Проективная геометрия
Рассмотрим
подробнее проективные преобразования одномерных многообразий, здесь можно
ограничится случаем преобразования прямой на прямую. Как установили ранее, в
неоднородных проективных координат на прямой это преобразование имеет вид
дробно-линейной функции (1) х/=
a х+ b / g х+d , причем, чтобы существовало обратное
проективное преобразование, необходимо, чтобы величина ad - bg ¹ 0. Запишем преобразование (1)
в виде функции х/= f(x).
Пусть данное
отображение применяется последовательно два раза: х/= f(x), x//=
f(x/)= f(f(x)). Тогда, если для любого элемента х одномерного
многообразия (на прямой) выполняется соотношение x//= f(x/)=
х (то есть дважды преобразованный возвращается в себя) , то такое проективное
отображение называется инволюционным или инволюцией.
Инволюция характеризуется еще и тем, что x= f(x/), т. е.
обратное отображение х/= х совпадает с исходным х= х/.
Найдем условие на коэффициенты в (1), при которых проективное отображение
является инволюцией. Для этого из (1) выразим х через х/ : (g x /- a )x= - d x/
+ b Þ x= - d x/+b / g x /- a (2).
Из сравнения (1) и (2) видно, что отображения одинаковы тогда, когда либо:
а) d =- a , g,
b - любые
б) d = a, g = b = 0 - но это тождественное отображение,
которое исключим из рассмотрения.
Таким
образом, из случая а) вытекает форма инволюционого проективного отображения х/=
a х+ b
/g х- â , где -a2- bg ¹ 0 обозначим D = -a2-
bg
Неподвижной
точкой любого отображения называется точка, остающаяся неизменной после
отображения. Для инволюции это означает , что х =х/= a х+ b /g х- â .
Решим
последнее уравнение относительно х (3) g х2-2 a х- b=
0 - квадратное относительно х.
Это
означает, что при инволюционном отображении число неподвижных точек не может
быть больше 2.Дискреминант уравнения (3) есть a2+bg
=-D.
Если -D<0, (дискриминант отрицательный), то
уравнение (3) не имеет действительных корней, то есть нет ни одной неподвижной
точки. Такая инволюция называется эллиптической (ее условие --a2-bg >0).
Если - D >0, то есть D<0 , -a2-bg
<0 , то уравнение (3) имеет два действительных корня или две
неподвижные точки- называется такая инволюция гиперболической.
Если D =0, то есть -a2-bg =0 , параболическая
инволюция, но в этом случае такое отображение не входят в группу проективных
преобразований, так как оно не взаимно однозначно.
Существует
теорема , что для однозначного определения инволюции надо задать две пары
соответствующих точек на прямой, в отличии от общих формул проективного
отображения прямой на прямую, где надо задать три пары точек.
Следующий
инвариант проективной геометрии - сложное отношение четырех точек на прямой.
Оно
определяется так :Пусть М1,М2,M3,M4-четыре
точки некоторой проективной прямой. Введем систему проективных неоднородных
координат , и обозначим через t1,,t2,t3,t4,
координаты заданных точек. Можно показать, что величина (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4
)
не зависит
от выбора координатной системы, а определяется только положением точек на
прямой.
Эта величина
обозначается (М1 М2 M3 M4)= (t3-t1)/(t2-t3):(t4-t1)/(t2--t4
) и называется сложным отношением четырех точек (СОЧТ).
Непосредственным
вычислением можно показать, что выполняются два свойства СОЧТ.
1) (М1
М2 M3 M4)=(M3M4M1M2)
2) (М1
М2 M3 M4)= 1/ (М1 М2 M3
M4) то есть СОЧТ не меняется при перестановке первой и второй
пар точек , изменяется на обратную величину при перестановке точек внутри
какой-нибудь пары.
Важная
теорема проективной геометрии гласит.
При любом
проективном отображении прямой а на прямую а/
сложное отношение произвольной группы точек М1 М2 М3
М4 прямой а равно сложному отношению соответствующих им точек М1/
M2/ M3/ M4/
прямой а/ .
