения той или иной аукционной процедуры. Например, компания может купить права пользования участками лесного фонда себе в убыток, который нивелируется впоследствии наличием монопольного положения в регионе.

Основным недостатком английского аукциона является то, что при такой организации торгов участникам удобно входить в сговор и реализовывать «хищническую» стратегию. В то же время у английского аукциона есть неоспоримое преимущество - он обеспечивает, что победитель выше всего оценивает лот. Также его достоинством является то, что в процессе торга участники получают информацию об оценках друг друга, что делает торг более «обоснованным». В случае одновременной продажи комплементарных благ в открытом аукционе больше шансов, что блага достанутся одному владельцу. Таким образом, отказываться от открытого аукциона совсем из-за его уязвимости для сговора и «хищничества» неразумно. Однако целесообразно внести в аукционную процедуру некоторые изменения:

-разрешить делать ставки анонимно

-разрешить использовать в качестве ставок только «круглые» числа

-продавать объединенные лоты.

Поскольку в закрытом аукционе каждый участник делает единственную ставку, то возможностей для сговора гораздо меньше по сравнению с открытым аукционом, поскольку одна компания не может наказать другую. Теоретически в повторяющихся закрытых аукционах такая возможность есть, однако, в любом случае, закрытый аукцион менее более устойчив к сговору по сравнению с открытым аукционом. По сравнению с открытым, в закрытом аукционе для компаний существует больше стимулов принять участие в аукционе, поскольку, даже не обладая максимальной оценкой, они имеют шанс выиграть аукцион. Дополнительно в закрытом аукционе могут принять участие компании-посредники, которые рассчитывают перепродать лот (в открытом аукционе таковых быть не может, поскольку либо они проиграют, либо не найдут покупателей). Таким образом, конкуренция в закрытом аукционе выше, чем в открытом.

Высокая конкуренция обуславливает сложность сговора. Если сильные игроки вступают в соглашение, то этим самым они привлекают конкурентов, поэтому сильным игрокам невыгодно делать ставки согласовано. В случае CV аукциона, закрытый аукцион гораздо привлекательнее для малых компаний, поскольку в отличие от открытого аукциона выигрыш в закрытом реже означает переоценку объекта торгов. Несмотря на все эти достоинства, закрытый аукцион первой цены имеет одним важный недостаток - он не всегда (например, когда участники разнотипные) обеспечивает эффективность, т.е. не гарантирует, что победитель имеет максимальную оценку блага.

Между любой теорией и практикой существует некоторый разрыв. Как правило, в микроэкономике (в русле которой развивается теория аукционов) этот разрыв огромен. Можно представить этот разрыв в двух аспектах. Во-первых, механизм принятия решений в моделях не соответствует практике. Во-вторых, значимость факторов в теории не всегда совпадает со значимостью факторов на практике (в теории рассматриваются функции общего вида). Для иллюстрации первого тезиса, достаточно, привести пример, о том, что для оптимального поведения на закрытом аукционе первой цены, участник должен взять интеграл от функции распределения вероятности. Не очень похоже на реальность. На эти аргументы есть фундаментальное возражение, известное как гипотеза Фридмана, которая состоит в следующем: модель ценна не тем, что воспроизводит механизм принятия решений агентами, а тем, что правильно предсказывает последствия их решений. Представляется, что эта инструментальная позиция не может полностью принята, т.е. должно быть интуитивное обоснование (понимание) результатов, которые следуют из правдоподобных предпосылок. Второй тезис интересен для данного исследования гораздо больше. Поскольку изначально была поставлена задача создания некоей базы для принятия решений на практике, то целесообразно в первую очередь рассмотреть наиболее существенные (с практической точки зрения) аспекты. Это не означает, что все остальные достижения будут проигнорированы, однако им будет уделено меньше внимания.

Совместные торги можно рассматривать как открытый аукцион со сговором. При этом интересен не столько сговор (biddingring), сколько возможность рассмотрения совместных торгов теми же средствами, которые используются для рассмотрения механизмов сговора. Представим, что устная стадия аукциона проводится неофициально. После этого победитель неофициальной стадии участвует в закрытом аукционе первой цены. В случае выигрыша он осуществляет определенные платежи участникам предварительной стадии. Отличие между обычным сговором и совместными торгами состоит в следующем:

-победитель устной стадии не обязан делать платежи остальным участникам;

-победитель устной стадии не может сделать ставку в письменной части, меньше ставки, которая обеспечила ему победу на устной стадии совместных торгов.

Цель этого сопоставления - применить существующие выводы, касающиеся сговоров к текущей процедуре. Наличие устной стадии аукциона в совместных торгах не влияет на ожидаемый выигрыш тех участников, которые подали письменные заявки. Положим, что устная часть проводится неформально, и ее победитель затем участвует в закрытом аукционе. Используя известный вывод о том, что выигрыш участников, не входящих в сговор не зависит от наличия сговора, непосредственно получаем приведенное утверждение существенно, поскольку наталкивает на понимание того, почему в принципе письменные заявки существуют, несмотря на то, что участникам либо безразлично, либо не выгодно их делать.

Англо-голландский аукцион был впервые предложен Клемперером 1998 году и представляет собой комбинацию английского аукциона и закрытого аукциона первой цены. Такой аукцион проводится в две стадии. Начинается все с английского аукциона, который проводится до тех пор, пока не останется только 2 участника. Затем им предлагают сделать письменные заявки. Победителем признается тот, чья заявка больше. Платеж равняется выигравшей ставке. Как видно из описания англо-голландского аукциона и совместных торгов - эти два механизма очень похожи. Ключевое отличие состоит в том, что в отличие от англо-голландского аукциона в совместных торгах письменные заявки делают до начала устных торгов. Эта деталь обуславливает серьезное различие в свойствах двух процедур. Совместные торги можно рассматривать как открытый аукцион со сговором. В заключение следует отметить, что, несмотря на привлекательность ускорения аукциона для закупщика, короткие торги не всегда дают положительные результаты

Таблица 2 - Сравнение Совместных торгов и Англо-голландского аукциона[2]

Существующие обзоры практики применения позволяют сделать вывод о том, что отдельные аспекты теории аукционов заслуживают более пристального внимания, чем другие.

2.1.3 Сравнение различных форматов аукционов

Прежде, чем оценивать оптимальность аукционной процедуры необходимо определиться с критериями. Как правило, рассматривают два: эффективность и доход. Поскольку основными факторами, обеспечивающим доход являются: отсутствие сговора и достаточная конкуренция, то мы предлагаем использовать их вместо дохода (речь в данном случае идет не о разнице в 5-10%, а о разнице в разы - в соответствии с аргументацией, приведенной в части, посвященной теории аукционов). Сравнение происходит между закрытым аукционом первой цены, английским аукционом, англо-голландским аукционом и совместными торгами.

В соответствии с критериями эффективность, устойчивость к сговору, конкуренция аукционные форматы в случае частных оценок упорядочены следующим образом. По эффективности (в порядке возрастания): закрытый, совместные торги, англо-голландский, английский. По устойчивости к сговору и интенсивности конкуренции (в порядке возрастания): Английский, Англо-голландский, Совместные торги, закрытый аукцион. (рис. 4).

Рисунок 4 - Ранжирование различных форматов аукционов [2]

Доказательство будем проводить в три этапа. Сначала покажем, что по эффективности имеет место ранжирование в соответствии с рисунком. Закрытый аукцион второй цены обеспечивают эффективный исход, поскольку в нем участники не скрывают истинную оценку (английский аукцион эквивалентен закрытому аукциону второй цены в случае PV оценок). Англо-голландский аукцион обеспечивает, что аукцион выиграет либо участник с самой высокой оценкой, либо участник со второй по величине оценкой, поскольку в первой устной стадии аукциона выбираются два победителя. Совместные торги либо вырождаются в закрытый аукцион (если подана хоть одна письменная заявка), либо в английский аукцион (если письменных заявок нет). Соответственно совместные торги обеспечивают эффективность лучше, чем закрытые торги, но не гарантируют эффективность даже в формате англо- голландского аукциона. Закрытые торги не гарантируют эффективный исход во многих случаях (например, когда участники разного типа).

Устойчивость к сговору и интенсивность конкуренции в данном случае рассматриваются как связанные характеристики. Причинно-следственная связь двусторонняя: с одной стороны если есть сговор всех «сильных» участников, то мелким входить не выгодно. С другой стороны, если есть много мелких участников, то вероятность сговора и выгоды от него для сильных участников малы. В соответствии с аргументами, приведенными в части, посвященной теории аукционов, открытый аукцион проигрывает по всем параметрам закрытому аукциону. Совместные торги и англо-голландский аукцион имеет свойства как закрытого, так и открытого аукционов: соответственно осталось показать совместные торги более устойчивы к сговору и обеспечивают более высокую конкуренцию. Англо-голландский аукцион остается уязвимым для сговора, если от «картеля» выступает не одна фирма а две (с наивысшими в картеле оценками) - в случае выигрыша, они просто не поднимают ставки в закрытой части аукциона. В совместных торгах закрытая часть аукциона доступна для всех поэтому такой проблемы не возникает. Аналогичная аргументация показывает, что интенсивность конкуренции выше в совместных торгах: мелкие участники могут подавать письменные заявки, превращая тем самым аукцион в закрытый аукцион первой цены со всеми его свойствами.

Таким образом, складывается впечатление, что совместные торги хороши своей гибкостью. Они обладают свойствами открытого аукциона, однако при появлении «картеля» участников или «фаворита» могут моментально превратиться в закрытый аукцион. Однако в это же гибкости и главный недостаток совместных торгов - любой агент может без особого труда превратить все совместные торги в закрытые аукционы просто подав соответствующие заявки. Чтобы предотвратить это, необходимо, чтобы квалификационные условия были достаточно жесткими (но не слишком, чтобы не отпугивать участников).

2.2 Системы электронных аукционов

.2.1 Система электронного документооборота АИС ЕРКТ

Рассмотрим более подробно назначение и функциональность системы электронного документооборота. АИС ЕРКТ предназначена для формирования и ведения Единого реестра или списка контрактов и торгов и хранения информационных ресурсов в электронном виде.

Эта многоплановая система построена таким образом, что каждый государственный заказчик, может непосредственно из своего офиса самостоятельно вносить в систему данные о размещении государственного заказа. Она позволяет заказчику размещать лоты на электронных аукционах, регистрировать контракты, вносить в них изменения путем ввода заключенных с исполнителем дополнительных соглашений, проводить просмотр реестров и поиск необходимой информации. АИС ЕРКТ является общегородской информационной системой, обеспечивающей автоматизацию процессов формирования, размещения и контроля за исполнением городского заказа. Для наглядности на рисунке 5 приведена схема способов размещения государственного заказа.

Торги, проводимые государственными и муниципальными заказчиками, а также государственные контракты, в том числе заключаемые с победителями торгов, фиксируются данной системой.

Система электронного документооборота (АИС ЕРКТ) предназначается, для:

Рисунок 5 - Схема способов размещения государственного заказа [21]

-

-обеспечения планирования закупок в рамках городского государственного заказа и инвестиционных проектов;

-размещения городского заказа и инвестиционных проектов по исполнителям/инвесторам;

-формирования и ведения реестрового учета государственных и инвестиционных контрактов и торгов;

-контроля исполнения городского заказа и инвестиционных проектов;

контроля целевого и рационального использования бюджетных финансовых средств, выделенных на выполнение городского заказа и инвестиционных проектов.

Система позволяет обеспечить единую регламентацию всех процедур размещения государственного заказа Пользователями АИС ЕРКТ, начиная с планирования и заканчивая исполнением обязательств по контракту.

Система осуществляет:

-возможность ввода информации в Реестр,

-ее хранение,

-проверку ЭЦП,

-администрирование Реестра,

-доступ пользователей,

-размещение информации о ходе размещения заказа на сайте,

-формирование обобщенных аналитических и статистических сведений о ходе размещения заказа и взаимодействие с другими системами ЕРКТ.

С помощью информационной системы, достигается прозрачность размещения государственных заказов, осуществляется непрерывный контроль соответствия вводимой информации, действующему законодательству, что способствует исключению нарушений и ошибок при регистрации контрактов и при проведении торгов. Кроме этого, АИС ЕРКТ обеспечивает:

-бесперебойную работу по ведению реестров;

-защиту информационных ресурсов от взлома и несанкционированного доступа;

-разграничение прав пользователей информационной системы;

-сохранение истории изменений при обновлении реестровой записи;

-полный учет сведений о контракте;

-осуществление поиска сведений по показателям;

-консолидацию реестровых записей;

-формирование обобщенных сведений, и т.д.

Рассмотрим функциональную схему взаимодействия реестров в системе электронного документооборота АИС ЕРКТ (рисунок 6) АИС ЕРКТ функционально разделена на две относительно независимые подсистемы: подсистему «Реестр государственных контрактов» и подсистему «Реестр торгов и лотов». «Реестр государственных контрактов» предназначен для хранения в формализованном виде информации о зарегистрированных контрактах государственными заказчиками в системе. Реестр торгов и лотов предназначен для формирования и хранения в формализованной форме извещений о проведении торгов (конкурсов, запросов котировок, аукционов, аукционов в электронной форме) на размещение государственных заказов и протоколов заседаний конкурсных комиссий.

Рисунок 6 - Функциональная схема взаимодействия реестров [9]

Результатом проведения торгов государственным заказчиком является заключение контракта с участником торгов и его обязательная регистрация в АИС ЕРКТ «Реестр государственных контрактов». Нетрудно догадаться, что проектируемая система электронных аукционов будет в основном взаимодействовать с системой электронного документооборота в части реестра торгов и лотов.

2.2.2 Регламент проведения электронных аукционов

Рассмотрим общие принципы организации информационного обмена данными при проведении открытого аукциона в электронной форме посредствам Интернет между АИСЕРКТ и системой электронных аукционов. Схема организации взаимодействия АИС ЕРКТ с системой электронных аукционов приведена на рисунке 6. Как уже говорилось ранее при проведении электронных аукционов можно выделить три основных этапа:

)подготовка к проведению;

)проведение аукциона;

)регистрация результатов;

2.2.3 Подготовка к проведению электронного аукциона

Заказчик регистрирует информацию о проведении аукциона в электронной форме в системе АИС ЕРКТ. При этом ответственный исполнитель со стороны заказчика должен сформировать Извещение о проведении аукциона с обязательным указанием Интернет сайта, на котором будет проводиться аукцион, а также адреса регистрации участников. Извещение о проведении аукциона в системе АИС ЕРКТ формируется и публикуется на официальном сайте Тендерного комитета автоматически. Государственный заказчик должен экспортировать информацию в систему электронных аукционов, по средствам XML-файла. XML-файл должен быть подготовлен в соответствии с утвержденной схемой и содержать указанное извещение. Ответственный исполнитель заказчика обязательно подписывает вышеуказанный файл с помощью ЭЦП.

)формирует извещение об отказе от проведения электронного аукциона в соответствии с типовой формой, утвержденной в установленном порядке Тендерным комитетом;

)публикует и размещает Извещение соответственно в течение пяти и двух дней со для принятия решения об отказе от проведения открытого аукциона в установленном порядке. В этот же срок производится экспорт XML-файла, подготовленного в соответствии с утвержденной схемой и содержащего извещение об отказе от проведения открытого аукциона в систему электронных аукционов. XML-файл подписывается ЭЦП ответственного исполнителя, являющимся представителем заказчика.

Проектируемая система открытых аукционов в электронной форме должна обеспечивать размещение извещения о проведении (об отказе от проведения) электронного аукциона в открытой части сайта в течение одного часа после его получения.

Потенциальные поставщики (участники размещения заказа) подают заявки на участие в аукционе с использованием средств официального сайта - Тендерного комитета в указанный в извещении срок. Заявка на участие в аукционе подписывается ЭЦП участника размещения заказа (физическим лицом, который лично будет участвовать в аукционе).Аукционная комиссия рассматривает заявки на участие в аукционе. Срок рассмотрения заявок на участие в аукционе не может превышать пяти дней со дня окончания подачи заявок (срока окончания подачи заявок, указанного в Извещении).

Рисунок 7- Схема организации взаимодействия АИС ЕРКТ с Системой электронных аукционов [17]

)После того, как аукционная комиссия рассмотрела заявки участников аукционов, она выносит заключение: разрешение участникам размещения заказа на участие в аукционе и о принятии участника размещения заказа, который подал заявку, чтобы участвовать в аукционе.

)Отклонение заявки на участие такого игрока аукциона в порядке и по основаниям, которые закреплены настоящим законодательством РФ.

Аукционная комиссия оформляет и регистрирует в АИС ЕРКТ протокол рассмотрения заявок на участие в аукционе в день окончания рассмотрения заявок.

Протокол рассмотрения заявок на участие в аукционе в день окончания рассмотрения заявок размещается заказчиком на официальном сайте. В этот же срок производится экспорт XML-файла, подготовленного в соответствии с утвержденной схемой и содержащего Протокол рассмотрения заявок на участие в аукционе, а также экземпляры ЭЦП участников аукциона в систему электронный аукционов. XML-файл подписывается ЭЦП ответственного представителя заказчика.

Допуск участников аукциона к закрытой части сайта системы электронных торгов и допуск к участию в аукционе осуществляется с использованием авторизации по ЭЦП.

.2.4 Проведение электронного аукциона

С момента начала электронного аукциона средствами проектируемой системы необходимо обеспечивать экспорт на официальный сайт Тендерного комитета с интервалом в 20 минут XML-файла, подготовленного в соответствии с утвержденной схемой. Данный файл содержит информацию:

)о количестве Участников, сделавших ставку;

)о количестве сделанных ставок;

)о текущей и предыдущей предложенной цене;

)о дате и времени начала аукциона;

)о дате и времени, на которые сформирована информация.

Если возникают неисправности, оператор проектируемой системы по согласованию с Заказчиком и оператором АИС ЕРКТ вправе приостановить проведение аукциона и объявить технологический перерыв. Во время регламентного и технологического перерывов вся информация о проведении электронного аукциона остается неизменной, ввод ценовых предложений участников аукциона не возможен. Оператор системы электронных аукционов несет ответственность за неизменность информации.

Аукцион считается оконченным, если в течение одного часа с момента размещения на сайте в сети Интернет последнего предложения о цене контракта не поступило ни одного предложения, предусматривающего более низкую цену контракта.

.2.5 Регистрация результатов проведенного аукциона

По окончанию электронного аукциона Заказчиком на официальном сайте Тендерного комитета размещается:

)информация об окончании открытого аукциона в электронной форме (не позднее, чем через 5 минут с момента его окончания);

)решение о признании участника аукциона победителем (в течение 1 (одного) часа с момента окончания электронного аукциона);

Производится формирование и регистрация протокола аукциона в электронной форме в АИС ЕРКТ, затем в течение 1-го дня со дня его подписания осуществляется его экспорт в виде XML-файла, подготовленного в соответствии с утвержденной схемой, на сайт системы электронных аукционов. XML-файл подписывается ЭЦП ответственного представителя заказчика. Указанный протокол размещается на официальном сайте и публикуется в официальном печатном издании соответственно в течение одного и пяти дней со дня его подписания.

Оператор системы электронных аукционов обеспечивает размещение протокола электронного аукциона в открытой части сайта в течение одного часа после его получения.

2.2.6 Постановка задачи на создание системы электронных аукционов

В первом разделе данной работы рассмотрены некоторые современные технологии и инструменты, используемые при проведении электронных аукционов, в частности - для организации информационного обмена в ходе аукциона; отмечены положительные и отрицательные аспекты того или иного подхода проектирования систем, а также описана необходимая функциональность. Остается только один нерешенный вопрос: какую технологию или модель проектирования выбрать для построения системы обратных электронных аукционов? Ответ на поставленный вопрос содержится в техническом задании на создание системы открытых аукционов в электронной форме.

Общая постановка задачи: на основании существующей системы электронного документооборота, разработанной ранее, выполненной в трехзвенной архитектуре (Клиент - Internet Explore вер.4.0 и выше, сервер приложений - Internet Information Server IIS, сервер баз данных Microsoft SQL Server) по технологии ASP, необходимо построить систему «Электронные аукционы».

Заказчик (Тендерный комитет) предоставляет:

1)web-сервис для передачи информации в их систему;

)утверждает формат файлов электронного обмена и предоставляет описание схем файлов электронного обмена информацией;

)регламент проведения электронных аукционов.

Создаваемая система электронных аукционов должна удовлетворять следующим условиям функциональности:

)предоставить Web-сервис, посредством которого Заказчик будет передавать информацию в нашу систему;

)обеспечить механизм криптографической защиты для передаваемых документов с помощью программного обеспечения «КриптоПро»;

)обеспечить логгирование операций экспорта - импорта в системе;

)разработать базу данных для обеспечения функционирования системы;

)разработать windows-сервис, обеспечивающий передачу информации по расписанию о состоянии электронных аукционов;

)обеспечить функционирование системы согласно регламенту проведения электронных аукционов.

3. Конкретизация аукционной ситуации в игровой форме

.1 Моделирование аукционных торгов с помощью теории игр

Математическая теория игр - основа построения моделей торгов для аукционов составляет предмет разработки рекомендаций по принятию решений в условиях конфликтной ситуации. Сама игра представляет собой математическую модель конфликта (конфликтной ситуации), анализ которой ведется по определенным правилам. Конфликт - это задача, в которой сталкиваются интересы двух (а может и более) сторон. Стороны преследуют разные цели, и поведение каждой из сторон зависят от того, как поведут себя другие стороны. Модели одних классов игр предполагают явное соперничество участников конфликта, модели других допускают партнерство, кооперацию, различные формы компромиссов, сочетание интересов и целей людей или коллективов разных уровней управленческой иерархии и т. п.

Чтобы точно описать конфликт, используя модель игры необходимо описать, кто в этом конфликте участвует, какие варианты исходов возможны, а также, кто и в каких исходах заинтересован.

В современной теории игр принято выделять три формы игр.

)Игры в нормальной форме (стратегические), каждый участник игры обладает своей стратегией, а эти ситуации для каждой из участвующих сторон определяются из стратегий ситуаций. Эти бинарные отношения можно описать с помощью функции полезности на множестве ситуаций - так называемые функции выигрыша [9,15].

)Игры в позиционной (развернутой, обобщенной) форме - происходит изменение состояния системы, при этом происходит позиционирование каждого участника. Большинство, как реальных процессов принятия решений, так и их содержательных моделей - игр, имеют именно такую динамическую форму. По-видимому, открытые аукционы с восходящими или нисходящими ценами так же можно отнести к этому классу игр. Для проведения анализа очень часто позиционные игры приводят к нормальному виду (нормируют) [13,16,20].

)Игры в форме характеристической функции, в которых каждая заинтересованная сторона рассматривается как множество игроков (коалиции) и для нее указываются множества возможных выигрышей этих игроков (так называемое множество дележей).

Рассмотрим подробно основные элементы, с помощью которых описывается бескоалиционная игра. Пусть в игре (конфликтной ситуации) участвует конфликтующих сторон , называемых обычно игроками. Обозначим черезмножество всех таких игроков:

. (3.1.1)

Далее, игроки одновременно и независимо друг от друга, выбирают какие- либо линии своего поведения, или стратегии, из заданных множеств .В результате таких выборов формируется набор стратегий всех игроков,называемый ситуацией.

Заинтересованность игроков в тех или иных ситуациях проявляется в том, что каждому игроку в каждой возможной ситуации приписывается действительное число, выражающее степень насколько он удовлетворен интересами в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока , и обозначается, а само соответствие между множеством ситуаций и выигрышем игрока , называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока:

, (3.1.2)

где - декартово произведение множеств стратегий игроков.

Таким образом, формальное описание бескоалиционной игры в нормальной форме сводится к заданию трех множеств:

)множества игроков ;

)совокупности множеств стратегий каждого из игроков ;

)совокупности функций выигрыша каждого из игроков .

Система

(3.1.3)

называется бескоалиционной игрой.

Если множества стратегий игроков конечны, то игра называется конечной. Биматричная игра - это игра с двумя участниками, матрицы и матрицы выигрышей игроков А и В, по строкам записаны стратегии первого игрока, а столбцам - стратегии второго игрока.

Если матрицы являются противоположными, т.е. , то игра называется антагонистической матричной игрой. Т.е. и интересы игроков прямо противоположны.

Если мы найдем точку от которой ни одному участнику не выгодно отклоняться, то данная точка будет точкой равновесия. Если обозначить через ситуацию, получаемую из ситуации в результате замены в ней стратегии игрока на его стратегию, то равновесными (по Нэшу) будут те ситуации , для которых выполняются неравенства:

(3.1.4)

для всех и .

Таким образом, неравновесность ситуации уже заключает в себе выгодность ее нарушения со стороны кого-либо из игроков. Это значит, что только ситуации равновесия имеет смысл рассматривать как возможные условия соглашений между игроками.

Если рассматривая конкретные условия игры, принцип оптимальности оказался по отношению к условиям конкретной игры или класса игр «слишком свободным», то в игре может возникнуть много реализаций этого принципа, тогда мы можем поставить вопрос об уточнении принципа оптимальности, т.е. добавим дополнительные ограничения, и тогда множество решений сократится и мы будем иметь в пределе единственное решение.

Если для любых непересекающихся коалиций и выполняется неравенство:

, (3.1.5)

то игра называется супераддитивной. Кооперативные игры, построенные из бескоалиционной игры, всегда обладают этим свойством. В случае супераддитивности всем игрокам выгодно объединяться в одну коалицию и получить в сумме . Кроме того, естественно считать, что каждый игрок должен получить при распределении суммы не менее чем . Векторы из , удовлетворяющие этим двум условиям, называются дележами.

В заключение рассмотрим понятие позиционной игры. Математическая модель, которая развертывается во времени для принятия решения в условиях полной неопределенности или в условиях неполной информации - позиционная игра. Каждое со стояние экономической системы изображается вершиной, или позицией

Так исходная позиционная игра сводится к бескоалиционной игре в нормальной форме. В качестве принципа в позиционной игре принимается стремление игроков к ситуации равновесия.

В дальнейшем, основываясь на методологии теории игр, попытаемся разработать модели поведения участников в ходе проведения аукционов различных форматов.

.2 Закрытый аукцион первой цены, его математическая модель

Рассмотрим закрытый аукцион первой цены - это математическая модель поведения участников, все покупатели предлагают цены одновременно, и товар продается тому, чья цена оказалась выше. Победитель (участник, предложивший самую высокую ставку), оплачивает продавцу цену, равную этой ставке (первую цену).

Рассмотрим, что в аукционе участвуют всего два покупателя - и . Будем считать, что каждый из участников знает ценность продаваемого объекта для себя: ценность объекта для равна , для - . С другой стороны, каждый из участников не располагает точной информацией о ценности объекта для другого. Он предполагает, что эта ценность распределена равномерно на некотором отрезке. Участник считает, что ценность объекта для распределена на отрезке , а считает, что ценность объекта для распределена на отрезке , где - минимальная ставка за объект, объявленная продавцом. Участвующие в торгах хотят получить объект по самой низшей (т.е. min-возможной ставке). Т.е., оба стремятся к максимальной прибыли, которая будет равна как раз разности между оцененной стоимостью объекта и ценой, за которую этот объект будет приобретен. Выбор ставок- стратегии покупателей. Обозначим ставку участника через, а ставку участника - через.

Таким образом, мы имеем парную бескоалиционную игру с неопределенностью и бесконечным множеством стратегий. При этом выигрыши игроков для аукциона первой цены и для аукциона второй цены определяются по-разному. В первом случае выигрыш игрока после открытия конвертов равен

(3.2.1)

а выигрыш игрока равен:

(3.2.2)

Равенство ставок и считаем маловероятным. В силу наличия неопределенности относительно ставки противника, целевой функцией каждого игрока является максимизация математического ожидания выигрыша.

Для аукциона первой цены математические ожидания выигрышей игроков определяются выражениями:

(3.2.3)

, (3.2.4)

где и означают вероятности того, что ставка игрока превысит ставку , и соответственно, наоборот, ставка превысит ставку .

Исходя из выражений (3.2.3) и (3.2.4), нетрудно видеть, о чем думает "разумный" участник игры. С одной стороны, он хочет сделать ставку побольше, чтобы увеличить свою вероятность выигрыша. С другой стороны, он хочет сделать ставку поменьше, чтобы и заплатить за выигранный объект меньшую цену. Тогда, стратегии обоих игроков ограничены отрезками и . Левым границам отрезков соответствует минимально допустимая ставка на аукционе, а правым границам предельные значения, при которых математические ожидания выигрышей являются неотрицательными.

Будем искать стратегии игроков в виде

и ,

где . (3.2.5)

В этом случае

(3.2.6)

Так как для игрока величина равномерно распределена на отрезке , то ее плотность распределения имеет вид:

(3.2.7)

Поэтому

(3.2.8)

Имеем математическое ожидание как функцию от стратегии :

(3.2.9)

и математическое ожидание как функции от стратегии :

(3.2.10)

Первая функция определена на отрезке, а вторая функция - на отрезке . На концах интервалах задания обе функции обращаются в нуль. Найдем экстремальные значения этих функций. В итоге получим единственную критическую точку функции (3.2.9) и единственную критическую точкуфункции (3.2.10), в которых эти функции достигают максимальных значений. Эти точки и определяют оптимальные стратегии каждого игрока при неизвестных стратегиях и предпочтениях противника, а именно, оптимальная ставка участника закрытого аукциона первой цены равна средней арифметической минимально допустимой ставки и субъективной ценности объекта для него.

