Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области
Введение
1.Постановка задачи
2. Оценочный анализ решения задачи.
2.1. Оценка решения сверху.
2.2. Оценка решения в виде интеграла
2.3. Выбор интервала (
) и
оценка погрешности
3. Формулировка результата в виде теоремы
4. Примеры
Заключение
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
В ряде случаев
оказывается невозможным или неприемлемым получение аналитического решения
поставленной задачи. Использование основных теорем и положений анализа
позволяет получить качественную картину поведения функции решения в заданной
области, оценить скорость сходимости решения. Такой подход широко реализуется в
областях техники, где получение результата необходимо с заданной точностью.
В дипломной работе
рассматривается задача:
(З)
0
.
t
x
Требуется привести пример оценки решения
задачи (З) в области 
, и исследовать полученную
оценку при 
Оценка
решения задачи (З) основывается на принципе максимума для уравнения
теплопроводности : «Всякое решение уравнения 
в
прямоугольнике 
, непрерывное вплоть до
границы, принимает свои наибольшее и наименьшее значения на нижних или на
боковых его границах» [2].
В области t=t , x=
рассмотрим решение
задачи :
,
V(0,x) = 
( x ), x
,
(1)
это решение имеет вид [1]:
v (t,
x) = 
. (2)
Зафиксируем некоторое 
и
перейдем к исходной системе координат, тогда (2) в системе t=t, x=
будет выглядеть так:
V(t,
x) = 
(2’)
Из принципа максимума [2] заключаем, что:
U(
t, x ) 
V( t, x
). (3)
Таким образом задача сводится
к оценке интеграла (2).
Разобьем
интервал 
< x 
на
две части 
и 
,
тогда интеграл (2’) запишется в виде:
V( t, x ) = 
.
(*)
Исследуем
знак подинтегрального выражения, принимая во внимание, то что 
:
;
(а)
;
;
где 
.
После
проведенного исследования видно, что
Использовав известное
разложение 
,
где Z 
0, 
,
заменим экспоненты во втором интеграле рядами:
(а) 
;
(б) 
.
В результате получим :
Здесь:
, 
,
(4.1)
,
. (4.2)
Запишем неравенство (3) в
виде, принимая во внимание только одно слагаемое суммы ряда:
m=1,
U(t,
x) 
.
(5)
Выше приведенная оценка не
отражает качественной картины и может быть использована при дальнейших
исследованиях задач подобного вида. ( т .к .
фиксированно)
Рассмотрим другую возможность
оценки неравенства (3).
пусть 
(т.е. 
финитна),
в соответствии с принципом максимума:
, (3’)
при 
где W-
решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
Аналогично, как и выше
здесь:
Таким образом,
(используем разложение в ряд
Тейлора)
В итоге,
(5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть 
,
тогда в правой
части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые стремятся к нулю
быстрее любой степени 
,
поэтому (5.1)
можно переписать как:
(5.2)
б) Пусть 
тогда:
где 
В результате получаем:
(5.3)
Зададим
произвольно некоторую константу 
>0, потребовав чтобы в (5)
<.
при 
.
Неравенство (5) можно только усилить, если
< 
(6)
Рассмотрим общий вид
:
; (7)
, (7.1)
b=x ( k=1 ) ,
b=2
(k=2) 
оценка
(7.1) эквивалентна системе неравенств:
,
откуда:
.
(8)
Т. к. в работе
исследуется поведение неравенства (3) при 
то
принимаем что для некоторого :
. (9)
Обобщая
результаты всей работы в целом можно сформулировать следующие теоремы:
1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
(З)
-
гладкая, непрерывно - дифференцируемая функция на 
,а
функция 
ограничена на R : 
.
Тогда
для любого сколь малого числа 
можно указать число
,
такое что имеет место следующая
оценка «сверху» решения задачи (З):
Раскрыв квадратные скобки,
получим:
.
2. Пусть в имеет
место задача (З), 
- монотонная,
неограниченная, возрастающая функция, 
тогда:
1) если 
, то
2) если 
то
Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить
и при более слабых ограничениях 
Пусть 
, 
a) 
b) 
.
В дипломной
работе произведена оценка решения «сверху» для уравнения теплопроводности с
движущей границей по заданному закону. Аналогично, можно получить оценку
решения «снизу». Для этого нужно рассмотреть ступенчатую область, в которой
для каждой ступеньки решение может быть получено согласно 2.1 (2) . Число таких
ступенчатых областей необходимо выбрать таким образом, чтобы оценка полученная
снизу была сравнима с полученной выше оценкой.
1. А.
Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М.
1966 (с. 230 -233);
2. С.
К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М. 1973 . 33-34);
3. Л.
Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука», М. 1989.