Разработка аналоговых частотных фильтров на основе ФНЧ-прототипа

Разработка аналоговых частотных фильтров на основе ФНЧ-прототипа

Реферат

Разработка аналоговых частотных фильтров на основе ФНЧ-прототипа

Традиционная технология разработки аналоговых фильтров основывается на понятии фильтра-прототипа, под которым понимают ФНЧ с нормированной по частоте и амплитуде АЧХ. Нормировка по частоте выполняется относительно частоты среза ФНЧ, нормировка по амплитуде - относительно максимального значения коэффициента передачи ФНЧ.

В соответствии с требованиями к фильтру выбирается вид функции, аппроксимирующей его частотную характеристику (Баттервортовская, Чебышевская, Бесселевская и т.п.) и его порядок. Далее находятся нули и полюса передаточной ФНЧ-прототипа, по которым вычисляются коэффициенты полиномов числителя и знаменателя передаточной функции. Затем выполняется процедура частотного преобразования ФНЧ-прототипа в требуемый тип фильтра (ФНЧ-ФНЧ, ФНЧ-ФВЧ, ФНЧ-ПФ, ФНЧ-РФ). Выбирается вариант схемотехнической реализации фильтра и передаточная функция преобразуется к виду, удобному для его реализации. Завершается процедура проектирования расчетом параметров схем звеньев фильтра и исследованием его характеристик.

Расчет порядка фильтра можно выполнить, используя следующие функции MatLab:

n = buttord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's') % - фильтр Баттерворта;

n = cheb1ord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's') % фильтр Чебышева 1 рода;

n = cheb2ord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's') % фильтр Чебышева 2 рода;

n = ellipord (Wp, Ws, Rp, Rs, 's') % фильтр Кауэра (эллиптический),

где •  Wp - граничная частота для полосы пропускания, рад/с;

•        Ws - граничная частота для полосы задерживания, рад/с;

•        Rp - максимальное подавление в полосе пропускания, дБ;

•        Rs - минимальное подавление в полосе задерживания, дБ.

Смысл параметров Wp, Ws, Rp, Rs поясняется рис. 7.2. Если проектируется полосовой или режекторный фильтр, то параметры Wp и Ws должны быть заданы в форме векторов: [Wp_н Wp_в] и [Ws_н Ws_в], где индексы «н» и «в» указывают на нижнюю и верхнюю границы полос пропускания и задерживания.

Эти функции возвращают величину порядка фильтра n.

Расчет нулей и полюсов передаточной функции фильтра-прототипа выполняется с помощью следующих функций MatLab:

[z, p, k] = besselap(n) % фильтр Бесселя;

[z, p, k] = buttap(n) % фильтр Баттерворта;

[z, p, k] = cheb1ap (n, Rp) % фильтр Чебышева 1 рода;

[z, p, k] = cheb2ap (n, Rs) % фильтр Чебышева 2 рода;

[z, p, k] = ellipap (n, Rp, Rs)% эллиптический фильтр (фильтр Кауэра-Золотарева).

Функции возвращают векторы нулей [z], полюсов [p] и константу k - максимальное значение коэффициента передачи фильтра.

Основным параметром указанных функций является порядок фильтра n. Помимо этого для фильтров Чебышева и эллиптических фильтров необходимо указать допустимые величины затуханий Rp - в полосе пропускания и Rs - в полосе задержания (в дБ).

Для вычисления коэффициентов передаточной функции фильтра прототипа (векторов [b] и [a]) используется функция [b, a] = zp2tf (z, p, k), входными параметрами которой являются найденные выше параметры [z, p, k].

Функция возвращает векторы [b] и [a] - коэффициенты полиномов знаменателя и числителя передаточной функции ФНЧ-прототипа.

Частотное преобразование ФНЧ-прототипа преобразует ФНЧ-прототипа в требуемый тип фильтра. Оно выполняется с помощью следующих функций MatLab:

[bt, at] = lp2lp (b, a, Wp) % ФНЧ - ФНЧ;

[bt, at] = lp2hp (b, a, Wp) % ФНЧ - ФВЧ;

[bt, at] = lp2bp (b, a, Wo, Bw) % ФНЧ - ПФ;

[bt, at] = lp2bs (b, a, Wo, Bw) % ФНЧ - РФ.

Здесь Wp, рад/с - частота среза проектируемого фильтра (граница полосы пропускания);

, рад/с - среднегеометрическое значение границ полосы пропускания;

Wв и Wн, рад/с - верхняя и нижняя границы полосы пропускания ПФ (задержания для РФ);

, рад/с - полоса пропускания ПФ (задержания для РФ).

Для расчета частотных характеристик фильтра в MatLab можно применить функцию h = freqs (b, a, w), которая возвращает значения комплексного коэффициента передачи (вектор [h]) фильтра, определенного векторами [a] и [b] на сетке частот, задаваемой вектором [w]. Функцию можно вызывать в несколько ином варианте:

[h, w] = freqs (b, a).

В этом случае сетку частот (вектор [w]) MatLab выбирает автоматически.

Проиллюстрируем рассмотренную технологию проектирования на примере проектирования Чебышевского фильтра верхних частот 5-го порядка с частотой среза 5 кГц и затуханием в полосе задерживания 20 дБ. Для решения этой задачи можно использовать следующую последовательность команд MatLab:

>> f0=5e3; df=100; n=5; Rp=3; Rs=20;

>> w0=2*pi*f0; dw=2*pi*df; wp=2*pi*5e3;

>> f=0:200:10e3; f1=f*2*pi;

>> [z, p, k] = cheb2ap (n, Rs);         %***

>> [b, a] = zp2tf (z, p, k);                %***

>> [bt, at] = lp2lp (b, a, wp);          %***

>> h = freqs (bt, at, f1);

>> plot (f, abs(h)); grid.

АЧХ такого фильтра показана на рис. 1.

Рис. 1. АЧХ инверсного Чебышевского ФВЧ с частотой среза 5 кГц и внеполосным затуханием 20 дБ

Для вывода результатов расчета коэффициентов передаточной функции (векторов [bt] и [bt]) можно применить следующую последовательность команд MatLab:

>> format compact

>> format short e

>> bt = 3.0602e+022

>> bt = 1.0000e+000 1.1972e+005 6.6883e+009 2.1352e+014 3.8343e+018 3.0602e+022.

АЧХ других типов фильтров и фрагменты команд для их проектирования приведены на рис. 2. Для получения этих характеристик и соответствующих векторов передаточных функций достаточно в приведенной выше последовательности команд заменить три помеченные знаками *** строки на три строки команд, указанных на поле графика АЧХ соответствующего фильтра.

Современные технологии разработки фильтров позволяют в значительной мере уменьшить трудоемкость процедуры проектирования и существенно упростить ее. В системы автоматизированного проектирования электронных схем, как правило, включают пакеты прикладных программ либо подсистемы проектирования фильтров. В них технологические операции не детализируются, а интегрируются внутрь более общих процедур. Кроме того, для пользователя отпадает необходимость жестко соблюдать порядок выполнения технологических операций при проектировании, поскольку в пакеты программ, обычно, включают сервисные функции, обеспечивающие несколько точек входа в процедуру проектирования и ее коррекцию на разных этапах.

амплитудный частота фильтр прототип

Функции преобразования математических моделей в MatLab

В MatLab реализован ряд функций, позволяющих рассчитывать порядок фильтра непосредственно по требованиям к АЧХ, при этом отпадает необходимость рассчитывать фильтр-прототип.

Для расчета параметров математических моделей фильтров можно воспользоваться следующими функциями:

butter - для Баттервортовских фильтров;

cheby1 - для Чебышевских фильтров 1-го рода;

cheby2 - для Чебышевских фильтров 2-го рода (инверсных Чебышевских);

besself - для Бесселевских фильтров;

ellip - для эллиптических фильтров (фильтров Кауэра-Золотарева).

Эти функции позволяют рассчитывать параметры математических моделей фильров в различных формах (коэффициенты полиномов или нули и полюса передаточной функции, параметры переменных состояния). Варианты вызова рассматриваемых функций однотипны. Рассмотрим их на примере расчета моделей Баттервортовских фильтров.

При расчетах ФНЧ, ФВЧ, РФ в качестве аргументов функций необходимо указать тип фильтра 'ftype' ('high' - ФВЧ, 'low' - ФНЧ, 'stop' - РФ) и вектор частот среза [Wn]. При расчете ФНЧ и ФВЧ этот вектор состоит из одного элемента, при расчете ПФ и РФ - из двух.

[b, a] = butter (n, Wn, 'ftype', 's');

[z, p, k] = butter (n, Wn, 'ftype', 's');

[A, B, C, D] = butter (n, Wn, 'ftype', 's').

Когда параметр 'ftype' опущен рассчитывается ПФ, если вектор [Wn] содержит два элемента и ФНЧ, если вектор [Wn] одноэлементный:

[b, a] = butter (n, Wn, 's');

[z, p, k] = butter (n, Wn, 's');

[A, B, C, D] = butter (n, Wn, 's').

Параметр 's', указывает на то, что проектируется аналоговый фильтр. Выходными параметрами этих функций являются коэффициенты передаточной функции - [b, a], нули, полюсы и коэффициент передачи - [z, p, k] либо параметры модели фильтра переменных состояния [A, B, C, D]. Вид возвращаемых параметров определяется по размерности вектора в левой части выражения для вызова функции. Применение указанных функций иллюстрируется рис. 3.

Rp=3; Rs=20;

wp=2*pi*4.7e3; ws=2*pi*5.3e3;

f=0:50:10e3; f1=f*2*pi;= cheb2ord (wp, ws, Rp, Rs, 's');=ws;

[bt, at] = cheby2 (n, Rs, Wn, 's');= freqs (bt, at, f1);(f, abs(h)); grid

Рис. 3. Расчет ФНЧ и ПФ

Rp=3; Rs=20;=2*pi*4.7e3; ws=2*pi*5.3e3;=4.5e3:5:5.5e3; f1=f*2*pi;= cheb2ord (wp, ws, Rp, Rs, 's');=[2*pi*4.9e3, 2*pi*5.1e3];

[bt, at] = cheby2 (n, Rs, Wn, 's');= freqs (bt, at, f1);(f, abs(h)); grid

Для преобразования моделей из одного вида в другой можно использовать следующие функции:

[z, p, k] = tf2zp (b, a).

[b, a] = zp2tf (z, p, к).

[z, p, k] = ss2zp (A, В, С, D).

[А. В, С, D] = zp2ss (z, p, к).

При реализации аналоговых фильтров часто используют представление их передаточных функций в виде произведения передаточных функций второго порядка (каскадная форма, sos-представление):

Параметры такого представления задаются в виде вещественной матрицы ||sos||, сроки которой представляют собой векторы [b] и [a] коэффициентов полиномов числителя и знаменателя передаточной функции звеньев второго порядка.

Для нахождения матрицы ||sos|| можно воспользоваться следующими функциями MatLab:

[sos]= tf2sos (b, a);

[sos]= ss2sos (A, B, С, D),

[sos] = zp2sos (z, p, k).

а обратное преобразование можно выполнить с помощью функций

[b, a] = sos2tf(sos);

[A, B, С, D]=sos2ss(sos);

[z, p, k] = sos2zp(sos).

Для разложения передаточной функции на простые дроби и обратного преобразования можно использовать функции residue:

[r, p, k] = residue (b, a);

[b, a] = residue (r, p, k).

Здесь [b, а] - векторы коэффициентов полиномов числителя и знаменателя функции передачи соответственно, [r, p, k] - векторы вычетов, полюсов и коэффициентов целой части функции передачи.

Представление передаточной функции фильтра в виде простых дробей может оказаться полезным при анализе работы фильтров во временной области, например, при анализе переходных процессов в фильтре.

Выводы и результаты

1. Стандартная технология проектирования фильтров использует в качестве основы для проектирования ФНЧ-прототип - ФНЧ с нормированной по частоте и амплитуде АЧХ. Нормировка по частоте выполняется относительно частоты среза ФНЧ, по амплитуде - относительно максимума коэффициента передачи фильтра.

. MatLab (пакет Signal Toolbox) содержит большое количество функций, позволяющих рассчитывать параметры математических моделей фильтров и функции преобразования математических моделей из одной формы в другую, которые могут быть использованы для реализации фильтров.

Список литературы

1. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов: Учебник для вузов. 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006. - 751 с.: ил.

. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: расчет и реализация / Г. Лэм; пер. с англ. Левина В.Л. [и др.]. - М.: Мир, 1982. - 592 с.: ил.