Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Разрешимость диофантовых уравнений с двумя переменными

Требуется знание работы «Алгоритм решения Диофантовых уравнений (АРДУ)».

Знание прогрессий многочленов и их матриц обязательно.

Простые числа - ПЧ.

Составные числа - СЧ.

Координатная сетка - КС.

И никаких лемм - теорем до финиша доползём на конкретных примерах.

Возьмём предельно простое уравнение, -

х+2у-41=0.(1)

Займёмся подбором решений. Мы набиваем руку и нам на начальной стадии надо знать всё об этом уравнении. Нам надо знать наличие решений в целых числах. Составим таблицу в которой величины х, у изменяются в пределах натурального ряда чисел 1÷13.

Таблица 1.

Пять нолей нащупали в матрице, а значит и пять решений. Теперь сделаем следующее действо, - в таблице 1 поменяем местами обозначения вертикальных и горизонтальных рядов. Данное действо делаем сознательно, хотя и по принципу «бросить часы в мясорубку и посмотреть что получится». Мы получили новую КС, по сравнению с предыдущей для таблицы 1.

Таблица 2

Опишем данную матрицу формулой.

Составим формулы вертикальных рядов.

Для первого вертикального ряда будет, -

		2		2
	-36		-34		-32,

+2(х-1)=2х-38.

Для второго вертикального ряда будет, -

		2		2
	-33		-31		-29,

+2(х-1)=2х-35.

Для третьего вертикального ряда будет, -

22
	-30		-28		-26,

+2(х-1)=2х-32.

Полученные формулы обличаются свободными членами.

Опишем свободные члены полученных выражений, -

		3		3
	-38		-35		-32,

+3(у-1)=3у-41.

И окончательно, -

Щ_n= 2х+3у-41.

Первая маленькая победа.

В таблице 1 выделена линия чисел. Она подчёркнута. В дальнейшем она будет именоваться «диагональю».

Так вот, функция Щ_n отображает зеркально числа через диагональ из одного пространства в другое.

Индекс «n» при Щ обозначает слово «прямая».

Прямая, т.к. Щ_n вычислять не надо, достаточно поменять местами в начальном уравнении х и у местами. А есть Щ_в, где «в» - означает «вычесленная».

У нас есть КС из х и у для таблицы 1 и таблицы 2. Этого нам мало. Давайте сочиним и другую КС.

Потребуется применить к уравнению (1) АРДУ, и тогда придётся перебирать варианты:

)        х-нечётное число, у-нечётное число, х>у;

)        х-нечётное число, у-нечётное число, х<у;

)        х-нечётное число, у-чётное число, х>у;

)        х-нечётное число, у-чётное число, х<у;

)        х-чётное число, у-нечётное число, х>у;

)        х-чётное число, у-нечётное число, х<у;

)        х-чётное число, у-чётное число, х>у;

)        х-чётное число, у-чётное число, х<у.

Читатель, мы с тобой заглянули в ответ, поэтому чтобы зря не мучиться изобразим счастливое угадывание.

Возьмём условие №1.

Таблицу 1 преобразуем в соответствии с этим условием, - КС будет состоять из нечётных х и у.

Таблица 3

Для дальнейшей работы КС нужно преобразовывать так, чтобы вертикальные и горизонтальные ряды были пронумерованы числами натурального ряда 1, 2, 3 ….

Сначала пронумеруем вертикальные ряды, -

	2		2		2
1		3		5		7	…,

,

,

.

Для у аналогично.

Таблица 4.

И уже к таблице 4, где КС состоит из функциональных выражений , , добавим новую КС с другим функциональным выражением.

В уравнение (1) введём новые переменные, -

Уравнение (1) примет вид,-

Сократим на наименьшую переменную 2β, -

где -(2)

Тогда

Уравнение (2) примет вид, -

При

При

Это подбор, но нам нужно убедиться, что правильно движемся.

Теперь у нас есть выражения для КС  

Выражения  и  равноценны, они делают одну и туже работу, - нумеруют горизонтальные ряды, поэтому из рассмотрения уберём, а оставим , т.е. составим новую КС. Отличие же от в следующем, - нумерует все горизонтальные ряды, тогда как  нумерует горизонтальные ряды, в которых есть решения для уравнения (1) при условиях х-нечётные, у-нечётные числа, при х>У. Смотри таблицу 4.

Таблицу 4 изобразим с новой КС.

Таблица 5

Будем описывать вертикальные ряды, -

		4		4
	-36		-32		-28,

44
	-30		-26		-22,

44
	-24		-20		-16,

Опишем свободные члены, -

		30		30
	-108		-78		-48,

Составим полное выражение, описывающее числа в таблице 5.

Оно должно быть тождественным уравнению (1).

Составим уравнение, -

Убедились в тождественности КС  и КС

Ещё раз зафиксируем следующее, -

в таблице 5

Нумерация сохранилась от предыдущей КС, когда горизонтальные ряды были пронумерованы выражением .

Когда имеем дело с КС, в которой имеется «К» правильнее было бы совсем не писать нумерацию ни вертикальных, ни горизонтальных рядов, для которых «К» работает в данный момент. В дальнейшем нумерацию писать будем, но будем помнить, что грешим.

В параграфах §§А будем рассматривать, скажем так, прямые КС, а в §§Б КС перевёрнутые. При помощи перевёрнутых КС будем находить Щ_в и из соотношений Щ_в=Щ_n, совместно с исходным уравнением, будем составлять систему уравнений. Полученную систему требуется исследовать на предмет наличия решений в исходном уравнении.

Изменим таблицу 5. Поменяем местами

и

Таблица 6

Будем описывать вертикальные ряды, -

		4		4
	-36		-32		-28,

		4		4
	-30		-26		-22,

		4		4
	-24		-20		-16,

Составим выражение для свободных членов, -

		6		6
	-38		-32		-26,

Составим общее выражение, -

Проверка показывает, что при подстановке в данное выражение величин х=13, у=1, а также х=9, у=7, получены значения, соответственно - 12 и - 2. Т.е. получено выражение Щ_в, см. таблицу 1. Составим уравнение Щ_в=Щ_n.

Получили уравнение (1).

В общем случае должно получиться уравнение тождественное исходному, но другое по содержанию. И ещё раз, - должна получиться система уравнений. Для иллюстрации подобран не совсем удачный пример. Ниже будут и удачные примеры. Сам же этот, не совсем удачный пример, помог разобраться в целом с разрешимостью Диофантовых уравнений. В основном точка в этой теме будет поставлена в одноимённых работах, где - то месяца через 2 - 3.

Для уравнения (1) используем условие из АРДУ №3, где -

х-нечётное число, у-чётное число, х>У (х=11, у=4 в таблице 1).

В уравнение (1) введём новые переменные, -

Сократим на меньшее переменное , -

где -(3)

Имеем

Уравнение (3) примет вид, -

Из таблицы 1 составим новую, с учётом что х в уравнении (1) - нечётные числа, у - чётные числа.

Таблица 7

КС (х, у) для таблицы 7 заменим на нормированную КС

Таблица 8

Опишем вертикальные ряды.

		4		4		4
	-34		-30		-26		-22,

444
	-28		-24		-20		-16,

		4		4		4
	-22		-18		-14		-10,

Опишем свободные члены, -

		30		30
	-108		-78		-48,

Составим полное выражение, -

Составим уравнение, -

Всё как в §А1.

Для таблицы 8 поменяем в КС местами  и

А вот тут начались изюминки, - у нас в уравнении для Щ_в, х и у не только поменялись местами, но поменялись и чётности этих переменных. Давайте в таблице 8 поменяем местами и  Тупо поменяем, без учёта смены чётности.

Таблица 9

Опишем вертикальные ряды, -

		4		4
	-34		-30		-26,

44
	-28		-24		-20,

		4		4
	-22		-18		-14,

Опишем свободные члены, -

		6		6
	-36		-30		-24,

Составим полное выражение, -

По аналогии с §Б1 составим уравнение Щ_в=Щ_n.

Не получено уравнение (1), поэтому менять местами и надо с учётом смены чётности х и у.

Правильная матрица изображена в таблице 10 и она списана с таблицы 1, при х-чётных, у-нечётных числах в уравнении (1).

Таблица 10

Объяснение будет таким. Изначально пронумеровало в таблице 8 чётные горизонтальные ряды. Перенесли мы это выражение для нумерации вертикальных рядов. И там оно должно нумеровать чётные ряды, но уже вертикальные. Напоминаю, - речь идёт об условии №3 из АРДУ. Тоже самое касается и выражения , которое в начале нумеровало нечётные вертикальные ряды в таблице 8, ну мы его и оставим нумеровать нечётные же, но уже горизонтальные ряды в таблице 10.

Давайте будем работать с таблицей 10.

Опишем вертикальные ряды, -

		4		4
	-33		-29		-25,

		4		4
	-27		-23		-19,

		4		4
	-21		-17		-13,

Опишем свободные члены, -

66
	-35		-29		-23,

Составим полное выражение, -

Это мы получили Щ_в. Составим уравнение Щ_в=Щ_n, -

Всё как в §Б1.

Читатель, у нас остались не разобранными некоторые из условий от АРДУ.

Например, -

) х-нечётное число, у-нечётное число, х<у;

В таблице 1 это х =5, у =13.

) х-нечётное число, у-чётное число, х<у.

В таблице 1 это х =7, у =10.

Разбор этих вариантов ничего нового не даст, поэтому и возиться с ними не будем. Тренировки ради распишем формулы этих вариантов для

).

Подставим новые переменные в формулу (1), -

Сократим на меньшее переменное , -

(4)

Имеем, -

алгебраический диофантовый уравнение матрица

Тогда, -

Уравнение (4) примет вид, -

).

Подставим новые переменные в формулу (1), -

Сократим на меньшее переменное , -

Имеем, -

Уравнение (5) примет вид, -

Давайте подробно рассмотрим условие из АРДУ, -

). х-чётное число, у-чётное число, х>у.

При данных условиях уравнение (1) не имеет решений в целых, положительных числах. Но напоминаю, мы этого как бы не знаем и формально будем действовать по плану §§А1, Б1 и §§А2, Б2.

Выведем формулу для .

Подставим новые переменные в формулу (1), -

Сократим на меньшее переменное , -

(6)

Имеем, -

Уравнение (6) примет вид, -

При х-у =7, =2. Но у нас по условию х и у величины чётные, тогда х-у =7 для нас именно в этом случае не существует. Из таблицы 1 составим новую таблицу при х и у чётных.

Таблица 11

Для таблицы 11 возьмём новую КС, -

Таблица 12

Опишем вертикальные ряды, -

		4		4		4
	-31		-27		-23		-19,

444
	-25		-21		-17		-13,

		4		4		4
	-19		-15		-11		-7,

Опишем свободные члены, -

		30		30
	-93		-63		-33,

Составим полное выражение, -

Составим уравнение, -

Всё как в §§А1, А2.

В таблице 12 поменяем местами и

Просто поменяем, ибо смены чётности у составляющих КС в этом примере нет.

Таблица 13

Опишем вертикальные ряды, -

		4		4		4
	-31		-27		-23		-19,

		4		4		4
	-25		-21		-17		-13,

		4		4		4
	-19		-15		-11		-7,

Опишем свободные члены, -

		6		6
	-35		-29		-23,

Составим полное выражение, -

Получили выражение Щ_в.

Составим уравнение Щ_в=Щ_n, -

Сравним полученный результат с результатами §§ Б1,Б2.

Не совсем удачный получился последний пример. АРДУ залез в другую область изначальных данных. Мы брали х и у чётные, а АРДУ выдал ответ для х-у =7.

На этот момент зафиксируем следующее, - условия АРДУ страхуют друг друга. А вот всегда ли, - вопрос временно остаётся открытым.

Сделаем предварительный вывод.

Идея заложенная в эту статью, по моему разумению, хороша. Всего лишь одна загвоздка, - работает как-то не совсем стабильно. Но это пока. Продолжим поиски.

Будем работать с уравнениями второго порядка. В рассмотренных примерах первого порядка тоже есть свои плюсы. Научились грамотно крутить - вертеть КС.

Сама идея состоит вот в чём. Каждое число в рассматриваемых матрицах имеет своим отображением другое число симметрично диагонали матрицы. У несуществующего числа нет и отображения. Если есть у уравнения решение, значит у числа «0» матрицы есть отображение в целых числах, ибо наши матрицы расписываются в целых числах. Вроде бы всё просто. Приступим к уравнениям второго порядка.

Организуем следующее уравнение, -

(7)

В ответ заглянем сразу, используя элементарный перебор переменных х и у в интервале 1÷8.

Пусть будут х - нечётные числа, у - чётные числа и х>у.