3.3 Закрытый аукцион второй цены (аукциона Викри),его игровая модель

Аукционы Викри хорошо изучены в экономической литературе, однако не особенно распространены на практике одним из рынков, на котором они активно используются, является коллекционирование марок. Система аукционов eBay также схожа, но не идентична, с аукционом Викри.

Исследуем теперь на предмет существования равновесных стратегий аукционы Викри. Относительно двух участников аукциона и предполагаем те же условия, что и в предыдущем параграфе. В этом случае выигрыши игрокови соответственно равны:

(3.3.1)

(3.3.2)

где - ценность объекта для, - ценность объекта для , и - соответственно ставки участников и .

Покажем, что равновесие по Нэшу образует пара стратегий и . Иначе говоря, ни одному из участников аукциона не выгодно менять свою стратегию (или ) при условии, что другой участник не изменяет свою стратегию (соответственно или ).

Приведенные рассуждения отражены в таблице 3.

Итак, мы показали, что отказ игроком от стратегии может привести только к ухудшению его положения. Очевидно, для игрока это утверждение также справедливо. Получается, что каждому участнику аукциона следует выбирать ставку, в точности равную ценности самого объекта для него. Таким образом, при строго рациональном поведении участников второй вид аукциона, как будто, выгоднее для организатора аукциона, чем аукцион первой цены. Ведь объект продается за большую цену. Почему же тогда аукционы Викри так редки и воспринимаются как нечто экзотическое?

Таблица 3 - Исследование пары стратегий и на равновесие по Нэшу[3]

Разгадка содержится также в рассматриваемой теоретической модели. Дело в том, что пара и образует не единственное равновесие в аукционе Викри. Равновесными также являются ситуации, когда один из участников делает очень большую ставку (заведомо большую, чем и ), а другой участник ограничивается минимально допустимой ставкой . Действительно, пусть игрок выберет большую ставку, а игрок минимально допустимую ставку . Тогда, очевидно, игрок выигрывает лот и платит за него минимальную цену . То, что происходит вследствие отказа каждым игроком от своей стратегии при неизменной стратегии противника, отражено в таблице 4.

Таблица 4 - Исследование пары стратегий и на равновесие по Нэшу[3]

Таким образом, если игрок отказывается от своей ставки при сохранении ставки игроком , то он нисколько не изменяет свой чистый выигрыш. Если же игрок изменит свою ставку при сохранении игроком ставки , то его чистый выигрыш либо по-прежнему будет нулевым, либо станет отрицательным. Это доказывает, что параи , также образует равновесие по Нэшу. И эта ситуация, в отличие от первой эффективной равновесной ситуации и , совсем не выгодна организатору аукциона. Вероятность ее возникновения тем больше, чем выше риск сговора между участниками аукциона.

Аукционы Викри хорошо изучены в экономической литературе, однако не особенно распространены на практике.

3.4 Модели открытых аукционов (английский и голландский)

Остановимся на открытых аукционах. Открытые аукционы могут быть как восходящими ценами, так и с нисходящими ценами. Мы можем их представить (смоделировать) с помощью позиционных игр. Дело в том, что стратегии участников открытого аукциона состоят из нескольких ходов.

Первым примером является английский аукцион. Рассмотрим, что в английском аукционе, участвует игроков: . Индивидуальная ценность продаваемого объекта для каждого из участников определяется значениями:. Как и в случае закрытых аукционов, ни один из участников не имеет точной информации о предпочтениях других участников. Например, участник может лишь догадываться, как и в случае закрытого аукциона, что ценности объекта для других участников распределены соответственно на отрезках,, …, , где - минимальная ставка за объект, объявленная продавцом.

Разные ходы игры будут соответствовать шагам аукциона. На каждом шаге каждый из участников решает вопрос, поднимать установленную в текущий момент времени цену за объект или отказаться от него. По-видимому, в этом случае стратегия каждого из участников в целом прозрачна и не учитывает поведение других участников аукциона:

-если в текущий момент времени ставка за объект меньше его ценности для участника, то участнику выгодно поднять ставку, если только эта увеличенная ставка не превысит значение индивидуальной ценности объекта.

Действительно, рассмотрим ситуацию с точки зрения игрока . Предположим, что в текущий момент времени ставка за объект достигла , которую объявил один из участников (пусть ). Тогда если выполняется неравенство , где - шаг аукциона, то игроку выгодно увеличить ставку до , так как в этом случае его ожидаемый выигрыш

,

независимо от положения других участников будет больше нуля.

Если же выполняется , то игроку целесообразнее воздержаться от повышения ставки, так как в противном случае его средний ожидаемый выигрыш будет отрицателен.

Очевидно, если игра будет продолжаться достаточно долго, и если каждый из участников стремится только к повышению собственного выигрыша, то объект достанется тому участнику , для которого ценность объекта наибольшая. При этом победитель платит за объект цену , равную максимальному из значений , отличных от (разумеется, с учетом кратности шага аукциона). Таким образом, выигрыш победителя определяется равенством

, (3.4.1)

Однако, как уже было сказано, английский аукцион в значительной степени уязвим к сговору между участниками. С точки зрения теории игр это означает практическую реализуемость модели кооперативной игры английского аукциона.

В случае полной кооперации между игроками ставка победителя, по- видимому, должна равняться минимально допустимому значению, при котором аукцион считается состоявшимся. Очевидно, также, что победителем должен стать, как и в случае бескоалиционной игры, участник, для которого ценность объекта наивысшая. Его «валовой» выигрыш равен

(3.4.2)

Сравнивая (3.4.1) и (3.4.2), заключаем, что дележу между участниками подлежит величина, равная

, (3.4.3)

Одним из приемлемых способов дележа является дележ, пропорциональный индивидуальным ценностям объекта для участников:

. (3.4.4)

При рассмотрении голландского аукциона будем оценивать стратегии его участников. Пусть также в аукционе принимают участие игроков:. Индивидуальная ценность продаваемого объекта для каждого из участников по-прежнему определяется значениями:. Начальная цена объекта -

В отличие от английского аукциона, стратегия каждого из игроков должна исходить не только из собственных интересов, но и учитывать поведение противников. Исследуем возможности поведения игрока .

