Задача Дирихле

Задача Дирихле

Задача Дирихле

1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :

 (x,y)D;       u|_Г=xy²=f(x,y) ;

область D ограничена линиями:  x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

 (x₀, y₀ ) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1  .  Точность решения СЛАУ =0.01  .

2.ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

      Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1.  На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область D_h путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу:   y_i=y₀  ih,   x_j=x₀  ih ,      i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D.  Получается множество точек (x_i,y_j).

     2. За область D_h  принимают те точки множества (x_i,y_j) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

         3.Во всех точках области D_h вычисляются значения функции f(x_i,y_j) .

    4. За область D_h* принимаются все внутренние точки области D_h, т.е. удовлетворяющие требованию:

         (x_i,y_j) D_h*  , если  (x_i+1,y_j)  D_h , (x_i-1,y_j) D_h , (x_i,y_j+1) D_h , (x_i,y_j-1) D_h .

    5. Во всех точках области  D_h*  вычисляется функция  F_(N)*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):                                                                              

                      F_(N)*[i,j]=(f(x_i+1,y_j) + f(x_i-1,y_j) + f(x_i,y_j+1)f(x_i,y_j-1))/4

   6. Теперь если  max | F_(N+1)*[i,j] - F_(N)*[i,j]|< ,взятый по всем точкам области D_h*  ,то задача решена;

           если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F_(N)*[i,j] через значения F_(N-1)*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.

3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

   #include <stdio.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>

 int i,j,k;                // Variables

 float h,x,y,tmp,E1;

 struct point {

   float xx;

   float yy;

   int BelongsToDh_;

   int BelongsToDh;

   float F;

   float F_;

   } p0,arrayP[13][33];

 float arrayX[13];

 float arrayY[33];

 float diff[500];

   void CreateNet(void);               // Procedure Prototypes

   int  IsLineFit(float Param);

   void CrMtrD(void);

   void RegArrayX();

   void RegArrayY();

   void CreateDh_();

   int  IsFit(point Par);

   void FillF();

   void CreateDh();

   int  IsInner(int i,int j);

   void FillF_();

   void CountDif();

   void MakeFile();

   void main(void)        //MAIN

   {

     clrscr();

     p0.xx = 3;

     p0.yy = 5;

     h = 0.2;

     p0.BelongsToDh_=1;

     p0.BelongsToDh=1;

     CreateNet();

     RegArrayX();

     RegArrayY();

     CrMtrD();

     CreateDh_();

     FillF();

     CreateDh();

     FillF_();

     CountDif();

      while (E1>=0.005)  {

                        for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;

                        FillF_();

                        CountDif();

                        }

     cout<<(0-arrayP[7][17].F_);

     MakeFile();

     getchar();

   }                            //MAIN END

    int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area

     {

      switch(Axis) {

       case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;

                                                                        else return 0;

       case 'x': if (par<1.9) return 1;

                         else if (par>4.0) return 1;

                         else return 0;

                       }

     }

void CreateNet(void)         // Creation of Net (area D )

     {

      x = p0.xx;

      i=0;

      arrayX[i]=x;

      while (!IsLineFit(x,'x'))

      {

      x += h;

      i++;

      arrayX[i] = x;

      }

      x = p0.xx-h;

      i++;

      arrayX[i]=x;

      while (!IsLineFit(x,'x'))

      {

      x -= h;

      i++;

      arrayX[i] = x;

      }

      for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }

      printf("\n");

      y = p0.yy;

      i = 0;

      arrayY[i]=y;

      while (!IsLineFit(y,'y'))

      {

      y += h;

      i++;

      arrayY[i] = y;

      }

      y = p0.yy - h;

      i++;

      arrayY[i]=y;

      while (!IsLineFit(y,'y'))

      {

      y -= h;

      i++;

      arrayY[i] = y;

      }

      for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}

      printf("\n");

      }     // end CreateNet

   void RegArrayX()     // Regulation of arrays X & Y

         {

          int LastUnreg = 13 ;

          while (LastUnreg != 0)       {

                        for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

                                    if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];

                                                                                         arrayX[i]=arrayX[i+1];

                                                                                         arrayX[i+1]=tmp;}}

          LastUnreg=LastUnreg-1;  }

                   } printf("\n");

         }

   void RegArrayY()

         {

          int LastUnreg = 33 ;

          while (LastUnreg != 0)       {

                        for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

                                    if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];

                                                                                         arrayY[i]=arrayY[i+1];

                                                                                         arrayY[i+1]=tmp;}}

          LastUnreg=LastUnreg-1;  }

          for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); }

          printf("\n");}         // End of Regulation

   void CrMtrD(void)       //Create general Matrix

         {

                   for(i=0;i<13;i++)

                      for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0;

                                                         arrayP[i][j].BelongsToDh=0;}

                   for(i=0;i<13;i++)

                       for(j=0;j<33;j++)    {

                         arrayP[i][j].xx=arrayX[i];

                         arrayP[i][j].yy=arrayY[j];

                                                                    }

                      // printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy);

                      // printf("\n");

         }

   int  IsFit(point Par) //does point belong to area D?

        {

                   if ((Par.xx<=4) && (Par.xx>=1.99) &&  (Par.yy>=Par.xx)

                     && (Par.yy<=Par.xx+4))  return 1;

                                                    else return 0;

        }

void CreateDh_(void)     //Create area Dh_

                    {

                     for(i=0;i<13;i++)

                        for(j=0;j<33;j++)

                         if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1;

                         cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "\n";

                         cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"\n";

                    }

   void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_

   {

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++)

        if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1)

                   arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2);

                   else arrayP[i][j].F=0;

   }

   int IsInner(int i,int j)   //Is point inner?

         {

          if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1;

                      else return 0;

         }

   void CreateDh(void) //Create area Dh

                   {

                    for(i=0;i<13;i++)

                       for(j=0;j<33;j++)

                         if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) &&

                                      IsInner(i,j))

                                      arrayP[i][j].BelongsToDh=1;

                   }

   void FillF_()   //calc new appr. values of F

         {

          for(i=0;i<13;i++)

                     for(j=0;j<33;j++)        {

                        if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)

                        arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+

                        else arrayP[i][j].F_=0; }

         }

   void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_)

   {

    k=0;

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++)

          { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)  {

                    diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F);

                    k++;}}

    E1=diff[0];

    for (k=1;k<500;k++) {

                                         if (diff[k]>E1) E1=diff[k];}

     }

  void MakeFile()

       {

   ofstream f;

   FILE *f1=fopen("surf.dat","w1");

        fclose(f1);

   f.open("surf.dat",ios::out,0);

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {

                                                   f<<arrayP[i][j].xx<<" "<<arrayP[i][j].yy<<

                                                   " "<<arrayP[i][j].F_<<"\n";}}

                                                   f.close()  ;

}

4.ГРАФИКИ РЕШЕНИЙ

РИС.1  шаг h=0.2

РИС.2   шаг h=0.1

5.ВЫВОД

   Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума.