Эмпирические методы обучения математике

Введение

математика познавательный учебный мышление

Учебный процесс в школе представляет собой единство содержания, методов и организационных форм обучения. Вопрос, касающийся определения методов и их классификации, вызывал много споров. В научном плане усилилось внимание к проблеме упорядочения всех сложившихся методов. Первое, наиболее полное, описание системы методов, сложившихся в 60-е годы ХХ в., дал Е.Я. Голант. Позже по вопросам классификации методов в структуре общих работ по дидактике выступили М.А. Данилов, Б.П. Есипов, М.Н. Скаткин, И.Я. Лернер и др. Обстоятельный анализ классификации методов провёл Ю.К. Бабанский, предложивший также свою классификацию.

В настоящее время накоплен обширный научный фонд, раскрывающий многообразие методов обучения, среди которых эмпирические методы обучения занимают важное место наряду с другими методами обучения.

Многие преподаватели математики убедились на личном опыте, что заинтересовать учащихся своим предметом возможно, сочетая и комбинируя различные методы обучения. Любой руководитель методического объединения скажет, что в подведомственной ему школе каждый педагог использует современные технологии при проведении комбинированного урока. И хотя использование современных технологий на уроке подчас отнимает большую часть времени, (соответственно на закрепление и подведение итога, важнейшим составляющим урока, не остается времени), учитель жертвует этим временем ради модернизации урока. Современный ученик заинтересован в наглядном познании мира. При изучении такой науки как математика, большую роль играет эксперимент, наблюдение. Ведь познание нового начинается с восприятия, опыта. В том числе и познание математики как учебного предмета. Внедрение эмпирических методов познания в процесс обучения математике позволяет учителю показать пути зарождения математических знаний, включить учащихся в активную эвристическую деятельность, обосновать необходимость изучения компонентов математического содержания. Всё это обуславливает актуальность темы выпускной квалификационной работы.

Объект исследования - методы обучения математике учащихся основной школы.

Предмет исследования - эмпирические методы обучения математике учащихся основной школы.

Цель исследования - изучить и обобщить методику использования эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы.

Для её достижения необходимо решение следующих задач:

1.  Изучить теорию данного вопроса в психолого-педагогической и методической литературе.

2.      Охарактеризовать основные группы методов обучения математике, уделив внимание эмпирическим методам.

.        Раскрыть особенности методики применения наблюдения, опыта, измерения в обучении математике учащихся основной школы.

.        Изучить педагогический опыт применения эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы.

.        Разработать урок математики для учащихся 5-6 классов, включающий применение эмпирических методов. Показать урок опытных учителей с применением эмпирических методов.

Сформулированные задачи обусловили структуру выпускной квалификационной работы, которая состоит из введения, двух разделов, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность темы выпускной квалификационной работы, характеризуется методологический аппарат

(объект, предмет, цель и задачи), описывается её структура, характеризуется содержание разделов.

Первый раздел выпускной квалификационной работы носит теоретический характер и рассматривает проблему методов обучения, их классификацию.

Второй раздел работы раскрывает особенности применения эмпирических методов в обучении математике основной школы.

1.     
Научно-теоретические основы методов обучения

.1 Методы обучения в процессе учебно-познавательной деятельности: понятие, функции

Учебный процесс в школе представляет собой единство содержания, методов и организационных форм обучения.

Методы обучения являются и исторической, и социальной категорией, так как они меняются в зависимости от исторических и социальных условий. Реформируются учебные учреждения, меняется содержание образования, вслед за этим меняются и способы деятельности обучающих и обучающихся. Перед школой встают новые задачи, меняется содержание образования, а значит и изменяются методы обучения. Для этого используются новые средства или совершенствуются традиционные. Все это очень усложняет толкование сущности методов обучения.

Эффективность процесса обучения прежде всего зависит от организации деятельности учащихся. Поэтому педагог стремится самыми разнообразными приемами активизировать эту деятельность, и потому наряду с понятием методы обучения мы употребляем и понятие приемы, обучения. Прием - это действие учителя, вызывающее ответную реакцию учащихся, соответствующую целям этого действия. Прием - это более частное понятие по отношению к понятию метод обучения, это деталь метода.

Приемы могут определяться особенностями обучающей системы; при проблемном обучении - это постановка проблемных ситуаций, при объяснительно-иллюстративном - это подробное планирование действий учащихся для достижения конкретных целей и т.п. Располагая разнообразными приемами и по-разному организуя характер деятельности учащихся и педагогов, мы, тем не менее, не можем однозначно определить сущность методов обучения.

Если процесс обучения носит в основном характер включения учащихся в непосредственную практическую деятельность (процесс обучения, как таковой, носил характер подражательной деятельности на первых этапах своего возникновения), то методы обучения можно определить как способы включения учащихся в практическую деятельность с целью формирования у них соответствующих умений и навыков.

При догматическом обучении, когда формируются знания о явлениях без раскрытия их сути, когда такие знания не играют особой роли в предстоящей практической деятельности, методы обучения можно рассматривать как способы передачи знаний учителем учащимся в готовом виде. Общество не может позволить, чтобы подрастающее поколение каждый раз повторяло путь познания, пройденный всеми предыдущими поколениями. И поэтому всегда какая-то часть накопленной информации, накопленных знаний будет передаваться в готовом виде.

Для того, чтобы использовать знания в практической деятельности, в каких-то совершенно новых условиях, подрастающие поколения какую-то часть накопленной обществом информации должны усваивать осознанно, понимать суть изучаемых явлений. В этом случае педагог использует различные средства доказательности, он не просто передает знания в готовом виде, а стремится, чтобы учащиеся понимали их суть. Поэтому методы обучения можно рассматривать и как способы совместной деятельности учителя и учащихся по достижению конкретных учебных целей.

На определенном этапе развития общества, при более быстром изменении характера общественного производства возникала необходимость формировать у учащихся в процессе обучения навыки и умения самостоятельной познавательной и творческой деятельности. Это привело к новому пониманию сущности методов обучения, которые стали трактоваться как способы организации самостоятельной познавательной деятельности учащихся в процессе обучения.

В последнее время мы все больше внимания уделяем развитию мотивационной стороны обучения, поэтому и методы обучения можно рассматривать как способы стимулирования познавательной деятельности учащихся.

Таким образом, методы обучения - это и способы передачи знаний учащимся в готовом виде, и способы совместной деятельности учителя и учащихся при познании сути отдельных явлений, и способы организации самостоятельной практической и познавательной деятельности учащихся и одновременно - способы стимулирования этой деятельности.

В разных учебниках приводятся различные определения методов обучения, но все они отражают лишь отдельные стороны этого педагогического явления. Дать однозначное определение методу обучения, или точно назвать их количество практически нельзя. Все зависит от того, какие стороны процесса обучения, какие классические системы обучения рассматриваются как приоритетные и что берется за основу классификации методов обучения.

В наиболее общем понимании «метод» - система практических и теоретических действий человека, направленных на достижение поставленной цели, на овладение тем или иным объектом (в переводе с греческого «методос» означает способ изложения). В словаре русского языка «метод» определяется как способ теоретического исследования и практического осуществления чего-либо.

Теоретические основы методов обучения разработаны И.Я. Лернером в 60 - 80 гг. ХХ века. Был предложен путь от целей обучения к содержанию образования, в котором эти цели воплощаются, через способы усвоения каждого элемента содержания и деятельности ученика по усвоению, через средства, которыми может оперировать учитель в процессе обучения. Соотнесение деятельностей учащегося и учителя с целями обучения позволит выяснить систему методов. Методы обучения характеризуют: цель, способ усвоения содержания образования, характер взаимодействия субъектов обучения. Таким образом «метод обучения является системой последовательных действий учителя, организующего познавательную и практическую деятельность ученика, устойчиво ведущую к усвоению им содержания образования» [8]

Большинство дидактов, отмечал Ю.К. Бабанский, рассматривает методы как способы упорядоченной взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на решение комплекса задач образовательного процесса. Философы же отмечают, что в общественной материальной деятельности нет никаких методов и имеются лишь объективные законы. То есть методы имеются в головах, в сознании, а отсюда - в сознательной деятельности человека. Метод - это правило действия. Метод непосредственно фиксирует не то, что есть в объективном мире, а то, как человек должен поступить в процессе познания и практического действия (П.В. Копнин). Главная мысль, основная идея, заключённая в методе как педагогическом термине, - это указание к педагогически целесообразному действию, предписание, как действовать.

В настоящее время в методах выделяют две стороны: внешнюю и внутреннюю (М.И. Махмутов). Внешняя отражает то, каким способом действует учитель, внутренняя-то, какими правилами он руководствуется.

Таким образом, в этом понятии должно быть отражено единство внутреннего и внешнего, связь теории и практики, связь деятельности педагога и учащегося. В этом случаи можно дать следующее определение метода.

Метод обучения - это система регулярных принципов и правил организации педагогически целесообразного взаимодействия педагога и учащихся, применяемая для определённого круга задач обучения, развития и воспитания. Таким образом, в этом определении подчёркивается, что метод содержит в себе и правила как действовать, и сами способы действия.

Методы обучения как способы деятельности характеризуются специфическими особенностями. Прежде всего следует отметить, что с помощью методов обучения учащиеся приобретают знания, умения и навыки; у них формируется научное мировоззрение, развиваются способности к дальнейшему самостоятельному обучению, они влияют на формирование эмоционально-целостного отношения к действительности. Учитель выступает в роли посредника между знаниями, зафиксированными в опыте человечества, и сознанием ребёнка, который не имеет этого опыта. Учитель организует с помощью определённых путей, способов и средств познавательную деятельность учащихся по овладению учебным материалом. Поэтому методы обучения всегда включают в себя деятельность учителя и учащихся и соответствующие им методы преподавания и учения. Методы преподавания выполняют информативную и управляющую функции (учитель объясняет, показывает, инструктирует). Методы учения - это способы познавательной деятельности школьника (школьник слушает, наблюдает, читает). Управляя познавательной деятельностью школьника, учитель должен видеть внутренние и внешние стороны обучения.