Пусть в текущий момент времени ставка за объект, нисходя от , достигла значения . Очевидно, если это значение не достигло величины , игроку не выгодно приобретать объект и прекращать игру, так как в этом случае его чистый выигрыш отрицателен.

Допустим, выполняется условие: .Если игрок решает купить объект и тем самым прекратить игру, то его выигрыш будет заведомо положителен. Если же решает продолжить игру, то, с одной стороны, он подвергает себя риску вообще остаться без выигрыша, а, с другой стороны, получает возможность еще увеличить выигрыш (ведь на следующем шаге при благоприятных обстоятельствах объект ему достанется за меньшую цену). Принятие решения игроком , по-видимому, связано с оценкой следующей величины

(3.4.5)

Здесь и означают вероятности соответственно того, что ни один из других участников не сделает попытку купить объект (стратегии при всех и что один из участников объект купит (одна из стратегий ).

Таким образом, если игрок руководствуется при выборе стратегии принципом гарантированного выигрыша, он предпочтет купить объект на шаге . Если же критерием его действий является величина (2.4.3), то воздерживается от покупки на данном шаге или покупает объект в зависимости от выполнения условий или .

3.5 Разработка игровой модели для аукциона закрытого типа первой цены

Преимущества данного языка пред другими:

)Улучшенная отладка Ваших программ. Интегрированный отладчик Delphi имеет много полезных свойств.

)Высокоскоростной компилятор позволяет быстро и без проблем перевести Ваши программы в машинный код. Компилятор, встроенный в Delphi является на данный момент самым быстрым в мире.

)Визуальное построение приложений позволяет быстро и качественно создать интерфейс Вашей программы.

)Простые и функциональные способы построения баз данных (БД).

)Разработчик программ может самостоятельно строить объекты для Delphi.

Рассмотрим модель аукциона закрытого типа первой цены, на котором все покупатели предлагают цены одновременно, и товар продается тому, чья цена оказалась выше. При этом победитель (участник, предложивший самую высокую ставку), оплачивает продавцу цену, равную этой ставке (первую цену). Для наглядности рассмотрим двух игроков.

На рисунке 8 изображено окно визуализации игровой модели аукциона закрытого типа первой цены, где участвуют всего два покупателя - и . Будем считать, что каждый из участников знает ценность продаваемого объекта для себя.

Рисунок 8 - Окно аукциона на базе Delphi (скриншот)

В ячейки ценность объекта заносятся данные для каждого игрока для А равна 500, для В - 600.

Следующая оценка необходима для расчетов, мы должны предположить как соперники оценивают друг друга оценка игроком А равна 600, а игроком B равно 500.

Дальше представляется минимальная ставка за объект, объявленная продавцом равна 100. Каждый из участников хочет получить объект по минимально возможной ставке. Иначе говоря, оба стремятся к максимизации прибыли, которая равна разности между субъективной стоимостью объекта и ценой, за которую тот будет приобретен.

Стратегии покупателей заключаются в выборе своих ставок. Игрок (участник) А объявляет ставку равную 400, а игрок (участник) B - 450.

Кнопка «В Excel» открывает промежуточные математические расчеты на основе второй главы в программе MicrosoftExcel.

Для каждого игрока строится матрица выигрышей, при альтернативных ставках противника, на основе этих матриц может быть построена матрица выигрышей каждого игрока - для удобства визуализации.

Рисунок 9 - промежуточные расчеты в программе MicrosoftExcel (скриншот)

Окно с диаграммами открывает кнопка «Диаграммы».

Рисунок 10 - Окно с кнопкой «Диаграммы» (скриншот)

На рисунке 11 изображены диаграммы: функция распределения и математическое ожидание, построенные для каждого игрока в зависимости от размера ставок, которые позволяют провести дополнительную оценку сложившейся ситуации.

Рисунок 11 - окно «Диаграммы» (скриншот)

Построим стратегии игроков в зависимости от значения параметра k

Рисунок 12 - Изменение ставок для игроков в зависимости от параметра k (скриншот)

На рисунке 13 изображен график оптимального значения, который построен при помощи промежуточных расчетов в программе MicrosoftExcel. Окно с графиком открывает кнопка «Оптимальное значение».

Рисунок 13 - окно «Оптимальное значение» (скриншот)

Совместив на графике ставки игрока А и игрока В, мы получили точку, которая определяет стратегии каждого игрока при неизвестных стратегиях и предпочтениях противника, а именно, оптимальная ставка участника закрытого аукциона первой цены равна средней арифметической минимально допустимой ставки и субъективной ценности объекта для него.

Эти же значения дублируются в расчетных ячейках. На рисунке 14 представлен выигравший для данных ставок.

Рисунок 14 - Итоговое окно (скриншот)

По итогу победителем аукциона стал игрок В.

игра электронный аукцион

Заключение

В результате проведенной работы было выполнено:

-изучение задач теории игр в экономике;

-анализ видов аукционов;

-изучение типов математических моделей аукционов;

-построены и исследованы игровые модели поведения участников аукционов различных форматов;

-изучен язык программирования Delphi;

В работе определена инфраструктура проблемы теории игр в экономике, возникающие конфликты и проведена классификация игр. Подробно исследованы современная теория аукционов, проведены сравнения различных форматов аукционов. Для электронных аукционов составлены информационные модели, содержащие регламент, подготовку, проведение электронных торгов и представление результатов торгов. Определена постановка задачи создания системы электронных аукционов для выбранного сценария.

Используя полученные знания, была разработана и построена математическая и информационная модель аукциона закрытого типа и представлена в виде прикладного обеспечения на базе Delphi. Все математические промежуточные расчеты были выполнены в программе MicrosoftExcel.

