Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Аннотация

Актуальность: К решениям иррациональных уравнений приводят многие задачи физики, химии, биологии, социологии и экологии. Поэтому важно изучить различные методы решений иррациональных уравенний.

Цель: Изучение методов решений иррациональных уравнений.

Задачи:

1.      Изучить теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений, равносильностью преобразований, методами решения иррациональных уравнений;

2.      Рассмотреть основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений;

.        Составить сборник задач с решениями иррациональных уравнений, который может быть использован при изучении данной темы.

Содержание

Введение

Решение иррациональных уравнений

Метод замены переменных

Линейные комбинации двух и более радикалов

Уравнения с одним радикалом вида

Умножение на сопряженное выражение

Метод решения уравнений путем нахождения и исследования ОДЗ

Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала

Сборник задач

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения, так как в школе им уделяют достаточно мало внимания.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

·        в большинстве случаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных уравнений и неравенств;

·        при решении уравнений и неравенств данного вида приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным данному, вследствие чего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения.

Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать иррациональные уравнения, часто допускают ошибки при их решении. Однако задачи по теме "Иррациональные уравнения и встречаются на вступительных экзаменах, и они довольно часто становятся "камнем преткновения".

иррациональное уравнение радикал переменная

Решение иррациональных уравнений

Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала. Как правило, решение иррациональных уравнений связано с возведением в степень обеих его частей. При этом если обе части уравнения возвести в нечетную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Если же обе части возвести в четную степень, то в общем случае получим уравнение, являющееся следствием исходного.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используют следующие правила преобразований уравнения в равносильное ему:

а) перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

б) обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от 0 число;

в) уравнение  можно заменить равносильной системой  или решить f (x) =0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

Метод замены переменных

Еще одним часто встречающимся методом преобразования уравнения является метод замены переменных. Для уравнений этот метод состоит в следующем: данное уравнение приводят к виду g (f (x)) =0, где z=g (f (x)) - сложная функция, являющаяся композицией двух функций y=f (x) и z=g (y). Если y=y₁; y=y₂; …y=y_n; все корни уравнения g (x) =0,f (x) =y_1, f (x) =y_2, то g (f (x)) =0  ……., f (x) =y_n

Пример 1.

Решить уравнение:

.

Решение:

    , применяя замену , уравнение можно переписать в виде равносильной системы:

Обратная замена:

Ответ: - 7; 2

Линейные комбинации двух и более радикалов

Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил:

.        указать область допустимых значений уравнения

2.      распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными

.        только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение: .

Решение:

Еще одно правило равносильного перехода:

Вернемся к решению нашего уравнения с учетом рассмотренного перехода:

Ответ: 1,5

Пример 3.

Решить уравнение:

.

Решение:

Заметим, что x=4/15 принадлежит ОДЗ уравнения, но не удовлетворяет условию , возникшему при втором возведении в квадрат. Таким образом, делая равносильные переходы на каждом этапе решения уравнения, мы внимательно отслеживаем промежутки, в которых должны находиться корни уравнения. Корни, которые не попадают в указанные промежутки, мы отбрасываем, как посторонние.

Ответ: 1

Уравнения с одним радикалом вида

Здесь в правой части выражение g (x) может принимать как отрицательные, так и положительные значения. Возведение в квадрат является равносильным преобразованием, если g (x) . Если g (x) <0, то уравнение решений не имеет.  ; (условие f (x)  на область допустимых значений не включается в систему, оно проверяется автоматически, так как правая часть уравнения системы неотрицательна).

На что обратить внимание: часто учащиеся начинают решение с определения области допустимых значений и записывают: ОДЗ:

 - это неправильная формулировка условий.

Пример 4.

Решить уравнение:

.

Решение:

        x=3.

Ответ: 3

Пример 5.

Решить уравнение:

.

Решение:   xǾ, не имеет решения, так как по определению арифметического квадратного корня:    - это неотрицательное число, квадрат которого равен a, a-2<0.

Ответ: решений нет

Умножение на сопряженное выражение

Умножением на сопряженное выражение часто пользуются, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для решения иррациональных уравнений также можно использовать умножение на сопряженное выражение, но обязательно нужно помнить о том, что мы получаем уравнение-следствие, поэтому необходима проверка корней.

Пример 6.

Решить уравнение:

.

Решение:

Помножим исходное уравнение на сопряженное выражение

Проверка:

 .

x=9 .

 .