Другой характерной особенностью методов обучения является то, что они развиваются с изменением позиции ученика в учебном процессе. Каждый метод потенциально может эволюционировать от элементарно простого до сложносоставного, требующего разнообразных видов познавательной деятельности учащихся. Обучение постепенно усиливает самостоятельность ученика в познании, что обеспечивает возможность включения в учебный процесс самообразования. Эта задача решается учителем в ходе управления учебно-познавательной деятельностью школьников. Таким образом, методы обучения являются одним из компонентов учебного процесса, обслуживающего все стороны деятельности учителя и учащихся.

Методы обучения реализуют своё назначение только в том случае, если они выполняют следующие основные функции: функцию побуждающего действия, образовательную, воспитывающую, развивающую функцию.

Функция побуждающего действия - её задача пробудить познавательную потребность, интерес учащихся к решению той или иной задачи, то есть закрепить у учащихся положительное отношение к учению.

Обучающая функция методов обучения - ведущая в учебном процессе.

Суть обучающей функции выражается в точном подборе методов обучения соответственно дидактической задаче, обеспечения предельной ясности и выразительности в раскрытии сущности изучаемого материала. Ведущим критерием эффективности обучающей функции является способность ученика использовать усвоенное содержание для приобретения нового.

Развивающая функция должна стать принадлежностью каждого метода.

Особенностью этой функции является её многосторонность: реализация её предполагает последовательное развитие качества знаний детей, постоянное усложнение и развитие их умений и навыков, способов деятельности, развитие познавательных интересов, ценностей, самостоятельности и творчества школьников.

Воспитывающая функция методов обучения: формирование научного мировоззрения школьников, воспитание необходимых нравственных, эстетических, духовных свойств и качеств личности.

Все эти функции методов обучения тесно взаимосвязаны и реализуются в педагогическом процессе в комплексе.

.2 Различные классификации методов обучения математике

Классифицировать методы - это значит группировать (объединять) их по каким-то общим признакам. Можно это делать в соответствии со средствами обучения, такими как: слово (устное слово учителя или печатное слово учебника), наглядные пособия, технические средства и т.д. В практике работы школы возникла и другая классификация, когда методы обучения группируются по основным этапам (звеньям) традиционного классического понимания процесса обучения: методы начального этапа усвоения знаний (устное изложение, беседа, лабораторная работа, работа с книгой и пр.); методы совершенствования знаний (упражнения, повторение); методы закрепления; методы развития навыков; методы творческой деятельности и т.п. Такая классификация, так же как и предыдущая, не может быть признана удовлетворительной, так как здесь любой метод (например, упражнение) может использоваться на любом этапе усвоения учебного материала.

Рассмотрим общие принципы основных подходов к группировке методов обучения. Предлагается, например, подразделить методы обучения в зависимости от характера учебной деятельности школьников на две группы: активные, если ученик работает самостоятельно (лабораторный метод, работа с книгой), и пассивные, если ученики слушают и смотрят (рассказ, лекция, объяснение, демонстрационный метод, экскурсия) (Е.Я. Голант). Такое подразделение оказалось неприемлемым, так как оно искажает принцип сознательности и активности учащихся в обучении и находится в противоречии с теорией процесса обучения, согласно которой - процесс двусторонний, предполагающий активность ученика на всех его этапах.

Другая классификация предполагала делить методы по деятельности учителя и деятельности школьников на две группы: методы изложения предмета преподавателем (рассказ, лекция, беседа) и методы самостоятельной работы учащихся (наблюдения, опыта, работа с учебником) (П.И. Боровицкий, Б.В. Всесвятский и др.). Достоинством этой классификации является стремление учёных дать углубленную характеристику особенностей методов учебно-познавательной деятельности школьников и методов преподавания.

Однако в характеристике каждого метода необходимо показать как бы две стороны: руководящую роль учителя и самостоятельную работу учащихся[12]. Поэтому нет смысла выстраивать каждую из них в самостоятельный ряд, закреплённый классификационной системой:

методы изложения нового материала учителем;

методы самостоятельной работы учащихся.

В этом случае обе стороны метода как бы разделяются на две независимые части процесса обучения.

В зависимости от источников знаний многие дидакты и методисты предлагают делить все методы обучения на три группы: словесные (живое слово учителя, беседа, работа с книгой), наглядные (демонстрация, иллюстрация, экскурсия), практические (упражнения, творческие работы, лабораторные, графические) (Н.М. Верзилин, Н.А. Сорокин, С.Г. Шаповаленко и др.). Деление методов на словесные, наглядные, практические привлекает своей простотой, имеет исторические корни. Эта классификация удобна и для практического применения. Всё это обеспечило её довольно широкое распространение в отечественной научной и педагогической литературе, хотя она и не стала общепризнанной. Наиболее серьёзным возражением против неё было несогласие ряда авторов с исходной посылкой данной классификации: предложение делить методы по источникам передачи и приобретения знаний. По мнению Р.Г. Лемберг, слово, речь - не источник знания, важнейший компонент познавательного процесса; создание представления, образа - это первичная ступень познавательного процесса, этап формирования знаний, а не его источник; практика же в процессе познания играет роль не только источника, но и критерия истины[7]. По мнению других учёных, эта классификация не вскрывает тех внутренних процессов, которые составляют сущность метода.

В классификации, предлагаемой Ю.К. Бабанским, выделяют три большие группы методов обучения.

) методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности;

) методы стимулирования и мотивации учебной деятельности;

) методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности.

Предлагаемая классификация методов обучения является относительно целостной потому, что она учитывает все основные структурные элементы деятельности (ее организацию, стимулирование и контроль). В ней целостно представлены такие аспекты познавательной деятельности, как восприятие, осмысление и практическое применение. Она учитывает все основные функции и стороны методов, выявленные к данному периоду педагогической наукой, не отбрасывая не одну из них. Но она не просто механически соединяет известные подходы, а рассматривает их во взаимосвязи и единстве, требуя выбора их оптимального сочетания. Наконец, предлагаемый подход к классификации методов не исключает возможности дополнения его новыми частными методами, возникающими в ходе совершенствования процесса обучения в современной школе.

Итак, нами рассмотрены подходы к классификации методов обучения. Уделим внимание особенностям и видам методов обучения математике.

Приведём различные классификации методов обучения математике и дадим им краткую характеристику.

Г.И. Саранцев по характеру учебно-познавательной деятельности и организации содержания материала выделяет следующие методы обучения математике: [14]

· индуктивно-репродуктивный (учитель создает такую ситуацию, в которой ученик воспроизводит понятие или теорему в процессе рассмотрения частных случаев. Например, посредством решения задач на выделение ситуаций, удовлетворяющих условию теоремы, или решение задачи (изучение теоремы) осуществляется по плану, предложенному учителем);

· индуктивно-эвристический (метод предполагает самостоятельное открытие фактов в процессе рассмотрения частных случаев. Например, упражнения на умножение (деление) степеней с одинаковым основанием приводят к открытию определения произведения (частного) степеней с одинаковыми основаниями);

· индуктивно-исследовательский (метод заключается в проведении исследований различных феноменов посредством изучения их конкретных проявлений. Например, изучая свойства четырехугольников в зависимости от наличия у них осей симметрии, приходим к таким видам четырехугольника, как прямоугольник, ромб, квадрат);

· дедуктивно-репродуктивный (метод предполагает воспроизведение частных случаев в процессе решения задач, где используется общее положение. Например, теорема о сумме смежных углов воспроизводится посредством решения задач на нахождение одного из смежных углов, если задан другой);

· дедуктивно-эвристический (метод заключается в открытии частностей какого-либо факта при рассмотрении общего случая. Примером проявления этого метода может служить решение любой конкретной задачи на применение какой-либо теоремы);

· обобщенно-репродуктивный (цель достигается путем воспроизведения изученных фактов. Например, усвоение векторного метода предполагает овладение действиями перевода геометрического языка на векторный и обратно, сложения и вычитания векторов, представления вектора в виде суммы, разности векторов и т.п.);

· обобщенно-эвристический (метод предполагает создание учителем такой ситуации, в которой ученик самостоятельно (или с небольшой помощью учителя) приходит к обобщению. Например, измеряя стороны и углы произвольных треугольников, ученики могут открыть следующую зависимость между углами и сторонами треугольника: против большей стороны треугольника лежит больший угол и наоборот);

· обобщенно-исследовательский (метод предполагает наличие в учебном материале ситуаций, исследование которых приводит к обобщенному знанию. Например, рассматривая различные случаи расположения вписанных в окружность углов, можно прийти к известной теореме о том, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается).

Приведём и другие, имеющиеся в научной литературе, классификации методов обучения математике.

Классификация Р.С. Черкасова и А.А. Столяра

Система методов обучения математике:

·        Общие (разработанные дидактикой и адаптированные к обучению математике);

·        Частные (отражают основные методы познания, используемые в математике)

Классификация Ю.М. Колягина

Методы обучения математике:

·   Методы преподавания: беседа, рассказ, управление самостоятельной работой учащихся;

·        Методы изучения: анализ, синтез, сравнение, моделирование и др.

Классификация О.Б. Епишевой

Методы обучения математике:

·        Методы педагогики;

·        Методы психологии;

·        Методы логики;

·        Методы математики;

·        Методы информатики;

·        Методы эмпирические

·        Методы истории.

Каждая из приведённых классификаций имеет определённое основание и позволяет раскрыть сущность методов обучения с различных сторон, подчеркнуть сложность и многоаспектность этой проблемы.

В нашей работе мы в дальнейшем уделим внимание эмпирическим методам обучения математике (согласно классификации О.Б. Епишевой).

1.3 Выбор оптимального сочетания методов обучения. Критерии выбора методов обучения

Большинство исследователей проблемы методов обучения, приходит к выводу о том, что поскольку понятие «метод» многоаспектное, многостороннее, то метод обучения в каждом конкретном случае должен конструироваться преподавателем. В любом акте учебной деятельности всегда сочетается несколько методов. Методы всегда как бы взаимно проникают друг в друга, характеризуя с разных сторон одно и то же взаимодействие педагогов и обучаемых. И если мы говорим о применении в данный момент какого-то определенного метода, то это означает, что он доминирует на данном этапе, внося особенно большой вклад в решение основной дидактической задачи. В дидактике установлена следующая закономерность. Чем в большем числе аспектов был обоснован преподавателем выбор методов обучения (в гностическом, логическом, мотивационном, контрольно-оценочном и др.), тем более высокие и прочные учебно-воспитательные результаты будут достигнуты в процессе обучения, причем за меньшее время.

