Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

Вид работы:

Курсовая работа (т)
Предмет:

Математика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

135,42 Кб
Опубликовано:

2016-05-18

Все курсовые работы по математике

Скачать курсовую работу Читать текст online Заказать курсовую
*Помощь в написании! Посмотреть все курсовые работы

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РФ (МИИТ)

Институт управления и информационных технологий

Кафедра «Прикладная математика-1»

Курсовая работа по дисциплине

«Функциональному анализу»

на тему:

«Выпуклые множества и выпуклые функционалы. Функционал Минковского. Теорема Хана-Банаха»

Выполнила: студентка группы УПМ-311

Гафарова Сабина

Проверил: проф. Гапошкин В.Ф.

Москва 2015

СОДЕРЖАНИЕ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.Выпуклые множества

2.Выпуклый функционал

3. Функционал Минковского

4. Теорема Хана-Банаха

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Выпуклые множества

Пусть X-линейное вещественное пространство.

Определение 1.1. Множество C X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками x⁽¹⁾ и x⁽²⁾ оно содержит и весь отрезок. (т.е. ρ(x⁽¹⁾, x⁽²⁾))

На рисунке изображены 2 множества на плоскости R² C-выпуклое, а С₁-нет.

Совокупность всех выпуклых множеств из линейного пространства X обозначается - CONV(X)

Рассмотрим множество С, такое, что С - множество точек, а x - любая фиксированная точка этого пространства. Расстояние от x до С обозначим ρ(x, С). Тогда ρ(x, С) - есть точная нижняя грань расстояний от х до всевозможных точек С. (если C Е^m, Е^m - m-мерное Евклидовое пространство). Итак, получаем:

Множество ρ(x,y) всегда ограничено снизу, для любого y∊С, ρ(x,y)=0.

Лемма: Пусть С - замкнутое множество из рефлексивного банахового пространства X и пусть для любых x₁, x₂ ∈ C существует число α = α(x₁, x₂) ∈[0, 1], вообще говоря, зависящее от x₁ и x₂, и такое, что:

Тогда множество С - выпукло.

Доказательство: 1) Допустим, противное, т.е. множество C невыпукло. Тогда найдутся точки x₁, x₂ ∈ C, x₁ ≠ x₂ и число α₀ ∈[0, 1] такие, что:

Положим

Эти множества замкнуты (т.к. пересечение замкнутых множеств), причем x₀∉D_i, i=1,2, поскольку x₀∉C. Кроме того, они очевидно ограничены.

) Далее, из свойств рефлексивного банахова пространства вытекает, что существуют элементы z₁ ∈ D₁ и z₂ ∈ D₂ такие, что:

Из построения D₁и D₂ следует, что, в частности, z_i ∈ C, i = 1, 2.

) При этом на полуинтервалах (z₁, x₀] и [x₀, z₂) нет точек из C (в соответствие с (**)). Так что: (z₁,x₀)∩C=ᴓ ; (x₀,z₂)∩C=ᴓ

Таким образом, z₁, z₂ ∈ C, но внутри отрезка [z₁, z₂] нет ни одной точки из C, что противоречит условию (*). Следовательно, множество C выпукло.

Определение 1.2. Пересечение всевозможных выпуклых множеств С, содержит данное множество М, называется выпуклой оболочкой множества М и обозначается:

Определение 1.3. Пусть x¹,…,xⁿ - элементы пространства X. Тогда вектор - называется линейной оболочкой или выпуклой комбинацией x¹,…,xⁿ, если в (1.2) соответственно:

а) - любые действительные числа.

б)

Другими словами, для выпуклого множества С, в частности, имеем:

Где векторы x¹,x²,…,xⁿ∊X.

Рассмотрим теперь произвольное множество M ⊂ X.

Свойство 1.1. Выпуклая оболочка множества М состоит из всех выпуклых комбинаций элементов из М.

Доказательство: Рассмотрим выпуклую оболочку М.

- множество всех выпуклых комбинаций точек из М. Покажем, что М⊂М.

Пусть Тогда для ƛ∊[0;1] выпуклая комбинация точек y¹ и y²

, а эта последняя сумма из (***) является выпуклой комбинацией точек ; поскольку имеет место цепочка равенств:

итак, М⊂М и М - выпукло. Следовательно, co M⊂ M.

С другой стороны, если y⊂М, то y является выпуклой комбинацией точек из М, и поэтому М=co M.

