Единое электродинамическое поле и его распространение в виде плоских волн
Единое электродинамическое поле и его распространение
в виде плоских волн
Сидоренков В.В., МГТУ им. Н.Э. Баумана
Рассматриваются
структура и характеристики распространения векторного четырехкомпонентного
единого электродинамического поля, реализующего своим существованием
функционально связанные между собой составляющие его поля: электромагнитное
поле с векторными компонентами электрической и магнитной напряженности, поле
электромагнитного векторного потенциала, состоящего из электрической и
магнитной компонент, электрическое поле с компонентами электрической
напряженности и электрического векторного потенциала, магнитное поле с
компонентами магнитной напряженности и магнитного векторного потенциала.
В
настоящее время установлено [1, 2], что в отношении полноты охвата явлений
электромагнетизма, наряду с системой уравнений электродинамики Максвелла
электромагнитного (ЭМ) поля с компонентами электрической и магнитной напряженности:
(a)
, (b) , (1)
(c)
, (d) ,
существуют
и другие системы полевых уравнений, концептуально необходимые для анализа и
адекватного физико-математического моделирования электродинамических процессов
в материальных средах. Здесь и - электрическая и магнитная постоянные, , и - удельная электропроводность и относительные
диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, соответственно, - объемная плотность стороннего
электрического заряда; -
постоянная времени релаксации заряда в среде за счет электропроводности.
Уравнения
в этих других системах рассматривают области пространства, где присутствуют
либо только поле ЭМ векторного потенциала с электрической и магнитной компонентами:
(a)
, (b) , (2)
(c)
, (d) ;
либо
электрическое поле с компонентами и :
(a)
, (b) , (3) (c)
, (d) ;
либо,
наконец, магнитное поле с компонентами и :
(a)
, (b) , (4)
(c)
, (d) .
Основная
и отличительная особенность уравнений систем (2) – (4) в сравнении с
традиционными уравнениями Максвелла ЭМ поля (1) с физической точки зрения
состоит в том, что именно они, используя представления о поле ЭМ векторного
потенциала, способны последовательно описать многообразие электродинамических
явлений нетепловой природы в материальных средах, определяемых электрической
или магнитной поляризацией и передачей среде момента ЭМ импульса, в частности,
реализуемых в процессе электрической проводимости [3] .
Принципиально
и существенно то, что все эти системы электродинамических уравнений, в том
числе, и система (1) для локально электронейтральных сред (), являются непосредственным
следствием фундаментальных исходных соотношений функциональной первичной
взаимосвязи ЭМ поля и поля ЭМ векторного потенциала [1, 2]:
(a)
, (b) , (5)
(c)
, (d) .
Очевидно,
что данная система соотношений может служить основой для интерпретации
физического смысла поля ЭМ векторного потенциала [4], выяснения его роли и
места в явлениях электромагнетизма. Однако самое главное и интересное в них то,
что они представляют собой систему дифференциальных уравнений, описывающих
свойства необычного вихревого векторного поля, состоящего их четырех полевых
векторных компонент , , и , которое назовем единое электродинамическое
поле.
для
потока ЭМ энергии из уравнений системы (1)
, (6)
для
потока момента ЭМ импульса из уравнений системы (2)
(7)
для
потока электрической энергии из уравнений системы (3)
, (8)
и
для потока магнитной энергии из уравнений системы (4)
. (9)
Как
видим, соотношения (5) действительно фундаментальны и их следует считать
уравнениями единого электродинамического поля, базирующегося на исходной своей
составляющей - поле ЭМ векторного потенциала, состоящего из двух взаимно
ортогональных электрической и магнитной векторных полевых компонент. При этом поле ЭМ
векторного потенциала своим существованием реализует функционально связанные с
ним другие составляющие единого поля: ЭМ поле с векторными компонентами и , электрическое поле с компонентами и , магнитное поле с компонентами и .
Отмеченная
здесь структура и взаимосвязь составляющих единого электродинамического поля
сохраняется и в статической асимптотике. Логика построения систем полевых
уравнений для стационарных составляющих единого поля и анализ физического
содержания таких уравнений изложены, например, в работе [5].
