Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
Строгое притяжение к нормальному закону для
стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
С.А. Клоков, Омский государственный университет,
кафедра математического анализа
1. Введение. Обозначения. Постановка задачи
Пусть
- стационарная (в узком
смысле) последовательность случайных величин (с.в.), 
, 
- 
-алгебры, порожденные семействами 
, 
. Говорят, что удовлетворяет условию равномерно сильного
перемешивания (РСП), если коэффициент перемешивания
стремится
к нулю при 
.
Как
обычно, через 
обозначим
дисперсию суммы 
, а
через 
- нормальную с.в.
с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Символы 
и 
обозначают сходимость по распределению и
равенство распределений с.в., · - норму в L2,
1(A) - индикатор множества A. Через 
обозначим срезку 
, через 
- дисперсию суммы 
. Вместе с последовательностью будет рассматриваться
последовательность 
таких
с.в., что 
и независимы. В случае, если
функции f и g связаны соотношением 
, где const - абсолютная константа, будем писать
, а если и 
, то 
.
Будем
считать известными определения правильно меняющихся и медленно меняющихся
функций (см., например, [5]).
Говорят,
что последовательность с.в. 
притягивается к нормальному закону, если при
некотором выборе нормирующих констант An и 
имеет место соотношение 
, 
. В случае, если с.в. имеют конечные вторые моменты, дисперсия суммы и 
говорят, что к последовательности применима
центральная предельная теорема (ЦПТ).
Первые
предельные теоремы для слабо зависимых величин были доказаны И.А. Ибрагимовым в
начале 60-х годов. Условие РСП дает возможность доказывать результаты о
сходимости к нормальному закону без каких-либо предположений о скорости
перемешивания (стремления 
к
нулю). В этом случае будем говорить, что справедливо строгое притяжение к
нормальному закону. В [?] доказана
Теорема
1. Пусть - стационарная
последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, 
, 
для некоторого 
и . Тогда к последовательности применима ЦПТ.
Для
последовательности независимых одинаково распределенных с.в. ЦПТ справедлива,
если потребовать существование лишь вторых моментов. Исходя из этого, в [1]
высказана
Гипотеза
(Ибрагимов, 1965).
Пусть
- стационарная
последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, 
и 
. Тогда к последовательности применима ЦПТ.
Пусть
- последовательность
независимых одинаково распределенных с.в., не имеющих вторых моментов. Тогда
распределение 
принадлежит
области притяжения нормального закона тогда и только тогда, когда функция 
является ММФ. Иосифеску
сформулировал следующее предположение.
Гипотеза (Ибрагимов-Иосифеску).
Пусть
- стационарная
последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП с 
, и H(x) - ММФ. Тогда притягивается к нормальному закону.
Гипотезы
Ибрагимова и Ибрагимова-Иосифеску не доказаны и не опровергнуты до сих пор.
Хорошо
известны два достаточных условия для медленного изменения H(x): существование
конечного второго момента () и правильное изменение хвоста распределения
одного слагаемого (
-
ПМФ порядка -2). В работе [4] доказана
Теорема
2. Пусть - стационарная
последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, причем . Пусть , выполнено соотношение
где
h(x) - ММФ. Тогда притягивается
к нормальному закону.
В
настоящей работе показано, что теорема 2 остается справедливой, если на функцию
h(x) из (1) наложить более слабое ограничение, чем медленное изменение. В
монографии Е.Сенеты предложено обобщение понятия ММФ. Функция h(x) называется
SO-меняющейся [3], если существуют такие положительные постоянные C1 и C2, что
для всех 
выполнено
(2)
Очевидно,
что ММФ h(x) удовлетворяет (2), но не наоборот. Примерами SO-меняющихся функций
могут служить любые функции, отделенные от нуля и от бесконечности. Таким
образом, введенное расширение класса ММФ является нетривиальным.
Основным
результатом работы является обобщение теоремы 2:
Теорема
3. Пусть -
стационарная последовательность с.в., удовлетворяющая условию РСП, и выполнено соотношение
(3)
где
h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда притягивается к нормальному закону.
