Статистическое исследование часового газопотребления

Округлять желательно до 3 знаков после запятой, т.к. это характеризует целое количество м3 газа, потребляемым в различные периоды времени. При большем количестве знаков после запятой могут возникнуть проблемы с определением моды.

3. Репрезентативность выборки и ее проверка

Между временным рядом и случайной выборкой существуют принципиальные различия. Во-первых, элементы случайной выборки являются статистически независимыми, а элементы временного ряда - нет, т.к. во временном ряде можно проследить тенденцию развития и прогнозировать значения на будущее. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными. В-третьих, у случайной выборки математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение являются постоянными, в отличии от временного ряда, который отражает динамику развития какого-либо признака во времени, в связи с чем могут меняться во времени и числовые характеристики.

Репрезентативность выборки - это соответствие характеристик выборки характеристикам генеральной совокупности. Репрезентативность выборки определяет на сколько можно переносить выводы, сделанные по исследуемой выборке, на генеральную совокупность. Для обеспечения высокой репрезентативности выборки необходимо обеспечить большой объем выборки и наличие в ней, элементов из всех групп генеральной совокупности. Для достижения высокой репрезентативности временного ряда необходимо анализировать достаточно продолжительный объем данных, изменяющихся во времени, т.к. например, наличие данные о часовом газопотреблении за 1 января в течение нескольких лет не позволит прогнозировать объем газопотребления за другие даты. Т.е. для обеспечения репрезентативности временного ряда необходимо обеспечить наличие ряда наблюдений, в различные периоды времени.

Репрезентативность выборки определяется в первую очередь ее объемом. К тому же отбор показателей должен осуществляться из однородных групп, причем вероятность попадания любого элемента генеральной совокупности в выборку должна быть одинаковой для всех элементов. В свою очередь на объем выборки влияет способ осуществления отбора. Объем выборки определяется рядом факторов: объем генеральной совокупности, t-критерий Стьюдента, дисперсия выборки, предельная ошибка выборки и т.д. В случае временного ряда репрезентативность достигается наличием информации по разным временным периодам.

На мой взгляд, при исследовании всего временного ряда в целом удобно осуществлять типический отбор, разбив генеральную совокупность на группы, соответствующие одним суткам. И затем для каждых суток по дате выберем случайным образом одно из часовых потреблений. По полученному ряду нельзя будет судить о суточных колебаниях газопотребления, но общую тенденцию проследить будет возможно.

В нашем же случае, при исследовании относительно стабильной области газопотребления, наоборот, больший интерес составляют суточные колебания, поэтому, выборку будем осуществлять из подгрупп соответствующих одному времени потребления.

Таким образом, выберем в качестве базовой 25%-ю выборку генеральной совокупности, т.е. выберем из каждой группы часовых значений 0,25*52=13 значений случайным образом. Пронумеруем все даты (52 шт.), и с помощью функции СЛУЧМЕЖДУ(1;52) определим по 13 значений каждой часовой группы.

Рисунок 18 - Определение номеров элементов, включаемых в выборку

Т.к. функция СЛУЧМЕЖДУ() пересчитывает значения после каждого операции, сохраним найденные значения в формате чисел без формулы.

Рисунок 19 - Формирование 25%-й выборки

Переместим сформированную выборку на отдельный лист.

Рисунок 20 - Сформированная базовая выборка

Основными характеристиками типической выборки являются объем выборки, выборочная средняя, выборочная дисперсия, средняя из внутригрупповых дисперсий, а также средняя и предельная ошибки выборки. В виду того, что все группы равны по числу наблюдений, среднюю из внутригрупповых дисперсий рассчитываем как среднюю арифметическую простую. Внутригрупповые и выборочную дисперсии найдем с помощью функции ДИСП().

Для типического повторного отбора средняя ошибка равна:

Для типического повторного отбора предельная ошибка равна:

Значение t-критерия Стьюдента находится по специальным таблицам. При вероятности 99,7% t=3.

Таблица 6 - Характеристики базовой выборки

Разделим базовую выборку на две подвыборки: первая будет охватывать значения от 0:00 до 11:00 включительно, вторая от 12:00 до 23:00 включительно. Гистограммы будем строить по алгоритму, рассмотренному на прошлом занятии. Для построения гистограмм определим количество и ширину интервалов для базовой выборки, а для подвыборок частоты будем определять по границам интервалов базовой выборки для наглядности изображения гистограмм.

Таблица 7 - Данные для построения гистограмм

Уже глядя на таблицу можно сказать о том, что законы распределения базовой выборки и подвыборок будут отличаться. Что подтверждает предположения, выдвинутые в п.1 и 2 о различиях между выборкой и временным рядом и репрезентативности данных временного ряда.

Рисунок 21 - Гистограмма по базовой выборке и по подвыборкам

Внешний вид диаграмм по базовой выборке и по подвыборкам 1 и 2 различается. В первых интервалах частоты по базовой выборке ближе к частотам подвыборки 1, в последних - подвыборки 2. Это связано с тем, что до 11:00 объем часового газопотребления меньше, чем после 11:00. Данная гистограмма прекрасно иллюстрирует различие между выборкой и временным рядом и статистическую зависимость элементов временных рядов. Законы распределения всех трех рассматриваемых элементов различны.

Найдем характеристики двух подвыборок.

Таблица 8 - Характеристики подвыборок

Выборочная средняя в первой и второй подвыборках отличаются от средней базовой выборки на -4,23% и +4,23% соответственно. Этот факт подтверждает возможность изменения характеристик во временных рядах по времени.

Выборочная дисперсия во второй подвыборке меньше дисперсии базовой выборки на 55,56%. Данное различие является очень существенным.

Сокращение объема выборки обусловлено разбиением базовой выборки на две равные части.

Ошибки выборки в двух подвыборках значительно выше ошибок базовой выборки.

Определим доверительные интервалы для математических ожиданий базовой выборки и двух подвыборок с помощью функции ДОВЕРИТ.

Таблица 9 - Определение границ доверительных интервалов для математического ожидания

Изобразим схематически доверительные вероятности для математических ожиданий трех рассматриваемых выборок.

Рисунок 22 - Схематическое изображение доверительных интервалов математических ожиданий базовой выборки и подвыборок

Доверительные интервалы не пересекаются между собой, следовательно вероятность равенства математических ожиданий базовой выборки и какой-либо из подвыборок равна 0. Рассчитаем для математического ожидания каждой подвыборки доверительный интервал, используя стандартное отклонение базовой выборки.

Таблица 10 - Расчет новых доверительных интервалов

Для первой подвыборки доверительный интервал изменился незначительно, т.к. стандартное отклонение первой подвыборки близко к стандартному отклонению базовой выборки. Для второй подвыборки доверительный интервал увеличился почти в два раза, что обусловлено аналогичным увеличением задаваемого стандартного отклонения. Расширение доверительного интервала связано с увеличением стандартного отклонения, которое характеризует разброс случайной величины относительно среднего значения. Увеличивается стандартное отклонение, следовательно, увеличивается разброс, что приводит к расширению границ доверительного интервала. Также косвенно обосновать расширение доверительного интервала возможно по правилу трех сигм, которое утверждает: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. Чем больше значение стандартного отклонения, тем шире интервал колебаний случайной величины, и следовательно, тем шире доверительный интервал для математического ожидания. Значительное увеличение ошибок выборки и отсутствие пересечений в доверительных интервалах базовой выборки и подвыборок делают данные подвыборки не репрезентативной с точки зрения исследования всего временного ряда динамики часового газопотребления. Данные подвыборки могут быть использованы для анализа и прогноза газопотребления в различное время суток с 0:00 до 11:00 и с 12:00 до 23:00. По такому же принципу можно было сформировать подвыборки и прогнозировать часовое газопотребление в стабильный период в дневное и ночное время. В главе была изучена возможность использования части временного ряда вместо целого при анализе и прогнозе. Значительное увеличение ошибок выборки и отсутствие пересечений в доверительных интервалах базовой выборки и подвыборок делают данные подвыборки не репрезентативной с точки зрения исследования всего временного ряда динамики часового газопотребления. Данные подвыборки могут быть использованы для анализа и прогноза газопотребления в различное время суток с 0:00 до 11:00 и с 12:00 до 23:00. По такому же принципу можно было сформировать подвыборки и прогнозировать часовое газопотребление в стабильный период в дневное и ночное время.

4. Цепные и базисные индексы. Абсолютные и относительные приросты

Для анализа возьмем два периода продолжительностью в 1 месяц. В качестве стабильной подвыборки выберем период 10.12.11-10.01.12, для анализа периода падения газопотребления - период с 29.03.12 до 29.04.12. Индекс роста представляет собой отношение газопотребления текущего года к газопотреблению базисного года в случае базисного индекса и к газопотреблению предшествующего отчетному периоду в случае цепного индекса.

Рисунок 23 - Расчет цепных и базисных индексов роста для относительно стабильного периода газопотребления (слева) и периода падения газопотребления (справа)

На рисунке 23, существенные различия выявить невозможно, т.к. отражены индексы роста в пределах одних суток. И относительно стабильному периоду и периоду сокращения газопотребления свойственны суточные колебания. В связи с этим цепные индексы роста в двух подвыборках различаются несущственно. Общее изменение за период лучше отражает базисный индекс роста. К концу периода в стабильной области базисный индекс составил 1,14, в области падения: 0,37 - рисунок 24.

Рисунок 24 - Цепные и базисные индексы роста в конце выбранных периодов стабильного (слева) и сокращающегося (справа) газопотребления

Существенная разница в цепном индексе роста для двух анализируемых периодов свидетельствует о изменении газопотребления в общем, без влияния суточных колебанийХарактер изменений индексов удобнее наблюдать на графике.

Рисунок 25 - Динамика индексов роста в стабильный период газопотребления

Рисунок 26 - Динамика индексов роста в период падения газопотребления

На рисунке 25 цепные и базисные индексы почти не отличаются. В течение всего периода они близки к 1,0, следовательно, уровень газопотребления, практически не меняется в данный отрезок времени. Размер суточных колебаний газопотребления также примерно одинаков на протяжении всего периода.

В период падения газопотребления цепной индекс имеет убывающую тенденцию, что подтверждает сокращение газопотребления в данный отрезок времени. К тому же к концу периода суточные колебания становятся больше, о чем можно сделать вывод из-за увеличения разброса индексов к концу периода.

Построение гистограммы с автоматическим интервалом карманов осуществляется с помощью надстройки Анализ данных/ Гистограмма [2].

Рисунок 27- Окно "Гистограмма"

В результате получим следующие гистограммы - рис.28 и 29.

Рисунок 28 - Гистограммы цепных индексов роста с автоматическим интервалом карманов

Данные гистограммы позволяют проанализировать частоты индексов роста. В период стабильного газопотребления максимальные частоты имеют интервалы от 0,99 до 1,00 и от 1,00 до 1,01. В период падения газопотребления - интервал от 0,99 до 1,01. Кроме частот по интервалам гистограммы могут позволить сделать предположение о законе распределения случайной величины.

Рисунок 29 - Гистограммы базисные индексов роста

Для периода стабильного газопотребления максимальная частота характерна для значений, близких к 1, т.е. на протяжении всего периода уровень газопотребления практически не менялся. Для периода падения газопотребления, основная часть диаграммы расположена для значений, меньших 1. Это свидетельствует о том, что в основном, в данный период цепные индексы роста меньше 1 или о том, что происходило постоянное сокращение уровня газопотребления относительно базисного.

Абсолютный прирост представляет собой разницу между двумя уровнями ряда соответствующми текущему и предыдущему периоду (цепной) или базисному (базисный прирост). Относительный прирост представляет собой разницу между соответствующим индексом роста и 1 - см. рис. 30-31.

Рисунок 30 - Расчет абсолютных и относительных приростов для области стабильного газопотребления

Рисунок 31 - Расчет абсолютных и относительных приростов уровня газопотребления для периода падения

Для анализа удобно использовать не абсолютные значения, а визуальное отображение динамики в виде графиков.Линейные графики абсолютных и относительных приростов по двум областям приведены на рисунках 32-33.

Рисунок 32 - Графики абсолютных и относительных приростов газопотребления в стабильной области

Внешний вид графиков абсолютного и относительного приростов схожи, отличается лишь размах и единицы измерения.

Рисунок 33 - Абсолютные и относительные приросты газопотребления в области падения

Общая тенденция прослеживается как на графике абсолютных, так и на графике относительных приростов. В стабильной области тренд представляет собой горизонтальную прямую, для области падающего газопотребления - наблюдается явная тенденция к сокращению уровня базисных приростов во времени.

Рисунок 34 - Гистограммы абсолютных цепных и базисных приростов для области стабильного газопотребления

В виду того, что гистограммы характеризуют область относительно стабильного газопотребления, интервал с максимальной частотой по цепным приростам близок к 0: от -0,03 тыс. м3 до 0,50 тыс.м3. Среди базисных приростов максимальной чатотой характеризуется интервал от 2,90 тыс. м3 до 3,78 тыс. м3. Аналогичные гистограммы для области падения газопотребления приведены на рисунке 35.

Рисунок 35 - Гистограммы базисного и цепного абсолютного приростов для периода падения

Для области падения газопотребления максимальной частотой характеризуется интервал от -0,73 тыс. м3 до -0,1 тыс.м3 - т.е. в период чаще проходило сокращение газопотребления. Максимальная частота по базисным приростам принадлежит интервалу от -4,7 тыс. м3 до -2,59 тыс. м3. Если по цепным приростам падающего газопотребления наблюдается тенденция постепенного возрастания, а затем убывания частоты, то по базисным приростам гистограмма имеет несколько областей возрастания и убывания.

. Сглаживание скользящей средней. Исследование коинтеграции рядов

Для сглаживания выберем в качестве подвыборки период с 15.04.12 по 29.04.12. При сглаживании методом скользящей средней уровни ряда заменяются средним значениями нескольких уровней. В случае, когда при сглаживании используется нечетное число уровней, значение уровня ряда, находящееся по середине заменяется средней арифметической простой. При четном числе уровней 2i сглаживание происходит по числу уровней 2i+1, при этом первое и последнее значение берутся в размере ½. Т.е. используется средняя хронологическая. При сглаживании ряда часть данных теряется.

Рисунок 36 - Сглаживание ряда

Для того чтобы понять, зачем необходимо сглаживание, построим на одной плоскости графики исходного и сглаженных уровней ряда, при этом охватим только тот период, в котором есть значения по всем графикам, т.е. период соответствующий 12-тизвенной сглаженной.

Рисунок 37 - Графическое изображение исходного и сглаженных уровней ряда

Как видно из графика сглаживание позволяет избавиться от резких колебаний, в нашем случае суточных, иногда они бывают случайными. С увеличением числа уровней, используемых при сглаживании график выравнивается, становится более плавным, исключаются случайные тенденции при сохранении общего тренда. Из исходной выборки, охватывающей все данные используемые при анализе, выберем 1/5. Данная подвыборка охватит 42 дня, начиная с 01.10.11. Сгладим значения данной подвыборки с шагом 24. Построим графики исходной и сглаженной подвыборок.

Рисунок 38 - График исходной и сглаженной 20%-й подвыборки

Сглаживание с шагом 24 позволяет полностью исключить влияние суточных колебаний, т.к. в сутках 24 часа. Сглаженный график отражает центральную тенденцию изменения газопотребления за период. График исходной подвыборки имеет большие отклонения относительно сглаженного, разброс значений обусловлен суточными колебаниями газопотребления. Для выполнения ряда следующих заданий выберем подвыборки соответствующие 0:00 и 1:00 часам из работы 1. Точечный график приведен

Рисунок 39 - Точечные диаграммы для двух подвыборок

Внешне разброс точек для двух данных подвыборок практически одинаков. На первый взгляд, кажется, что графики отличаются лишь тем, что значения, соответствующие 0:00 часам, немного больше значений газопотребления в 1:00 час, в связи с чем точки первой подвыборки выше второй. В виду такого совпадения, можно предположить, что коэффициент корреляции будет очень большим.

Коэффициент корреляции можно найти с помощью функции КОРРЕЛ, либо рассчитать самостоятельно по формулам.

Рисунок 40 - Подготовка данных для расчета коэффициента корреляции по формуле

Таблица 11 - Расчет коэффициента корреляции

Двумя способами было получено одно значение коэффициента корреляции, равное 0,974. Данное значение очень близко к 1, следовательно, между значениями двух подвыборок очень тесная прямая связь. Данная связь обусловлена тем, что для анализа были выбраны два рядом стоящих периода времени, а в рядах динамики всегда наблюдается статистическая зависимость соседних уровней ряда.

Для дальнейшего анализа используем две подвыборки со стабильным и падающим газопотреблением из задания 4.

Рисунок 41 - Точечные графики сгенерированных подвыборок

На первом графике точки расположены в относительно стабильной области, на втором, область характеризуется сокращением уровней ряда во времени. Найдем коэффициент корреляции с помощью встроенной функции Excel.