Таким
образом, имеем очевидное обобщение и серьезное развитие представлений
классической электродинамики. В частности, показано, что, так же как и в случае
ЭМ поля, в Природе нет электрического, магнитного или другой составляющей
единого электродинамического поля с одной полевой компонентой. Структура
обсуждаемых составляющих единого электродинамического поля из двух векторных
взаимно ортогональных полевых компонент – это объективно необходимый способ их
реального существования, принципиальная и единственная возможность
распространения конкретной составляющей в виде потока соответствующей
физической величины, в случае динамических полей - посредством поперечных волн.
Форма
представленных систем уравнений (1) – (4) говорит о существовании волновых
уравнений как для компонент ЭМ поля и , так и для компонент поля ЭМ векторного
потенциала и . В этом можно убедиться,
взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений любой системы, и после
чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. Например, в
качестве иллюстрации получим для системы (2) волновое уравнение относительно :
.
Здесь,
согласно (2c), , - оператор Лапласа, а - фазовая скорость поля
волны в отсутствие поглощения. Следовательно, указанные волновые уравнения
описывают волны конкретной составляющей единого электродинамического поля в
виде одной из парных комбинаций этих четырех волновых уравнений. В итоге
возникает физически очевидный вопрос, что это за волны, и каковы характеристики
распространения таких волн?
Ввиду
того, что уравнения систем (1) и (2) математически структурно тождественны, а
волновые решения уравнений (1) широко известны [6], то далее анализ
характеристик распространения составляющих единого электродинамического поля,
например, в виде плоских волн в однородных изотропных материальных средах
проведем, прежде всего, для уравнений (3) электрического поля и уравнений (4)
магнитного поля. Их необычные структуры между собой также математически
тождественны, а волновые решения систем этих уравнений, как будет показано
ниже, физически нетривиальны.
Итак,
рассмотрим волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны,
распространяющейся вдоль оси 0X с компонентами и для системы (3) либо магнитной волны с
компонентами и для системы (4), которые
представим комплексными спектральными интегралами. Здесь, согласно соотношениям
(5с) и (5d), учтена функциональная взаимосвязь обсуждаемых волн в виде единого
процесса и взаимная коллинеарность векторов и (эти векторы антипараллельны), и компонент полей. Тогда, например, для уравнений
электрического поля указанные интегралы имеют вид:
и ,
где
и - комплексные амплитуды.
Подставляя
их в уравнения (3a) и (3c), приходим к соотношениям и . Соответствующая подстановка интегралов и в уравнения (4а) и (4c) дает и . В итоге для обеих систем получаем общее для
них выражение:
В
конкретном случае среды идеального диэлектрика () с учетом формулы из следует для обеих систем обычное дисперсионное
соотношение [6],
описывающее однородные плоские волны электрического или магнитного полей. При
этом связь комплексных амплитуд компонент указанных волновых полей имеет
специфический вид:
в системе (4),
то
есть при распространении в диэлектрической среде компоненты поля сдвинуты между
собой по фазе на π/2. Специфика здесь в том, что характер поведения
компонент поля такой волны в любой точке пространства аналогичен кинематическим
параметрам движения (смещение и скорость) классической частицы в точке
устойчивого равновесия поля потенциальных сил. Конечно, математически данный
результат очевидно тривиален, поскольку компоненты ЭМ поля и поля ЭМ векторного
потенциала связаны между собой посредством производной по времени (см.
соотношения (5c) и (5d)). Однако с физической точки зрения этот результат
весьма нетривиален и безусловно интересен.
Для
проводящей среды () в
асимптотике металлов ()
дисперсионное соотношение систем уравнений (3) и (4) имеет обычный в таком
случае вид , где [6]. Тогда, например, для
уравнений (3) связь комплексных амплитуд компонент и волновые решения запишутся в виде экспоненциально
затухающих в пространстве плоских волн со сдвигом начальной фазы между
компонентами поля на π/4:
, (10)
.
Для
уравнений системы (4) их волновые решения математически тождественны (10) с
заменой на и на при следующем выражении связи комплексных
амплитуд:
.
