О распространении собственных волн в системе цилиндрическая оболочка - жидкость (крутильные колебания)

О распространении собственных волн в системе цилиндрическая оболочка - жидкость (крутильные колебания)

Международный казахско-турецкий Университет им. Х.А. Яссави.

г. Туркестан, Республика Казахстан

О РАСПРОСТРАНЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН В СИСТЕМЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА - ЖИДКОСТЬ (КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ)

УДК 514.853:622.643.03

А. Марасулов

Аннотация

В этой статье рассматривается динамическое поведение цилиндрической оболочки (упругой или вязкоупругой), контактирующей с жидкостью.Рассмотрены задачи о распространении волн в цилиндрической оболочке, заполненной или нагруженной жидкостью, которые имеют важное прикладное значение, и указаны методы их решении. Получена система дифференциальных уравнений, описывающих крутильные колебания системы «оболочка-жидкость». Получены и проанализированы численные результаты метода ортогональной прогонки.

Ключевая слова. Цилиндрическая оболочка, жидкость, волновой процесс, диссипативно-неоднородная, волнообразные движения.

В этой статье рассматривается динамическое поведение, цилиндрической оболочки (упругой или вязкоупругой), контактирующей с ( или вязкой ) жидкостью. Задача о распространении волн в цилиндрической оболочке, заполненной или погруженной жидкость, имеет важное прикладное значение. Явление распространения волнообразного движения жидкости в упругих цилиндрических оболочках привлекало внимание исследователей [1,2,3,4,5,6]. В этих работах посвященных волновым процессам в системе упругой цилиндрической оболочки - идеальная жидкость, используются классические и уточненные уравнения оболочек, рассмотрено влияние радиальных и продольных инерционных сил, учтена средняя плотность потока жидкости или газа. В работах [7,8,9] проводится анализ закономерностей волнового процесса в упругой оболочке с вязкой жидкостью в рамках модели линеаризованных уравнений гидродинамики вязкой сжимаемой жидкости. Отличи от других здесь системы цилиндрическая оболочки (упругая или вязкоупругая) и жидкость (идеальней или вязкой) рассматривается как диссипативно неоднородная механическая система [10,11,12].

1. Постановка задача и методы решения

Рассматривается бесконечная по длине деформируемая (упругая или вязкоупругая) цилиндрическая оболочка радиуса R с постоянными толщиной  , плотностью , модулем Юнга Е,  - коэффициенты демпфирования в осевом и радиальном направлениях; коэффициентом Пуассона , заполненная в вязкую жидкость с плотностью в равновесном состоянии. Подлежат исследованию совместные колебания оболочки и жидкости, гармонические по осевой координате z и экспоненциально затухающие по времени, либо гармонические по времени и затухающие по z. Амплитуды колебаний считаются малыми, что позволяет записать основные соотношения в рамках линейной теории. Полную систему линеаризованных уравнений движения вязкой баротропной можно представить в виде [12]

 (1а)

 (1)

Здесь L- матрица дифференциальных операторов теории типа Крихгофа - Лява (или С.П. Тимошенко) [12]; -вектор перемещений точек срединой поверхности оболочки, причем для оболочек Кирхгора - Лява он имеет размерность равную трем , а для оболочек типа Тимошенко размерность вектора  равно пяти. Здесь кроме осевого, окружного и нормального перемещений добавляются еще углы поворота нормали к срединой поверхности в осевом и окружном направлениях; вектор усилия внешней нагрузки, приведенный к срединной поверхности оболочки. В уравнениях (1) = -вектор скорости частиц жидкости ; и р- возмущения плотности и давления в жидкости;  и а0 -плотность и скорость звука в жидкости в состоянии покоя;  - кинематический и динамический коэффициенты вязкости; для второго коэффициента вязкости  принято соотношение =; -cоставляющие тензора напряжений в жидкости. Уравнений (1а) соответственно кинематические и динамические граничные условия , которые, в силу тонкостенности оболочки, будем удовлетворять на срединной поверхности (r=R). Соотношения (1) представляет замкнутую систему соотношений гидровязкоупругости для цилиндрической оболочки , содержащей вязкую сжимаемую жидкость. Так для оболочек, подчиняющихся гипотезе Кирхгофа-Лява, L- матрица дифференциальных операторов может записать:

(2)

Компоненты вектора нагрузок для оболочек Кирхгора-Лява имеют вид

, (3)

волна цилиндрическая оболочка жидкость

где знак мине отвечает внутренней оболочке, а знак плюс-наружной  - компоненты реакции со стороны жидкости (заполнителя);  -интенсивность заданной нагрузки в соответствующем направлении. В осесимметричном случае на оси г=0 должны выполняться условия , =0. Если внешняя поверхность г=R предполагается неподвижной, тогда ur=uz=uφ=0. Раскрывая уравнения (1) в координатной фоpме из соотношения (1)-(3) получим две независимые краевые задачи, крутильные и продольно-поперечные колебания. Мы расмотрим только первые из них

крутильные колебания:

 (5)

Пусть волновой процесс периодичен по z и затухает по времени, тогда задаётся действительное волновое число k, а комплексная частота является искомым собственным значением. Решения краевых задач (1)-(3) для основных неизвестных, удовлетворяющие наложенным выше ограничениям на зависимость по времени и координате z, следует искать в виде[14]

 (7)

где вектор в правой части есть искомая комплекснозначная функция аргумента r, k,  суть известного действительного и спектрального комплексного параметра от типа задачи. Суперпозиция решений (7) образует экспоненциально затухающую по времени стоячую волну, которая описывает собственные колебания жидкости и цилиндрической оболочки конечной длины с краевыми условиями. При бесконечной длине оболочки по аналогии указанный тип движения (7) будем называть собственными или свободными колебаниями. В случае стационарного по времени и затухающего по координате процесса, наоборот, известной является действительная частота , а искомым -комплексное волновое число k. В отличии от собственных , эти колебания условимся называть установившимися. Действительные части величин  в первом случае, и k , во втором имеют физический смысл частот процесса по времени и координате соответственно. Мнимые части - скорость затухания волновых процессов по времени и Z соответственно [13] . Величину 1/Imk иногда определяют как интервал распространения затухающей волны. В предельном упругом случае интервал распространения бесконечен. Степень затухания волнового процесса на временном периоде характеризуется логарифмическим декрементом

аналогично пространственный декремент равен

.

Можно ввести также понятия фазовых скоростей распространения собственных и установившихся движений

 (8)

Величины Сс и Су имеют физический смысл скоростей движения нулевого состояния при собственных и установившихся колебаниях соответственно и, в отличие от упругого (действительного ) случая, не совпадают между собой на одинаковых частотах. Двум типам колебаний (собственным и установившимся) можно поставить две различные постановки задачи. А в нестационарном случае, а именно задачу Коши для бесконечной оболочки и краевая задача для полу бесконечного интервала изменения Z. В том и другом случае решения находится с помощью интегральных преобразований из решений соответствующих стационарных задач. Так, в случае задачи Коши , вектор основных неизвестных  может быть в виде суперпозиции волн

 , (9)

где векторы  суть собственные формы задачи о собственных колебаниях, нормированные так, чтобы пространственный спектр Фурье начального возмущения  образовывал их линейную комбинацию

 . (10)

Аналогичным образом, вектор основных неизвестных краевой задачи вычисляется согласно выражению

 (11)

где - формы установившихся колебаний, линейная комбинация которых должна образовывать спектр Фурье заданного краевого возмущения

Очевидно, что решения (8), (9) имеют смысл лишь тогда когда существуют (10) и (11). Итак имеются четыре варианта возможных стационарных движений, которые рассмотрены ниже: собственные и установившиеся колебания систем оболочка - жидкость внутри и оболочка-жидкость снаружи[15] .

. Крутильные колебания

После выполнения в (5) замены переменных (7) разрешающие соотношения, описывающие стационарные крутильные колебания системы оболочка-жидкость, формулируется в виде спектральной краевой задачи для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений

 (12)

Исследуем сначала колебания жидкости в стенках. Уравнения (12) можно преобразовать к одному уравнению относительно перемещения v

 (13)

Решение уравнения (13) ограниченное при r=0 имеет вид

 . (14)

Где J1, функция Бесселя первого порядка, А- произвольная постоянная. Учитывая неподвижность оболочки, получаем дисперсионное уравнение

 (15)

 (16)

в случае собственных колебаний и

 (17)

в случае установившихся колебаний. Здесь через Гn обозначены корни функции Бесселя, отнесенные к R. Как видно из формул (15),(16)собственные движения всегда апериодичны по времени, при этом узловые точки неподвижны (фазовая скорость Со=0), в то время установившиеся движения носят колебательный характер, а узловые точки перемещаются со скоростью Су, монотонно возрастающей от нуля до бесконечности с увеличением или вязкости . Эти характерные особенности движения вязкой среды будут проявляться в последующих более сложных примерах.

Рассмотрим теперь соотношения (12) для случая внутреннего расположения жидкости. Эту задачу можно решать так же, используя специальные функции и имеем дисперсионное уравнение

 (18)

которое впервые было получено в работе А. Гузя [7] Здесь введены новые обозначения

скорость волны сдвига оболочки: Jo-функция Бесселя нулевого порядка.

Непосредственное решение уравнения (18) наталкивается на определенные трудности, вызванные необходимостью вычисления функции Бесселя комплексного аргумента. Поэтому исследуем (18) с помощью асимптотических представлений этих функций при малых и больших аргументах z. Малость z имеет место при низкочастотных колебаниях. Согласно известным разложениям J0 и J1 степенные ряды

 (19)

Удерживая в разложениях (19) только первые члены, получаем

дисперсионное уравнение крутильных колебаний сухой оболочки или заполненной идеальной жидкостью, сохраняя в (19) по два первых члена, имеем уравнение

 (20)

корень которого, например, в случае установившихся колебаний определяется выражением

. (21)

Физическая интерпретация уравнения (18) приводится ниже. Рассмотрим теперь ситуацию, когда z достаточно велико, что соответствует высокочастотным колебаниям и малой вязкости. В этом случае асимптотические формулы для функции Бесселя имеют вид

Исходя из (20) и (21) нетрудно показать, что предостаточно большой положительной мнимой части z :  Подставляя (1), и дополнительно предполагая малость  по сравнению с величиной , к получаем приближенное дисперсионное уравнение, которое также приводится в работе [7]

 (22)

Откуда , при стремлении коэффициента вязкости  к нулю (а также при стремлении  к бесконечности), имеем тривиальный результат , который был получен при малых  из уравнения (20). Уравнение (22) неприемлемо при больших вязкостях .. В данном случае фазовая скорость С неограниченно возрастает с ростом ω. Рассмотренный пример свидетельствует о несогласованности различных асимптотических оценок в области средних частот колебаний. Таким образом, при анализе волновых процессов асимптотическими методами в первом приближении не удается установить границы применимости полученных формул, а также оценить погрешность вычислений. В настоящей работе для решения спектральных задач используется непосредственное численное интегрирование разрешающих соотношений типа (12) с помощью метода ортогональной прогонки в комплексной арифметике. Такой подход позволяет избежать указанных выше затруднений, связанных с вычислением функций Бесселя комплексного аргумента. Еще одно преимущество обусловлено спецификой метода ортогональной прогонки, который благодаря процедуре ортонормирования позволяет решать сильно жесткие системы с пограничным слоем. В результате проведенного численного исследования было установлено, что задача о собственных колебаниях (12) допускает не более одного комплексного значения ω, соответствующего колебанием оболочки вместе с прилегающими к ней слоями жидкости. Остальные найденные собственные значения оказались чисто мнимыми. Они соответствуют апериодическим движениям жидкости при почти неподвижной оболочке. Собственные формы, соответствующие комплексным значениям, также являются комплексными, то есть фазы совместных колебаний оболочки и жидкости не совпадают вдоль радиуса. В случае установившихся колебаний все вычисленные собственные значения k и собственные формы оказались комплексными.

. Численные результаты

Рассмотрим вариант собственных колебаний, когда оболочка заполнена жидкостью. На рис.1а,б 2 а, б приведены соответственно дисперсионные кривые в зависимости Re ω, Im ω, σ от волнового числа k-первой моды, у которой коэффициенты демпфирования наименьшие, а собственные значения могут быть комплексными. В соответствии с нумерацией графиков задавались четыре различных значений коэффициента η 1) 0.0009: 2) 0.0018 3)0.15 4)0.018 при остальных параметрах согласно (1) На рис. 1,а , 2,а показаны собственные формы Re v для значения k равных 1 и 8 соответственно.

Рис.1,а . Зависимость ReW от волнового числа k

Рис.1,б. Зависимость Im от волнового числа k

Рис.2,а Зависимость Re  от волнового числа k

Рис.2,б. Зависимость Im  от волнового числа k

Легко заметить характерное отличие в поведении дисперсионных кривых 1,2 и 3,4. В последних двух случаях существует такое значение волнового числа начиная с некоторого величина принимает лишь чисто мнимые значения , соответствующим апериодическим движениям системы. Для кривых 1,2 с меньшим коэффициентом вязкости действительная часть собственных значений Re отлично от нуля при любых волновых числах а декремент затухания имеет конечный предел на бесконечности. При этом чем больше коэффициент вязкости, тем раньше начинаются апериодические движения (кривые 3,4) и тем выше предел декремента затухания (кривые 1,2). Отсюда следует , что существует минимальное критическое значение коэффициента вязкости ηk, выше которого в зоне высоких волновых чисел первой моды, появляются апериодическим волновым числом. В результате численного эксперимента было установлено, что критическое значения коэффициента вязкости ηk, находится в интервале .

Литература

1. Тер-Акопянц Г.Л. Об уточнении результатов влияния жидкости на распространение волн в упругой цилиндрической оболочке// Журнал. Фундаментальные исследования , технические науки №10, 2013г. С.516-520.

. Sorokin S.V. Fluid-Structure Interaction and Structural Acoustics. Book of Lecture Notes. - Technical University of Denmark, 1997. - 188 p.

. Vijay Prakash S., Venkata R. Sonti Asymptotic expansions for the structural wavenumbers of isotropic and orthotropic fluid-fi lled circular cylindrical shells in the intermediate frequency range// Journal of Sound and Vibration. Manuscript Draft. Manuscript Number: JSV-D-12-01440. - 15 с.

. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. - М.: Наука.1979. - 320 с

5. Амензаде Р.Ю., Салманова Г.М., Муртуззаде Т.М. Пульсирующее течение жидкости в оболочке с учетом эффекта жесткости внешней среды . //Журнал. Baki universitetinin xəbərləri. Fizika-riyaziyyat elmləri seriyası,№1, 2013,С.70-78

. Амензаде Р.Ю. Неосесимметричное колебание идеальной жидкости в упругой обо-

лочке. //ДАН СССР. т. 229, №3, 1976, с. 566-568.

.Гузь А.Н. Распространение волн в цилиндрической оболочке с вязкой сжимаемой жидкостью// Прикл. Механика.-1980.-16, №10.-С.10-20

.Щурук Г.И. К вопросу распространении неосесимметричных волн в гидроупругой системе оболочка - вязкая жидкость. //Журнал .Системные технологии, 3(62).С. 76-81

. Мокеев В.В., Павлюк Ю.С. О приближенном учете сжимаемости жидкости в задачах гидро- упругости // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1999, N 5. 85-95.

. Сафаров И.И., Марасулов А.М. Математическое моделирование собственных и вынужденных колебаний криволинейных труб, взаимодействующие со средой. Ташкент «Фан» АН Р Уз. 2009, 165с.

11. Сафаров И.И., Тешаев М.Х., Болтаев З.И. Волновые процессы в механическом волноводе. LAP LAMBERT Academic publishing (Германия). 2012.,217 с.

12. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. СО РАН, Новосибирск, 1966, 188с.

.Каюмов С.С., Сафаров И.И. Распространение и дифракция волн в диссипативно - неоднородных цилиндрических деформируемых механических систем. Ташкент: ФАН, 2002г, 214с

. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. - Киев: Наукова Думка, 1981, с. 284.

. Фролов К.В., Антонов А.Н. Колебания оболочек в жидкости -М.: Наука, 1983. 365с.