Виды тригонометрических уравнений
Реферат
на тему:
“Виды тригонометрических уравнений”
Успенского Сергея
Харцызск
2001 год
Виды тригонометрических уравнений.
1.
Простейшие тригонометрические уравнения:
Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1
= 0.
Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).
sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения
уравнения sinx = а находим
3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.
Зх - p/4 = (-1)n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)n p/6 + p/4 + np, nÎZ;
x = (-1)n
p/18 + p/12 + np/3,
nÎZ
Если k
=
2n (четное), то х = p/18
+ p/12
+ 2pn/3,
nÎZ.
Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3
=
= p/36
+ p/3 + 2pn/3
= 13p/36 + 2pn/3,
nÎz.
Ответ: х1
= 5p/6 + 2pn/3,nÎZ,
x2 = 13p/36
+ 2pn/3, nÎZ,
или в
градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.
Пример 2. sinx + Öз cosx =
1.
Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение примет вид
sinx
+ ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;
sinx
sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.
По формуле
для уравнения cosx = а находим
х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 +
p/6 + 2pn, nÎZ;
x1 = p/3 +
p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;
x2
= - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ;
Ответ: x1
= p/2 + 2pn, nÎZ; x2 = -p/6 + 2pn, nÎZ.
2. Двучленные уравнения:
Пример 1. sin3x = sinx.
Решение.
Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность
преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0.
Из условия
равенства нулю произведения получим два простейших уравнения.
sinx = 0 или cos2x = 0.
x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.
Ответ: x1
= pn, nÎZ, x2 = p/4 +
pn/2, nÎZ.
3. Разложение
на множители:
Пример 1. sinx + tgx = sin2x / cosx
Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.
sinx
+ sinx/cosx = sin2x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.
sinx
· cosx + sinx - sin2x = 0;
sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;
sinx
= 0 или cosx - sinx +1=0;
x1
= pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 -
x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 -
x) = -1;
Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 -
x = (-1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;
x2 =
p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1)
n · p/4 +
pn, nÎZ.
Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то
x = pn.
Ответ: x1
= pn, nÎZ; x2 = p/4 +
(-I)n · p/4 + pn, nÎZ.
4. Способ
подстановки
Пример 1. 2 sin2x = 3cosx.
Решение.
2sin2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x
+ 3cosx - 2 = 0.
Пусть z =
cosx, |z| £ 1. 2z2 +
32z - 2=0.
Д = 9+16 = 25; ÖД = 5;
z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 -
-не удовлетворяют
условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение:
cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.
5. Однородные
уравнения
Однородные
тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0
(однородное уравнение 2-й степени) или
a
sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x
= 0 и т.д.
В этих
уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к
уравнениям относительно tgx или ctgx.
Пример 1. Ö3sin2
2x - 2sin4x + Ö3cos22x
= 0.
Решение.
Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим
уравнение Ö3sin22x - 4sin2xcos2x + Ö3cos22x = 0.
Разделим на cos22x. Уравнение
примет вид Ö3 tg22x – 4tg2x + Ö3 = 0.
z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3
tg2x = Ö3
или tg2x = 1/Ö3
2x =
p/3 + pn, nÎZ;
2x = p/6 + pn, nÎZ;
x1 =
p/6 + pn/2, nÎZ ;
x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
Ответ: x1
= p/6 + pn/2, nÎZ ;
x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
6. Уравнение
вида a sinx + b cosx = с
Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sinj =
4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 +
2pn, nÎZ.
Ответ: x = p/2 -
arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.
7.
Дробно-рациональные тригонометрические уравнения
Уравнения,
содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными
уравнениями. В этих уравнениях требуется следить за областью допустимых
значений.
Пример 1. 1/(Ö3-tgx)
– 1/(Ö3 +tgx) = sin2x
Решение.
Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.
Левую часть
уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы
выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 - tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)
x1 = pn, nÎZ
Второе
уравнение имеет вид
2tg2x
- 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
8.
Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в
уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое
тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует
соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных
уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и
при освобождении от корня четной степени).
Пример 1. Ö( cos2x +
½) + Ö( sin2x
+
½) = 2.
Решение.
Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos2x
+ ½ + 2 Ö(( cos2x
+ ½) ( sin2x + ½)) + sin2x + ½ = 4
Ö(( cos2x + ½) ( sin2x
+ ½)) = 1; ( cos2x + ½) ( sin2x +
½) = 1
(
½ + ½ cos2x + ½)( ½ - ½ cos2x + ½) =
1; (1 + ½ cos2x) (1 - ½ cos2x) = 1;
1 –
¼ cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2,
nÎz
Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком
тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной
зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо
другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества
решений.
Пример 1. tg(x2 + 5x)ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg(x2+5x)=tg 6. Учитывая,
что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2
+ 5х = 6 + pn, nÎZ; х2
+ 5х - (6+pn) = 0, nÎz;
Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz
Решение имеет
смысл, если 49 + 4pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.
Литераура:
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л .
Р.
Вейцман, 2000 г.
(стр. 116 - 125)
“Алгебра начала анализа 10-11” А
. Н .
Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М .
Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 62 - 78)