Свойство 1.1. Множество М выпукло тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей выпуклой оболочкой.

Значит, всякая точка из co М может быть представлена в виде выпуклой комбинации некоторого конечного числа точек (которое может быть достаточно большим).

2. Выпуклый функционал

Определение 2.1. Выпуклым функционалом называется функционал, определенный на векторном линейном пространстве и обладающий тем свойством, что его надграфик является выпуклым множеством.

Функционал f, не принимающий значений, равных -∞ на выпуклом множестве M, будет выпуклым на M тогда и только тогда, когда выполняется:

При обратном знаке неравенства функционал f называется вогнутым.

Примерами выпуклых функционалов является:

♦ норма;

♦ полунорма;

♦ линейный функционал;

♦ функционал Минковского выпуклого и симметричного множества;

Пусть функционалы f и g - определены на множестве М. f,g - выпуклые функционалы. Введем число α, такое что α > 0. Операции:

Сложение:

Умножение:

Взятие верхней грани:

Инфимальная конволюция:

Выпуклый функционал, ограниченный сверху в окрестности некоторой точки х, является непрерывным в этой точке. Если выпуклый функционал конечен в некоторой точке х, то он имеет производную по любому направлению (конечную или бесконечную) в этой точке. Замкнутые выпуклые функционалы (т. е. функционалы с выпуклыми и замкнутыми надграфиками) в локально выпуклых линейных топологических пространствах допускают двойственное описание: они являются верхними гранями аффинных функций, их не превосходящих. Такая двойственность позволяет связать с каждым выпуклым функционалом двойственный объект, сопряженный функционал:

Функционал - f заданный на выпуклом множестве М, называется строго выпуклым, если неравенство (*) перейдет в строгий вид, при этом x ≠ y, α∊(0;1).

Свойства строго выпуклых функционалов.

Строго выпуклый функционал имеет не более одной точки локального минимум в М и ни одной точки локального максимума. Точки глобального максимума строго выпуклого функционала, определенного на выпуклом компакте, лежат на границе этого компакта. Глобальный минимум функционала f имеет в стационарной точке (если она существует).

3. Функционал Минковского

В функциональном анализе, функционал Минковского использует линейную структуру пространства для введения топологии на нём.

Для любого векторного пространства X (вещественного или комплексного) и его подмножества М определим функционал Минковского.

(предполагается, что 0∊M и множество {r>0| x∊ rM} непустое).

• Если M - выпукло и симметрично, то:

• Если M - сбалансированное множество, то есть αM⊂M для ∀α, |α|<1.

Свойство 3.1. Функционал Минковского неотрицателен и сублинейнен.

Свойство 3.2. Справедливы следующие включения:

Свойство 3.3. Если X - линейное топологическое пространство, то μ(x|A) - непрервна в точке 0 тогда и только тогда, когда 0∊inf A.

Доказательство:

.1. Если μ(x|A) или μ(y|A) < +∞, по определению точной нижней грани ∀ε>0,∃t и ∃s такие, что:

В силу выпуклости A:

Поскольку , то в силу (*):

так как ε >0 и - суббадитивны.

Для α >0, имеем:

- положительно однородный.

Таким образом - является сублинейным. Не отрицательность функционала Минковского следует из определения.

3.2. Если x ∊ A, то очевидно Поэтому включение очевидно. Пусть теперь x таково, что μ(x|A)<1. Тогда ∃t ∊ (0;1), такое, что . Так как 0 ∊ A и A выпукло, то

так что и первое включение в (**) также выполнено.

3.3. Пусть X - линейное топологическое пространство. Тогда μ(x|A) непрерывен в 0 в том и только в том случае, когда:

Рассмотрим окрестность U₁:U(ε)=εU₁. Тогда ввиду положительной однородности μ(x|A) из предыдущего неравенства, будем иметь:

. Следовательно, из 3.2. будем иметь U₁⊂ A, а U - окрестность нуля.

Свойство 3.4. пусть X^*- множество линейных функционалов на X. Для того, чтобы функционал x^*∊ X^*на линейном топологическом пространстве X был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы существовала сублинейная функция, непрерывная в нуле. p(x), мажорирующая x^*:

Доказательство:

1) Необходимость устанавливается непосредственно, если положить p(x)=|<x^*,x>|.

) Достаточность. Пусть (***) - верна, где p(x) сублинейная и непрерывная функция в нуле. Тогда ∀ε>0, ∃U_ε 0 такая, что:

Поскольку 0∊U_ε и 0=(-0)∊(-U_ε), то ∃ окрестность нуля W такая, что 0 ∊W⊂ ⊂ U_ε∩(-U_ε). Если x ∊W, то x ∊ U_ε и (-x) ∊W, т.е. функционал x^*непрерывен в нуле. Остается заметить, что линейный функционал, непрерывный в одной точке, непрерывен на X.

4. Теорема Хана-Банаха

Теорема 4.1. Пусть L - действительное линейное пространство и L₀ - некоторое подпространство L. f₀ - некоторый линейный функционал и пусть он задан на L₀. Линейный функционал f - определен на всем пространстве L. f - продолжение функционала, если f(x)=f₀(x), ∀x ∊ L₀.

Теорема 4.2. Пусть p - однородный выпуклый функционал, определенный на действительном линейном пространстве L, и пусть L₀ - линейное пространство в L. Если f₀ - линейный функционал на L₀, подчиненный функционалу p(x) на L₀ т.е. если на L₀f₀(x)≤ p(x), то f₀.может быть продолжен до линейного функционала f на L, подчиненного p(x) на всем L.

Доказательство: Покажем, что если L₀≠ L, то функционал f₀ можно продолжить с L₀ на некоторое большое подпространство L’ с сохранением условия f₀(x)≤ p(x). Действительно, пусть z - произвольный элемент из L, z ∉ L₀ и L’ - подпространство, порожденное L₀и z. Кждый элемент из L’ имеет вид: .

Если f’ - искомое продолжение функционала f₀ на L’, то или, если положить .

Теперь выбираем c так, чтобы сохранить на L’ условие подчинения f₀(x)≤ p(x), т.е. ∀x ∊ L₀ и ∀t (A - действительное) выполнялось: f₀(x)+tc≤ p(x+tz). При t > 0 оно равносильно: , или , а при t > 0: или .

Покажем, что всегда ∃c, удовлетворяющее этим двум условиям. Пусть и - произвольные элементы из L_0, тогда:

Это вытекает из неравенства:

Положим . Из (*) , т.к. и - произвольные. Выбрав c такое, что , определим на формулой . Этот функционал удовлетворяет условиям , ∀x ∊ L₀.

Итак, мы показали, что - определен на некотором подпространстве L₀⊂ L и удовлетворяет на L₀ условию подчинения. Значит - можно продлить (с сохранением условия) на некоторое большое подпространство .

Если в L можно выбрать счетную систему элементов x₁,x₂,…,x_n,…, порождающую все L, то функционал на L строим по индукции, рассматривая возрастающую цепочку подпространств:

- минимальное линейное подпространство L, содержащие и . Так как каждый элемент x ∊ L. В общем случае, когда счётного множества порождающего L не существует по Лемме Цорна.

Теоремы отделимости.

Пусть X - линейное топологическое пространство, X^* - сопряженное к нему.

Определение 4.1. Говорят, что функционал x^*∈ X^* разделяет множества A и B, A ⊂ X, B ⊂ X, если существует γ ∈ R, такое что

и строго разделяет A и B, если существует такое γ, что:

Геометрически неравенство (**) означает, что гиперплоскость

отделяет множества A и B друг от друга в том смысле, что A лежит в одном полупространстве

а B - в другом

Неравенство же (***) означает, что при этом γ можно выбрать таким образом, чтобы A и B лежали внутри соответствующих полупространств и не имели общих точек с H(x^*, γ).

Теорема 4.3.( об отделимости)

Пусть A и B - выпуклые непустые подмножества пространства X, int A ≠ ∅ и, кроме того,

(♦) int A ∩ B = ∅.

Тогда существует нетривиальный функционал x^* ∈ X^*, разделяющий A и B.

Доказательство:

а) Поскольку int A ≠ ∅ и B ≠ ∅ то существуют a₀ ∈ int A и b₀ ∈ B. Тогда множество

является непустым выпуклым множеством, содержащим 0.

Покажем, что это множество открыто. Действительно, пусть x ∈ C. Тогда x = a - a₀ − b + b₀, a ∈ int A, b ∈ B. Поэтому существует окрестность U = U(a) точки a такая, что U ⊂ int A. Тогда x ∈ V = U - a₀ − b + b₀ ⊂ C.) Кроме того, точка c = b₀−a₀ ∉ C. Действительно, в противном случае существовали бы точки a ∈ int A и b ∈ B, для которых b₀ − a₀= a − a₀− b + b₀ ∈ C.

Отсюда a − b = 0 или a = b ∈ (int A) ∩ B, что противоречит (♦).) Обозначим через p(x) функцию Минковского множества C. Тогда p(x) - сублинейная и непрерывная в точке 0 функция. Кроме того, p(x) ≤ 1 для любого x ∈ C.) На подпространстве

определим функционал l(·) по правилу:

Покажем, что l(·) - линейный функционал. Действительно,

Покажем теперь, что функционал l(·) мажорируется функцией Минковского p(·) множества C.

Если α > 0, то <l, αc> = αp(c) = p(αc). Если же α ≤ 0, то, поскольку p(c) ≥ 0 <l, αc> = αp(c) ≤ 0 ≤ p(αc).

Таким образом, <l, x> ≤ p(x) ∀x ∈ L. Тогда по теореме Хана- Банаха l(·) можно продолжить до линейного функционала Λ ⊂ X:

Поскольку p(·) непрерывна в нуле, то из () следует непрерывность функционала Λ (из <x^*, x> ≤ p(x) ∀ x ∈ X.) и Λ ⊂ X^*.) Для любого a ∈ int A и для любого b ∈ B имеем: <Λ, a - b> = <Λ, a - a₀ − b + b₀> + <Λ, a₀ - b₀> (),() ≤ ≤ p(a - a₀ − b + b₀) − <l, a₀ - b₀> () ≤ 1 − p(b₀− a₀), поскольку (a - a₀ − b + b₀) ∈ C. Итак, для любого a ∈ int A и для любого b ∈ B.

) Покажем теперь, что для любого t из полуинтервала (0, 1] точка c не может принадлежать C. В самом деле, если бы такое включение имело место, то, поскольку 0 ∈ C и C выпукло, мы бы получили: . Что невозможно, поэтому:

Тогда из () следует, что для любых a ∈ int A и b ∈ B < Λ, a-b> ≤ 1- p(≤ 0. Поскольку в полученном неравенстве: , a ∈ int A, b ∈ B переменные a и b независимы, то:

. Учитывая, что:

. получаем требуемое.

Кроме того, из () и ():

. так что Λ ≠ 0. Таким образом, Λ нетривиален и разделяет A и B.

Теорема 4.4.( об отделимости)

Пусть X - локально выпуклое топологическое пространство, A - непустое замкнутое выпуклое подмножество X, и существует точка z ∈ X, не принадлежащая A. Тогда множество A и точка z строго разделимы.

Доказательство:

Поскольку z ∉ A и A замкнуто, то существует окрестность U = U(z) точки z такая, что A ∩ U = ∅. Ввиду локальной выпуклости X эту окрестность можно считать выпуклой. Тогда (по теореме 4.3) отделимости существует ненулевой функционал x^*, разделяющий A и U. Другими словами:

Остается заметить, что: , поскольку нижняя грань ненулевого линейного функционала не может достигаться во внутренней точке выпуклого множества.

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Исходя из изложенного теоретического курса (в 1 части), мною были решены следующие задачи:

Пример 1. В пространстве R² с элементами на подпространстве

задан линейный функционал . Доказать, что существует единственное продолжение f на все R² с сохранением нормы и найти это продолжение.

Решение:

По теореме Хана-Банаха для всякого ограниченного линейного функционала f, заданного на подпространстве L, существует его продолжение на все X с сохранением нормы. В пространстве R² линейный ограниченный функционал имеет вид , тогда на подпространстве L, где , имеем . Поскольку мы строим продолжение с сохранением нормы, то

. (по теореме Рисса). Вычислим . Покажем, что в R² задана, Евклидова норма, тогда на подпространстве L:

, а

т.е.; Итак ; Систем имеет единственное решение:

Значит и продолжение единственно: .

Пример 2. Доказать выпуклость множества

Решение:

Пусть , то есть и . Тогда имеем:

Значит , т.е. множество выпукло.

Пример 3. Записать уравнение гиперплоскости, к множеству в точке .

Решение:

Функция из - строго выпукла, т.к. , а значит множество выпукло. Следовательно опорной к плоскости является касательная плоскость множества в точке . → . По условию подставим и получим: