Курсовая работа по прикладной математике
Министерство общего и профессионального образования
Российской Федерации
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УПРАВЛЕНИЯ
ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ
Контрольная работа
по дисциплине «Прикладная математика»
Специальность Бухгалтерский учет и
аудит
Курс 2-й
Группа БуиА-6-99/2
Студент
Студенческий билет №
ВАРИАНТ №25
« » мая 2001г.
Проверил:
____________________/ /
«___»_______________2001г.
Москва 2001г.
Задача №1. Линейная производственная задача.
Предприятие может выпускать
четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны
технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции,
вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1
В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4),
максимизирующую прибыль
z=31х1+10х2+41х3+29х4
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу
4х1+0х2+8х3+7х4≤316
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу
3х1+2х2+5х3+х4≤216
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу
5х1+6х2+3х3+2х4≤199
Имеем
4х1+0х2+8х3+7х4≤316
3х1+2х2+5х3+х4≤216 (1)
5х1+6х2+3х3+2х4≤199
где по смыслу задачи
х1≥0, х2≥0,
х3≥0, х4≥0. (2)
Получена задача на нахождение
условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи
дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических
уравнений
4х1+0х2+8х3+7х4+х5=316 (I)
3х1+2х2+5х3+ х4+х6=216 (II) (3)
5х1+6х2+3х3+2х4+х7=199 (III)
где дополнительные переменные имеют смысл остатков
соответствующих ресурсов, а именно
х5 – остаток сырья 1-го вида,
х6 – остаток сырья 2-го
вида,
х7 – остаток сырья 3-го
вида.
Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих
условию неотрицательности
х1≥0, х2≥0, х3≥0,
х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4)
надо найти то решение, при котором функция
z=31х1+10х2+41х3+29х4
будет иметь наибольшее значение
Организуем направленный перебор базисных решений при помощи
симплекс метода.
Из функции z(x)
видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.
Найдем ведущее уравнение:
bi 316 216 199 316
min ------- = ----- ----- ----- =
-----
ai3>0 8 5 3
8
Примем I-е
уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:
С
|
Базис
|
Н
|
31
|
10
|
41
|
29
|
0
|
0
|
0
|
Поясне-ния
|
х1
|
х2
|
х3
|
х4
|
х5
|
х6
|
х7
|
0
|
х5
|
316
|
4
|
0
|
8
|
7
|
1
|
0
|
0
|
|
0
|
х6
|
216
|
3
|
2
|
5
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
х7
|
199
|
5
|
6
|
3
|
2
|
0
|
0
|
1
|
∆
|
z0-z
|
0-z
|
-31
|
-10
|
-41
|
-29
|
0
|
0
|
0
|
41
|
х3
|
39,5
|
1/2
|
0
|
1
|
7/8
|
1/8
|
0
|
0
|
|
0
|
х6
|
18,5
|
1/2
|
2
|
0
|
-27/8
|
-5/8
|
1
|
0
|
0
|
х7
|
80,5
|
7/2
|
6
|
0
|
-5/8
|
-3/8
|
0
|
1
|
∆
|
z0-z
|
1619,5
|
-21/2
|
-10
|
0
|
55/8
|
41/8
|
0
|
0
|
41
|
х3
|
28
|
0
|
-6/7
|
1
|
54/56
|
10/56
|
0
|
-1/7
|
Все ∆j≥0
|
0
|
х6
|
7
|
0
|
8/7
|
0
|
-23/7
|
-4/7
|
1
|
-1/7
|
31
|
х1
|
23
|
1
|
12/7
|
0
|
-10/56
|
-6/56
|
0
|
2/7
|
∆
|
z0-z
|
1861
|
0
|
8
|
0
|
5
|
4
|
0
|
3
|
Оптимальная производственная программа:
х1=23, х2=0, х3=28, х4=0
Остатки ресурсов:
Первого вида – х5=0;
Второго вида – х6=7;
Третьего вида – х7=0
Максимальная прибыль zmax=1861
Обращенный базис Q-1
10/56 0 -1/7
Q-1= -4/7 1 -1/7
-6/56 0 2/7
х5 х6 х7
Базис Q
8 0 4
Q= 5 1 3
3 0 5
х3 х6 х1
Самопроверка.
10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5
1 0 0
Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3
-4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0
-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5
0 0 1
10/56•316+0•216-1/7•199 28
Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199
= 7
-6/56•316+0•216+2/7•199 23
Задача №2. Двойственная задача.
Предприниматель Петров, занимающийся производством других
видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются
у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас
ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса
у2 за каждую единицу 2-го ресурса
у3 за каждую единицу 3-го ресурса.
В нашей задаче технологическая
матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1
В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
для производства единицы продукции 1-го вида мы должны
затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы
ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.
В ценах у1, у2, у3 наши
затраты составят
4у1+3у2+5у3≥31
Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты
различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида
2у2+6у3≥10
Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных
ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида
8у1+5у2+3у3≥41
Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных
ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида
7у1+у2+2у3≥29
Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны
заплатить
316у1+216у2+199у3
Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов
приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок
У=(у1, у2, у3)
Минимизирующий общую оценку всех ресурсов
f=316у1+216у2+199у3
при условии, что по каждому виду
продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы
продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:
4у1+3у2+5у3≥31
2у2+6у3≥10
8у1+5у2+3у3≥41
7у1+у2+2у3≥29
При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными
у1≥0, у2≥0,
у3≥0
На основании 2-й основной теоремы двойственности
Х=(х1, х2, х3,
х4) и у=(у1, у2, у3)
Необходимо и достаточно выполнения
условий
х1(4у1+3у2+5у3-31)=0
х2(2у2+6у3-10)=0
х3(8у1+5у2+3у3-41)=0
х4(7у1+у2+2у3-29)=0
Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0
Поэтому
4у1+3у2+5у3-31=0
8у1+5у2+3у3-41=0
Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме
двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0
Имеем систему уравнений
4у1+3у2+5у3-31=0
8у1+5у2+3у3-41=0
Решим систему:
4у1+5у3=31
у1=(31-5у3)/4
8((31-5у3)/4)+3у3=41
-7у3=-21
у1=(31-15)/4
откуда следует
у1=4, у3=3
Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов
у1=4, у2=0, у3=3
Общая оценка всех ресурсов
f=316у1+216у2+199у3
f=1264+0+597=1861
Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».
При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и
3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их
необходимо заказать дополнительно.
Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.
Так как мы предполагаем использовать найденные
двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие
Н+ Q-1Т≥0
Необходимо найти вектор
Т=(t1, 0, t3)
максимизирующий суммарный прирост прибыли
w=4t1+3t3
28 10/56 0 -1/7
t1 0
7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0
23 -6/56 0 2/7
t3 0
Предполагаем, что дополнительно можно
получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида
t1
316
0 ≤ 1/3 216
t3
199
где t1≥0, t3≥0
10/56t1-1/7t3≥-28
-4/7t1-1/7t3≥-7
-6/56t1+2/7t3≥-23
-10/56t1+1/7t3≤28
4/7t1+1/7t3≤7
6/56t1-2/7t3≤23
t1≤316/3, t3≤199/3
t1≥0, t3≥0
|
t1
|
t3
|
I
|
-156,8
|
0
|
I
|
0
|
196
|
II
|
12,25
|
0
|
II
|
0
|
49
|
III
|
214,66
|
0
|
III
|
0
|
-80,5
|
IV
|
105,33
|
0
|
V
|
0
|
66,33
|
Программа расшивки имеет вид
t1=0, t2=0, t3=49
и прирост прибыли составляет
w=4t1+3t3=3∙49=147
Сводка результатов приведена в таблице:
Сj
|
31
|
10
|
41
|
29
|
b
|
x4+i
|
yi
|
ti
|
aij
|
4
|
0
|
8
|
7
|
316
|
4
|
0
|
3
|
2
|
5
|
1
|
216
|
7
|
0
|
0
|
5
|
6
|
3
|
2
|
199
|
0
|
3
|
49
|
xj
|
23
|
0
|
28
|
0
|
1861
|
|
|
147
|
∆j
|
0
|
8
|
0
|
5
|
|
|
|
|
Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.
Исходные данные:
31 40 41 49
45 4 5 8 6
60 3 2 5 1
65 5 6 3 2
Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.
Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.
Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем
требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для
превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9
единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило
«северо-западного угла».
|
b1=31
|
b2=40
|
b3=41
|
b4=49
|
b5=9
|
|
a1=45
|
31
|
14
|
|
|
*
|
p1=0
|
a2=60
|
|
26
|
34
|
|
|
p2=-3
|
a3=65
|
|
|
7
|
49
|
9
|
p3=-5
|
|
q1=4
|
q2=5
|
q3=8
|
q4=7
|
q5=5
|
|
Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535
|
b1=31
|
b2=40
|
b3=41
|
b4=49
|
b5=9
|
|
a1=45
|
31
|
5
|
|
|
9
|
p1=0
|
a2=60
|
|
35
|
25
|
*
|
|
p2=-3
|
a3=65
|
|
|
16
|
49
|
9
|
p3=-5
|
|
q1=4
|
q2=5
|
q3=8
|
q4=7
|
q5=5
|
|
Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490
|
b1=31
|
b2=40
|
b3=41
|
b4=49
|
b5=9
|
|
a1=45
|
31
|
5
|
|
|
9
|
p1=0
|
a2=60
|
|
35
|
|
25
|
|
p2=-3
|
a3=65
|
|
|
41
|
24
|
|
p3=-2
|
|
q1=4
|
q2=5
|
q3=5
|
q4=4
|
q5=
|
|
z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415
Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.
Исходные данные:
xj
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
f1(xj)
|
0
|
10
|
23
|
30
|
38
|
43
|
49
|
52
|
f2(xj)
|
0
|
13
|
25
|
37
|
48
|
55
|
61
|
66
|
f3(xj)
|
0
|
16
|
30
|
37
|
44
|
48
|
50
|
49
|
f4(xj)
|
0
|
10
|
17
|
23
|
29
|
34
|
38
|
41
|
Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».
|
-x2
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
x2
|
|
0
|
10
|
23
|
30
|
38
|
43
|
49
|
52
|
0
|
0
|
0
|
10
|
23
|
30
|
38
|
43
|
49
|
52
|
100
|
13
|
13
|
23
|
36
|
43
|
51
|
56
|
62
|
|
200
|
25
|
25
|
35
|
48
|
55
|
63
|
68
|
|
|
300
|
37
|
37
|
47
|
60
|
67
|
75
|
|
|
|
400
|
48
|
48
|
58
|
71
|
78
|
|
|
|
|
500
|
55
|
55
|
65
|
78
|
|
|
|
|
|
600
|
61
|
61
|
71
|
|
|
|
|
|
|
700
|
66
|
66
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
F2( )
|
0
|
13
|
25
|
37
|
48
|
60
|
71
|
78
|
x2( )
|
0
|
100
|
200
|
300
|
200
|
300
|
400
|
500
|
|
-x3
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
x3
|
|
0
|
13
|
25
|
37
|
48
|
60
|
71
|
78
|
0
|
0
|
0
|
13
|
25
|
37
|
48
|
60
|
71
|
78
|
100
|
16
|
16
|
29
|
41
|
53
|
64
|
76
|
87
|
|
200
|
30
|
30
|
43
|
55
|
67
|
78
|
90
|
|
|
300
|
37
|
37
|
50
|
62
|
74
|
85
|
|
|
|
400
|
44
|
44
|
57
|
69
|
81
|
|
|
|
|
500
|
48
|
48
|
61
|
73
|
|
|
|
|
|
600
|
50
|
50
|
63
|
|
|
|
|
|
|
700
|
49
|
49
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
F3( )
|
0
|
16
|
30
|
43
|
55
|
67
|
78
|
90
|
x3( )
|
0
|
100
|
200
|
200
|
200
|
200
|
200
|
|
-x4
|
0
|
100
|
200
|
300
|
400
|
500
|
600
|
700
|
x4
|
|
0
|
16
|
30
|
43
|
55
|
67
|
78
|
90
|
0
|
0
|
0
|
|
|
|
|
|
|
90
|
100
|
10
|
|
|
|
|
|
|
88
|
|
200
|
17
|
|
|
|
|
|
84
|
|
|
300
|
23
|
|
|
|
|
78
|
|
|
|
400
|
29
|
|
|
|
72
|
|
|
|
|
500
|
34
|
|
|
64
|
|
|
|
|
|
600
|
38
|
|
54
|
|
|
|
|
|
|
700
|
41
|
41
|
|
|
|
|
|
|
|
x4*=x4(700)=0
x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200
x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300
x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200
x1=200
x2=300
x3=200
x4=0
Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.
Исходные данные:
Требуется сформировать оптимальный портфель заданной
эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и
некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8.
Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при
какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?
4 49 0
m0=2, М= , V=
6 0 64
Зададимся эффективностью портфеля mp
Найдем обратную матрицу к V
1/49 0
V-1=
0 1/64
далее
4 1
M =
I =
6 1
1/49 0 4
2 1/49 0 2 2/49
V-1(M-m0I)= · - =
· =
0 1/64 6
2 0 1/64 4 1/16
2/49
(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) · = 65/196
1/16
Рисковые доли:
x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2)
0,12
x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2)
0,19
Безрисковая доля:
x0*=1-(mp-2) 0,31
Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:
(mp-2) 0,31=1
mp-2=1/0,31
mp=3,21+2
mp=5,21
Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.
Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.
Даны четыре операции Q1, Q2, Q3,
Q4. Найти
средние ожидаемые доходы Qi и риски ri
операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето.
С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.
(0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5)
(-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8,
1/5)
(0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40,
1/4)
(-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14,
1/4)
Q1
|
0
|
2
|
10
|
28
|
1/5
|
2/5
|
1/5
|
1/5
|
|
|
|
|
|
Q2
|
-6
|
-5
|
-1
|
8
|
1/5
|
2/5
|
1/5
|
1/5
|
|
|
|
|
|
Q3
|
0
|
16
|
32
|
40
|
1/2
|
1/8
|
1/8
|
1/4
|
|
|
|
|
|
Q4
|
-6
|
2
|
10
|
14
|
1/2
|
1/8
|
1/8
|
¼
|
Q1=8,4 r1=10,4
Q2=-1,8 r2=4,7
Q3=16 r3=17,4
Q4=2 r4=8,7
j(Q1)=2 Q1-r1=6,4
j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3
j(Q3)=2 Q3-r3=14,6
j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7
Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией
является операция №2.
Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не
доминируемой никакой другой.