Частным ее
случаем является утверждение:
В плоскости a заданы две прямые а и а/
,задана произвольная точка S ,принадлежащая плоскости a ,но
не лежащая на прямых а и а/. Тогда, сложное отношение
любой четверки точек М1 М2 М3 М4
прямой а равно сложному отношению их проекций М1/
М2/ М3/ М4/ из
центра S на прямую а/ .
Аналогичное утверждение можно сформулировать для плоского
пучка из четырех лучей m1 m2 m3 m4
Любая прямая, пересекающая эти четыре луча в
четырех точках, имеет для этих четырех
точек одно и тоже сложное отношение.
(М1 М2 М3
М4)=инвариант проективной геометрии
или, что тоже самое (m1 m2 m3 m4
) - инвариант проективной геометрии
Основной вывод : Сложное отношение четырех элементов одномерного
многообразия - есть инвариант проективных отображений. Можно показать, что если
пара точек А ,В гармонически разделяет пару точек С,D, то сочетание (А В С
D)=-1.Оно вытекает из свойства гармонического сопряжения , когда каждая точка
первой пары делит отрезок, образуемый второй парой точек внутренним и внешним
образом в одинаковом отношении
АС/AD=BC/BD или через неоднородные координаты ti точек
(1,2,3,4) соответствует ( A , B , C , D )
(t3 - t1)/(t1 - t4) =
(t2 - t3)/(t2 - t4) или (t3
- t1)/(t2 - t3) =
- (t4 - t1)/(t2 - t4) или
((t3 - t1)/(t2 - t3))/((t4
- t1)/(t2 - t4))=-1
Матрицы проективных преобразований.
Представим
перспективную проекцию объекта как проективное преобразование с центром
проекции на оси z (на расстоянии zq от начала координат). Пусть
плоскостью проекции является координатная плоскость XOY
P(x,y,z)-точка
объекта , P/(X,Y)-её проекция из центра Q. Известно, что координаты
точки-проекции P/ есть X=x/(1-z/zq) , Y=y/(1-z/zq)
(*)
Однородные
координаты точки P (x,y,z,1) - P/(x/,y /,z/,w
/) ,w ¹0.
Преобразование
(*) может быть выражено через матрицу проективных преобразований в однородных
координатах:
1 0 0 0 P./=MПр*
Р
МПр
= 0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 -1/zq 1
x/
1 0 0 0 x x
Неоднородные координаты точки P/
x/
1 0 0 0 x x
y / = 0 1 0 0 y =
y получаем отсюда : X=x/(1-z/zq ) ,
z/ 0 0 0 0 z
0 Y=y/(1-z/zq ) ,Z=0
w 0 0 -1/zq 1 1 1-z/zq
Найдём
проекцию бесконечно удаленной точки на оси Z - $
однородные координаты (0,0,1,0).
Вместо
МПр возьмем матрицу полного проективного преобразования (без
проецирования на плоскость XOY).
1
0 0 0 0 0 Неоднородные координаты
проекции
0 1 0 0 0 = 0 этой точки (0
,0 , -zq )
0 0 1 0 * 1 1
0 0 -1/zq 1 0 -1/zq
Если взять семейство параллельных оси z прямых, то после такого
проективного преобразования каждая из них пройдет через указанную точку (0,0,-zq
) на оси z .Поэтому эту точку называют точкой схода.
Аналогично,
матрицы 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 * 0 0 -1 0
-1/xq 0 0 1 0 -1/yq 0 1
описывают
проективные преобразования с точками схода на оси OX и OY. Это все
преобразованные с одной точкой схода. Матрица 1 0 0 0
1 0 0 0
преобразование 0 1 0 0 0
1 0 0
с двумя точками 0 0 1 0
0 0 1 0 А это с тремя
схода
-1/xq -1/yq 0 1 1/xq -1/yq
-1/zq 1
Групповые свойства проективных преобразований
Группа - есть совокупность
объектов произвольной природы, которые называются элементами группы а
обозначается символами a, b, c, ..., удовлетворяющая требованиям следующих
аксиом:
1. С каждой парой элементов
совокупности, взятых в определённом порядке, сопоставлен по определённому
закону некоторый третий элемент этой же совокупности.
