Объем усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды
Дано:
Пирамида SABC,
пирамида A1B1C1ABC,
Sосн=S, Sсеч=S1
Доказать, что V=1/3h(S + Ö`SS1)
Доказательство.
Объем пирамиды SABC
равен: V=1/3Sh1, а пирамиды SA1B1C1
равен: V=1/3S1h2.
Vу=Vп – Vм= 1/3(Sh1 – S1h2) (*)
(1) h1=h + h2 Þ h= h1 -
h2
S1 : S = h2 : h
Þ S1 /S = h /h Þ h = ÖS h/S (2)
h – h =ÖS /S h Þ
h - ÖS /S h = h (3)
из (*) с учетом (1) и (2) V = 1/3 (Sh - S ÖSh /S)
(3) h = h - ÖS /S h = hÖS - ÖS h /ÖS = h(ÖS - ÖS )/ÖS Þ h = hÖS /(ÖS - ÖS)
Тогда: V = 1/3 (
S*(h ÖS/(ÖS - ÖS) – S ÖS /S *(h ÖS /ÖS - ÖS ) = 1/3h ((SÖS /ÖS-ÖS ) - SÖS ÖS /ÖS(ÖS - ÖS))= 1/3h (S – S ÖS S /ÖS(ÖS - ÖS ))= 1/3h ( SÖS - SÖS/(ÖS - ÖS)) = 1/3h ((ÖS ) – (ÖS ) /ÖS - ÖS = 1/3h ( (ÖS - ÖS)(S + ÖSS + S)/ÖS - ÖS =
= 1/3h (S = S1 + ÖSS1) Ч. Т. Д.