Таблица 14

В уравнение (7) введём новые переменные, -

Сократим на наименьшее переменное -

Имеем, -

Тогда, -

Перед радикалом взяли знак «минус», хотя если вести себя правильно, надо рассматривать знак «плюс» тоже. В данном случае подгонка, взято  из рассмотрения таблицы 14.

Из таблицы 14 составим новую, при х-чётные числа, у-нечётные числа, с целью получения Щ_в, с учётом смены чётности.

Таблица 15

Далее следуем по плану §§Б1, Б2, Б3.

Таблица 16

Используя таблицу 16 составим выражение Щ_в.

Щ_n у нас есть, это -

Опишем вертикальные ряды, -

			-24		-24
		-24		-48		-72
	-33		-57		-105		-177,

			-24		-24
		-24		-48		-72
	-9		-33		-81		-153,

			-24		-24
		-24		-48		-72
	31		7		-41		-113,

			-24		-24
		-24		-48		-72
	87		63		15		-57,

Опишем свободные члены, -

			16		16
		24		40		56
	-30		-6		34		90,

Введём обозначение, -

Составим полное выражение, и это будет Щ_в, -

Составим уравнение Щ_в=Щ_n,

После сокращений, полученное уравнение подготовим к избавлению от радикала.

Члены уравнения сократим на общий множитель «2».

Возведём в квадрат, -

Двухчлен х-у возводим в степень и производим упрощения, в результате получим, -

(8)

Получено уравнение (8), вместо ожидаемого уравнения (7).

Сделаем следующее, - из уравнений (7) и (8) образуем систему уравнений.

Из уравнения (7) имеем, -

В уравнении (8) избавимся от переменного х.

Сделаем заготовки, -

Введём обозначение, -

Полученные заготовки подставим в уравнение (8), получим, -

ибо всё сократилось.

Рассмотрим уравнение (7) при следующих условиях, - х-чётное число, у-нечётное число, х>у. Гарантированное отсутствие решений.

В уравнение (7) введём новые переменные.

Сократим на наименьшее переменное

Из таблицы 14 создадим матрицу с КС х-нечётные, у-чётные числа. Нормируем х=2, 4, 6, 8,... к натуральному ряду и сразу разместим новую КС с целью нахождения Щ_в.

Таблица 17

Опишем вертикальные ряды, -

			-24		-24
		-36		-60		-84
	-48		-84		-144		-228,

			-24		-24
		-36		-60		-84
	-32		-68		-128		-212,

			-24		-24
		-36		-60		-84
	0		-36		-96		-180,

			-24		-24
		-36		-60		-84
	48		12		-48		-132,

Опишем свободные члены, -

			16		16
		16		32		48
	-36		-20		12		60,

Введём обозначение, -

Составим полное выражение, и это будет Щ_в, -

Составим уравнение Щ_в=Щ_n,

После сокращения коэффициентов на «2» получим, -

Подготовим уравнение к избавлению от радикала, -

Возведём обе части уравнения в квадрат, -

После упрощений, -

(9)

Сравним уравнения (9) с уравнением (8). Конечным результатом будет 0=0.

Условия АРДУ страхуют друг друга.

Сделаем предварительный вывод.

Для Диофантовых уравнений с двумя переменными научились составлять в пару другое уравнение. Решая в системе эти два уравнения до сих пор получали соотношение 0=0, и это независимо от условий АРДУ. Соотношение 0=0 и должно получиться и вот по какой причине, для примеров рассмотренных выше.

И вообще для уравнений, когда число решений больше степени неизвестных, входящих в это уравнение. При решении системы уравнений должно получиться однородное уравнение. Имеем, это однородное уравнение степени «n» не может иметь число решений m>n, - т.е. запрет на существование однородного уравнения при условии m>n. Поэтому метод и скидывает нам 0=0.

Возникает предположение, что при условии m≤n можно находить решения Диофантовых уравнений с двумя переменными. Хотя это утверждение требует проверки. Если решений у этих уравнений нет вообще, тогда должно получиться однородное уравнение не имеющее решений. С последующей проблемой, - не умением на настоящий день работать с однородными уравнениями больших степеней. Подтвердим возникшие предположения примерами.

Рассмотрим уравнение, -

(10)

Рассмотрим вариант при х и у чётные числа и х>у.

Введём в уравнение (10) новые переменные.

Сократим на меньшее переменное , -

Имеем, -

 тогда, -

Для уравнения (10) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 18

Для получения Щ_в на матрицу таблицы 18 натянем соответствующую КС, уже нормированную.

Таблица 19

Опишем вертикальные ряды, -

			16		16
		24		40		56
	9		33		73		129,

			16		16
		24		40		56
	21		45		85		141,

			16		16
		24		40		56
	41		65		105		161,

			16		16
		24		40		56
	69		93		133		189,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		12		20		28
	1		13		33		61,

Составим полное выражение, и это будет Щ_в, -

Составим уравнение Щ_в=Щ_n, -

После упрощений, -

Возведём в квадрат, -

После упрощений, -

(11)

В полученном уравнении избавимся от х.

Из уравнения (10) имеем, -

Для уравнения (11) припасём заготовки, -

Уравнение (11) примет вид, -

После сокращений, - 0=0.

Уравнение (10) имеет решение х=±1, у=±1, других нет, - тем не менее 0=0, для условий АРДУ х и у чётные числа и х>у.

Решим уравнение (10) при условии из АРДУ х,у - числа нечётные и х>у. У нас х=у, по АРДУ на такие мелочи внимание не обращают.

Введём в уравнение (10) новые переменные, -

Сократим на меньшее переменное , -

Имеем, -

 тогда, -

Для нечётных х, у в уравнении (10) составим матрицу, -

Таблица 20

Для матрицы таблицы (20) составим новую нормированную КС.

Таблица 21

Опишем вертикальные ряды, -

			16		16
		16		32		48
	0		16		48		96,

			16		16
		16		32		48
	8		24		56		104,

			16		16
		16		32		48
	24		40		72		120,

			16		16
		16		32		48
	48		64		96		144,

Опишем свободные члены, -

			8		8
		8		16		24
	-2		6		22		46,

Составим полное выражение, и это будет Щ_в, -

У нас, -

Составим уравнение Щ_в=Щ_n, -

После сокращений, -

Полученное уравнение у нас уже было, - это уравнение (11).

В итоге получим после ухищерений 0 = 0. Лишний раз убедились, что АРДУ страхует друг друга.

Рассмотрим уравнение, -

(13)

Рассмотрим вариант при х,у - числа чётные и х>у.

Введём в уравнение (13) новые переменные, -

Сократим на меньшее переменное , -

Имеем, -

 тогда, -

Для уравнения (13) распишем матрицу при х и у чётных числах, -

Таблица 22

Для получения Щ_в на матрицу таблицы 22 натянем соответствующую КС.

Таблица 23

Опишем вертикальные ряды, -

			16		16
		24		40		56
	-85		-61		-21		35,

			16		16
		24		40		56
	-61		-37		3		59,

			16		16
		24		40		56
	-21		3		43		99,

			16		16
		24		40		56
	35		59		99		155,

Опишем свободные члены, -

			16		16
		24		40		56
	-93		-69		-29		27,

Составим полное выражение, и это будет Щ_в, -

Составим уравнение Щ_в=Щ_n, -

После упрощений, -

Возведём в квадрат с целью избавления от радикала, -

После упрощений, -

(14)

В уравнении (14) избавимся от х.

Из уравнения (13) имеем, -

Для уравнения (14) припасём заготовки, -

Уравнение (14) примет вид, -

После сокращений, -

Поскольку у≠0, имеем -

Нет решений в целых числах, и из этого следует, что нет решений в целых числах у уравнения (13).

Заключение

Данная тема находится в начале изучения и более того, внедриться в неё глубоко навряд ли смогу. Читатель, если появятся вопросы, отвечай на них сам.

Разрабатывалась эта тема для следующей задачи, - пусть есть последовательность чисел степенного ряда и член этой последовательности. Есть возможность с использованием построения алгебраической трапеции из ограниченного количества чисел ряда этой последовательности составить формулу для любого числа этой последовательности, -  И далее появляется возможность нащупать наличие в этой последовательности закономерностей, ну, скажем, есть ли среди чисел этой последовательности числа «n²», т.е. требуется составить формулу и вперёд. А можно составить и такую формулу или такую,

И если определяемая закономерность присутствует в последовательности чисел, то её наличие будет определено при помощи ограниченного количества членов заданного ряда чисел.

У данной темы остались открытыми следующие вопросы, -

а - всегда ли условия АРДУ страхуют друг друга?

б - есть ли возможность находить решения Диофантовых уравнений?,

в - всегда ли Щ_n находятся сменой коэффициентов при неизвестных?