Символически это записывают так c=ab,
элемент c называется произведением (композицией) элементов a и b. Иначе:
композиция двух любых элементов группы даёт элемент, принадлежащий этой же
группе.
2. Закон ассоциативности: Каковы
бы ни были три элемента группы a, b, c, всегда имеет место соотношение
(ab)c=a(bc)
3. Существует такой элемент e, что для любого элемента a группы
выполняется ae=a.
Элемент e называется единичным
элементом.
4. Каким бы ни был элемент группы
a, всегда существует такой элемент x, что ax=e.
Элемент x называется обратным
элементу a и обозначается a-1, т. е. X= a-1.
Отсюда следуют такие правила:
a) если ax=e, то и xa=e
б) если e-единичный элемент
группы, то ae= a и ea= a т. е. не различается “левая” и “правая” единицы
в) из соотношения ax= e обратный
элемент x определяется однозначно
Если все эти положения применить
к проективным преобразованиям, а именно к представляющим их матрицам
проективных преобразований в однородных координатах, то можно сказать, что
совокупность проективных преобразований составляет группу:
1) произведение двух проективных
матриц есть вновь матрица проективного преобразования;
2) (c1c2)c3=
c1(c2c3)
3) единичный
элемент
1 0 .. 0
0 1 .. 0
E = - - - -
0 .. .. 1
4) условием существования
обратного элемента является условие существования обратной матрицы, для
последнего необходимо, чтобы [c]#0 это условие является требованием
проективного преобразования.
Группу проективных
преобразований называют проективной группой.
Прежде чем рассмотреть матрицы
проективных преобразований, соответствующих конкретным их типам, вспомним
иерархию геометрических преобразований.
1
Проективная группа Матрица
(n+1)(n+1)
в R1, R2, R3, ...,Rn
удаление Ґ
удалённых элементов
(соответствующее
разрезы)
2
Аффинная группа Матрица
n(n+1)
Введение свойства
перпендикулярности
3
Ортоганальная Паралельный
Гомотетии
группа
перенос
(вращений)
Для однозначного определения
матрицы преобразования 1го уровня необходимо (n+2) точки. Для
однозначного определения матрицы преобразования 2го уровня
необходимо (n+1) точка. Для однозначного
определения матрицы преобразования
3го уровня необходимо n точек.
2
уровень A2
Y
C2 C1
B2 e2 A1
O e1
B
3
уровень
Y
Y Y
A2 A2
n
A2
j
A1 A1
O
X O X O X
j - угол
поворота n - вектор Гомотетия
плоско параллельного k=OA2/OA1
переноса
Матрицы
конкретных проективных преобразований.
Каждое преобразование более
низкого уровня является одновременно и преобразованием более высокого
1) На плоскости. Перенос на
вектор n (a,b)
Поворот на угол j против часовой стрелки вокруг начала
координат.
Маштабирование относительно начала координат.
неоднородное
2) В пространстве
Вращение
относительно оси
Z(угол j )
относительно
оси X(угол q )
относительно
оси y(угол y )
Сложные
преобразования строятся как цепочки преобразований.
Перспективные
преобразования.
1) C одной
точкой схода (соответственно на различных осях).
А) На
оси Z
куда преобразуется
точка , параллельная z, лежащая на бесконечности т.Аz(0,0,1,0)
В
неоднородных координатах.
т.е. точка схода лежит на оси z на расстоянии (-zq)
б) на оси
x
Прямые
параллельные оси ox идущей из бесконечности т.А(1, 0, 0, 0) преображаются в
т.(-xq , 0,
0)
в) На оси
у
т.А(0,1,0,0) преображается в точку (0,-yq,0)
г) С двумя
точками схода , с тремя.