Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез
Самарский
государственный аэрокосмический университет
им. академика С.П. Королева
Кафедра прикладной математики
Расчетно-графическая
работ по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема работы:
«Определение
законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе
опытных данных. Проверка статистических гипотез»
Вариант № 15
Выполнил студент группы № 625
Евгений В. Репекто
Самара - 2002
Задание на
расчетно-графическую работу
Дан протокол
содержащий 120 пронумерованных значений:
|
№
|
|
№
|
|
№
|
|
№
|
|
|
1
|
4
|
31
|
10
|
61
|
20
|
91
|
44
|
|
2
|
19
|
32
|
25
|
62
|
16
|
92
|
12
|
|
3
|
25
|
33
|
38
|
63
|
15
|
93
|
16
|
|
4
|
-4
|
34
|
1
|
64
|
32
|
94
|
9
|
|
5
|
58
|
35
|
19
|
65
|
52
|
95
|
12
|
|
6
|
34
|
36
|
55
|
66
|
-5
|
96
|
40
|
|
7
|
32
|
37
|
9
|
67
|
21
|
97
|
17
|
|
8
|
36
|
38
|
11
|
68
|
30
|
98
|
10
|
|
9
|
37
|
39
|
6
|
69
|
27
|
99
|
31
|
|
10
|
4
|
40
|
31
|
70
|
12
|
100
|
49
|
|
11
|
24
|
41
|
17
|
71
|
19
|
101
|
25
|
|
12
|
3
|
42
|
-6
|
72
|
1
|
102
|
33
|
|
13
|
48
|
43
|
14
|
73
|
23
|
103
|
26
|
|
14
|
36
|
44
|
9
|
74
|
7
|
104
|
19
|
|
15
|
27
|
45
|
13
|
75
|
4
|
105
|
25
|
|
16
|
20
|
46
|
25
|
76
|
16
|
106
|
34
|
|
17
|
1
|
47
|
11
|
77
|
38
|
107
|
10
|
|
18
|
39
|
48
|
18
|
78
|
40
|
108
|
24
|
|
19
|
11
|
49
|
2
|
79
|
30
|
109
|
2
|
|
20
|
16
|
50
|
29
|
80
|
14
|
110
|
38
|
|
21
|
49
|
51
|
20
|
81
|
51
|
111
|
30
|
|
22
|
25
|
52
|
48
|
82
|
17
|
112
|
10
|
|
23
|
26
|
53
|
16
|
83
|
25
|
113
|
39
|
|
24
|
30
|
54
|
29
|
84
|
34
|
114
|
1
|
|
25
|
19
|
55
|
12
|
85
|
23
|
115
|
40
|
|
26
|
32
|
56
|
-3
|
86
|
20
|
116
|
7
|
|
27
|
3
|
57
|
16
|
87
|
9
|
117
|
26
|
|
28
|
40
|
58
|
41
|
88
|
29
|
118
|
36
|
|
29
|
45
|
59
|
19
|
89
|
18
|
119
|
22
|
|
30
|
35
|
60
|
0
|
90
|
46
|
120
|
28
|
Все эти протокольные значения считаются значениями выборки
некоторой случайной
величины 
, а 60 из них, имеющие нечетные номера –
значениями выборки
другой случайной
величины 
Требуется:
1.
Построить вариационные ряды для случайных величин и .
2.
Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу
Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Образец заполнения
таблицы для статистического ряда.
|
№ пр-ка
|
Границы промежутка
|
Середина промежутка
|
Количество элементов выборки в промежутке
|
Частота для промежутка
|
|
1
|
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
|
|
|
3. Построить
гистограммы распределения случайных величин и .
4. Найти
выборочное среднее 
, 
и
исправленные выборочные дисперсии: 
, 
случайных величин и .
5. Проверить,
используя метод 
гипотезу о нормальном
распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости 
.
6. Построить
график функции плотности распределения 
случайной
величины в одной системе координат с
гистограммой.(
взяв в качестве
математического ожидания их статистические оценки 
и 
) и вычислив значение функции в точках: , , а также в точке левее первого и правее
правого промежутка группировки.
7. Выполнить
задание 6 для случайной величины .
8. Найти
доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных
величин и ,
соответствующие доверительной вероятности 
.
9. Проверить
статистическую гипотезу 
при альтернативной
гипотезе 
на уровне значимости .
10. Проверить
статистическую гипотезу 
при альтернативной
гипотезе 
на уровне значимости .
Решение
1.
Построить вариационные ряды для случайных величин и .
Вариационный ряд величины
|
-6
|
12
|
22
|
33
|
|
-5
|
12
|
23
|
34
|
|
-4
|
12
|
23
|
34
|
|
-3
|
12
|
24
|
34
|
|
0
|
13
|
24
|
35
|
|
1
|
14
|
25
|
36
|
|
1
|
14
|
25
|
36
|
|
1
|
15
|
25
|
36
|
|
1
|
16
|
25
|
37
|
|
2
|
16
|
25
|
38
|
|
2
|
16
|
25
|
38
|
|
3
|
16
|
25
|
38
|
|
3
|
16
|
26
|
39
|
|
4
|
16
|
26
|
39
|
|
4
|
17
|
40
|
|
4
|
17
|
27
|
40
|
|
6
|
17
|
27
|
40
|
|
7
|
18
|
28
|
40
|
|
7
|
18
|
29
|
41
|
|
9
|
19
|
29
|
44
|
|
9
|
19
|
29
|
45
|
|
9
|
19
|
30
|
46
|
|
9
|
19
|
30
|
48
|
|
10
|
19
|
30
|
48
|
|
10
|
19
|
30
|
49
|
|
10
|
20
|
31
|
49
|
|
10
|
20
|
31
|
51
|
|
11
|
20
|
32
|
52
|
|
11
|
20
|
32
|
55
|
|
11
|
21
|
32
|
58
|
Вариационный ряд
величины
|
1
|
21
|
|
2
|
22
|
|
2
|
23
|
|
3
|
23
|
|
4
|
24
|
|
4
|
25
|
|
6
|
25
|
|
9
|
25
|
|
9
|
25
|
|
10
|
26
|
|
10
|
26
|
|
11
|
26
|
|
11
|
27
|
|
12
|
27
|
|
12
|
30
|
|
13
|
30
|
|
14
|
31
|
|
15
|
32
|
|
16
|
37
|
|
16
|
38
|
|
16
|
38
|
|
17
|
39
|
|
17
|
40
|
|
18
|
44
|
|
19
|
45
|
|
19
|
48
|
|
19
|
49
|
|
19
|
51
|
|
20
|
52
|
|
20
|
58
|
2.
Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу
Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных величин и .
Найдем количество элементов выборок после группировки
элементов
Величина : 
Величина : 
Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения
случайной величины
|
№
пр-ка
|
Границы промежутка
|
Середина
промежутка
|
Количество элементов выборки в промежутке
|
Частота для промежутка
|
|
1
|
-8 ; 0
|
-4
|
4
|
0.0333
|
|
2
|
-0 ; 8
|
4
|
15
|
0.1250
|
|
3
|
8 ; 16
|
12
|
19
|
0.1583
|
|
4
|
16 ; 24
|
20
|
25
|
0.2083
|
|
5
|
24 ; 32
|
28
|
24
|
0.2000
|
|
6
|
32 ; 40
|
36
|
17
|
0.1417
|
|
7
|
40 ; 48
|
44
|
8
|
0.0667
|
|
8
|
48 ; 56
|
52
|
8
|
0.0667
|
Сгруппировав элементы
получим статистический ряд распределения случайной величины
|
№
пр-ка
|
Границы промежутка
|
Середина
промежутка
|
Количество элементов выборки в промежутке
|
Частота для промежутка
|
|
1
|
0; 9
|
4,5
|
7
|
0.1167
|
|
2
|
9 ; 18
|
13,5
|
16
|
0.2667
|
|
3
|
18 ; 27
|
22,5
|
19
|
0.3167
|
|
4
|
27 ; 36
|
31,5
|
6
|
0.1000
|
|
5
|
36 ; 45
|
40,5
|
6
|
0.1000
|
|
6
|
45 ; 54
|
49,5
|
5
|
0.0833
|
|
7
|
54 ; 63
|
58,5
|
1
|
0.0167
|
3. Построить
гистограммы распределения случайных величин и .
Гистограммы распределения приведены на графиках с
теоретическими функциями распределения.
4. Найти
выборочное среднее , и
исправленные выборочные среднеквадратические отклонения: 
, случайных
величин и .
Выборочное среднее 
случайной
величины равно
Выборочное среднее
случайно величины равно
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение 
случайной величины :
=14.3632
Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение 
случайной величины :
=13.5727
5. Проверить,
используя метод гипотезу о нормальном
распределении, каждой из случайных величин и при уровне значимости .
Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной
величины .
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим
теоретические частоты по формуле
, где 
-
объем выборки, 
- шаг (разность между двумя
соседними вариантами, 
, 
Построим
вспомогательную таблицу:
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
4
|
-1.9169
|
4.2461
|
0.0606
|
0.014
|
|
2
|
15
|
-1.3600
|
10.5760
|
19.572
|
1.850
|
|
3
|
19
|
-0.8030
|
19.3161
|
0.0999
|
0.005
|
|
4
|
25
|
-0.2460
|
25.8695
|
0.7561
|
0.0292
|
|
5
|
24
|
0.3110
|
25.4056
|
1.9757
|
0.0778
|
|
6
|
17
|
0.8680
|
18.2954
|
1.6780
|
0.0917
|
|
7
|
8
|
1.4249
|
9.6610
|
2.7590
|
0.2856
|
|
8
|
8
|
1.9819
|
3.7409
|
18.139
|
4.8491
|
В итоге получим 
=
7,2035
По таблице критических точек распределения 
([1], стр. 465), по уровню значимости 
=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5
находим
Т.к. 
, экспериментальные
данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины
.
Для случайной величины :
Используя предполагаемый закон распределения, вычислим
теоретические частоты по формуле
, где -
объем выборки, - шаг (разность между двумя
соседними вариантами, ,
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
7
|
-1.4036
|
5.9274
|
1.1504
|
0.1941
|
|
2
|
16
|
-0.7405
|
12.0665
|
15.4725
|
1.2823
|
|
3
|
19
|
-0.0774
|
15.8248
|
10.0820
|
0.6371
|
|
4
|
6
|
0.5857
|
13.3702
|
54.3197
|
4.0627
|
|
5
|
6
|
1.2488
|
7.2775
|
1.6319
|
0.2242
|
|
6
|
5
|
1.9119
|
2.5519
|
5.9932
|
2.3485
|
|
7
|
1
|
2.5750
|
0.5765
|
0.1794
|
0.3111
|
В итоге получим 
= 8.1783
По таблице критических точек распределения ([1], стр. 465), по уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим
Т.к. , экспериментальные
данные не противоречат гипотезе и о нормальном распределении случайной величины
.
6. Построить
график функции плотности распределения случайной
величины в одной системе координат с
гистограммой.( взяв в качестве
математического ожидания и дисперсии их статистические оценки и ) и
вычислив значение функции в точках: , , а
также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.
7. Выполнить
задание 6 для случайной величины .
8. Найти
доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий случайных
величин и ,
соответствующие доверительной вероятности .
Найдем доверительный интервал для математического ожидания 
:
Рассмотрим статистику 
,
имеющую распределение Стъюдента с 
степенями свободы.
Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством 
. И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем 
по таблицам ([2], стр.
391). По 
=0,95 и =120
находим: =1,980. Тогда требуемый доверительный
интервал примет вид:
То есть: (20,93721;26,12946).
Найдем доверительный интервал для математического ожидания :
Рассмотрим статистику 
,
имеющую распределение Стъюдента с 
степенями свободы.
Тогда требуемый доверительный интервал определится неравенством 
. И доверительный интервал для выглядит следующим образом:
Найдем по таблицам ([2], стр.
391). По =0,95 и =60
находим: =2,001. Тогда требуемый доверительный
интервал примет вид:
То есть: (20,043;27,056).
Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то
доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности 
имеет вид
Для случайной величины найдем:
.
Таким образом, имеем доверительный интервал: 
(162,8696; 273,8515).
Для случайной величины найдем
Таким образом, имеем доверительный интервал: 
(134,82; 277,8554).
(Квантили распределения 
найдены
по таблице [3], стр. 413).
9. Проверить
статистическую гипотезу при альтернативной
гипотезе на уровне значимости .
Рассмотрим статистику
,
где
,
которая имеет распределение
Стъюдента 
,
Тогда область принятия гипотезы 
.
Найдем s:
Найдем значение статистики 
:
По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)
Т. к. 
, то гипотеза 
принимается.
Предположение о равенстве математических ожиданий 
не
противоречит результатам наблюдений.
10. Проверить
статистическую гипотезу при альтернативной
гипотезе на уровне значимости.
Рассмотрим статистику 
, где
, 
т.к. 
. Эта статистика имеет распределение
Фишера 
. Область принятия гипотезы 
Найдем значение
статистики :
По таблицам найдем 
.
Т.к. 
, то гипотеза принимается.
Предположение не противоречит
результатам наблюдений.
Библиографический список
1.
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и
математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В. Ефимова. –
2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1990. – 428 с.
2.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-е, стер.
М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.
3.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.
пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.
4.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.