Численный расчет дифференциальных уравнений
Міністерство освіти України
ДАЛПУ
Кафедра
автоматизації
технологічних процесів і приладобудування
КУРСОВА РОБОТА
з курсу “Математичне моделювання на ЕОМ”
на тему “Розв’язок диференціального рівняння
виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх
при заданих
початкових умовах з автоматичним вибором
кроку
методом Ейлера”
Виконала студентка групи БА-4-97
Богданова
Ольга Олександрівна
Холоденко Вероніка Миколаївна
Перевірила Заргун Валентина Василівна
1998
Блок-схема алгоритма
Блок-схема алгоритма
начало
у/=f(x,y)
y(x0)=y0
x0, x0+a
h, h/2
k:=0
xk+1/2:=xk+h/2
yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2
αk:= f(xk+1/2,
yk+1/2)
xk+1:=xk+h
yk+1:=yk+αkh
нет
k:=n
да
x0, y0,
x1, y1…
xn, yn
конец
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ
Решить дифференциальное уравнение у/=f(x,y)
численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0,
х1…, хn и числа у0, не определяя функцию
у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что
уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо
нахождения функции
У=F(x) получить таблицу значений этой функции для
заданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1 называется шагом
интегрирования.
Метод Эйлера относиться к численным методам,
дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он
является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных
расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными
для ряда других методов.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого
порядка
y/=f(x,y) (1)
с начальным условием
x=x0,
y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n
равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где xi=x0+ih
(i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг
интегрирования.
В
методе Эйлера приближенные значения у(хi)»yi вычисляются последовательно по формулам уi+hf(xi, yi)
(i=0,1,2…).
При этом искомая интегральная кривая у=у(х),
проходящая через точку М0(х0, у0), заменяется
ломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено МiMi+1 этой
ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление,
совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая
проходит через точку Мi.
Если правая часть
уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x0|£a, |y-y0|£b}удовлетворяет
условиям:
|f(x,
y1)- f(x, y2)| £ N|y1-y2| (N=const),
|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)| £ M
(M=const),
то имеет место следующая оценка погрешности:
|y(xn)-yn|
£ hM/2N[(1+hN)n-1],
(3)
где у(хn)-значение точного решения
уравнения(1) при х=хn, а уn- приближенное значение,
полученное на n-ом шаге.
Формула (3) имеет в основном теоретическое применение.
На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом
h/2. Погрешность более
точного значения уn* оценивается
формулой
|yn-y(xn)|»|yn*-yn|.
Метод
Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на
дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть
предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Модифицированный метод Эйлера более точен.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)
равных
частей. На малом участке [x0,x0+h]
у
интегральную кривую заменим
прямой
Nk/
y=y(x) линией. Получаем точку Мк(хк,ук).
Мк Мк/
yk+1
yk
хк хк1/2 xk+h=xk1 х
Через Мк проводим
касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).
Делим отрезок (хк,хк1)
пополам:
xNk/=xk+h/2=xk+1/2
yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2
Получаем точку Nk/. В этой точке строим следующую касательную:
y(xk+1/2)=f(xk+1/2, yk+1/2)=αk
Из точки Мк проводим прямую с угловым
коэффициентом αк и
определяем точку пересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем
точку Мк/. В качестве ук+1 принимаем ординату точки
Мк/. Тогда:
ук+1=ук+αкh
xk+1=xk+h
(4) αk=f(xk+h/2,
yk+f(xk,Yk)h/2)
yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h
(4)-рекурентные
формулы метода Эйлера.
Сначала вычисляют вспомогательные значения
искомой функции ук+1/2 в точках хк+1/2, затем
находят значение правой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2,
yk+1/2) и определяют ук+1.
Для оценки погрешности
в точке хк проводят вычисления ук с шагом h,
затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:
| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),
где у(х)-точное решение
дифференциального уравнения.
Таким образом, методом
Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение
второго порядка y//=f(y/,y,x)
c начальными условиями y/(x0)=y/0,
y(x0)=y0, выполняется
замена:
y/=z
z/=f(x,y,z)
Тем самым преобразуются
начальные условия: y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.
РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО
ПРИМЕРА
Приведем расчет
дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера
1. Пусть дано дифференциальное уравнение первого
порядка:
y/=2x-y
Требуется найти решение на
отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2
Начальные условия: у0=1;
Пользуясь рекурентными
формулами (4), находим:
1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+α0h;
y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;
f(x0,y0)=2*0-1=-1
y(x1/2)=1-1*0,1=0,9
α0=2*0,1-0,9=-0,7
y1=1-0,1*0,2=0,86
2). y(x2)=y(x1)+α1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3
y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2
f(x1,y1)=2*0,2-0,86=-0,46
y(x1+1/2)=0,86-0,46*0,1=0,814
α1=2*0,3-0,814=-0,214
y2=0,86-0,214*0,2=0,8172
3). x3=0,4+0,2=0,6;
x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5
f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172
y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548
α2=2*0,5-0,81548=0,18452
y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104
4).x4=0,8;
x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7
f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896
y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936
α3=2*0,7-0,89=0,5113064
y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528
5).x5=1;
x4+1/2=0,8+0,1=0,9
f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472
y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;
α4=2*0,9-1,02=0,779271248
y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953
2. Дано
уравнение второго порядка:
y//=2x-y+y/
Замена: y/=z
z/=2x-y+z
Начальные условия: у0=1
z0=1
1).x1=0,2;
x1/2=0,1
y(z1)=y(z0)+α0h
z(x1,y1)=z(x0,y0)+β0h
y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2
z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2
f(z0,y0)=f10=1
f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0
y1/2=1+1*0,1=1,1
z1/2=1+0*0,1=1
α0=z0=1
β0=2*0,1-1,1+1=0,1
y1=1+0,2*1=1,2
z1=1+0,2*0,1=1,02
2).x2+0,4;
x1+1/2=0,3
f11=z1=1,02
f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22
y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1
z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042
α1=z1+1/2=1,042
β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34
y2=1,2+1,042*0,2=1,4084
z2=1.02+0,34*0,2=1,088
3).x3=0,6;
x2+1/2=0,5
f12=z2=1,088
f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796
y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172
z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596
α2=z2+1/2=1,13596
β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876
y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592
z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752
4).x4=0,8;
x3+1/2=0,7
f13=z3=1,211752
f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616
y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672
z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368
α3=z3+1/2=1,289368
β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008
y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656
z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216
5).x5=1;
y4+1/2=0,9
f14=z4=1,39827216
f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656
y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928
z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816
α4=z4+1/2=1,508752816
β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546
y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163
z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416
3. Чтобы
решить уравнение третьего порядка
y///=2x-y-y/+y//
на отрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями
y0//=1
y0/=1
y0=1
необходимо сделать 3 замены: y/=a
y0/=a0=1
y//=a/=b y0//=b0=1
b/=2x-y-a+b
1).x1=0,2;
x1/2=0,1
y(a1)=y(a0)+a0h
y(a1/2)=y(a0)+f10h/2
a(b1)=a(b0)+β0h
a(b1/2)=a(b0)+f20h/2
b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+γ0h
b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2
f10=f(a0,y(a0))=1
y1/2=1+1*0,1=1,1
f20=f(b0,a(b0))=1
a1/2=1+1*0,1=1,1
f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1
b1/2=1-1*0,1=0,9
α0=a1/2=1,1
y(a1)=1+1,1*0,2=1,22
β0=b1/2=0,9
a(b1)=1+0,9*0,2=1,18
γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1
b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78
2).x2=0,4;
x1+1/2=x1+h/2=0,3
f11=a1=1,18
y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338
f21=b1=0,78
a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258
f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22
b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658
α1=a1+1/2=1,258
y2=1,22+1,258*0,2=1,4716
β1=b1+1/2=0,658
a2=1,18+0,658*0,2=1,3116
γ1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338
b2=0,78-1,338*0,2=0,5124
3).x3=0,6;
x2+1/2=0,5
f12=a2=1,3116
y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276
f22=b2=0,5124
a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284
f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708
b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542
α2=1,36284
y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168
β2=0,36542
a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664
γ2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018
