Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя
Розкриття невизначеностей з використанням правила
Лопіталя.
Лопіталь
де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської
АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав
перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз
нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило
знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він
створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить
дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких
задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о
браністохроні.
Правило
Лопіталя.
Нехай
виконані умови:
функції
f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
частка
цих функцій 
в точці х0
має невизначеність вигляду 
або 
;
існує
.
Тоді
існує 
і виконує
рівність:
(1)
а)
Наслідок.
Нехай:
1.
Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку
включно;
2.
Частки , 
, …, 
мають невизначеність вигляду або ;
3.
Існує 
, тоді
(2)
б)
Приклад 1.
Знайти:
.
Розв’язання:
Функції
та 
визначені з усіма своїми похідними в
околі точки х=0.
Маємо:
2)
Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00;
∞0.
Існують
прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей
вигляду або , які можна розкривати з
використанням правила Лопіталя.
Нехай
і 
, тоді
(3)
За
умовою 
при 
, тому 
при .
Якщо
не прямує до 0 при , то границя в правій частині
(3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо
при , то вираз 
має невизначеність .
2.
Нехай 
, , тоді 
має невизначеність вигляду 
при .
В
цьому випадку поступають так:
Під
знаком останньої границі маємо невизначеність .
3.
Нехай 
, 
при . Тоді 
має невизначеність вигляду 
.
Позначимо
. Шляхом логарифмування
цієї рівності одержимо:
Отже,
обчислення натурального логарифма границі 
зводиться до розкриття невизначеності вигляду .
4.
Невизначеності вигляду 
та
зводять до
невизначеностей або шляхом логарифмування
аналогічно до невизначеності вигляду .
а)
Приклад 2.
Знайти
границю 
.
Розв’язання:
Функції
та 
диференційовані, а їх частка 
має невизначеність вигляду при 
.
.
б)
Приклад 3.
Знайти
границю 
.
Розв’язання:
В
цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Позначимо 
і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
, тобто невизначеність
вигляду . Використовуючи
правило Лопіталя, одержимо:
.
Отже,
.
в)
Приклад 4.
Знайти
границю 
.
В
цьому випадку маємо невизначеність вигляду . Нехай 
. Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
.
Чотири
рази застосували правило Лопіталя.
Отже,
маємо:
Список литературы
Кривуца
В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум.
Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
Бородин
А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики.
Радянська школа 1979.
Алгебра
и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк.,
Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://ref.com.ua