Построенная программа на базе Delphi визуализирует игровую модель аукциона закрытого типа первой цены, где участвуют два игрока. Каждый из игроков определяет для себя ценность и оценку лота и делают ставки. После выполнения всех промежуточных расчетов в программе MicrosoftExcel, мы можем увидеть диаграммы: функция распределения, математическое ожидания и оптимальное значение, а также победителя игры при данных ставках.

Список использованных источников

1Аллен Р. Математическая экономия / Р.Аллен. - М.: Иностранная литература, 1963. -156с.

Анфилов В.А. О некоторых игровых моделях аукционов / В.А Анфилов // Межвуз.сб. науч. тр.: Проблемы экономики, финансов и управления производством. Иваново: ИГХТУ, 2015. - Вып. 15. - С. 146-155.

Анфилов В.А. Математическое моделирование участников закрытого аукциона / В.А. Анфилов // Тезисы докладов Международной конференции «Актуальные проблемы экономики», Сочи, 5-8 октября, 2014. - С. 125-136.

Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. / С.А. Ашматов. - М.:Наука,1984. - 176 с.

Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. / К.А. Багриновский - М.: Экономика, 2001. - 144 с.

Бергстром А. Построение и применение математических моделей / А. Бергстром - М.: Прогресс, 1970. - 165 с.

Большой экономический словарь / под ред. А.Н. Азрилияна. - М.: Институт новой экономики, 2012. - 175 с.

Вентцель Е.С. Элементы теории игр / Е.С. Вентцель - М.: Наука, 1961. - 275 с.

Воробьев Н.Н. Лекции для экономистов кибернетиков / Н.Н. Воробьев - Л.: Изд-во Ленингр. ун-на, 1974. - 198 с.

Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр / Н.Н Воробьев // Успехи мат, наук. 1970. - Т.25. - 190 с.

Глухов В.В., Медников, М.Д., Коробко, С.Б. Математические методы и модели для менеджмента / В.В/ Глухов - СПб.: Изд-во «Лань» , 2012. - 254 с.

Данилов В.И. Лекции по теории игр / В.И. Данилов. - М.: РЭШ, 2012. - 172 с.

Замков О.О. Математические методы в экономике / О.O. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. - М.: МГУ, Издательство «ДИС», 1998. - 204 с.

Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике / С. Карлин. - М.: Мир, 1964. - 195 с.

Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь / Л.И. Лопатников. - М.: Наука, 1987. - 233 с.

Льюс Р. Игры и решения / Р. Льюс, Х. Райфа. - М.: Мир, 1961. - 223 с.

Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики / Э. Мулен - М.:Мир,1985. - 164 с.

Нейман Дж. Теория игр и экономическое поведение / Дж. Нейман., О. Моргенштерн. - М.: Наука, 1970. - 188 с.

Оуэн Г. Теория игр / Г. Оуэн - М.: Наука, 1971. - 146 с.

Партхасарати Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц / Т. Партхасарати., Т. Рагхаван. - М.: Мир, 1974. - 147 с.

Ручка О.Л., Аукционы. Подготовка, проведение, судебные споры. Справочник / О.Л. Ручка., Л.М. Насонов, М.Ю. Медведев., - М.: ЮД Юстицинформ, 2003. - 154 с.

Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте: Учебное пособие / В.М. Трояновский. - М.: Русская деловая литература, 1999. - 256с.

Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Р.И. Трухаев. - М.: Наука, 1981. - 198 с.

Фридмен М. Если бы деньги заговорили / М. Фридмен. / пер. с англ.- М.: Дело, 2012. - 100 с.

Киселев В.Ю. Экономико-математические методы и модели: Учеб. Пособие / В.Ю. Киселев; Иван.гос. энерг. ун-т. - Иваново, 1998. - 180 с.

Данилов-Данилльян В.И. Экономико-математический энциклопедический словарь / под ред. В.И. Данилов-Данилльян. - М.: Большая Российская энциклопедия, ИНФРА-М, 2003. - 176 с.

27Aumann R.J., Maschler, M. Repeated Games with Incomplete Information. / R. Aumann. - The MIT Press Cambridge, Massachusetts-London, England, 1995. - 209 p.

Ausubel L.M., Milgrom, P.R. Ascending Auctions with Package Bidding / L. M. Ausubel // Frontiers of Theoretical Economics, 2002,1(1). -98 p.

Bulow J., Klemperer P. The Generalized War of Attrition / J. Bulow // American Economic Review, 89 (1999), pp. 175-189.

Che Y.K., Gale I. Expected Revenue of All-Pay Auctions and First-Price Sealed-Bid Auctions with Budget Contraints / Y. K. Che // Economics Letters, 50(1996), pp. 367-371

Cramton P. Auctions and Takeovers / P. Cramton // New Palgrave Dictionary of Economics and the Law, London MacMillan Press, 2014. - 106 p.

Cramton P., Schwartz, A. Using Auction Theory to Inform Takeover Regulation / P. Cramton // Journal of Law, Economics, and Organization, 7 (1991), pp. 27-53 p.

Fudenbery D., Tirole J. Game Theory. / D. Fudenbery.: MIT Press, 2013. - 116 p.

Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. / R. Gibbons // Princeton University Press, 1992. - 203 p.

Klemperer P. Auction Theory: A Guide to the Literature / P. Klemperer // Journal of Economic Surveys, Vol. 13(3), July, 1999, pp. 227- 286.

Klemperer P. Auctions: Theory and Practice. / P. Klemperer. - Princeton University Press,2004. - 114 p.

Milgrom P. Putting Auction Theory to Work: The Simultaneous Ascending Auction / P. Milgrom // Journal of Political Economy, 108 (2000). - 98 p.

RosenmtiUer J. The Theory of games and markets. / J. Rosenmtiuer - Amsterdam, 1981. - 118 p.

Wolfstetter E. Auction: An Introduction / E. Wolfstetter // Journal of Economic Surveys,1996,10. - pp. 367-420.