Обобщение
результата M. Пелиграда стало возможным благодаря уточнению доказательства
теоремы 2, данного в работе [4].
2. Вспомогательные результаты
Из
(2) очевидным образом следует
Лемма
1. Пусть h(x) - SO-меняющаяся функция. Тогда 
для любого фиксированного 
и для любой функции 
достаточно медленно.
Определим
последовательность 
соотношением
.
Лемма
2. Пусть выполнено (3). Тогда
а)
для любого x0
или 
достаточно
медленно;
б)
если целое число k фиксировано или целочисленная последовательность 
достаточно медленно, то 
.
Доказательство.
Из определения an легко выводится, что
(4)
Из
(4) и леммы 1 следует, что
Пункт
а) доказан. Теперь докажем б). Пусть D0 - некоторая
константа. Из (4) и леммы 1, аналогично (5), выводим для любого фиксированного
k или достаточно
медленно, что
.
Выбором
достаточно большой константы 
можно добиться, что 
, откуда следует, что 
. Выбирая достаточно малую константу D = D2,
получим, что 
. Таким
образом, .
Лемма
3. Пусть 
- схема серий
с.в. с конечными вторыми моментами, в каждой серии с.в. 
образуют стационарную
последовательность, удовлетворяющую условию РСП с одним и тем же коэффициентом
перемешивания причем . Пусть Tn,j 
,
. Тогда
(6)
Доказательство.
Первое неравенство в (6) доказано в предложении 3.3 из [4], а второе выведено в
[3, лемма3.3].
Лемма
4. Для любого фиксированного k или достаточно медленно выполнено соотношение 
.
Доказательство.
Схема доказательства приведена в [?, теорема 18.2.3].
Лемма
5. Пусть k = k(n) - целочисленная последовательность, достаточно медленно
стремящаяся к бесконечности, и имеет место (3). Тогда
(7)
где
при .
Доказательство.
Для проведения оценки (7) используются идеи M. Пелиграда, предложенные в [4]. В
силу пункта б) леммы 2 существует такая константа C0,
что 
. Пусть - такая числовая
последовательность, что 
и
zn = o(Ck1/2). Тогда, имея в виду пункт а) леммы 2, легко видеть, что для 
Из
(8) выводим
|
где
0 - некоторая константа. Пользуясь пунктом а)
леммы 2, нетрудно вычислить, что  при .
3 Доказательство основного результата
В
работе А.Г. Гриня [?] введено понятие универсальной нормирующей
последовательности (УНП)  .
Там же доказана
4.
Пусть - стационарная
последовательность, удовлетворяющая условию РСП. Для того чтобы притягивалась к нормальному закону,
достаточно, а если , и
необходимо, чтобы при любом   . Пусть k = k(n) - целочисленная
последовательность, стремящаяся к бесконечности столь медленно, что
одновременно справедливы леммы 2, 4, 5. Тогда, имея в виду еще и лемму 3,
получаем
Вместе
с определением УНП (9) означает, что  и an2 = o(bn2). Пусть последовательность q =
q(n) стремится к бесконечности столь медленно, что an2 = o(q-1bn2). Пользуясь
пунктом а) леммы 2, имеем для любого
при
. Согласно теореме 4,
последовательность притягивается
к нормальному закону. Теорема доказана.
Список литературы
Ибрагимов
И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука,
1965. 524 с.
Гринь
А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятн. и ее
применен. 1990. Т. 35. N2. С. 255-270.
Peligrad M. An invariance principle for  -mixing sequences. -
Ann. Probab. 1985. V. 13. N4. Р. 1304-1313.
Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for -mixing
sequences // Stochastic Processes and their Applications. 1990. V. 35. P.
293-308.
Сенета
Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985. 142 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/
Похожие работы на - Строгое притяжение к нормальному закону для стационарных последовательностей с равномерно сильным перемешиванием
|