b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364
4).x4=0,8;
x3+1/2=0,7
f13=1,384664
y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364
f23=0,192364
a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204
α3=1,4039204
y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477
β3=0,0187152
a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403
γ3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416
b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235
5).x4=1;
x4+1/2=0,9
f14=1,388403
y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478
f24=-0,1812235
a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608
f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834
b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266
α4=1,3703
y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038
β4=-0,38066
a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669
γ4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056
b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734
Программа на Turbo
Pascal
uses
crt,pram,kurs1_1;
var
yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array [0..10] of real;
y,a,b:array[0..10,0..1] of real;
i,n,o:integer;
c,d,h,k:real;
label
lap1;
begin
screen1;
clrscr;
writeln('введите
наивысший порядок производной не больше трех ');
readln(n);
if
n=0 then begin
writeln('это
прямолинейная зависимость и решается без метода Эйлера ');
goto
lap1;end;
writeln('введите
коэффициенты {a0,a1}');
for
i:=0 to n do
readln(l[i]);
if
(n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin
writeln('деление на ноль');
goto lap1;
end;
writeln('введите
коэффициент при x');
readln(k);
writeln('введите
отрезок ');
readln(c,d);
o:=5;
h:=abs(d-c)/o;
writeln('шаг=',h:1:1);
writeln('задайте
начальные условия y(x)= ');
for
i:=0 to n-1 do
readln(v[i]);
if
n=3 then begin
yx[0]:=v[0];
ay[0]:=v[1];
by[0]:=v[2];
p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];
x[0]:=c;
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write(' x
y a b ');
gotoxy(32,3);
write(' ',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,'
',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');
for
i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];
a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];
xy[i]:=x[i]+h/2;
yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];
by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];
end;
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,'
',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');
end;
gotoxy(32,4+o);
write(' ');
end;
if
n=2 then begin
x[0]:=c;
yx[0]:=v[0];
ay[0]:=v[1];
p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write(' x
y a ');
gotoxy(32,3);
write(' ',c:7:7,'
',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');
for i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];
a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];
xy[i]:=x[i]+h/2;
yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];
ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1])/l[2];
end;
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,'
',yx[i+1]:7:7,' ',ay[I+1]:7:7,' ');
end;
gotoxy(32,4+o);
write(' ');
end;
if n=1 then begin
x[0]:=c;
yx[0]:=v[0];
p[0]:=(k*x[0]-l[0]*yx[0])/l[1];
for i:=0 to o-1 do begin
x[i]:=x[i]+h/2;
y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*p[i];
xy[i]:=x[i]+h/2;
ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1])/l[1];
yx[i+1]:=yx[i]+h*ff[i];
x[i+1]:=x[i]+h/2;
p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1])/l[1];
end;
gotoxy(32,1);
write(' ');
gotoxy(32,2);
write('
x y ');
gotoxy(32,3);
write('
',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ');
for i:=0 to o-1 do begin
gotoxy(32,4+i);
write(' ',xy[i]:7:7,'
',yx[i+1]:7:7,'
');
end;
gotoxy(32,o+4);
write(' ');
end;
pramo;
delay(10000);
clrscr;
end.
_
ЗАПУСК ПРОГРАММЫ НА
ВЫПОЛНЕНИЕ
Программа находится в
файле kursova1.pas, и имеет 2 модуля, в которых
содержатся заставки. Модули находятся в файлах pram.tpu и kurs1_1.tpu.
Для запуска файла kursova1.pas в Turbo Pascal необходимо нажать F9. Появится первая заставка, далее нажать enter и
ввести все необходимые начальные условия: порядок
производной, коэффициенты при членах рада, отрезок и начальные значения у(х0).
На экране выводится шаг вычисления и таблица с ответами. После нажатия enter выводится
вторая заставка, после чего мы возвращаемся к тексту программы.
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
1 – ввод
данных, используемых в программе
2 –
использование метки, очистка экрана, ввод требований, решение
дифференциального уравнения в зависимости от
ввода начальных
условий
3 –
присвоение начальных условий для дифференциального уравнения
третьего порядка
4 – вывод
таблицы со значениями
5 – ввод
формул метода Эйлера для уравнения третьего порядка
6 –
присвоение начальных условий для решения дифференциального
уравнения второго порядка
7 – вывод
таблицы для уравнения второго порядка
8 – формулы
метода Эйлера для уравнения второго порядка
9 –
начальные условия для дифференциального уравнения первого порядка
10 – формулы
метода Эйлера для решения уравнения первого порядка
11 – вывод
таблицы
12 –
обращение к метке, задержка для просмотра результатов, очистка
экрана, конец программы.