Проверка показала, что все решения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 6; 7,5; 9

Метод решения уравнений путем нахождения и исследования ОДЗ

Следует объяснить учащимся, что если уравнение кажется на первый взгляд достаточно сложным, то следует начать его решения с нахождения ОДЗ.

Пример 7.

Решить уравнение:

.

Решение:

ОДЗ:

Область допустимых значений состоит из единственного значения. Проверим, является ли это значение корнем уравнения.

.

Следовательно, x=1 корень нашего уравнения.

Ответ: 1

Метод решения уравнений путем выделения полных квадратов под знаком радикала

Пример 8.

Решить уравнение:

.

Решение:

Заметим, что подкоренные выражения представляют собой полные квадраты. Действительно:

Напомним, что , пользуясь этим равенством, получим: . Пусть . Тогда уравнение примет вид:

Вернемся к замене:

Ответ: .

Сборник задач

Пример 1.

Решить уравнение:

.

Решение:   xǾ, не имеет решения, так как по определению арифметического квадратного корня:    - это неотрицательное число, квадрат которого равен a, a-2<0.

Ответ: решений нет

Пример 2.

Решить уравнение:

  x+8= (-5) ³  x+8= - 125  x= - 133.

Ответ: - 133.

Пример 3.

Решить уравнение:

.

Решение:     , применяя замену , уравнение можно переписать в виде равносильной системы:

Обратная замена:

Ответ: - 7; 2

Пример 4.

Решить уравнение:

.

Решение:

Подставляя их в неравенство, мы гораздо быстрее осуществим отбор, чем, решая это неравенство, , следовательно, x=0 не удовлетворяет нашему условию, , следовательно, x=2 удовлетворяет нашему условию, , следовательно, x=-2 не удовлетворяет нашему условию.

Ответ: 2

Пример 5.

Решить уравнение:

.

Решение:

Заметим, что x=4/15 принадлежит ОДЗ уравнения, но не удовлетворяет условию , возникшему при втором возведении в квадрат. Таким образом, делая равносильные переходы на каждом этапе решения уравнения, мы внимательно отслеживаем промежутки, в которых должны находиться корни уравнения.

Корни, которые не попадают в указанные промежутки, мы отбрасываем, как посторонние.

Ответ: 1

Пример 6.

Решить уравнение:

.

Решение:

ОДЗ:

Область допустимых значений состоит из единственного значения. Проверим, является ли это значение корнем уравнения.

Следовательно, x=1 корень нашего уравнения.

Ответ: 1

Пример 7.

Решить уравнение:

.

Решение:

Заметим, что подкоренные выражения представляют собой полные квадраты. Действительно:

Напомним, что , пользуясь этим равенством, получим: . Пусть . Тогда уравнение примет вид:

Вернемся к замене:

Ответ:

Пример 8.

Решить уравнение:

.

Решение:

Помножим исходное уравнение на сопряженное выражение

Проверка:

 .

x=9 .

 .

Проверка показала, что все решения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 6; 7,5; 9

Пример 9.

Решить уравнение:

.

Решение:

Пусть . Тогда .

Наше исходное уравнение примет вид:

Решим второе уравнение системы:

Итак, имеем:

.

Ответ: 3

Пример 10.

Решить уравнение:

.

Решение:

Еще одно правило равносильного перехода:

Вернемся к решению нашего уравнения с учетом рассмотренного перехода:

Ответ: 1,5

Решить уравнения:

.

Решение:

x=-2+, Так как - 2-<1.

Ответ: - 2+

Заключение

В результате работы были решены следующие задачи:

1)      Изучена учебно-методическая литература по данной теме;

2)      Рассмотрены основные методы и приемы решения различных иррациональных уравнений;

3)      Подобраны примеры решения иррациональных уравнений для демонстрации излагаемого теоретического материала;

4)      Составлен сборник иррациональных уравнений с решениями, который может быть использован для изучений данной темы другими учащимися.

Список использованной литературы

1.       Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов [Текст]: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики М.Л. Галицкий - М.: Просвещение, 2009. - 271с.

2.      Григорьев А.М. Иррациональные уравнения [Текст] / А.М. Григорьев // Квант. - 1972. - №1. - С.46-49.

.        Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. - 2002. - №15. - С.13-14.

.        Шарова Л.И. Уравнения и неравенства [Текст]: пособие для подготовительных отделений / Л.И. Шарова - Киев: Вища школа, 1981. - 280 с.

.        Егоров А. Иррациональные неравенства [Текст] / А Егоров // Математика. Первое сентября. - 2012. - №17. - С.13-14.

.        Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2014. - 315 с.

.        Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс [Текст]: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2010. - 239 с.