Выбор метода, прежде всего, определяется целями обучения. Если четко продумана последовательность целей на уроке, значит, и методы должны соответствовать требованиям этих целей.

В не меньшей мере выбор метода зависит от особенностей содержания изучаемого материала, от специфики учебного предмета (уроки иностранного языка, или уроки физкультуры).

Выбор метода обучения зависит от возрастных особенностей учащихся (можно предложить двухчасовую обзорную лекцию старшеклассникам, но этого нельзя делать в младших классах) и от уровня их развития (даже уровень развития трех параллельных классов может быть разным, не говоря уже о классах выравнивания и т.п.). При выборе методов обучения необходимо учитывать и особенности мышления у учащихся разного возраста.

Выбор метода зависит от материальной базы учебного заведения (на уроках физкультуры - это спортзал и его оборудование, на уроках физики - это наличие приборов, это аудио средства в кабинете иностранного языка и т.п.).

При выборе метода необходимо учитывать географические и демографические особенности местности, где находится учебное заведение, особенности жизненного опыта учащихся. Необходимо также учитывать психологические и физиологические особенности детей.

При выборе и сочетании методов обучения необходимо руководствоваться следующими критериями:

В зависимости от времени и места применения метода, особенностей сочетания в нем различных способов, приемов и средств один и тот же метод обучения может оказаться эффективным или неэффективным. Найти удачный метод обучения в каждом конкретном случае означает найти удачную комбинацию различных приемов и средств, позволяющих достичь поставленной заранее цели (или целей) наиболее оптимальным в данных условиях путем. Чтобы успешно применять в процессе обучения математике тот или иной метод учителю необходимо в совершенстве овладеть этим методом. Это означает, что он должен:

· понимать сущность этого метода и уметь применять его в различных конкретных ситуациях обучения;

· знать наиболее часто встречающиеся формы проявления того или иного метода в процессе обучения (явные или скрытые);

· знать положительные и отрицательные стороны применения этого метода, проявляющиеся в процессе обучения; уметь оценивать его эффективность;

· знать, какие вопросы школьного курса математики целесообразно изучать именно этим методом;

· уметь научить учащихся работать именно этим методом в процессе изучения ими определенного учебного материала.

В настоящий момент учителя поставлены перед необходимостью осваивать эффективные методы обучения. Учителю не стоит путать интерес к математике как к средству поступления в какое-либо учебное заведение с интересом к ней как учебному предмету, как к науке. Необходима перестройка форм и методов обучения математике, направленная на продуктивное усвоение школьниками системы ведущих знаний, на эффективное их воспитание и развитие. Сегодня шире используется обучение в сотрудничестве, метод проектов, лекционно-практическая система обучения, а также социальные практики, научно-практические поисковые» работы на страницах книг, журналов и сайтов в Интернете и т.д.

Ученические исследовательские, проектные работы в рамках обучения математике нацелены на развитие познавательной деятельности учащихся и их самостоятельной работы по сбору, обработке и анализу получаемых математических фактов и результатов.

Являясь одним из самых современных методов обучения школьников, метод исследовательских проектов не может не опираться на использование различных информационных технологий и средств информатизации. При этом могут быть задействованы как образовательные электронные издания, так и средства автоматизации вычислений, проводимых в рамках достижения целей проекта. Возможно также использование коммуникационных ресурсов, что дает возможность получения необходимой информации из разнообразных источников, опубликованных во всем мире, предоставляется возможность оперативного обмена информацией и идеями с коллегами (учащимися), а в случае необходимости и со специалистами.

При таком подходе осуществление исследовательского проектирования способствует: повышению мотивации к приобретению новых знаний, необходимых в работе, и овладению умениями решения математических задач, тематика которых связана с тематикой выполняемой работы; развитию самостоятельности в деятельности учащихся; формированию недостающих знаний и навыков, необходимых для выполнения математических и вычислительных заданий; развитию творческих способностей, позволяющих проводить выполнение заданий в соответствии с собственными оригинальными идеями и походами; развитию навыков общения с коллегами относительно решения математических задач; работы в коллективе в интеграции с исследованиями, проводимыми педагогами и другими учащимися.

.4 Эмпирические методы обучения математике

В рассмотренной ранее классификации методов обучения О.Б. Епишевой отдельную группу составляют эмпирические методы.

К эмпирическим методам познания относятся наблюдение, описание, измерение и эксперимент. Наиболее часто эти методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т.д.).

Эмпирические методы включают следующие виды методов:

1.      Наблюдение - целенаправленное восприятие явлений объективной действительности.

2.      Измерение - сравнение объектов по каким-либо сходным свойствам или сторонам.

.        Опыт (эксперимент) - наблюдение в специально создаваемых и контролируемых условиях, он позволяет восстановить ход явления при повторении условий.

Далее в п. 1.5. уделим этим методам более пристальное внимание. А в данном разделе дадим им общую характеристику.

Для математики эти методы не являются характерными, поскольку математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Это несомненно верно, если под математикой понимать совокупность готовых, уже построенных дедуктивных теорий, но это неверно, если под математикой понимать мыслительную деятельность, результатом которой являются подобные теории. В последнем случае дедуктивная теория лишь одна фаза математики. Но она имеет еще две фазы - предшествующую дедуктивной теории фазу накопления фактов (опытную, интуитивную) и следующую за ней фазу приложений. Эти две фазы независимо от того, считают ли их собственно математическими или около математическими, не менее важны в обучении, чем сама дедуктивная теория: первая - для понимания этой теории, вторая - для ее оправдания.

Русский методист естествознания Александр Яковлевич Герд (1841-1888), сформулировал важные положения обучения: «Все реальные знания приобретены человечеством путем наблюдения, сравнения и опытов, при помощи постепенно расширяющихся выводов и обобщений. Только таким путем, а никак не чтением статей, могут быть переданы эти знания детям. Ученики должны под руководством преподавателя наблюдать, сравнивать, описывать, обсуждать наблюдаемые факты и явления, делать выводы и обобщения и проверять их простыми, доступными опытами на практике» [19]

История развития математики свидетельствует о том, что эмпирические методы сыграли неоценимую роль в зарождении математических знаний, становлении математики как самостоятельной теоретической дисциплины. Школьное обучение математике в определенной мере повторяет ее исторический путь развития. Использование средств наглядности и технических средств обучения, как правило, предполагает применение различных эмпирических методов. Часто имеет место одновременное использование методов наблюдения, измерения и эксперимента. Это помогает избежать пассивной созерцательности, активизировать действия учащихся, вовлечь их в целенаправленную работу по использованию демонстрационных наглядных пособий, приборов, моделей и т.п.

Эмпирические методы служат средствами сбора эмпирического материала и средствами создания эмпирического знания. Множественность эмпирического материала и знания обусловлена:

Во-первых, в окружающей исследователя эмпирической действительности, он непосредственно имеет дело только с множеством многообразных единичных явлений, восприятие которых и составляет исходный материал эмпирического знания. Т.е. объектом научного исследования могут выступать различные явления или множества явлений.

Во-вторых, многообразие обусловлено тем, что сам объект исследования может быть различен у разных исследователей. Точно так же обстоит дело и с предметом исследования: исследуемое явление (эмпирический объект) непосредственно открыто исследователю только во множестве своих единичных сторон и свойств, что и позволяет тому или иному исследователю выбирать в качестве предмета ту или иную сторону явления, что опять же обуславливает многообразие содержания эмпирического знания даже при условии наличия одинакового объекта.

В-третьих, при создании, придумывании эмпирических методов многими учеными-педагогами подчеркивается необходимость творческого подхода и воображения, что также способствует многообразию.

Итак, многообразие эмпирического материала, многообразие выделяемых эмпирических сторон для исследования и многообразие при творческом создании метода - все это обуславливает многообразие содержания, получаемого эмпирическими методами.

1.5 Наблюдение, опыт и измерение в обучении математике и их основные этапы

Понятие метода наблюдения

Ранее в п. 1.4. нами были рассмотрены виды эмпирических методов. Теперь раскроем подробнее их особенности.

Наблюдением называется метод изучения, фиксирования свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.

Необходимо отличать наблюдение от простого восприятия.

Восприятие того или иного объекта представляет собой процесс непосредственного отражения в сознании этого объекта в момент его воздействия на наши органы чувств. Наблюдение за объектом включает в себя восприятие объекта, но не исчерпывается им.

Наблюдение невозможно без фиксирования в памяти и последующего фиксирования в слове (или записи) результатов наблюдения.

Можно выделить следующие этапы наблюдения:

·        определение задач и цели (для чего, с какой целью ведется наблюдение); выбор объекта, предмета и ситуации (что наблюдать);

·        выбор способа наблюдения, наименее влияющего на исследуемый объект и наиболее обеспечивающего сбор необходимой информации (как наблюдать);

·        обработка и интерпретация полученной информации (каков результат).

Наблюдение - это очень доступный метод, но он имеет свои недостатки, связанные с тем, что на результаты наблюдения оказывают влияние личностные особенности (установки, интересы, психические состояния) исследователя.

Наблюдение свойств, отношений отдельных объектов или явлений окружающего мира осуществляется в их естественных условиях. Если же наблюдение ведется при создании искусственных условий, позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его при повторении этих условий, то такой метод изучения называется опытом или экспериментам.

Опыт - как один из эмпирических методов обучения

Под опытом (экспериментом) обычно понимают такой метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.

Этапы организации опыта:

·        Определение задач и целей (для чего проводиться опыт);

·        Выбор определённого объекта над которым будет ставиться опыт;

·        Создание искусственных, специальных условий для объкта, фиксация результатов;

·        Обработка результатов опыта.

Любопытные суждения об «опыте» в его взаимоотношениях с теорией оставил Леонардо да Винчи: «Истолкователем природы является опыт. Он не обманывает никогда; наше суждение иногда обманывается, потому что ожидает результатов, не подтвержденных опытом. Надо производить опыты, изменяя обстоятельства, пока не извлечем из них общих правил, потому что опыт доставляет истинные правила… Люди, занимающиеся… науками… и при этом совещающиеся не с природой, а с книгами, недостойны названия детей природы: я бы назвал их только внуками природы. Она одна учительница истинных гениев… Если я занимаюсь каким-нибудь предметом, я сначала произвожу опыты, а потом делаю выводы и собираю доказательства. Таков метод, которому надо следовать, изучая явления природы» [26].Всякий эксперимент (опыт) связан с наблюдением. Экспериментатор наблюдает за ходом эксперимента, т.е. за состоянием, изменением и развитием объектов и явлений в тех искусственных условиях, в которых они изучаются.

Эти методы занимают центральное положение в так называемых экспериментальных науках (физике, химии). Математика, вообще говоря, не является экспериментальной наукой; если окажется, что какое-либо свойство справедливо в частных или конкретных случаях, математик не будет считать его универсальным.

Поэтому наблюдение и опыт не являются ведущими методами в математическом исследовании. Вместе с тем наблюдение и опыт призваны иллюстрировать некоторое математическое свойство объекта изучения или сам объект, призваны подтверждать, верно или неверно изучаемое свойство. В этом смысле наблюдение и опыт приобретают большое значение для преподавания математики.

Понятие измерения и его значение для развития математики

Измерение - метод, при помощи которого объекты исследования, рассматриваемые как носители определенных отношений между ними и как таковые составляющие эмпирическую систему, отображаются в некоторую математическую систему с соответствующими отношениями между ее элементами.

В качестве объектов измерения могут выступать любые интересующие объекты. При измерении каждому объекту приписывается определенный элемент используемой математической системы. В практике чаще всего используются числовые математические системы, т.е. такие, элементами которых являются действительные числа (отношения между ними, задействованные в процессе измерения, могут быть различными). Однако возможно использование нечисловых систем: частично упорядоченных множеств, графов, матриц и т.д.

В отношения, моделируемые при измерении, объекты вступают как носители определенных свойств. Поэтому вместо термина «измерение объектов» часто используется термин «измерение свойств объектов».

Этапы выполнения измерений:

·        Определение задач и целей (для чего выполнять измерение);

·        Выбор объекта измерения (что измерять);

·        Выбор конкретного измерительного прибора (для непосредственного измерения) или формулы (для косвенного измерения)

·        Обработка результатов измерения.

Хорошо известно, что арифметика родилась из счета, а геометрия из измерения. Вопросы измерения были важным элементом научных воззрений древних египтян. В Древней Греции формируется уже проблематика измерения, например, впервые появляется теоретически важное представление о соизмеримых отрезках. Впоследствии это представление переросло в более общее понятие о соизмеримых и несоизмеримых величинах, для которого определяющей стала идея общей меры, т.е. такой величины, которая имеет ту же природу, что и сравниваемые величины, и которая содержится целое число раз в каждой из них. Естественно, что возникновение представлений о соизмеримости и несоизмеримости оказалось неотделимым от развития понятия о числе: для измерения величин в общем случае требуются только натуральные и даже не только рациональные, но и иррациональные числа.

1.6 Опыт, интуиция и логика при обучении математике

Проследим, какое место занимают эмпирические методы (опыт и наблюдение) в изучении школьной математики и как они влияют на формирование интуиции учащихся. Охарактеризуем важность логического обоснования эмпирических фактов.

Опыт и наблюдение являются самыми надежными источниками знаний и основанием для заключений в обучении математике учеников младших классов.

Почти все арифметические законы выводятся в результате рассмотрения конкретных примеров и опытных преобразований; свойства уравнения выводятся на основании рассмотрения числовых примеров, начала курса геометрии в VII классе изучаются преимущественно опытно-интуитивным путем. Математическая интуиция, догадка, основанная на зрительных впечатлениях и на некотором уже накопленном запасе знаний, занимает значительное место в обучении математике учащихся средней школы.

Способность детей догадываться о некоторых математических законах развивается по мере накопления опыта, зрительных впечатлений, знаний.

Перед учителем всегда стоит задача воспитать у школьников правильное отношение к заключениям, полученным из опыта и на основании интуиции. В соответствии с возрастными особенностями учеников учитель должен показать им, что эти источники знания могут привести к неверным суждениям даже в том случае, когда суждение вынесено после рассмотрения многих аналогичных фактов.

Опыт, наблюдения и интуиция помогают делать предположения, строить гипотезы, которые иногда верны, но иногда опровергаются последующими исследованиями. Логические рассуждения во многих случаях непосильны для детей, потому-то многие математические законы в курсе VI-IX классов выводятся на основании наблюдения и опыта.

Неполноценность математических заключений на основании опыта и интуиции в средних классах учитель может иллюстрировать.

Так, например, на основании того, что 2⁴ = 4², нельзя сделать заключения о переместительном законе возвышения в степень или на основании того, что =;  =; = =.

нельзя установить правило сокращения дробей с помощью зачеркивания одинаковых цифр в числителе и знаменателе.

Недостаточность заключений, основанных на зрительных восприятиях, легко иллюстрируется примерами «зрительных обманов», которые учитель найдет во многих сборниках «Математических развлечений».

Эти примеры могут служить, конечно, только для начального воспитания правильного отношения к наблюдениям, опыту и интуиции. Надо довести до сознания учащихся, что только логика позволяет прийти к неоспоримым заключениям и выводам. Но понимание этого приходит к учащимся не так просто и быстро, его можно добиться систематической работой на протяжении нескольких лет.

В программе по геометрии прямо указано, что особое внимание должно быть уделено воспитанию у детей потребности в логических доказательствах.

Для иллюстрации отношения экспериментального и логического методов в начале систематического курса геометрии 7 класса приводим описание изучения отдельных фрагментов этого курса. Применяемая методика характеризуется следующими особенностями:

а)      при введении новых понятий и установлении новых

истин широко применяется эксперимент - специально постав-

ленный опыт в виде практической работы, выполняемой всеми

учащимися;

б)      результаты опыта служат посылками для обнаружива-

ния индуктивным путем общих закономерностей;

в)      некоторые из обнаруженных экспериментально

свойств могут быть получены с помощью рассуждений из

других свойств, что сокращает эксперимент;

г)       ведется разъяснение значения и недостаточности опыта,

индуктивных выводов, что постепенно подводит учащихся

к пониманию необходимости логического, интуитивного доказательства;

д)      разрабатывается эксперимент, подсказывающий идею

логического доказательства, или же само логическое доказа-

тельство проводится в виде эксперимента.

Приведём описание изучения свойств равнобедренного треугольника, используя опыт, логику и интуицию.

Учащимся предлагается начертить равнобедренный треугольник, провести в нем с помощью транспортира биссектрису угла при вершине, опустить с помощью чертежного треугольника высоту на основание, разделить с помощью линейки со шкалой пополам основание и провести медиану.

У большинства учащихся обычно биссектриса, высота и медиана совпадают, однако у некоторых учеников эти линии очень близки или совпадают только две линии.

Создается удобная ситуация для того, чтобы обратить внимание учащихся на значение и недостатки опытного подтверждения свойств фигур.

Проведенный опыт приводит учеников к открытию важного свойства равнобедренного треугольника. Но можно ли на основании этого опыта утверждать, что во всяком равнобедренном треугольнике имеет место это свойство? Ведь у некоторых учеников опыт не подтвердил наличие этого свойства. Те, у которых линии совпали, утверждают, что у них правильно проведены эти линии, те, у которых линии не совпали, утверждают, что у них тоже все правильно. Кто же прав? На основании проведенного опыта можно делать предположение о наличии указанного свойства в любом равнобедренном треугольнике. Это предположение станет утверждением, т.е. истинным высказыванием, в том случае, если мы сможем его доказать, установить наличие указанного свойства в любом равнобедренном треугольнике с помощью рассуждений (доказательства), исходя из ранее известных истин. Как провести это доказательство, подскажет опыт.

Учащимся предлагается согнуть вырезанный из бумаги равнобедренный треугольник АВС так, чтобы равные стороны АВ и ВС совпали (рис. 1). Отмечается, что два треугольника, на которые линия сгиба ВD разделила треугольник AВС, полностью совпадают.

Таким образом устанавливают, что линия сгиба ВD является осью симметрии треугольника AВС.

Задаются следующие вопросы. - Какие углы совпали при сгибании треугольника? Чем является ВD для угла В треугольника АВС? Какие отрезки совпали при этом сгибании? Чем является отрезок ВD для треугольника АВС (исходя из того, что отрезки АD и СD совпали)? Что следует о расположении прямых АC и BD.из того, что точни А и С симметричны относительно ВD. Приходят к выводу, что: а) ось симметрии рис. 1 равнобедренного треугольника является биссектрисой угла при вершине и на ней лежат высота и медиана, проведенные из этой вершины, и б) углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Возникает вопрос, нельзя ли доказать это свойство, не прибегая к сгибанию треугольника? Проведенный опыт показывает, что биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является осью симметрии этого треугольника и тем самым подсказывает идею доказательства. Проведем биссектрису ВD угла В при вершине. Она является осью симметрии угла В (это учащиеся уже должны знать из предыдущего), и так как АВ = ВС, то отрезки АВ и ВС симметричны относительно ВD, следовательно, и точки А к С симметричны, поэтому АD = DС и ВD перпендикулярно АD. Углы при основании также симметричны относительно ВD и, следовательно, равны.

1.7 Особенности математического мышления учащихся и роль эмпирических методов в развитии его качеств

Возможность использования на уроках математики эмпирических методов зачастую зависит от возрастных особенностей учащихся. Нами уже говорилось ранее, что использование метода наблюдения, измерения и опыта может вызвать большой интерес у учащихся к изучению математики, а так же показать связь данной дисциплины с другими науками. Но не всегда в каждом классе будет уместен тот или иной метод, например, в младших классах больший интерес вызовет наблюдение за тем или иным объектом, а вот, например, в классах по старше большую роль играет эксперимент (опыт).

Перейдём подробнее к характеристике математического мышления школьников.

В процессе эволюции науки математики и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие «математическое мышление», существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Известно, что между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.

Знания и опыт человека откладываются в памяти не изолированно друг от друга, а в виде некоторых комплексов мыслей или представлений. В процессе воспроизведения их в памяти человек обычно вспоминает не только требуемый объект, но и его фон, составляющий с этим объектом определенный комплекс. Процесс отделения фона от объекта весьма сложен и требует высокой культуры мышления. Понятно, что школьники, не обладающие высокой культурой математического мышления, вспоминают обычно вместе с существенными свойствами объекта и многие его несущественные свойства, часто не умея отделить одно от другого. Нередко фон объекта образует мешающие ассоциации, в силу чего некоторые бесполезные в данной ситуации положения, запоминающиеся в комплексе с необходимыми, восстанавливаются в памяти вместе с ними и затушевывают их. Кроме того, знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определенным, привычным для данного индивидуума проторенным путям, выражающимся в следовании определенной системе правил, в применении одного и того же метода решения задачи. Таким образом, нередко проявляется стандартизация мышления. Стандартизация мышления и его нерасчлененность особенно характерны для школьников, поэтому проводить различные эксперименты, опыты будет уместнее в классах постарше, например, на лабораторных и практических занятиях.

Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремлением к поиску наикратчайших путей ее решения, развитие данного качества мышления можно наблюдать уже у учащихся 5-6 классов. Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно при поиске плана решения математических задач, при изучении нового материала и т.д. Этому способствуют специально подобранные учителем задачи, посредством которых перед учащимися раскрывается целесообразность изучения новой темы и последовательность рассмотрения относящихся к ней вопросов.

Целенаправленность мышления дает возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравственным качеством личности, как любознательность, которая может возникнуть у учащихся при наблюдении за каким-либо объектом при решении задач, а значит будет уместен такой эмпирический метод как наблюдение. В основе того и другого качества личности лежит условный рефлекс, названный И.П. Павловым рефлексом «что такое?». Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт человека именно в силу своей целенаправленности; второе (любопытство), превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно удовлетворено. Поэтому в обучении математике следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытства. Именно поэтому при решении квадратных уравнений в 7 классе учителю не следует говорить о том, что существуют особые, неизвестные сейчас учащимся комплексные числа, которые будут решениями квадратного уравнения с дискриминантом, меньшим нуля. Не имея возможности рассмотреть со школьниками этот вопрос по существу на данном этапе обучения, упоминание о комплексных числах может возбудить у школьников лишь любопытство, а не любознательность.

Активность мышления характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.

Развитию этого качества мышления у учащихся способствуют рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи, различные определения одного и того же математического понятия, обращение к исследованию полученного результата и т.п., это качество мышления проявляется у учащихся 7-9 классов. Исследование результата может происходит, в частности опытным путём.

Критичность мышления характеризуется умением оценить правильность выбранных путей решения проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости и т.п. В процессе обучения математике воспитанию этого качества мышления у учащихся способствует постоянное обращение к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного (искомого) результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.

Развитие математического мышления предполагает не столько развитие у учащихся способности к овладению фиксированными операциями и приемами, сколько способности к обнаружению новых связей, овладения общими приемами решения новых задач. Проще говоря, у учащихся следует формировать общие приемы мышления, а не приемы мышления в конкретной ситуации.

2. Применение наблюдения, опыта и измерения в обучении математике

.1 Связь теории с практикой в процессе обучения математике

Раскроем, в чем заключается связь теории с практикой в процессе обучения математике в средней школе.

Выскажем по этому вопросу некоторые общие соображения, которые в дальнейшем изложении получат более конкретное освещение.

. При обучении математике, прежде всего, необходимо показать опытное происхождение различных математических понятий и существование определяемых объектов. «Как понятие числа, так и понятие фигуры заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определенную форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было дойти до понятия фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть - весьма реальный материал»… «Как и все другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и из механики». [13]

.В процессе формирования математических понятий следует уделить внимание наблюдению, связи с реальными предметами и явлениями. Переход к абстракции, к обобщениям целесообразно совершать постепенно, после накопления достаточных наблюдений, дающих возможность подменить в явлениях то общее, что служит существенным признаком образуемого понятия. Приведем несколько примеров.

Понятие о геометрическом теле формируется на основе рассмотрения разнообразных предметов, при этом обращается внимание на то, что каждый из рассматриваемых предметов обладает различными свойствами, среди которых есть и такие, которые присущи всем предметам, а именно: все они имеют форму и размеры и занимают в пространстве определенное положение. Эти общие свойства и составляют сущность понятия о геометрическом теле.

. Следует уделить внимание жизненному опыту учащихся на основе практических работ и наблюдению.

Подобно этому в школах проводится работа по вычислению объема куба и прямоугольного параллелепипеда. При этом учащиеся пользуются имеющимися в школах моделями этих тел, изготовленными самими учениками.

Вычисление объема параллелепипеда иллюстрируется наполнением модели его песком или водой. За единицу объема принимается объем кубического дециметра.

В порядке домашнего задания учащимся может быть предложено измерение площади пола своей квартиры, площади крыши сарая или дома, вычисление кубатуры ящиков, комнаты, кладовой, сарая и т.п., подсчет числа столбов, реек и досок, необходимых для устройства сарая или забора.

Аналогично этому в школах проводятся практические работы при вычислении длины окружности и площади круга, поверхности и объема цилиндра.

Дома учащиеся могут вычислить поверхность и объем бидонов для керосина и масла, ведер цилиндрической формы, водосточных труб, баков для воды, консервных банок и т.п. Учащиеся в домашних условиях могут подсчитать необходимое количество листового железа для изготовления предметов цилиндрической формы, требуемое количество материала для их окраски.

После проведения таких практических работ ученики сознательнее будут решать задачи на вычисление периметров и площадей прямоугольника и квадрата, треугольника и четырехугольника произвольной формы, на вычисление длины окружности и площади круга, поверхности и объема куба, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра по готовым данным.

При изучении арифметики учащиеся средней школы могут быть ознакомлены с некоторыми деловыми бумагами и их составлением. При этом, конечно, имеются в виду такие деловые бумаги, которые требуют различных денежных и материальных расчетов. Формы деловых бумаг не должны быть надуманными, они должны соответствовать во всем тем деловым бумагам, которые составляются и применяются в различных учреждениях, на производстве и т.д. Формы деловых бумаг расчетного характера могут быть получены в сберегательной кассе, банке, в бухгалтерии, на предприятиях, домоуправлении, в плановых комиссиях и статистических бюро, в торговых учреждениях и т.д.

Приведем некоторые примеры.

В приходной кассе дневные операции записываются в особую ведомость платежей. Итог по такой ведомости за день учащиеся могут подсчитать на калькуляторах, ЭВМ. Такие упражнения приобретают осмысленный, деловой характер, они, как правило, выполняются учащимися с повышенным интересом.

Упражнения с калькулятором с использованием отвлеченного материала такого интереса у учащихся не вызывают. В качестве практической работы учащимся может быть предложено подведение итога дневных поступлений приходной кассы банка по квартирной плате домоуправлению, по платежам за коммунальные услуги разных видов.

При изучении процентов учащимся можно предложить самостоятельно заполнить приходную ведомость и подсчитать пени за просрочку платежа.

Так выполняются упражнения и по некоторым другим денежным и материальным расчетам сберегательной кассы или банка, домоуправления, школы и т.д.

В сельской местности подобные расчеты можно проводить по формам, применяемым в местных учреждениях и предприятиях.

В качестве практических работ в 5 и 6 классе при изучении арифметики могут быть составлены расчеты дневных, недельных и месячных расходов семьи, сметы на закупку учебников и учебных принадлежностей к началу учебного года, на оборудование инвентарем школьной спортивной площадки, на проведение туристского похода, на побелку и ремонт квартиры, на окраску полов и крыши, на устройство изгороди, сарая и т.п.

2.2 Методические приемы использования эмпирических методов в обучении математике и основные виды работ учащихся

О важности методов наблюдения и опыта нами говорилось в первой части. Раскроем основные приёмы применения этих методов.

Основные методические приёмы:

1. Как можно более полное использование окружающей действительности, находящейся перед глазами (на полу, потолке, стенах класса и т.п.), а так же вещей и явлений, представлений о них, известных учащимся из их жизненного опыта, т.е. использование натуральной наглядности.

. Применение специальных математических наглядных пособий, в том числе, самодельных, стационарных и подвижных (например, тригонометр), т.е. использование изобразительной наглядности и ТСО.

. Использование простейших математических инструментов для измерений, вычислений и обработки результатов наблюдения и опыта, а также простейших математических методов обработки и оценки этих результатов. Письменные отчеты о таких работах составляются учащимися по заданной форме, проверяются и оцениваются учителем.

Использование эмпирических методов в обучении математике

традиционно происходит в форме практических и лабораторных работ.

В деле выработки у учащихся умений и навыков применения полученных математических знаний на практике большое значение имеют практические работы (измерения на местности и т.д.), проводимые в процессе изучения математики.

Однако систематическое проведение непосредственно практических работ в процессе изучения математики часто бывает затруднительно ввиду отсутствия поблизости подходящих объектов для измерений. Кроме того, при выполнении практических работ, например, по измерению объектов хозяйственных сооружений, трудно предоставить возможность полной самостоятельности каждому учащемуся в решении поставленной задачи. В результате часто получается, что при выполнении практической работы одни учащиеся действительно проявляют инициативу в поисках наилучшего пути решения поставленной задачи и с увлечением производят непосредственные измерения величин, необходимые для её решения, другие же только наблюдают за работой первых и производят необходимые вычисления по готовым данным и указанным формулам.

Под лабораторными занятиями в школе обычно понимают самостоятельные работы учащихся, проводимые под руководством учителя в специально оборудованных учебных кабинетах физики, химии, биологии или в классах, способствующих «наиболее полному и глубокому усвоению учебного предмета и образованию у учащихся конкретных представлений об изучаемых объектах и явлениях» [21]

В математике лабораторными работами называют самостоятельное решение учащимися задач, условия которых задаются конкретными техническими деталями, различными предметами или специально для этого изготовленными моделями, чертежами и т.п., для достижения определённых учебных целей, в частности для выработки у учащихся умений и навыков применения на практике полученных математических знаний.

Практические работы могут сопровождаться выходом на реальные объекты с целью получения данных для составления и решения конкретных задач производственного или жизненно-практического содержания. Это, главным образом, экскурсии и измерительные работы на местности. Во всех случаях учащихся необходимо учить приемам выполнения всех видов практических и лабораторных работ, содержащих наблюдения, опыт, измерения, а также вычисления на основе полученных результатов.

Приведем в качестве примера выполнения лабораторной работы частный прием изготовления модели многогранника из картона:

1.      Вычертить на листе картона наиболее рациональную развертку

2.      многогранника в натуральную величину вместе с соединительными клапанами для склеивания многогранника из этой развертки;

.        Вырезать из картона развертку вместе с клапанами;

.        Согнуть развертку по линиям, отделяющим грани друг от друга и клапаны от граней; чтобы линия сгиба была ровной, предварительно сделать по этой линии надрез;

.        Склеить многогранник из полученной развертки;

.        Грани оклеить, а ребра окантовать полосками цветной бумаги.

Охарактеризуем общие приёмы наблюдения, измерения и опыта.

Общий прием наблюдения.

·        определить (или принять данную учителем) цель наблюдения;

·        выделить объект наблюдения и организовать удобные условия наблюдения (расположение, освещение и т.п.);

·        определить наиболее целесообразные для данного случая способы фиксирования (кодирования) получаемой в процессе наблюдения информации (описание, зарисовка, запись данных в таблицу, фотографирование, видеозапись и т.п.);

·        выполнить на, сопровождая его избранным способом фиксирования результатов.

Общий приём проведения опыта:

·        определить цель опыта;

·        выделить объект данного эксперимента;

·        выбрать подходящие условия и инструменты, требуемые для проведения опыта;

·        выполнить эксперимент (опыт) и зафиксировать результат.

Общий приём измерения:

·        определить (или принять данную учителем) цель измерения;

·        выделить объект измерения;

·        определить наиболее приемлемые для данного измерения инструменты;

·        выполнить измерение объекта, сопровождая его избранным способом фиксирования результатов.

Учащихся необходимо обучать приемам свободного владения инструментами и методами эмпирического исследования, применяемыми в школьном курсе математики, на основе которых вырабатываются соответствующие умения, позволяющие самостоятельно сделать определенные выводы. Всего этого можно достичь при выполнении практических и лабораторных работ.

Это - упражнения с графиками, измерительные работы на местности, моделирование, работа с вычислительной техникой и т.д. В соответствии со сказанным выше, в зависимости от цели обучения такие работы делятся на два вида: познавательные (исследовательские), используемые на этапе изучения нового, и прикладные, используемые на этапе применения знаний. Первые ставят целью познакомить учащихся с новым для них математическим фактом, вторые - научить применять математические знания к конкретным задачам, например, с измерениями на моделях геометрических тел и вычислениями площадей их поверхностей, объемов или с измерениями на карте и вычислениями реальных расстояний.

Использование символической наглядности рисунков, чертежей, диаграмм, графиков, символов и т.п., обучение школьников приемам построений, чтения графической наглядности, записи математических предложений помогает учащимся лучше усвоить новый материал.

Для того чтобы учитель мог эффективно использовать эти методические приемы, у него должен быть оборудован кабинет математики. В соответствии с «Типовыми перечнями учебного оборудования для общеобразовательных школ» 1999 г., в состав учебного оборудования по математике для средней школы входят: а) приборы, наборы моделей, приборы с магнитным креплением, резиновые штемпели, набор геометрических тел, набор инструментов для измерений на местности, набор чертежных инструментов, набор моделей для проведения лабораторных работ; б) печатные средства обучения (рабочие и справочные) таблицы, карточки с заданиями, тетради с печатной основой; в) экранные средства обучения (диапозитивы, кодопозитивы, диафильмы, кинофильмы для использования ТСО, и т.д.).

2.3 Применение наблюдения, опыта и измерения на уроках математики. Значение эмпирических методов в эвристической деятельности учащихся

Для того чтобы ознакомить учащихся восьмилетней школы с понятиями площади, периметра и равновеликости многоугольников, можно предложить им следующую серию упражнений:

б) сравните площади и периметры данных фигур (рис. 2, в, г)

в)      сколько квадратных единиц понадобится для того, чтобы

сложить из них фигуры, изображенные на рисунке 3, а, б. Сравним

площади и периметры этих фигур;

г)       используя цветные резинки, постройте на генплане модели

треугольников так, как это показано на рисунке 6. Сравните площади и периметры этих фигур.

Учащиеся легко выполняют первые три задания опытным путем, подсчитав число одинаковых квадратиков (клеток), из которых состоит каждая фигура и число линейных единиц по контуру каждой фигуры.

При выполнении четвертого задания рассчитать значения площади треугольников легко, а периметров - затруднительно. Тем не менее, наблюдая, учащиеся усматривают, что периметры каждого из этих треугольников различны, тогда как площади треугольников одинаковы.

Опыт и наблюдение говорят учащимся о том, что существуют многоугольники, имеющие равные площади, но различные периметры, а также - многоугольники, имеющие равные периметры и различные площади. Учителю остается лишь добавить, что фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Наблюдая за характером разложения натуральных чисел на простые множители и выполняя эти разложения для различных натуральных чисел (проводя опыт), учащиеся вникают в смысл понятий простого и составного числа.

= 1; 2 = 2∙1; 3 = 3∙1; 4 = 2∙ 2∙1=4∙1; 5=5∙1;

= 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 ∙ 1;….

Кстати говоря, в данном случае именно наблюдение и опыт дают возможность учащимся сознательно усвоить определение понятия простого и составного числа (простое натуральное число - это такое число, которое имеет два и только два различных делители) и не допускать ошибки соотнесения единицы к множеству простых чисел.

Итак, хотя наблюдение и опыт не являются центральными методами математического исследования, в обучении математике эти методы играют важную роль. Вместе с тем учителю и учащемуся следует помнить о том, что результаты наблюдения и опыта не могут приниматься за строгое обоснование того или иного математического факта, хотя часто помогают обнаружить его.

Наблюдение, опыт и измерения должны быть направлены на создание в процессе обучения специальных ситуаций и предоставление учащимся возможности извлечь из них очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т.д. Чаще всего результаты наблюдения, опыта и измерений служат посылками индуктивных выводов, с помощью которых осуществляются открытия новых истин. Поэтому наблюдение, опыт и измерения относят и к эвристическим методам обучения, т.е. к методам, способствующим открытиям.

Если показать учащимся 5-6 классов различные фигуры, в том числе окружающие нас предметы, среди которых одни обладают, а другие не обладают осевой симметрией, то наблюдение этих фигур позволяет заметить, что каждая из «симметричных» фигур делится некоторой прямой на две части так, что, если согнуть фигуру по этой прямой, одна ее часть полностью наложится на другую. Для каждой же из «несимметричных» фигур такой прямой нельзя найти.

После такого наблюдения «симметричных» фигур вокруг нас (архитектурных украшений, строительных и других деталей, некоторых листьев на деревьях и т.д.) можно перейти к дальнейшему изучению осевой симметрии с помощью специального опыта (эксперимента).

Каждому ученику предлагается согнуть лист бумаги так, чтобы одна часть листа упала на другую и образовалась линия сгиба. Затем предлагается выпрямить снова лист и отметить на нем произвольную точку А, не лежащую на линии сгиба, затем снова согнуть лист по той же линии сгиба и определить, глядя на свет через согнутый лист, с какой точкой совпала при этом точка А. Пусть это точка А₁ Учащимся сообщают, что точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой l (линии сгиба), называемой осью симметрии этих точек. Для другой точки В, лежащей по другую сторону от линии сгиба, чем точка А, предлагается определить (опытным путем, с помощью сгибания листа) симметричную ей точку относительно той же оси l. Замечаем, что, если взять точку С на линии сгиба, она остается неподвижной при сгибании листа, т.е. не совпадает с какой-либо другой точкой листа. Мы говорим, что любая точка оси симметрии (линии сгиба) симметрична самой себе.

Естественно возникает вопрос: чем же характеризуется расположение относительно оси пары симметричных точек (А, А₁, В, В₁), как это можно описать с помощью уже известных геометрических терминов? Учащиеся замечают (возможно, с помощью учителя), что симметричные точки (если они различны) всегда лежат по разные стороны от оси симметрии. Предлагается соединить симметричные точки отрезком прямой. Учащиеся высказывают гипотезу, что симметричные точки отстоят на равных расстояниях от оси симметрии, т.е. что отрезки АА₁ и ВВ₁ делятся осью симметрии пополам. Это предположение подкрепляется с помощью измерения соответствующих отрезков.

Если учащиеся не замечают перпендикулярности отрезка АА₁ и ВВ₁ к оси симметрии (обычно равенство углов не так быстро обнаруживается, как равенство отрезков), то берут две точки, равностоящие от оси по разные стороны от нее, но не на одном перпендикуляре к ней, и задают вопрос: будут ли эти точки симметричны относительно той же оси?

Сопоставляя расположение этих точек с расположением симметричных точек, учащиеся обнаруживают, что последние лежат на одном перпендикуляре к оси симметрии. Это пока предположение, которое также подкрепляется измерением соответствующих углов.

Если соединить отрезками точки А и В и симметричные им точки А₁ и В₁, то при сгибании листа бумаги по линии l отрезок АВ наложится на отрезок А₁В₁ т.е. обнаруживается, что расстояние между двумя точками А и В равно расстоянию между симметричными им точками А₁ и В₁.

Опытным же путем обнаруживается также, что каждая из полуплоскостей с границей l «накладывается» (преобразуется, отображается) на другую.

Таким образом, с помощью наблюдения, опыта и измерений формируется представление об осевой симметрии как о преобразовании плоскости, при котором каждой точке сопоставляется симметричная ей относительно оси l точка и мы получаем возможность описать осевую симметрию на уже известном учащимся геометрическом языке с помощью следующей совокупности предложений.

(П1) Каждая точка оси симметрии симметрична сама себе. Любые две различные симметричные точки лежат:

(П2) по разные стороны от оси симметрии,

(П3) на одном перпендикуляре к оси и

(П4) на одинаковом расстоянии от оси.

(П5) Расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между симметричными им точками.

(П6) Каждая из полуплоскостей с границей преобразуется в другую.

Полученное описание опыта не является, однако, совершенным. Во-первых, все предложения П1 - П6 «обоснованы» лишь опытным путем. Во-вторых, еще не раскрыты логические связи между ними, не выяснено, какие из этих предложений могут служить посылками для вывода из них остальных предложений этой совокупности (с помощью, возможно, и некоторых других, уже известных геометрических истин).

Приведем пример, когда опыт способствует открытию геометрического свойства и подсказывает путь его доказательства.

Экспериментально обнаружить, что сумма углов данного треугольника равна 180°, можно сразу же, как только учащиеся научатся измерять углы с помощью транспортира.

Учащимся предлагается измерить транспортиром углы начерченного в тетради треугольника и сложить результаты измерения. У некоторых сумма углов треугольника получается меньше 180°, у других - больше, но у всех результаты близки к 180°, а у некоторых даже «точно» 180°. Ученики догадываются, что должно получиться 180°, а другие результаты объясняются погрешностями измерения. Они «совершают открытие»: «Во всяком треугольнике сумма внутренних углов равна 180°».

Это предположение подкрепляется вторым опытом, подсказывающим идею доказательства (одного из возможных доказательств). У каждого школьника заготовлен вырезанный из бумаги треугольник.

Учитель предлагает «оторвать» два угла и приложить их к третьему так, как он это делает сам на большом треугольнике. Учащиеся замечают, что получены три угла с общей вершиной А, расположенные по одну сторону от прямой. Следовательно, сумма этих углов равна 180°. С помощью этого опыта (уже без измерений) мы пришли к той же гипотезе, и всем кажется, что обнаруженное свойство достоверно. Но можно ли быть уверенным в том, что два луча, сходящиеся в точке А, образуют прямую линию? Ведь они могут образовать ломаную, так мало отличающуюся от прямой, что мы этого не заметим. Но в этом случае сумма углов уже не будет равна 180°.

Таким образом, проведенный опыт не заменяет доказательство. Он лишь подсказывает один из возможных путей доказательства открытого опытным путем свойства.

С помощью простого опыта формируется и наглядное представление о перемещении как об отображении плоскости на себя, сохраняющем расстояние между точками. На лист бумаги кладут тонкую прозрачную пластинку со многими отверстиями. С помощью карандаша отмечается на листе положение одного отверстия (одной точки). Пусть это точка А плоскости. Затем перемещают произвольно пластинку на листе и через это же отверстие отмечается новая точка А. При этом отмечается, что так можно поступить с любой точкой плоскости.

Затем отмечают острием карандаша через два отверстия пластинки точки В и С плоскости и после некоторого перемещения пластинки через те же отверстия отмечают новые точки В₁ и С₁ соответственно. Так как при перемещении пластинка не растягивается и не сжимается, то расстояния между точками сохраняются, т.е.

| ВС | == | В₁ С₁ |

Таким образом, всякая точка Х неподвижного листа отображается точно в одну точку Х₁ этого же листа. Так получается отображение плоскости на себя, при котором расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами.

С помощью описанного опыта обнаруживаются и важнейшие свойства движения:

а) если три точки А, М, В лежат на одной прямой, то и их образы А₁, М₁, В₁ тоже лежат на одной прямой;

б) если точка М лежит между точками А и В, то и М лежит между А₁ и В₁.

Открытые опытным путем, эти свойства, разумеется, подлежат доказательству. Здесь опять опыт проявляется как эвристический метод.

Рассмотрим пример применения опыта для открытия алгебраической закономерности.

Допустим, что в одном, синем, мешочке имеется t синих палочек, а в другом, красном, мешочке - n красных палочек. Нужно освободить один мешочек. Мы можем это сделать двумя способами. Можно пересыпать все красные палочки из красного мешочка в синий, и тогда в нем окажется t + n палочек. Но можно пересыпать все синие палочки в красный мешочек, и тогда в нем окажется n + t палочек. Но и в одном, и в другом случае мы имеем в мешочке одно и то же множество палочек. Следовательно,

t + n = n + t.

Разумеется, в конкретном опыте t и n обозначают определенные числа. Поэтому полученное равенство является лишь одной из посылок, с помощью которых уже другим методом (индукцией) получают общий закон коммутативности сложения натуральных чисел: «t+n = n+t; для любых натуральных чисел t и n».

Подсчет двумя способами (по рядам и по столбцам) единичных квадратиков, заполняющих прямоугольник, измерения которого выражаются натуральными числами, является опытом, с помощью которого обнаруживается коммутативность умножения натуральных чисел.

Важно отметить, что с помощью эмпирических методов (наблюдения, опыта, измерений) выполняется лишь начальный этап работы по математическому описанию реальных ситуаций. Получаемый математический материал (интуитивные понятия, гипотезы, совокупности математических предложений) подлежит дальнейшей обработке уже другими методами.

.4 Анализ педагогического опыта применения эмпирических методов в обучении математике

В пункте 1.4. было уже сказано, что наиболее часто эмпирические методы применяются в естественнонаучных дисциплинах (химии, биологии, астрономии, физике, географии и т.д.).

Для математики эти методы не являются характерными, поскольку математика не является экспериментальной наукой, и, следовательно, опытное подтверждение не может служить достаточным основанием истинности ее предложений. Но, именно, использование эмпирических методов обучения в математике позволяет показать связь данной дисциплины с другими науками.

Интеграция уроков математики с историей, астрономией, географией, экономикой, музыкой, биологией, физикой и другими учебными предметами позволяют многогранно рассмотреть многие важные явления, связать уроки математики с жизнью, показать богатство и сложность окружающего мира, дать детям заряд любознательности, творческой энергии. У ребят появляется возможность создать не только собственную модель мира, но и выработать свой способ взаимодействия с ним. Учителю же интеграция предметов позволяет воспитывать у ребят стремление к целенаправленному преодолению трудностей на пути познания. Новые функции педагога главным образом определяются необходимостью чётко представлять структуру учебной деятельности и свои действия на каждом этапе от возникновения замысла до полного его осуществления. В связи с этим выделяют три основные задачи педагога:

) включение учащихся в самостоятельную познавательную деятельность (организация учебной деятельности школьников);

) обеспечение эмоциональной поддержки, создание каждому ученику ситуации успеха на основе применения индивидуальных эталонов оценивания;

) проведение экспертизы полученного результата как педагогом, так и учеником.

Например, хотелось бы показать связь математики с географией, а именно охарактеризовать интегрированный урок, предложенный учителями Е.С. Кононовой, (учитель математики), и Т.Е. Новокрещеновой, (учитель географии). [25]

Работая в 7-9-х классах, учителя пришли к выводу, что в силу психолого-возрастных и ряда других причин (например, увеличение числа предметов с переходом из класса в класс, а следовательно, повышение нагрузки) у детей пропадает желание учиться, активно заниматься на уроках. Как следствие - снижение уровня знаний учащихся, отдаление от школы и т.д. Поэтому повышение интереса учащихся к предмету, мотивация учения - это немаловажная задача учителя.

Данный интегрированный урок позволяет показать ученикам 5-го класса взаимосвязь математики и географии. Ребята привыкли видеть эти науки в качестве отдельных учебных дисциплин. Очень часто на уроке математики приходится отвечать на вопросы, зачем нужно изучать ту или иную тему и для чего вообще нужно учиться решать задачи? Несомненно, уже в 5-м классе ученикам необходимо показывать взаимосвязь изучаемых ими дисциплин, учить применять полученные знания не только на конкретном уроке, но и в нестандартной ситуации. Например, показать, что география, изучая законы природы, использует несколько методов изучения. Математика, в свою очередь, позволяет производить точные измерения, делать расчеты и подтверждать наблюдения.

Предлагаемый интегрированный урок - урок обобщения знаний по математике и географии, позволяющий определить уровень знаний учащихся. Он подробнее представлен в приложении 1.

Покажем некоторые примеры интегрированных уроков.

Например, учитель Селезнёва Т.М. (г. Москва) [25] предлагает рассмотреть на уроке связь математики с астрономией, используя при этом эмпирические методы познания. Ребята, повторяя тему «Координатная плоскость», с интересом будут выполнять задания на карточках, отыскивая изображение созвездий, с помощью заданных координат.

Применяя на практике один из методов изучения природы - наблюдение, ребята используя карту звёздного неба видят, что каждое созвездие имеет определённую форму, размер. Метод наблюдения позволяет сделать вывод, что каждое созвездие отличается друг от друга по форме и размерам. Это можно подтвердить математическими расчётами, созвездия строятся с помощью заданных координат.

Другие учителя показывают связь математики и музыки. Например учитель Белошова И.В (г. Москва) [25] предлагает интегрированный урок музыки и математики в 5 классе по теме «Какое значение имеют дроби в музыке?».

Этот урок является обобщением изученных тем прошлых уроков по музыке («Музыкальный ритм и размер») и математике («Обыкновенные дроби»). Поэтому основная работа ведется на повторение и закрепление пройденного материала. Нетрадиционное построение урока имеет несколько целей: во-первых, заинтересовать необычностью проведения этапов урока, во-вторых, снять напряжение через чередование различных видов деятельности, в-третьих, охватить большее количество учащихся, а также расширить образовательный потенциал урока. Отбор материала и методов обучения осуществлялся с учетом особенностей учащихся данного класса и, в основном, ориентированы на среднего ученика. Главный акцент направлен на проверку знаний учащихся на данном этапе.

Учитель - Тема нашего урока: «Какое значение имеют дроби в музыке?». Сегодня мы попробуем ответить на этот вопрос. Вспомним, что мы уже знаем о дробях.

Опрос

Записи какого вида называют обыкновенными дробями?

Что показывает знаменатель дроби?

Что показывает числитель дроби?

Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше, а какая больше?

Как изображаются равные дроби на координатном луче?

Приведите пример двух равных дробей с различными числителями.

Учитель - Дроби широко используются в музыке для обозначения длительностей нот.

Давайте вспомним длительности, которые мы знаем.

Дети - Целая

Учитель - А если перевести на язык математики, что это будет?

Дети - 1

Учитель - Какие еще длительности знаем?

Дети - Половинная.

Учитель - Почему она так называется, и как она будет выглядеть, если перевести ее на язык математики?

Дети - По длительности она ровно на половину короче целой. На языке математики это будет 1/2. Еще существует четвертная, на языке математики это будет 1/4. Восьмая, на языке математики - 1/8.

На данном уроке ребята также сравнивают длительности нот, используя при этом математические методы.

Учитель Вагина Н.А. (г. Сызрань) [25] предлагает интегрированный урок математики и окружающего мира для учащихся 5 класса «Обобщение знаний учащихся по теме «Величины» на основе краеведческого материала».