Рисунок 42 - Нахождение коэффициента корреляции для сгенерированных выборок

Для сгенерированных выборок коэффициент корреляции равен 0,357, следовательно, связь между значениями двух выборок слабая.

Добавим столбец-счетчик для выборки падающего газопотребления.

Рисунок 43 - Добавление столбца счетчика

Построим точечный график и найдем коэффициент корреляции времени и подвыборки.

Рисунок 44 - Точечный график области падения

Рисунок 45 - Расчет коэффициента корреляции уровней ряда и времени

Коэффициент корреляции равен -0,911, что свидетельствует о наличии тесной обратной связи между уровнем ряда и временем. Данное значение характерно для периода сокращения газопотребления.

Анализ данных позволяет строить матрицы корреляции.

Рисунок 46 - Надстройка Анализ данных Корреляция

В результате выполнения надстройкиполучим корреляционную матрицу.

Рисунок 47 - Корреляционная матрица

Чем ближе по времени подвыборки расположены друг к другу, тем выше коэффициент корреляции, а следовательно, и степень связи между значениями подвыборок. В пределах 2-3 часов связь очень сильная. минимальный коэффициент корреляции равен 0,34. Корреляционная матрица представляет собой квадратную матрицу 24*24, наименования строк и столбцов которой совпадают. На главной диагонали размещены единичные элементы, которые соответствуют корреляции между одним и тем же уровнем ряда. Выше главной диагонали элементы не отображаются, т.к. элементы матрица будут зеркально расположены относительно главной диагонали. Найдем коэффициент корреляции между медианами и матожиданиями часовых выборок.

Коэффициент корреляции между медианами и математическими ожиданиями часовых подвыборок равен 0,992, что характеризует очень сильную связь между данными показателями. Данная степень связи обусловлена тем, что медиана характеризует центральную тенденцию, аматематическое ожидание - среднее значение. В виду того что распределение близко к нормальному математическое ожидание должно находиться примерно в середине упорядоченного ряда распределения.

Функция ЕСЛИ позволяет найти выбросы для выборки, используемой в п.1. Для нахождения выбросов необходимо найти стандартное отклонение выборки (СТАНДОТКЛОН).

Рисунок 49 - Нахождение стандартного отклонения

Стандартное отклонение для столбца Газопотребление равно 9,21 тыс.м3. Для нахождения выбросов нужно проверить условие отличия наблюдения от двух соседних более чем на одно стандартное отклонение выборки. Формула для нахождения выбросов[2]: =ЕСЛИ(ИЛИ(ABS(C6-C7)>$K$3;ABS(C6-C5)>$K$3);"Выброс";""). В случае, если в данный период наблюдается выброс данных, в столбце выбросы будет выводиться слово "Выброс", в случае отсутствия выброса, ячейка останется пустой.

Рисунок 50 - Выбросы в данных

Например, в 6:00 и в 7:00 18.04.12 г. наблюдаются выбросы данных. Выбросы в основном являются случайными факторами и их необходимо находить для исключения данных случайных воздействий на ряд динамики и определения центральной тенденции.

Заключение

При выполнении ряда заданий по анализу газопотребления были выявлены периодические суточные колебания газопотребления, а также динамика изменения газопотребления в течение года. Изменения объясняются изменениями погоды. Закон распределения газопотребления близок к нормальному.

Для стабильной области газопотребления показатели динамики (индексы роста и прироста) близки к 1, для области падения газопотребления - показатели динамики свидетельствуют о склонности к сокращению уровней ряда.

Были проанализированы часовые выборки, для которых найдены ряд показателей, которые позволяют характеризовать газопотребление в течение суток.

С помощью коэффициентов корреляции была выявлена сильная связь между соседними периодами наблюдений.

При выполнении работы были получены навыки нахождения статистических показателей, построения графиков и гистограмм, применения в работе встроенных функций и надстроек MS Excel. Данный программный продукт позволяет значительно упростить расчеты статистических показателей и автору остается только их правильно интерпретировать и анализировать.

Список литературы

1.      Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: КноРус, 2010.

2.      Козлов А.Ю. Статистический анализ данных в MS Excel: учеб. пособие / А. Ю. Козлов, В. С. Мхитарян, В. Ф. Шишов. - М.: Инфра-М, 2012.

Приложение 1

Выборочные характеристики подвыборок