Рассмотрим
соответствующие рассуждения для аналогичного представленному выше пакету
плоской волны теперь для ЭМ поля с компонентами и в системе (1), которые в итоге дают соотношения
и . Подобным образом для волны поля ЭМ
векторного потенциала с компонентами и в системе (2) имеем соответственно и . Таким образом, для этих двух систем
электродинамических уравнений снова получаем стандартное выражение:
В
этом случае для диэлектрической среды ()дисперсионное соотношение для волновых решений
уравнений систем (1) и (2) будет , что описывает обычный режим волнового
распространения компонент ЭМ поля [6] и компонент поля ЭМ векторного потенциала
в виде однородных плоских волн. При этом связь комплексных амплитуд волновых
решений уравнений систем (1) и (2) имеет следующий вид:
и ,
где
сами волновые решения описывают указанные волны, компоненты поля которых
синфазно распространяются в пространстве. При этом, согласно соотношениям (5c)
и (5d), волны ЭМ поля отстают по фазе на π/2 от волн ЭМ векторного
потенциала.
Для
проводящей среды () в
асимптотике металлов ()
рассуждения полностью аналогичны вышеприведенным. Здесь связи комплексных
амплитуд для волновых решений уравнений систем (1) и (2) запишутся в виде:
и .
Как
видим, распространение волн всех четырех составляющих единого
электродинамического поля в асимптотике металлов подчиняется теоретически
хорошо изученному закону для плоских волн ЭМ поля в металлах [6].
Подводя
окончательный итог проведенным исследованиям, следует отметить, что именно
уравнения системы (2) поля ЭМ векторного потенциала описывают волны,
переносящие в пространстве поток момента ЭМ импульса, которые еще со времен
Пойнтинга безуспешно пытаются описать с помощью уравнений ЭМ поля (1) (см.,
например, результаты анализа в статье [7]). При этом сами по себе волны ЭМ
векторного потенциала принципиально не способны переносить энергию, поскольку в
уравнениях (2) поля и отсутствуют. В этой связи
укажем на пионерские работы [8], где обсуждаются неэнергетическое
(информационное) взаимодействие поля векторного потенциала со средой при передаче
в ней таких волн и способ их детектирования посредством эффекта, аналогичного
эффекту Ааронова-Бома. Однако, как установлено в настоящей работе,
распространение волн ЭМ векторного потенциала в принципе невозможно без
присутствия их сопровождающих волн ЭМ поля (см. соотношения (5)) и
соответственно наоборот.
Обобщая
полученные результаты, приходим к выводу о том, что указанные выше составляющие
единого поля, распространяющиеся в свободном пространстве посредством
поперечных волн, существуют совместно и одновременно, в неразрывном
функциональном единстве. Следовательно, с общей точки зрения совокупность
полей, определяемых соотношением (5), действительно является
четырехкомпонентным векторным электродинамическим полем, распространяющимся в
пространстве в виде единого волнового процесса, а потому с концептуальной точки
зрения разделение единого электродинамического поля на составляющие его поля в
определенной мере условно. Однако с позиций общепринятых физических
представлений и реальной практики аналитического описания явлений Природы
разделение указанного единого поля на двухкомпонентные векторные составляющие в
виде электрического, магнитного, электромагнитного и ЭМ векторного потенциала
полей однозначно необходимо и, безусловно, удобно, поскольку диктуется
объективным существованием разного рода конкретных электромагнитных явлений и
процессов, реализуемых посредством рассматриваемых здесь полей.
Список литературы
1.
Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки.
2006. № 1. С. 28-37.
2.
Сидоренков В.В. // Материалы IX Международной конференции «Физика в системе
современного образования». Санкт-Петербург: РГПУ, 2007. Т. 1. Секция
“Профессиональное физическое образование”. С. 127-129.
3.
Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки.
2005. № 2. С. 35-46.
6.
Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 383 с.
7.
Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175-190.
8.
Чирков А.Г., Агеев А.Н. // ФТТ. 2002. Т. 44. Вып. 1. С. 3-5; 2007. Т. 49. Вып.
7. С. 1217-1221.