Учитель вместе с учащимися повторяет историю родного края, наблюдая по атласу местоположение различных географических объектов, но без математики нельзя сделать точные вычисления, такие как площадь, длина и т.д., поэтому в начале урока учащимся задаются вопросы такие как:

·        Что вы можете сказать о понятии «величина»? (ответы учащихся)

·        Что можно измерить у предметов? (На доске по мере ответов учащихся появляются карточки: длина, масса, площадь, объём, стоимость).

·        Что можно измерить у явлений? (На доске появляется карточка: время).

·        Какие действия можно производить с величинами?

Далее ребятам даются задания по теме.

·        На сколько квадратных километров площадь Самарской области больше площади Дании? (на 10910 квадратных километров)

·        Ребята, назовите реки, протекающие по территории нашей области? (Индивидуальная работа учащихся с «Атласом Самарской области» страница 4, «Физическая карта»).

·        Назовите самую крупную реку области? (Волга).

·        Общая длина Волги 3690 километров, из них 3350 километров река протекает по территории других областей. Сколько километров приходится на Самарскую область? (340 километров).

Чтобы собрать точные сведения о площади области, длин рек и других объектов, учащиеся проводят измерения по карте атласа.

2.5 Анализ учебно-методических пособий по математике основной школы с целью выявления возможности применения эмпирических методов в обучении

Рассмотрим некоторые учебники школьного курса математики, в которых наиболее ярко прослеживается акцент на применение эмпирических методов в обучении. Ранее в пункте 1.7. нами были рассмотрены возрастные особенности математического мышления учащихся. Проанализируем как эти особенности учитываются авторами при подборе теоретического содержания, задачного материала.

Отличительной особенностью содержания курса математики для V-VI классов, представленного в учебных комплектах под редакцией Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, является наличие геометрической составляющей, значительно отличающейся от геометрического материала пропедевтической направленности, традиционного для действующих в V-VI классах учебников. Речь идет о наглядной геометрии. Включением наглядной геометрии авторы решают ведущую целевую установку курса - развитие школьника.

Изучение геометрии начинается с того, что учащиеся учатся различать элементы геометрических фигур, устанавливать отношения между этими элементами и отношения между отдельными фигурами. Анализ геометрических объектов осуществляется ими в процессе и с помощью наблюдения, измерения, вычерчивания, моделирования.

Сначала фигуры выступают носителями свойств, найденных экспериментально, а установленные свойства используются учащимися для распознавания, описания, построения фигур. Так, например, учащиеся знают, что диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, поэтому, построив два взаимно перпендикулярных диаметра окружности и соединив последовательно их концы, они легко узнают в получившемся четырехугольнике квадрат [16].

Основная цель темы «Площади и объемы» - расширить представления учащихся об измерении геометрических величин на примере вычисления площадей и объемов и систематизировать известные им сведения о единицах измерения. При изучении темы учащиеся встречаются с формулами. Навыки вычисления по формулам отрабатываются при решении геометрических задач.

В теме «Инструменты для вычислений и измерений» учащиеся изучают понятие «угол», «треугольник», величину угла, единицы измерения углов, осваивают процесс измерения углов, построение угла заданной величины. Здесь продолжается работа по распознаванию и изображению геометрических фигур.

В 6 классе курс продолжается изучением таких тем как «Прямые и окружности». В данной теме даются представления о длине окружности и площади круга. Соответствующие формулы к обязательному материалу не относятся. Рассмотрение геометрических фигур завершается знакомством с шаром.

В курсе алгебры 7-9 кл. рассмотрим два комплекта: Алгебра 7-9, Мордкович А.Г., Алгебра 7-9, Макарычев Ю.Н. В учебнике Мордковича А.Г. в 7 классе изучаются рациональные уравнения и показывается, то, что рациональные уравнения могут служить моделями реальных ситуаций. А вот уже в 8 классе в учебнике этого же автора об этом говорится более подробно при решении различных математических задач, где сначала рассматривается математическая модель. На этом этапе осуществляется перевод условия задачи с обыденного языка на математических язык, т.е. выполняется серьёзная творческая работа, где и применяются основные эмпирические методы. В учебнике для 9 класса автор выходит за пределы минимума содержания курса алгебры основной школы, об этом свидетельствует глава 5, где раскрываются элементы теории тригонометрических функций и здесь учащиеся могут наблюдать как изменяются графики данных функций в зависимости от аналитического задания функции.

В комплекте по алгебре для 7-9 кл. Макарычева Ю.Н. в ходе изучения темы «Действительные числа» вводятся понятия рационального и иррационального числа. Изучая тему, учащиеся убеждаютcя в том, что рациональные числа обладают свойством плотности, благодаря чему всякий отрезок можно с любой степенью точности измерить отрезком, принятым за единицу, и выразить результат измерения рациональным числом. В результате учащиеся приходят к выводу: рациональные числа долгое время вполне обеспечивали (и обеспечивают до сих пор) практические потребности людей. Задача измерения величин привела к появлению новых, иррациональных чисел.

Изучение геометрии по учебнику для 7-9 класса Л.С. Атанасяна начинается с начальных геометрических сведений, где ребята изучают такие темы как «Измерение отрезков», «Измерение углов», знакомясь с методом измерения, изучая возможности инструментов. При изучении темы «Теорема Пифагора» учащиеся могут установить опытным путём соотношение между гипотенузой и катетами на основе измерений, ещё не зная самого доказательства теоремы.

Также, ребята знакомятся с новыми фигурами и со многими важными и интересными свойствами уже известных фигур, узнают о том, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.

В курсе геометрии 7-9 Погорелова А.В. очень интересно представлены темы такие как: «Преобразование симметрии в пространстве», «Симметрия в природе и на практике», где с помощью рисунков учащиеся наблюдают симметрию в природе в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, а опытным путём могут в этом убедиться.

В результате можно сказать, что метод наблюдений используется на всех ступенях обучения, в средней школе широко используется метод измерений, так как математика является точной наукой, и опыт, так как многие важные открытия и факты устанавливаются опытным путём.

Заключение

Покажем, как решены в выпускной квалификационной работе задачи, сформулированные во введении. Первая задача - изучить теорию данного вопроса в психолого-педагогической и методической литературе - решается в введении и частично в первом разделе. Анализ педагогической и методической литературы включает в себя рассмотрение следующей последовательности вопросов: 1) актуальность темы исследования; 2) различные подходы к понятию метода обучения; 3) классификация методов обучения; 4) выбор оптимального метода обучения.

Вторая задача выпускной квалификационной работы - охарактеризовать основные группы методов обучения математике, уделив специальное внимание эмпирическим методам - решается в первом её разделе. При характеристике основных групп методов обучения математике рассмотрена и историческая сторона вопроса - от возникновения необходимости упорядочения сложившейся системы методов (60-е годы XX в., Е.Я. Голант) и до обстоятельного анализа классификации методов, предложенного Ю.К. Бабанским.

Третья задача - раскрыть особенности методики применения эмпирических методов. Данная задача решена во втором разделе выпускной квалификационной работы. В нём рассмотрены методические приёмы использования эмпирических методов, этапы использования метода наблюдения, измерения и опыта. Во втором разделе так же решена и четвёртая задача - изучить педагогический опыт применения эмпирических методов в обучении математике учащихся основной школы. Здесь представлены примеры использования этих методов на уроках математики, а так же представлены примеры интегрированных уроков.

Таким образом, все задачи, сформулированные во введении, решены, цель выпускной квалификационной работы достигнута.

Список используемой литературы

1.   Бабанский Ю.К. Методы и средства обучения. Применение ЭВМ в учебном процессе // Педагогика / Под ред. Ю.К. Бабанского. - М.: Просвещение, 1988.

2.      Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе. - М.: Просвещение, 1985.

.        Голант Е.Я. Методы обучения в советской школе. - М.: Просвещение, 1957.

.        Данилов М.А. Процесс обучения в советской школе. - М.: Просвещение, 1960.

5.   Дорофеев Г.В., Бунимович Е.А., Краснянская К.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Рослова Л.О., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. Математика 5 класс. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

.     Епишева О.Б. Общая методика преподавания математике в средней школе. - Тобольск.: ТГПИ им. Д.И. Менделева, 1997.

7.      Лемберг Р.Г. Дидактические очерки. - Алма-Ата.: Просвещение, 1960.

.        Лернер И.Я. Дидактические основы методов обучения. - М.: Просвещение, 1981.

.        Методика преподавания математики в средней школе. Оганесян В.А., Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Саннин В.Я. - М.: Просвещение, 1980.

.        Основы дидактики / Под.ред. Б.П. Есипова. - М.: Просвещение, 1967.

.        Орехов Ф.А. Графические лабораторные работы по геометрии. - М.: Просвещение, 1967.

.        Проблемы методов обучения в современной общеобразовательной школе /Под.ред. Ю.К. Бабанского, И.Д. Зверева. - М.:Просвещение, 1980.

.        Прочухаев В.Г. Связь теории с практикой в преподавании математики. - М.: учпедгиз, 1958.

.        Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. - М.: Просвещение, 1995.

.        Сластенин В.А., Исаев И.Ф., Шиянов Е.Н. Общая педагогика / Под.ред. В.А. Сластёнина: В 2 ч. - М:.Просвещение, 2002. Ч. 1. С. 274-275

16. Рослова Л.О. Геометрическая линия нового учебника для 5-6 классов. // Математика в школе. - 1999. - №5, С. 15 - 22.

18.    Алгебра 8 класс. Учебник дя общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. - М.: Просвещение, 2001

.        Данилюк А.Я. Теория интеграции образования.-Ростов-на-Дону.: РГПУ, 2000

.        Кононова Е.С., Новокрещенова Т.Е., Интегрированный урок математики и географии в 5 классе. школа №897, г. Москва

.        Чуканцов С.М. Лабораторные работы по математике. - М.: Просвещение, 1961.

22. Волошинов А.В. Союз математики и эстетики // Математика в школе. -2006. - №7. С. 62.

. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. - М.: Просвещение 1997.

. http://pedagogika.by.ru/

. Леонардо да Винчи. Микеланджело. Рафаэль. Рембрандт. - СПб.: Лио Редактор, 1995. (Жизнь замечательных людей). - С. 86-87.).