Элементарные конфортные отображения
Элементарные конфортные отображения
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек 
и 
. Если
задан закон 
, ставящий в соответствие каждому 
точку (или точки) 
, то говорят, что на множестве 
задана функция комплексной переменной со значениями в
множестве 
. Обозначают это следующим образом: 
. (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции 
эквивалентно заданию двух действительных
функций 
и тогда 
,
где 
, 
. Как
и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль
играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. 
- линейная функция. Определена при всех 
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость 
. Функция 
и
обратная ей 
- однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный 
,
растягивает (сжимает) ее в 
раз и после этого
осуществляет параллельный сдвиг на величину 
.
Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. 
.
Определена на всей комплексной плоскости, причем 
, 
. Однозначна, непрерывна всюду, за
исключением точки 
. Отображает полную комплексную
плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной
окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри
окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. 
- показательная функция. По
определению 
, т.е. 
, 
, 
. Из
определения вытекают формулы Эйлера:
; 
; 
;
Определена на всей
комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
периодична
с периодом 
. Отображает каждую полосу, параллельную
оси 
, шириной 
в плоскости в
полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: 
, 
4. 
- логарифмическая функция (натуральный
логарифм). По определению: 
. 
Выражение 
называется
главным значением 
, так что 
. Определен для всех комплексных чисел,
кроме 
. 
-
бесконечно-значная функция, обратная к . 
, 
5. 
-
общая показательная функция. По определению, 
.
Определена для всех , ее главное значение 
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции
;
;
;
По
определению, 
; 
;
; 
7. Гиперболические функции.
Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а
именно:
, 
Определены и непрерывны на
всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные
значения аргументов комплексных чисел: 
, 
, 
, 
,
Решение. По определению, 
,
, 
; если
, то очевидно, 
,
,
, 
, 
, 
, 
, 
, 
Найти суммы:
1) 
2) 
Решение. Пусть: 
, а
. Умножим вторую строчку на 
, сложим с первой и, воспользовавшись
формулой Эйлера, получим: 
;
Преобразуя, получим:
, 
3. Доказать, что: 1) 
2)
3)
4)
Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3) 
;
Выразить через
тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента
действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) 
; 2) 
; 3) 
;
Решение: 
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, 
, 
,
Напомним, что 
, 
,
3) 
, 
,
, 
.
Найти действительные и мнимые
части следующих значений функций: 
; 
; 
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; 
; 
; 
;
; 
Вычислить: 1) 
; 3) 
; 5) 
;
2) 
; 4) 
; 6) 
;
Решение. По определению, 
, 
1)
,
, 
,
2) 
, 
, 
,
3) 
, , 
, 
4)
,
, 
,
5)
,
, 
,
6)
,
, 
,
Найти все значения следующих
степеней:
1) 
; 2) 
;
3)
; 4)
;
Решение. Выражение 
для любых комплексных
и 
определяются
формулой 
1) 
2)
3) 
4) 
.
8. Доказать следующие
равенства:
1) 
;
2) 
;
3) 
Доказательство: 1) 
, если 
, или 
,
откуда 
, или 
.
Решив это уравнение, получим 
, т.е. 
и 
2) 
, если 
, откуда 
, или
, следовательно,
, 
3) 
,
если 
, откуда 
, или
.
Отсюда 
, следовательно, 