Теорема Штольца
Содержание
работы:
1. Формулировка и доказательство
теоремы Штольца.
2. Применение теоремы Штольца:
a) ;
b) нахождение предела «среднего
арифметического» первых n значений варианты ;
c) ;
d) .
3. Применение теоремы Штольца к
нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.
4. Нахождение некоторых пределов
отношения функций с помощью теоремы Штольца.
Для
определения пределов неопределенных выражений типа
часто бывает полезна следующая теорема,
принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого
листа – с возрастанием n и возрастает:
. Тогда =,
Если
только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим,
что этот предел равен конечному числу :
.
Тогда
по любому заданному найдется
такой номер
N, что для n>N будет
или
.
Значит,
какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как
знаменатели их, ввиду возрастания yn
вместе с номером
n, положительны, то
между теми же границами содержится и дробь
, числитель которой есть сумма всех
числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей.
Итак, при
n>N
.
Напишем теперь
тождество:
,
откуда
.
Второе
слагаемое справа при n>N становится <; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N’. Если при этом
взять
N’>N,
то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.
Примеры:
1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для
достаточно больших n) , следовательно,
вместе с yn
и xn, причем варианта xn
возрастает
с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно
применить к обратному отношению
(ибо здесь предел
уже конечен), откуда и следует, что , что
и требовалось доказать.
2. При а>1
Этот
результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:
3. Применим теорему
Штольца к доказательству следующего интересного предложения:
Если
варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же
предел имеет и варианта
(“среднее
арифметическое”
первых n
значений варианты аn).
Действительно, полагая в теореме
Штольца
Xn=a1+a2+…+an,
yn=n,
Имеем:
Например, если мы знаем, что ,
то и
4. Рассмотрим теперь варианту (считая
k-натуральным)
,
которая
представляет неопределённость вида .
Полагая в теореме
Штольца
xn=1k+2k+…+nk,
yn=nk+1,
будем иметь
.
Но
(n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+…
,
так что
nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
.
5. Определим предел варианты
,
представляющей в
первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на
этот раз неопределенное выражение вида :
.
Полагая
xn
равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю,
применим еще раз ту же теорему. Получим
.
Но ,
а ,
так что,
окончательно,
.
Пример 1.
====== ===.
Пример 2.
=
==
==
==
==
=.
Пример 3.
=
=.
Теорема
Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть
частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.
Теорема.
Пусть
функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая.
Тогда ,
если
только существует предел справа конечный или бесконечный.
Доказательство:
Допустим,
что этот предел равен конечному числу k
.
Тогда,
по определению предела
или
.
Значит,
какой бы ни взять, все дроби
, , …,
лежат между этими границами. Так как знаменатели их,
ввиду возрастания g(xn)
вместе с x(n), положительны, то между теми же
границами содержится и дробь , числитель которой
есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех
знаменателей. Итак, при
.
Напишем
тождество(которое легко проверить):
,
Откуда
.
Второе
слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое,
ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно ,
что и доказывает теорему.
Примеры:
Найти
следующие пределы:
1. очевидна
неопределенность
===2
2. неопределенность
====0
3. неопределенность
===
Литература:
“Задачи
и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича.
Издательство “Наука”, Москва 1996г.
Г.М.Фихтенгольц
“Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.